Ejemplos de CPLEX (y algo de Simplex)

Programacion Lineal - Problema de la dieta

I Motivacion: Para mantener una dieta equilibrada elnutricionista de Marıa le recomendo consumir diarimente unacierta cantidad de calorıas, vitaminas, minerales, grasas, sodioy colesterol. Como Marıa es muy ahorrativa, quiere cumplir lorecomendado por el nutricionista pero gastando lo menosposible.

I Planteo: Dado un conjunto de alimentos, la informacion denutrientes y el costo por porcion de cada uno, el objetivo esseleccionar la cantidad de porciones de cada alimento paracomprar (y consumir) a fin de minimizar el costo de lacomida, satisfaciendo las necesidades nutricionalesdeterminadas. Los requerimientos nutricionales se expresancomo un nivel maximo o mınimo permisible. Tambien paramejorar la calidad del menu, para ciertos alimentos es posibleespedificar un numero mınimo y/o maximo de porciones quese pueden incluir.

I Motivacion: Para mantener una dieta equilibrada elnutricionista de Marıa le recomendo consumir diarimente unacierta cantidad de calorıas, vitaminas, minerales, grasas, sodioy colesterol. Como Marıa es muy ahorrativa, quiere cumplir lorecomendado por el nutricionista pero gastando lo menosposible.

I Planteo: Dado un conjunto de alimentos, la informacion denutrientes y el costo por porcion de cada uno, el objetivo esseleccionar la cantidad de porciones de cada alimento paracomprar (y consumir) a fin de minimizar el costo de lacomida, satisfaciendo las necesidades nutricionalesdeterminadas. Los requerimientos nutricionales se expresancomo un nivel maximo o mınimo permisible. Tambien paramejorar la calidad del menu, para ciertos alimentos es posibleespedificar un numero mınimo y/o maximo de porciones quese pueden incluir.

Ejemplo:

Supongamos la nutricionista nos recomendo consumir diariamenteentre 2000 y 2300 calorıas y al menos 1200 mgr de calcio, y quecontamos con 3 tipos de alimentos, maız, leche y pan. La tablamuestra la informacion nutricional de cada alimento y su costo porporcion.

Alimento Calorıas Calcio Costomaız 170 3 1.8leche 50 400 2.3pan 300 40 1.5

Tambien sabemos que no debemos consumir mas de 3 porcionesde pan diariamente y por lo menos queremos que nuestra dietatenga 2 porciones de leche.

Representamos con:

I xm a la cantidad de porciones diarias de maız de nuestra dieta

I xl a la cantidad de porciones diarias de leche de nuestra dieta

I xp a la cantidad de porciones diarias de pan de nuestra dieta

¿Cuanto gastamos?

1.8xm + 2.3xl + 1.5xp

Representamos con:

¿Cuanto gastamos?

1.8xm + 2.3xl + 1.5xp

Representamos con:

¿Cuanto gastamos?

1.8xm + 2.3xl + 1.5xp

Representamos con:

¿Como aseguramos cumplir el requerimiento mınimo de calorıas?

170xm + 50xl + 300xp ≥ 2000

¿Y el maximo?

170xm + 50xl + 300xp ≤ 2300

Representamos con:

170xm + 50xl + 300xp ≥ 2000

¿Y el maximo?

170xm + 50xl + 300xp ≤ 2300

Representamos con:

170xm + 50xl + 300xp ≥ 2000

¿Y el maximo?

170xm + 50xl + 300xp ≤ 2300

Representamos con:

170xm + 50xl + 300xp ≥ 2000

¿Y el maximo?

170xm + 50xl + 300xp ≤ 2300

Representamos con:

170xm + 50xl + 300xp ≥ 2000

¿Y el maximo?

170xm + 50xl + 300xp ≤ 2300

Representamos con:

¿Como aseguramos el requerimiento mınimo de calcio?

