5/10/2018 Ejemplo de una demostraci n por contradicci n - slidepdf.com

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Ejemplo de una demostración por contradicción

Llamada también demostración al absurdo  

Demostración de la afirmación 

Antes de demostrar esto debemos tener claro que existen ciertos axiomas que nos permitirán, en

este caso, demostrar nuestra afirmación. Dado que nos basaremos en axiomas, tenemos que

nuestra demostración (siendo cada paso lógico correcto) es verdadera.

Usaremos los siguientes axiomas de los números reales: 

Ax1.

Ax2. Si y , con a,b,c reales. Entonces

Asumidos ciertos estos axiomas podemos comenzar con nuestra demostración.

Supongamos por un momento, contrariamente a lo esperado que, y veamos

que llegamos a una contrdicción. Puesto que

, aplicando el axioma Ax2 al multiplicar por 1 (que es menor que cero), tenemos

que

, lo cual es una contradicción.

Como nuestra hipótesis era que , y ésta es falsa, lo único que ahora

podemos decir es que . Pero el axioma Ax1 dice que la única

posibilidad donde no existe contradicción es que efectivamente

Luego

Razonamiento

Es claro que lo que debemos tener es una contradicción. Para ello,

primero debemos plantear una hipótesis, y comprobar si es cierta o no.

De no serla nos conducirá a una contradicción. Debe tenerse claro que

nuestra hipótesis comienza cuando decimos que 1 es menor que cero y

no en los axiomas mencionados anteriormente (porque éstos están ya 

demostrados o bien, asumidos ciertos y no requieren, por lo tanto,

mayor análisis). Como sabemos que la afirmación "'1 es menor que 

cero " es falsa, debiéramos llegar a una contradicción. Pero no basta

sólo con saberlo, ya que debe ser demostrado.

Nuestra hipótesis fue que uno era menor que cero y, luego de ciertos

pasos lógicos correctos usando los axiomas, concluimos que uno era

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mayor que cero, lo cual claramente no puede ser cierto, ya que por

la ley de tricotomía, dos números reales deben cumplir una y sólo una

de las siguientes relaciones

; o bien ,

pero nunca dos ni tres juntas. Luego, como nuestra hipótesis nos

conduce a una contradicción, es falsa, y debemos considerar

todas las posibilidades, menos esa. Esto es: como uno no es 

menor que cero , debe, necesariamente, ser mayor o igual que

éste (cero). Pero el axioma primero dice que uno es distinto de

cero, por lo que sólo queda la opción de que 1 sea mayor que cero

Razonamiento incorrecto

Un error común entre quienes comienzan el estudio de estasmaterias, es el de pensar que han llegado a una contradicción sin

haberlo hecho. Por ejemplo: Suponen que:

, Luego sumando (-1) a ambos lados

lo cual es una contradicción ya que .

Este razonamiento tiene un error, ya que no llegamos a

una contradicción. Nuestra hipótesis era que 1 era

menor que cero y por lo tanto, con los procedimientos

realizados , que es verdadero. En esta

caso la afirmación es falsa.

Nótese que para llegar a una contradicción debemos

tener lo siguiente:

Una afirmación P (en nuestra hipótesis) que diga

que ésta es cierta.

Una conclusión que diga que P es falsa.

Claramente ninguna afirmación puede cumplir con esto.En lógica esto la afirmación sería:

P es cierta y ~P es cierta, que se lee "P es cierta y no P

es cierta".

[editar]Ejemplo de una demostración porinducción

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Demostrar que

Demostración  

Debemos comprobar si la afirmación es cierta

para , ya que la sumatoria parte

desde .

Sea , entonces

.

y la afirmación es cierta para .

Supongamos ahora, que la afirmación es cierta

para un fijo, y veamos que sucede

para .

Por propiedad de las sumatorias tenemos que

como la afirmación es cierta para , tenemos que

ordenando

como es distinto de , pordemos simplificar y

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que es lo que queríamos demostrar.

Así, la afirmación también es verdadera para .

Luego, la afirmación es cierta para todo .

Razonamiento

El principio de Inducción dice que dada una

afirmación , esta es cierta sólo si se cumple que

es cierta

Si es cierta, entonces también

lo es.

Entonces, como nuestro es lo que queremos

demostrar, debemos ver si es cierta para su primer

término. En este caso para .

Nótese que no necesariamente nos debe quedar 1 en la

sumatoria. Lo que nos indica el es que

debemos ver si es cierta para el primer término. Como

la afirmación se cumplía para , el paso

siguiente era ver si, asumida cierta para , se cumplía

para . Así entonces, usamos lo que queremos

ver si es cierto en el único miembro de la izquierda de

nuestra ecuación. Luego aplicando propiedades de la

sumatoria, podemos descomponer la sumatoria en

partes y dejar lo que sabemos que es cierto, separado

de lo que se puede aplicar por definición. Sabemos que

es cierto para , por lo tanto el primer miembro del

lado derecho lo podemos sustituir, mientras que alsegundo miembro sólo aplicamos la definición de

sumatoria.

Luego, sumando las fracciones y agrupando,

concluímos que el primer miembro del lado izquierdo de

nuestra ecuación, se puede expresar como lo que

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queremos demostrar. Por lo tanto, concluímos que la

afirmación es cierta para .

[editar]Definición formal

En lógica matemática y en lógica proposicional, 

una demostración es una secuencia finita de fórmulas

lógicas bien formadas: 

tales que cada F i es o bien un axioma o bien

un teorema que se deduce de dos fórmulas

anteriores F  j y F k (tales que j<i y k<i ) mediante una regla

de deducción válida. Es decir,

Dada una demostración como la anterior si elemento

final F n no es un axioma entonces es un teorema.

Desde el punto de vista de loslenguajes formales el

conjunto de teoremas demostrables coincide con el

conjunto de secuencias de fórmulas bien formadas

sintácticamente bien formadas.