Ejemplos de cálculo escaleras 2011

ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: Estructura con continuidad estructural. Caso: ESCALERAS 1

Núcleo de circulación vertical materializado con tabiques de Hº Aº

XX

Y

Y

A

A

C

B

B

EJEMPLOS DE CÁLCULO DE ESCALERAS DE HORMIGÓN ARMADO

HIPÓTESIS: Se analiza solamente ESTRUCTURAS PLANAS, el eje tiene continuidad en un solo plano.

1° ejemplo: DESCOMPONER CADA TRAMO POR SEPARADO, DE TAL MANERA QUE NO EXISTA CONTINUIDAD EN DIFERENTES PLANOS. Así se evita trabajar con sistemas complejos de cálculo numérico debido a que se presentan momentos flectores y torsores en dos planos, como así también fuerzas de corte, fuerzas normales y fuerzas tangenciales en dos planos. Esto implica un alto grado de hiperestaticidad.

Esquema arquitectónico

Esquema estructural


α = 24°50’02”0.065

Placa inferior

Altura promedio p el cálculo

ANÁLISIS GEOMÉTRICO DE LOSAS: TRAMOS “A” y “C” El espesor de las losas “A” y “C” es de 8 cm, pero se puede considerar la colaboración de los escalones, pues éstos

trabajan transversalmente, entonces se incrementa el espesor en 4,3 cm correspondientes a 12,3 cm total, que es la posición del baricentro considerando los escalones.

Materiales: acero βs = 4200 Kg/cm2 - Hormigón: σβCN = 130 Kg/cm2

ANÁLISIS DE CARGA: TRAMOS “A” y “C”

Altura de la losa inferior = 0,08 m. Altura media escalones (asimilado a rectángulo)): (0,13 m / 2) = 0,065 m

Peso Propio: ((0,08 m + 0,065 m) * 2400 Kg/m3 = 348 Kg/m

Carpeta mortero fijación: (0,03 m * 1,00 m * 2000 Kg/m3) = 60 Kg/m

Piso de mármol: (0,03 m * 1,00 m * 2800 Kg/m3) = 84 Kg/m

Peso propio en proyección inclinado = 492 Kg/m Peso propio horizontalizado: (492 Kg/m / cos α) = 540,68 Kg/m Sobrecarga por uso = 300 Kg/m

PESO TOTAL en proyección horizontal = 840,68 Kg/m

Altura de entrepiso: 3,15 m. Tramos de losas escaleras con pendiente constante con un ángulo de “Arco Tangente (Contrahuella / Huella)”: α= Arco Tangente (0,143 m / 0,309 m) = 24°50’02” Desnivel losas “A”: 0,858 m (con 6 escalones) Desnivel losa “C”: 1,43 m (con 10 escalones y 9 contrahuellas).


Para dimensionar se considera la COMPONENTE DE LA CARGA TOTAL NORMAL A LA LOSA:

qNORMAL = (qTOTAL * cos α) La componente tangencial de la carga total descarga directamente al tabique y

produce una tensión de compresión pequeña.

qNORMAL = (qTOTAL * cos 24°50’02”) = qNORMAL = (840,68 Kg/m * cos 24°50’02”) ~ 765 Kg/m (carga de cálculo de solicitaciones)

Losas “B” (horizontal): Altura losa = 0,08 m. Altura Peso Propio 0.08 x 2400 = 192 Kg/m

Carpeta mortero fijación (0.03 m * 2000) = 60 Kg/m

Piso de mármol (0.03 m * 2800) = 84 Kg/m

Sobrecarga = 300 Kg/m

Total losa “B” = 636 Kg/m

Solicitaciones: Losa “C”:

Mmáx = (q * L2 / 8) = 126.46 Kgm por metro de ancho Qmáx = (q * L / 2) = 440 Kg por metro de ancho

Losas “A”: Mmáx = (q * L2 / 8) = 95.63 Kgm / m Qmáx = (q * L / 2) = 368 Kg / m

Losas “B”: (Con tablas de losas cruzadas. Coeficientes: m = 0,0368; Q = 0,25) Mmáx = (q * 0,0368 * L2) = (765 Kg/m * 0,0368 * (1,15 m)2 ) = 37.23 Kgm /m en ambas direcciones Qmáx = (q * 0,25 * L2) = (765 Kg/m * 0.25 * (1,15 m)2) = 253 Kg /m

qNORMAL = (qTOTAL * cos α) qTOTAL

Componente tangencial


Dimensionamiento: (Según metodología de cálculo explicada en la asignatura “ESTRUCTURAS I” de la FAU-UNNE)

