2.5. EL EXPERIMENTO DE 2.5. EL EXPERIMENTO DE DARCYDARCY

2.5.2. EJEMPLOS DEL CÁLCULO DE LA VELOCIDAD DE FLUJO DE 2.5.2. EJEMPLOS DEL CÁLCULO DE LA VELOCIDAD DE FLUJO DE AGUAS SUBTERRÁNEAS EN DOS DIMENSIONES AGUAS SUBTERRÁNEAS EN DOS DIMENSIONES

2.5.3. CONCEPTOS ADICIONALES DE FLUIDOS POTENCIALES 2.5.3. CONCEPTOS ADICIONALES DE FLUIDOS POTENCIALES

2.5.1. FORMA EXTENDIDA DE LA LEY DE DARCY 2.5.1. FORMA EXTENDIDA DE LA LEY DE DARCY

2.5.1. 2.5.1. FORMA EXTENDIDA DE LA LEY DE DARCYFORMA EXTENDIDA DE LA LEY DE DARCY El experimento de Darcy relaciona la descarga total El experimento de Darcy relaciona la descarga total QQ del del

gradiente de carga, el cual es gradiente de carga, el cual es h/l.h/l.

El factor de proporcionalidad es El factor de proporcionalidad es KAKA, donde , donde KK es la es la conductividad hidráulicaconductividad hidráulica y y AA es el es el área de la columnaárea de la columna por por donde el agua fluye.donde el agua fluye.

La La descarga especificadescarga especifica o o flujo volumétricoflujo volumétrico, es el fluido que , es el fluido que pasa a través del medio porosos en una sección de área pasa a través del medio porosos en una sección de área AA perpendicular al flujo por unidad de tiempo:perpendicular al flujo por unidad de tiempo:

Esta medida puede ser separada por Esta medida puede ser separada por dldl, por un cambio en , por un cambio en dh:dh:

A

Qq

dl

dhK

A

Qq

dl

dhKq

La ecuación anterior es una relación constitutiva y es equivalente al momento en la La ecuación anterior es una relación constitutiva y es equivalente al momento en la ecuación de balance.ecuación de balance.

La relación clásica entre la ecuación de momento de balance para un fluido en medios La relación clásica entre la ecuación de momento de balance para un fluido en medios porosos fue dada por Hubbert en 1954 y a partir de la derivación la ley de Darcy a porosos fue dada por Hubbert en 1954 y a partir de la derivación la ley de Darcy a través de la ecuación de Neiver-Stock, se llega a la expresión de flujo de un fluido en un través de la ecuación de Neiver-Stock, se llega a la expresión de flujo de un fluido en un material saturado:material saturado:

Donde el termino Donde el termino h es igual ah es igual a hgNdq 2

kz

hj

y

hi

x

hh

Figura 2.26. Definición esquemática del concepto de vector unitario

Hubbert definió el producto de Hubbert definió el producto de NdNd22 como la como la permeabilidad del mediopermeabilidad del medio (k), la cual depende de la geometría de los granos y representa la (k), la cual depende de la geometría de los granos y representa la conductividad hidráulica K como:conductividad hidráulica K como:

Si el medio es Si el medio es isotrópicoisotrópico se dice que se dice que KK es un escalar, pero si el medio es un escalar, pero si el medio es es anisotrópicoanisotrópico, entonces se tiene que adaptar el concepto de la , entonces se tiene que adaptar el concepto de la KK a a una matriz que contenga diferentes valores en diferentes puntos, los una matriz que contenga diferentes valores en diferentes puntos, los valores de la matriz se le llama tensorvalores de la matriz se le llama tensor

gk

gNdK 2

hKq

zz

yy

xx

K00

0K0

00K

K

zh

yh

xh

K00

0K0

00K

q

q

q

zz

yy

xx

z

y

x

Figura 2.27. Ilustración de los efectos de la litología en la conductividad

hidráulica cuando los ejes coordenados estas orientados igual a los estratos

Figura 2.28. Ilustración de los efectos de la litología en la conductividad

hidráulica cuando los ejes coordenados no estas orientados igual a los estratos

zh

yh

xh

KKK

KKK

KKK

q

q

q

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z

y

x

ÍndiceÍndice

Las dimensiones del vector de la Las dimensiones del vector de la descarga especificadescarga especifica qq es [L/T], esta no es [L/T], esta no es una medida de la velocidad del agua, sino es una medida del es una medida de la velocidad del agua, sino es una medida del volumen que pasa a través de una superficie de área volumen que pasa a través de una superficie de área AA en tiempo en tiempo TT dividido por el área dividido por el área AA y y TT..