3xm + 400xl + 40xp ≥ 1200

Representamos con:

3xm + 400xl + 40xp ≥ 1200

Representamos con:

3xm + 400xl + 40xp ≥ 1200

Programacion Lineal - Problema de la dietaRepresentamos con:

¿Y que no tengamos mas de 3 porciones diarias de pan?

xp ≤ 3

¿Y por lo menos 2 de leche?

xl ≥ 2

Y por supuesto que la cantidad de porciones de maız, pan y lechedebe ser positiva:

xm, xl , xp ≥ 0

xp ≤ 3

xl ≥ 2

xm, xl , xp ≥ 0

xp ≤ 3

xl ≥ 2

xm, xl , xp ≥ 0

xp ≤ 3

xl ≥ 2

xm, xl , xp ≥ 0

xp ≤ 3

xl ≥ 2

xm, xl , xp ≥ 0

xp ≤ 3

xl ≥ 2

xm, xl , xp ≥ 0

xp ≤ 3

xl ≥ 2

xm, xl , xp ≥ 0

Minimizar 1.8xm + 2.3xl + 1.5xp costo de compra

Sujeto a 170xm + 50xl + 300xp ≥ 2000 min. calorıas

170xm + 50xl + 300xp ≤ 2300 max. calorıas

3xm + 400xl + 40xp ≥ 1200 min. calcio

xp ≤ 3 max. porciones pan

xl ≥ 2 min. porciones leche

xm, xl , xp ≥ 0

Minimizar 1.8xm + 2.3xl + 1.5xp costo de compra

Sujeto a 170xm + 50xl + 300xp ≥ 2000 min. calorıas

170xm + 50xl + 300xp ≤ 2300 max. calorıas

3xm + 400xl + 40xp ≥ 1200 min. calcio

xp ≤ 3 max. porciones pan

xl ≥ 2 min. porciones leche

xm, xl , xp ≥ 0

Programacion Lineal - ¿Que es un Programa Lineal?

Maximizarn∑

j=1cjxj

Sujeto an∑

j=1aijxj ≤ bi i = 1, . . . ,m

lj ≤ xj ≤ uj j = 1, . . . , n

donde cj , aij , bi ∈ R para j = 1, . . . , n y i = 1, . . . ,m.

Programacion Lineal - ¿Que es un Programa Lineal?I n variables de decision:

x1, . . . , xn

I funcion objetivo:

f (x) =n∑

I m restricciones:n∑

aijxj ≤ bi i = 1, . . . ,m

Las restricciones pueden ser por mayor o igual, por menor oigual o igualdades.

I restricciones de cota:

lj ≤ xj ≤ uj j = 1, . . . , n

Las variables pueden ser no negativas y/o acotadas.

Programacion Lineal - ¿Que es un Programa Lineal?

I solucion factible:

x = (x1, . . . , xn) satisface las m desigualdades y las cotas

I region facible (poliedro convexo):

P = {x ∈ Rn : x es factible}

I solucion optima (problema de minimizacion):

x∗ = (x∗1 , . . . , x∗n ) ∈ P tal que f (x∗) ≤ f (x) ∀x ∈ P

I valor optimo:z∗ = f (x∗)

Programacion Lineal - Asunciones

I Proporcionalidad: cuando el nivel de una actividad esmultiplicada por un factor, entonces la contribucion de esaactividad a la funcion objetivo o a cualquiera de lasrestricciones donde aparece es multiplicada por el mismofactor.

I Adicion: la suma de las contribuciones de las actividades esigual a la contribucion total, tanto en la funcion objetivocomo en las restricciones, independientemente de los nivelesde las otras actividades.

I Divisibilidad: Los niveles de las actividades pueden tomarvalores enteros o no enteros.

Programacion Lineal - Resolucion grafica

Max z = 3x1 + 2x2

s.a. 2x1 + x2 ≤ 10x1 + x2 ≤ 8

x1 ≤ 4x1, x2 ≥ 0

(x∗1 , x∗2 ) = (2, 6)

z∗ = 18

x1 + x2 = 8

2x1 + x2 = 10

x1 = 4

z = 6z = 12z = 18

2 4 6 8

Max z = 3x1 + 2x2

s.a. 2x1 + x2 ≤ 10x1 + x2 ≤ 8

x1 ≤ 4x1, x2 ≥ 0

(x∗1 , x∗2 ) = (2, 6)

z∗ = 18

x1 + x2 = 8

2x1 + x2 = 10

x1 = 4

z = 6z = 12z = 18

2 4 6 8

Max z = 3x1 + 2x2

s.a. 2x1 + x2 ≤ 10x1 + x2 ≤ 8

x1 ≤ 4x1, x2 ≥ 0

(x∗1 , x∗2 ) = (2, 6)

z∗ = 18

x1 + x2 = 8

2x1 + x2 = 10

x1 = 4

z = 6z = 12z = 18

2 4 6 8

Max z = 3x1 + 2x2

s.a. 2x1 + x2 ≤ 10x1 + x2 ≤ 8

x1 ≤ 4x1, x2 ≥ 0

(x∗1 , x∗2 ) = (2, 6)