Losa “C”:As necesario = 0.57 cm2 < As mín As mín= 1 φ 6 c/ 20 cm = 1.41 cm2 Esta armadura también en la otra dirección como repartición τ = 440 / (100 cm * 9.8 cm * 0.95) < τ011 (3.5 Kg/cm2)

Losas “A”: As necesario < As mín As = 1 φ 6 c/ 20 cm = 1.41 cm2 Esta armadura también en la otra dirección como repartición τ < τ011 (3.5 Kg/cm2)

Losas “B”: As necesario < As mín As = 1 φ 6 c/ 20 cm Esta armadura en ambas direcciones. τ < τ011 (3.5 Kg/cm2)

CONSIDERACIÓN: no se tuvo en cuenta las descargas de las losas “B” sobre las losas “A” y “C”, pues éstas últimas están con una inclinación diferente, (en otro plano), generándose así un “borde” o “arista”, el cual transmite directamente las reacciones de “B” hacia el tabique vertical de apoyo. La “arista” trabaja estructuralmente como una “estructuras plegadas”. Todas las armaduras están en posición inferior, (tracción inferior, en losas simplemente apoyadas), no requiere una disposición especial de armado en las aristas de encuentros, ya que éstas no son nudos transmitiendo flexión, en este caso analizado.


0,90

3,17

0,80

2,37

0,80

1º·al 2º nivel Ve2

A

A

Ejemplo 2:

Escalera de dos tramos por nivel, con descanso intermedio. Debido al diseño (sin vigas laterales longitudinales) se apoyará en la dirección más desfavorable: la mayor luz longitudinal.

Los apoyos son: a) en las vigas V2, V3,etc. que apoyan en las columnas C1 y C3 b) en las vigas Ve1, Ve2 etc. que apoyan en las columnas C2 y C4 Esto sería porque la escalera hacia los costados no tiene paredes sino barandas de vidrio y está situada en el exterior del edificio y se pretende que se vea el perfil de la misma, sin vigas de apoyo.


CORTE TRANSVERSAL

+1,68

+0,15

+3,36

+5,04

+6, 72


0,80 0,80 2,37

1,68

A

B

C

D Altura entre niveles: 3,36 m.

Losas “E1” con α = 35°19’52”Desnivel losa “E1”: 1,68 m (con 9 escalones)

Contrahuella: 0,187 m

0,100 m

Huella: 0,296 m

Apotema triáng =0,171 m

A / 2 = 0.086 m,

α = 35°19’52”

GEOMETRÍA DE LA ESCALERA “E1”:

Materiales: acero βs = 4200 Kg/cm2 - Hormigón σβCN = 170 Kg/cm2

Análisis de carga:

Losa “E1” (escalera): Espesor losa = 0,10 m. (más escalones) Peso Propio ((espesor losa + A/2) * peso específico Hº) = 446 Kg/m

Carpeta mortero fijación (cemento + piso) = 180Kg/m

Peso propio en proyección inclinado: = 626 Kg/m Peso propio en proyección horizontal: (626 Kg/m / cos α) = 767 Kg/m Sobrecarga = 300 Kg/m

Carga Total en proyección horizontal: qTOTAL = 1.067 Kg/m


Se considera únicamente a la componente normal a la escalera (qNORMAL = QTOTAL * cos α), pues es un sistema continuo: la componente tangencial a la misma produce acciones en los tramos del descanso. LOSA “E1” (descansos)

Espesor losa = 0,10 m. Peso Propio losa Hº Aº = 240 Kg/m

Carpeta mortero fijación + piso = 20 Kg/m

Peso Propio Total = 260 Kg/m Sobrecarga = 300 Kg/m

Carga Total qTOTAL = 560 Kg/m

ESTADO DE CARGAS POR TRAMO Y DEFORMACIÓN DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES

qNORMAL = q total * cos α

qTOTAL

560 Kg/m

560 Kg/m

1067 Kg/m

1.19

1.94

X =1,453 m

Deformada

componente tangencial


Diagrama de esfuerzos de corte

Diagrama de esfuerzos normales

CÁLCULO DE REACCIONES DE APOYO: ∑MA = 0 ∑MA = (0.56 Tn/m * (0.8 m)2 / 2) + (1.067 Tn/m * cos α * 2.37 m * ((2.37 m /2) + 0.80 m)) + (0.56 Tn/m * 0.80 m * ((0.80 m /2)

