Ejemplos aplicando el Teorema de Bayes

La Textilera “Ecotexa”, compra un cargamento de telas de tres casas proveedoras.Un 30% de las telas se adquieren en “Casa Ochoa”, 20% a “Casa Textiles del Sur”, y el 50% sobrante a “Tituanatex”.Ecotexa posee información de las tres casas y sabe que 3% de la mercadería de “Casa Ochoa” son defectuosas, 5% de telas de “Casa Textiles del Sur” no son aceptables, y que 4% de telas de “Tituanatex” tienen algún tipo de defecto.Al llegar a bodega no son seleccionados y se toma un paquete de telas que resultan ser defectuosas. Cual es la probabilidad de que esta mercadería sea de “Casa Ochoa”?.

Probabilidades condicionales:P (B|A1) = (3/100)= 0.03 mercadería de “Casa Ochoa”, sea defectuosa.P (B|A2) = (5/100)= 0.05 mercadería de “Textiles de Sur”, sea defectuosa.P (B|A3) = (4/100)= 0.04 mercadería de “Tituanatex”, sea defectuosa.

La información se la pude resumir en la siguiente tabla:Evento Ai Probabilidad

a Priori, P(Ai)

Probabilidad condicional, P(B1|Ai)

Probabilidad conjunta, P(Ai|B1)

Probabilidad posteriori, P(Ai|B1)

“Casa Ochoa”

0.30 0.03 0.009 0.009/0.039=0.2308

“Textiles de Sur”

0.20 0.02 0.010 0.010/0.039=0.2564

“Tituanatex”0.50 0.05 0.020 0.020/0.039=0.5128

      0.39  

La probabilidad de que un paquete de telas que resultan ser defectuosas sea de “Casa Ochoa”, lo podemos encontrar aplicando el Teorema de Bayes. Se desea calcular P (A1|B1), donde A1 se refiere a Casa Ochoa, y B1 de que la mercadería resulte defectuosa.

P(A1 |B1) = P(A1)P(B1|A1)

P(A1)P(B1|A1) + P(A2) P(B1|A2) + P(A3) P(B1|A3)

= (0.30)(0.03) (0.30)(0.03)(0.20)(0.02)(0.50)(0.05)

= 0.009 = 0.2308

0.039

Nos podemos dar cuenta que nos proporciona el mismo resultado obtenido en la tabla anterior.

Evento Ai Probabilidad a Priori, P(Ai)

Probabilidad condicional, P(B1|Ai)

Probabilidad conjunta, P(Ai|B1)

Probabilidad posteriori, P(Ai|B1)

“Casa Ochoa”

0.30 0.03 0.009 0.009/0.039=0.2308

“Textiles de Sur”

0.20 0.02 0.010 0.010/0.039=0.2564

“Tituanatex” 0.50 0.05 0.020 0.020/0.039=0.5128

      0.39  

Ejemplo utilizando los Principios de Conteo

FÒRMULA DE LA MULTIPLICACIÓN

Ejemplo:Una inmobiliaria ofrece por $35.000,00 una casa de dos pisos, o simple. Además puede elegir el tipo de pago Crédito o Contado. Cuantos arreglos diferentes de casas y formas de pago puede hacer?.

SOLUCIÓN:

Contado Crédito Contado Crédito

Podemos utilizar la formula de la multiplicación para verificar, donde m es el número de modelos y n el tipo de pago.Total de arreglos posibles= (m) (n)= (2) (2)=4

FÒRMULA DE LA PERMUTACIÓN

Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes?

Aplicando la formula de la permutación tenemos:Ngr.= n! (n - R)! = 15! = 15*14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1

(15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1

= 32760

Donde:n= número total de objetosr= número de objetos seleccionados!= factorial, producto de los números naturales entre 1 y n.NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador.

FÓRMULA DE LA COMBINACIÓN

La Empresa “El Cafetal”, tiene vacantes cinco puestos de gerentes, y hay diez Ing. Agropecuarios listos para ocupar estas vacantes. De cuantos modos se pueden distribuir las cinco vacantes?Solución:

FÓRMULA: n C r = n! R!(n - r)!

= 10!

5!(10-5)!

= 1o! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1

5!(10-5!) 5*4*3*2*1(5*4*3*2*1)

= 30240 = 252 120Donde:n= número total de objetos.r= número de objetos seleccionados.