Puesto que la porosidad es la relación de espacios vacíos y espacio Puesto que la porosidad es la relación de espacios vacíos y espacio total, el área del agua puede ser expresado como el área total total, el área del agua puede ser expresado como el área total multiplicado por la porosidad, así obtenemos la velocidad para una multiplicado por la porosidad, así obtenemos la velocidad para una partícula de agua en un medio poroso la cual se expresa con la relación:partícula de agua en un medio poroso la cual se expresa con la relación:

q

v

2.5.2. 2.5.2. EJEMPLOS DEL CÁLCULO DE LA VELOCIDAD EJEMPLOS DEL CÁLCULO DE LA VELOCIDAD DE FLUJO DE AGUAS SUBTERRÁNEAS EN DOS DE FLUJO DE AGUAS SUBTERRÁNEAS EN DOS DIMENSIONESDIMENSIONES

Figura 2.30. Experimento de flujo en espacio de dos dimensiones. El agua subterránea se mueve de derecha a izquierda a través de la caja llenada con arena. El nivel del agua

en la arena esta denotada por la elevación en los manómetros.

bxa)x(h

a0bah 3

311 Lbah

Resolvemos para obtener a y b

Tenemos

3ha 3113 Lhhb

Los sustituimos en la primera ecuación, tenemos que:

31313 Lxhhhh

De la ecuación anterior la localización de h=h2 y resolvemos para la posición x2 tenemos que:

3131322 Lhhhhx

X2

Si consideramos el problema como sistema de ecuaciones lineales tenemos que:

1111 cybxa)y,x(h

2222 cybxa)y,x(h

3333 cybxa)y,x(h

Para obtener los coeficientes b y c tenemos:

21323221

21323221

yyxxyyxx

yyhhyyhhb

21323221

21323221

xxyyxxyy

xxhhxxhhc

Habiendo obtenido los coeficientes, podemos determinar del gradiente:

Figura 2.30. Nodal arreglo para el uso aproximaciones algebraicas

en el cálculo de gradientes

El gradiente de aguas subterráneas esta dado por:

jy

hi

x

hh

bx

h

cy

h

Si tenemos Si tenemos

Figura 2.31. Ejemplo del problema mostrando el cálculo de la constante

de la línea de nivel estático y la resultante del vector velocidad

1000

1b

x

h

1000

1c

y

h

Para el triangulo inferior donde K=4ft/día:Para el triangulo inferior donde K=4ft/día:

004.0x

hKq xxx

004.0x

hKq yyy

Si la Si la =0.25, la velocidad es:=0.25, la velocidad es:

q

v

díaft)016.0,016.0(v1 díaft0226.v1

Para el triangulo inferior donde K=2ft/día:Para el triangulo inferior donde K=2ft/día:

002.0x

hKq xxx

002.0

x

hKq yyy

Si la Si la =0.25, la velocidad es:=0.25, la velocidad es:

q

v

díaft)008.0,008.0(v2 díaft0113.v 2 ÍndiceÍndice

2.5.3. CONCEPTOS ADICIONALES DE FLUIDOS 2.5.3. CONCEPTOS ADICIONALES DE FLUIDOS POTENCIALESPOTENCIALES

Revisando el concepto de fluido potencial, el cual esta Revisando el concepto de fluido potencial, el cual esta definido por la ecuación:definido por la ecuación:

Se remplaza la variable de presión por la variable p, y se Se remplaza la variable de presión por la variable p, y se introduce en la ley de Darcy:introduce en la ley de Darcy:

p

atmP

z

0z g

ddzh

p

atmP

z

0z g

ddzhKhKq

Para la evaluación posterior de la expresión es necesario Para la evaluación posterior de la expresión es necesario introducir una relación matemática que describe como introducir una relación matemática que describe como diferenciar una integral, la cual se le conoce como la regla de diferenciar una integral, la cual se le conoce como la regla de Leibnitz:Leibnitz:

Utilizando la regla de Leibnitz en la ecuación Utilizando la regla de Leibnitz en la ecuación qq, es igual a, es igual a

)x(b

)x(a

)x(b

)x(a a))x(a,x(fb))x(b,x(fd),x(fd),x(f

)x(p

)x(atmP

)x(z

)x(0z g

ddzK

)x(z

)x(0z 0z1z1dz1K

)x(P

)x(Patm

atm

atm

Pg

P

Pg

P

g

dK

Si las condiciones iniciales zSi las condiciones iniciales z00=0 y P=0 y Patmatm=0 entonces:=0 entonces:

Pg

PzKq

PzPgPg

Kq

ÍndiceÍndice