+ 2.37 + 0.80 m)) – (RB * 3.97) = 0 => RB = 1.71 Tn ∑MB = 0 ∑MB = (-0.56 Tn/m * (0.80 m)2 / 2) + (-1.067 Tn/m * cos α * 2.37 m * ((2.37 m /2) + 0.80 m)) + (-0.56 Tn/m * 0.80 m * ((0.80 m

/2) + 2.37 +0.8 m)) + (RA * 3.97) = 0 => RA = 1.71 Tn

Cálculo de esfuerzos de corte: ∑Qizq C = (0.56 Tn/m * 0.80 m) – RA = 1.26 Tn (tramo horizontal)

1.26

1.03

1.71

-0.73

+0.73


Cálculo de esfuerzos de corte en tramo inclinado (a la derecha de “C”):

∑Q der C =

∑Q der C = + (RA * cos α) − (0,56 Tn/m * 0.80 m * cos α) = 1.03 Tn

Cálculo de “X”:

X = por simetría, en la mitad del tramo inclinado = 1.453 m

Cálculo de “Mmáx”:

∑Mizq C = ∑Mder C = (Ra * 0.80 m) – (0,56 Tn/m * (0.80 m)2 / 2) = 1.19 Tn.m

∑MX = (RA * cos α) * ((0.80 m * cos α ) + X) + (RA * sen α * 0.80 m * sen α) - 0.56 Tn/m * cos α * (X + (0.80 m * cos α)2 / 2) –

(0.56 Tn/m * sen α * 0.80 / 2 * sen α) - 1.067 Tn/m * cos α * (X)2 / 2 = 1.94 Tn.m

∑Mder C = ∑Mizq D = (RB * 0,80 m) – (0,56 Tn/m * (0,80 m)2 / 2) = 1.19 Tn.m

CÁLCULO DE ESFUERZOS DE CORTE:

Cálculo de esfuerzos de corte en tramo inclinado (a la derecha de “C”): se los puede analizar para determinar dónde es mínimo el esfuerzo de corte y por lo tanto el máximo momento de flexión en el tramo inclinado, o bien considerar el máximo momento flector en la mitad de dicho tramo, por ser pequeña la variación.

α

RA

C


DIMENSIONAMIENTO:

(Según metodología de cálculo explicada en la asignatura “ESTRUCTURAS I” de la FAU-UNNE).

En este caso, los escalones son perpendiculares a la dirección de la flexión, no colaboran en la absorción de los esfuerzos, se tiene en cuenta solamente la altura de la placa rectangular de la losa.

Losa “CD” (tramo inclinado): As necesario = 16.56 cm2/m ó bien 14.9 cm2 en los 90 cm de ancho As = 1 φ 12 c/ 7 cm = 15.83 cm2/m (13 φ 12 en los 0.9 m de ancho, la armadura total) Armadura en la otra dirección como repartición: As = 1 φ 6 c/ 20 cm

Losa “AC” (tramo horizontal) = Losa “DB” (tramo horizontal): As necesario = 8.77 cm2/m As = 1 φ 12 c/ 12.5 cm = 9.05 cm2/m (7 φ 12 en los 0.9 m de ancho, la armadura total) Armadura en la otra dirección como repartición: As = 1 φ 6 c/ 20 cm


0.80 0.80 2.37 A C

2.91 7φ 12

4 φ 12

3 φ 12

1 φ 6 c/20 cm

1.68

B

Nudo “D”

Nudo “C”

“B” “D”

“C” “A”

Ángulo Convexo reforzado con “RULOS”

Ángulo Cóncavo

2φ 12

DIAGRAMA DE DOBLADO DE LA ARMADURA RESISTENTE

OBSERVACIONES:

Nudo “D”: la tensión de compresión se produce en una arista con ángulo convexo > 180°, en estos casos, se debe disponer de armadura (“RULOS”) que envuelva dicha arista para evitar que se astille. Nudo “C”: la tensión de compresión se produce en una arista con ángulo cóncavo, en este caso se debe disponer también de armadura (BARRAS ADICIONALES) mínima: 1 φ 6 c/ 20 cm, para evitar que se astille. No es necesario disponer rulos como el nudo D, pero se debe anclar con ganchos la armadura detallada en color naranja si es que se suspende en el nudo para no tener dos cambios de dirección Tramo “CD” con un sector comprimido: se verifica que la tensión de compresión = 0,73 Tn/m / (1 m ancho * 0,10 m) = 0,73 Kg/cm2 es mucho menor que βR (140 Kg/cm2) => que se vuelve despreciable y no influye en el dimensionamiento.