z∗ = 18

x1 + x2 = 8

2x1 + x2 = 10

x1 = 4

z = 6z = 12z = 18

2 4 6 8

Max z = 3x1 + 2x2

s.a. 2x1 + x2 ≤ 10x1 + x2 ≤ 8

x1 ≤ 4x1, x2 ≥ 0

(x∗1 , x∗2 ) = (2, 6)

z∗ = 18

x1 + x2 = 8

2x1 + x2 = 10

x1 = 4

z = 6z = 12z = 18

2 4 6 8

Max z = 3x1 + 2x2

s.a. 2x1 + x2 ≤ 10x1 + x2 ≤ 8

x1 ≤ 4x1, x2 ≥ 0

(x∗1 , x∗2 ) = (2, 6)

z∗ = 18

x1 + x2 = 8

2x1 + x2 = 10

x1 = 4

z = 6z = 12z = 18

2 4 6 8

Max z = 3x1 + 2x2

s.a. 2x1 + x2 ≤ 10x1 + x2 ≤ 8

x1 ≤ 4x1, x2 ≥ 0

(x∗1 , x∗2 ) = (2, 6)

z∗ = 18

x1 + x2 = 8

2x1 + x2 = 10

x1 = 4

z = 6z = 12z = 18

2 4 6 8

Max z = 3x1 + 2x2

s.a. 2x1 + x2 ≤ 10x1 + x2 ≤ 8

x1 ≤ 4x1, x2 ≥ 0

(x∗1 , x∗2 ) = (2, 6)

z∗ = 18

x1 + x2 = 8

2x1 + x2 = 10

x1 = 4

z = 6z = 12z = 18

2 4 6 8

Max z = 3x1 + 2x2

s.a. 2x1 + x2 ≤ 10x1 + x2 ≤ 8

x1 ≤ 4x1, x2 ≥ 0

(x∗1 , x∗2 ) = (2, 6)

z∗ = 18

x1 + x2 = 8

2x1 + x2 = 10

x1 = 4

z = 12z = 18

2 4 6 8

Max z = 3x1 + 2x2

s.a. 2x1 + x2 ≤ 10x1 + x2 ≤ 8

x1 ≤ 4x1, x2 ≥ 0

(x∗1 , x∗2 ) = (2, 6)

z∗ = 18

x1 + x2 = 8

2x1 + x2 = 10

x1 = 4

z = 12

z = 18

2 4 6 8

Max z = 3x1 + 2x2

s.a. 2x1 + x2 ≤ 10x1 + x2 ≤ 8

x1 ≤ 4x1, x2 ≥ 0

(x∗1 , x∗2 ) = (2, 6)

z∗ = 18

x1 + x2 = 8

2x1 + x2 = 10

x1 = 4

z = 6z = 12

z = 18

2 4 6 8

Max z = 3x1 + 2x2

s.a. 2x1 + x2 ≤ 10x1 + x2 ≤ 8

x1 ≤ 4x1, x2 ≥ 0

(x∗1 , x∗2 ) = (2, 6)

z∗ = 18

x1 + x2 = 8

2x1 + x2 = 10

x1 = 4

z = 6z = 12

z = 18

2 4 6 8

Programacion Lineal - Alternativas

Un PL puede

I tener unico optimo

I tener infinitos optimos

I no tener optimo:

I no tiene soluciones factibles

I ser no acotado

Programacion Lineal - unico optimo

Min 5 x1+ x2

s.a. 2 x1+ x2≥6

x1+ x2≥4

2 x1+10x2≥20

x1, x2≥0

x1 + x2 = 4

2x1 + x2 = 6

2x1 + 10x2 = 20

5x1 + x2 = 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Programacion Lineal - infinitos optimos

Max 2 x1+4x2

s.a. x1+2x2≤4

− x1+ x2≤1

x1, x2≥0

x1 + x2 = 4

−x1 + x2 = 1

1 2 3 4

Programacion Lineal - no factible

max z = 3x1 + 2x2

s.a. 2x1 + x2 ≤ 10x1 + x2 ≤ 8

x1 ≥ 6x1, x2 ≥ 0

x1 + x2 = 8

2x1 + x2 = 10

x1 = 6

2 4 6 8

Programacion Lineal - no acotado

Max x1+ x2

s.a. 2 x1+ x2≥6

x1+ x2≥4

2 x1+10x2≥20

x1, x2≥0

x1 + x2 = 4

2x1 + x2 = 6

2x1 + 10x2 = 20

−x1 − x2 = −7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Programacion Lineal - Algoritmos

I SIMPLEX (George Dantzig 1947):Peor caso exponencial. Recorre los extremos del poliedro.Problemas con miles de variables y restricciones pueden serresueltos en tiempo computacionales razonables. En lapractica es el algoritmo mas utilizado.

