1.4 Planteamiento de ecuaciones diferenciales

1.4.1. Operadores diferenciales

Un operador diferencial es una regla L que usa derivadas para asignar una función L() a todafunción suficientemente diferenciable . A la función L() se le llama imagen de bajo L.

Ejemplo

Sea el operador diferencial definido por

L = 2

2+ 16 (1.330)

Este operador es una regla que indica que la salida de calcula a partir de la entrada como la

segunda derivada sumando 16 veces la función de entrada. Por ejemplo, sea 1 = 5, 2 = cos 5

L (1) =25

2+ 255 = 505 (1.331)

L (2) =2 cos 5

2+ 25 cos 5 = 0 (1.332)

Por tanto, la imagen de 1 bajo L es la función 505 y de la 2 es la función cero.

Utilizando la notación

=

; 2 =

2

2; =

(1.333)

una EDO lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes 00 + 0 + = 0, el

operador diferencial de segundo orden es

L = 2 + + = 0 (1.334)

donde es un operador identidad definido como = , por lo que se puede escribir una EDO

como

L () =¡2 + +

¢ = 0 (1.335)

= 2

2+

+ = 0 (1.336)

Se define al operador nabla ∇ como:

c°Gelacio Juárez, UAM 68

1.4 Planteamiento de ecuaciones diferenciales

∇ =

⎡⎢⎢⎣123

⎤⎥⎥⎦ (1.337)

Los operadores que mapean vectores a vectores generalmente se representan por símbolos mayús-

culos negritos. El operador nabla aplicado a una función escalar, (1 2 3), proporciona el

gradiente de dicha función.

∇ = grad =

⎡⎢⎢⎣123

⎤⎥⎥⎦ (1.338)

El divergente de un tensor de primer orden se obtiene mediante el producto punto con el operador

nabla:

∇ · u = divu = =1

1+

2

2+

3

3(1.339)

El divergente de un tensor de primer segundo orden proporciona un vector:

∇ · σ = divσ = σ =

⎡⎢⎢⎣111

+ 122

+ 133

211

+ 222

+ 233

311

+ 322

+ 333

⎤⎥⎥⎦ (1.340)

Tarea

Aplique el operador diferencial a las funciones dadas,

L = ( − )2 , , , sin

L = ¡82 + 2 − ¢2, cosh 1

2, sin 1

2, 2

L = ( − 4)2 ( + 3) , 3 − 2, sin 4

Determine el operador diferencial L de las siguientes ecuaciones,

2 ()

2+ () = 0; L ( ())

4 ()

2− () = 0; L ( ())

()

− () = 0; L ( ())

()

− () = 0; L ( ())

c°Gelacio Juárez, UAM 69

1.4 Planteamiento de ecuaciones diferenciales

1.4.2. Existencia y unicidad: Wronskiano

Definition 5 El Wronskiano. Suponga que cada una de las funciones 1 (), 2 (), . . . ()

poseen − 1 derivadas al menos. El determinante

(1 2 ) =

¯¯¯

1 2

01 02 0...

......

(−1)1

(−1)2

(−1)3

¯¯¯

donde las primas representan las derivadas, es el wronskiano de las funciones.

Theorem 6 Criterio para soluciones linealmente independientes

Sean soluciones, 1, 2, . . . de una ecuación diferencial lineal, homogénea y de orden n, en

un intervalo I. Entonces, el conjunto de soluciones es linealmente independiente en I si y sólosi

(1 2 ) 6= 0

para el intervalo.

2

2− 5

+ 6 = 0 (1.341)

Ejemplo. La función () = 22 + 2

3 es solución de la ecuación diferencial homogénea

− 50 + 6 = 0, definida en la ec. (1.249) en el intervalo (−∞∞). Para corroborar que lassoluciones son linealmente independientes en todos los reales o en todo R. Se puede corroborar

con el wronskiano

¡2 3

¢=

¯¯ 2 3

22 33

¯¯ = 332 − 223 = 5 6= 0

para toda x. Concluyendo que forman un conjunto fundamental de soluciones y , en conse-

cuencia es la solución de la ecuación en el intervalo.

Ejemplo. La función () = (1 + 2) es solución de la ecuación diferencial homogénea

− 20 + 1 = 0, definida en la ec. (1.259) en el intervalo (−∞∞). Para corroborar que lassoluciones son linealmente independientes en todos los reales o en todo R. Se puede corroborar

con el wronskiano

¡2 3

¢=

¯¯

+

¯¯ = 2 + 2 − 2 = 2 6= 0

para toda x. Concluyendo que forman un conjunto fundamental de soluciones y , en conse-

cuencia es la solución de la ecuación en el intervalo.

c°Gelacio Juárez, UAM 70

1.4 Planteamiento de ecuaciones diferenciales

Ejemplo. La funcion () = ¡1 cos

√2+ 2 sin

√2¢es solución de la ecuación diferencial

homogénea − 20 +3 = 0, definida en la ec. (1.259) en el intervalo (−∞∞). Para corroborarque las soluciones son linealmente independientes en todos los reales o en todo R. Se puede

corroborar con el wronskiano

¡2 3

¢=

¯¯ cos

√2 sin

√2

cos√2−√2 sin√2 sin

√2+

√2 cos

√2

¯¯

=√22 cos2

√2+

√22 sin2

√2 6= 0

para toda x. Concluyendo que forman un conjunto fundamental de soluciones y , en conse-

cuencia es la solución de la ecuación en el intervalo.

Tarea

Encuentre la EDO homogénea para la cual las funciones dadas son soluciones y muestre la

independencia lineal.

() = 105 + 2

−05

() = (1 + 2)

() = − (1 cos 08+ 2 sin 08)

c°Gelacio Juárez, UAM 71