Contrahuella:0,187 m

0,100 m

Huella: 0,268 m

Apotema triáng =0,165 m

A / 2 = 0.083 m,

Ejemplo 3: ESCALERA DE UN TRAMO POR NIVEL, CON DESCANSO INTERMEDIO.

Las losas de la escalera y del descanso son simplemente apoyadas en las vigas laterales longitudinales.

Los apoyos de las losas son las vigas de borde “VB”. Los apoyos de las vigas de borde son las vigas “V1” y “V2”.

Altura entre niveles: 3,36 m. Losas “E1” con α = 38°08’57” Desnivel losas “E1”: 1,68 m 8 escalones cada uno. (9 contrahuellas)

2.14

3.36

1.0 2.14

A

B

C D

10

10

10


Este caso, en la publicación “ESTRUCTURAS II”, se encuentra detallado el análisis de carga y de las solicitaciones en las losas, así como su dimensionado según similar principio utilizado en el ejemplo anterior.

CÁLCULO DE LAS VIGAS DE BORDE (VB)

VB en tramos inclinados: Reacción de (Le1 / cos α) = 302 Kg/m / cos α = 392 Kg/m (q) Dimensiones de la viga = 0.20 x 0.40: Peso propio (0.20 x 0.40 x 2400) / cos α = 122 Kg/m Carga media pared 0.20 m x 3 m / 2 x 1600) = 240 Kg/m Cargas en proyección inclinado = 754 Kg/m (tramos inclinado)

Carga Total VBTRAMO INCLINADO q = 754 Kg/m

VB en tramo horizontal: Reacción de Le2 = 280 Kg/m Dimensiones de la viga = 0.20 x 0.40: Peso propio (0.20 x 0.40 x 2400) = 192 Kg/m Carga media pared 0.20 m x 3 m / 2 x 1600)= 240 Kg/m Cargas = 712 Kg/m (tramo horizontal)

Carga Total VBTRAMO HORIZONTAL q = 712 Kg/m

0,55 m

0,15 m

0,20 m

0,40 m

0,20 m

q

RLe1 = 302 Kg/m

0,50 m

0,10 m

0,20 m

0,40 m

0,20 m


SOLICITACIONES EN VIGAS DE BORDE (VB) Las solicitaciones se obtienen de igual manera que en el EJEMPLO 3°, tratándose de un caso “ISOSTÁTICO” se plantean las ecuaciones de equilibrio:

Sumatoria de momentos igualados a cero Sumatoria de cargas igualadas a cero

1.76 Tn

DIAGRAMA DE ESFUERZOS DE CORTE

754 Kg/m

754 Kg/m

712 Kg/m 2.71 Tn.m

2.71Tn.m 2.78 Tn.m

DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES

RA = 2.23 Tn

RB = 2.23 Tn

0.23 Tn0.30 Tn

0.30 Tn0.23 Tn

1.76 Tn

-1.38 Tn

-0.18 Tn 1.38 Tn

0.18 Tn

DIAGRAMA DE ESFUERZOS NORMALES


3 φ 10

2 φ 12 C

D

2 φ 12

2 φ 12

DIMENSIONADO DE LA VIGA DE BORDE (VB)

Este caso, en la publicación “ESTRUCTURAS II”, se encuentra detallado el análisis de carga y de las solicitaciones en las losas, así como su dimensionado según similar principio utilizado en el ejemplo anterior.

Diagrama de doblado de armadura en las vigas de borde (VB)

OBSERVACIONES: 1) En el armado del nudo “C” se debe tener en cuenta que la tensión de compresión se produce en una arista con ángulo convexo

> 180°, en estos casos se debe disponer de armadura que envuelva dicha arista para evitar que se astille. Para ello utilizamos

toda la armadura: 2 φ 12 + 2 φ 12.

2) En el caso del nudo “D” la tensión de compresión se produce en una arista con ángulo cóncavo, en este caso se debe disponer

armadura y es suficiente una armadura mínima (3 φ 10, una barra para el centro y una para cada cara) para evitar que se astille.

3) La máxima tensión de compresión en el tramo comprimido “AC” es de σ = -1380 Kg / 1100 cm2 = -1,25 Kg/ cm2 Valor ínfimo

(0,97 %) en comparación con la tensión de rotura del hormigón βR = 140 Kg/ cm2 (βCN 170).

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