I Algoritmo de punto interior - Metodo del elipsoide (LeonidKhachiyan 1979):Polinomial en el peor caso. Se mueve en el interior delpoliedro. No eficiente en la practica.

I Algoritmo de punto interior - Metodo proyectivo (NarendraKarmarkar 1984):Polinomial en el peor caso. Segun el tipo especıfico de LP esmas eficiente que el metodo SIMPLEX en la practica.

Programacion Lineal - SIMPLEX (maximizacion)Ilustremos el simplex con el siguinte ejemplo:

Max 3x1 + 2x2

sujeto a x1 + 2x2 ≤ 6(1) 2x1 + x2 ≤ 8

−x1 + x2 ≤ 1x2 ≤ 2

x1, x2 ≥ 0

1 2 3 4

Max 3x1 + 2x2

sujeto a x1 + 2x2 ≤ 6(1) 2x1 + x2 ≤ 8

−x1 + x2 ≤ 1x2 ≤ 2

x1, x2 ≥ 0

I Convertimos las restricciones en igualdades (salvo las restriccionesde no negatividad), mediante la introduccion de unas variables quellamaremos variables de holgura. Cada variable de holgurarepresenta la diferencia entre el lado derecho de una restriccion y eltermino independiente correspondiente.

Por ejemplo, la restriccion

2x1 + x2 ≤ 8

es equivalente al par de restricciones

2x1 + x2 + x3 = 8 y x3 ≥ 0.

Max 3x1 + 2x2

sujeto a x1 + 2x2 ≤ 6(1) 2x1 + x2 ≤ 8

−x1 + x2 ≤ 1x2 ≤ 2

x1, x2 ≥ 0

I Convertimos las restricciones en igualdades (salvo las restriccionesde no negatividad), mediante la introduccion de unas variables quellamaremos variables de holgura. Cada variable de holgurarepresenta la diferencia entre el lado derecho de una restriccion y eltermino independiente correspondiente.

Por ejemplo, la restriccion

2x1 + x2 ≤ 8

es equivalente al par de restricciones

2x1 + x2 + x3 = 8 y x3 ≥ 0.

Programacion Lineal - SIMPLEX (maximizacion)

El sistema de restricciones puede reescribirse de la siguientemanera:

Max 3x1 + 2x2

sujeto a x1 + 2x2 + x3 = 6(2) 2x1 + x2 + x4 = 8

−x1 + x2 + x5 = 1x2 + x6 = 2

x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

I A las variables x3, x4, x5 y x6 las denominamos variables de holguray a x1 y x2 variables de decision.

I Ambas forman de representar el modelo son equivalentes, es decir,cada solucion de (1) puede ser extendida a una solucion de (2) yviceversa.

El sistema de restricciones puede reescribirse de la siguientemanera:

Max 3x1 + 2x2

sujeto a x1 + 2x2 + x3 = 6(2) 2x1 + x2 + x4 = 8

−x1 + x2 + x5 = 1x2 + x6 = 2

x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

I A las variables x3, x4, x5 y x6 las denominamos variables de holguray a x1 y x2 variables de decision.

I Ambas forman de representar el modelo son equivalentes, es decir,cada solucion de (1) puede ser extendida a una solucion de (2) yviceversa.

I La estrategia del metodo simplex es iterar consiguiendomejores soluciones para la funcion objetivo. Dada una solucionfactible x1 . . . x5 se trata de hallar otra x1 . . . x5 tal que

3x1 + 2x2 > 3x1 + 2x2.

I Repitiendo este proceso un numero finito de veces se tratarade llegar a una solucion optima.

I Para comenzar, se necesita una solucion factible. En nuestrocaso, basta tomar

x1 = 0 x2 = 0x3 = 6 x4 = 8x5 = 1 x6 = 2z = 0.

3x1 + 2x2 > 3x1 + 2x2.

x1 = 0 x2 = 0x3 = 6 x4 = 8x5 = 1 x6 = 2z = 0.

3x1 + 2x2 > 3x1 + 2x2.

x1 = 0 x2 = 0x3 = 6 x4 = 8x5 = 1 x6 = 2z = 0.

Solucion A:

x1 = 0 x2 = 0x3 = 6 x4 = 8x5 = 1 x6 = 2z = 0.

1 2 3 4

I Buscamos una solucion factible con mayor valor de z .

Por ejemplo, si mantenemos el valor de x2 = 0 e incrementamos x1

se obtiene z = 3x1.

¿Pero cuanto podemos incrementar x1?

I x1 = 1 −→ x3 = 5 x4 = 6 x5 = 2 x6 = 2 z = 3

I x1 = 3 −→ x3 = 3 x4 = 2 x5 = 4 x6 = 2 z = 9

I x1 = 4 −→ x3 = 2 x4 = 0 x5 = 5 x6 = 2 z = 12

I x1 = 5 −→ x3 = 1 x4 = −2 x5 = 6 x6 = 2 z = 15

se obtiene z = 3x1.

I x1 = 1 −→ x3 = 5 x4 = 6 x5 = 2 x6 = 2 z = 3

I x1 = 3 −→ x3 = 3 x4 = 2 x5 = 4 x6 = 2 z = 9

I x1 = 4 −→ x3 = 2 x4 = 0 x5 = 5 x6 = 2 z = 12

I x1 = 5 −→ x3 = 1 x4 = −2 x5 = 6 x6 = 2 z = 15

se obtiene z = 3x1.

I x1 = 1 −→ x3 = 5 x4 = 6 x5 = 2 x6 = 2 z = 3

I x1 = 3 −→ x3 = 3 x4 = 2 x5 = 4 x6 = 2 z = 9

I x1 = 4 −→ x3 = 2 x4 = 0 x5 = 5 x6 = 2 z = 12

I x1 = 5 −→ x3 = 1 x4 = −2 x5 = 6 x6 = 2 z = 15

se obtiene z = 3x1.

I x1 = 1 −→ x3 = 5 x4 = 6 x5 = 2 x6 = 2 z = 3

I x1 = 3 −→ x3 = 3 x4 = 2 x5 = 4 x6 = 2 z = 9

I x1 = 4 −→ x3 = 2 x4 = 0 x5 = 5 x6 = 2 z = 12

I x1 = 5 −→ x3 = 1 x4 = −2 x5 = 6 x6 = 2 z = 15

se obtiene z = 3x1.

I x1 = 1 −→ x3 = 5 x4 = 6 x5 = 2 x6 = 2 z = 3

I x1 = 3 −→ x3 = 3 x4 = 2 x5 = 4 x6 = 2 z = 9

I x1 = 4 −→ x3 = 2 x4 = 0 x5 = 5 x6 = 2 z = 12

I x1 = 5 −→ x3 = 1 x4 = −2 x5 = 6 x6 = 2 z = 15

I En el ultimo caso, perdemos factibilidad, porque x4 toma valornegativo.

I No podemos incrementar x1 demasiado.

I La pregunta es, ¿cuanto podemos incrementar x1

(manteniendo x2 = 0) y manteniendo factibilidad(x3, x4, x5, x6 ≥ 0)?

I Para encontrar esta respuesta de forma facil, despejamos x3,x4, x5, x6 y z en funcion de x1 y x2.

x3 = 6 − x1 − 2x2

x4 = 8 − 2x1 − x2

x5 = 1 + x1 − x2

x6 = 2 − x2

z = 3x1 + 2x2

x3 = 6 − x1 − 2x2

x4 = 8 − 2x1 − x2

x5 = 1 + x1 − x2

x6 = 2 − x2

z = 3x1 + 2x2

x3 = 6 − x1 − 2x2

x4 = 8 − 2x1 − x2

x5 = 1 + x1 − x2

x6 = 2 − x2

z = 3x1 + 2x2

x3 = 6 − x1 − 2x2

x4 = 8 − 2x1 − x2

x5 = 1 + x1 − x2

x6 = 2 − x2

z = 3x1 + 2x2

I La condicion x3 ≥ 0 implica 6− x1 ≥ 0 −→ x1 ≤ 6.

I Para x4 ≥ 0 −→ x1 ≤ 8/2 = 4.

I La condicion x5 ≥ 0 implica 1 + x1 ≥ 0 −→ no impone cotasuperior para el crecimiento de x1.

I Para x6 ≥ 0 −→ no impone cota superior para el crecimientode x1.

El mayor valor que puede tomar x1 manteniendo factibilidad esx1 = 4, y la nueva solucion factible