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MATEMÁTICA I

TRABAJO FINAL

A.- Introducción – Ítems del Informe Final

Detallar:

1. Consigna:

Se dispone de una chapa para la confección de una canaleta (zinguería). Analizar

los caudales máximos que admitirá de acuerdo a su diseño.

La modalidad de trabajo será grupal presencial (70%) y domiciliaria individual (el

otro 30%). Presencialmente, se dará libertad de discutir y debatir entre pares las

posibles funcionalidades, enfoques, construcciones o diseños que se les ocurran o

encuentren en la Web, luego se dividirán el estudio específico de los diferentes

diseños, para analizar la temática de optimización del caudal, en modalidad

domiciliaria individual.

En la modalidad presencial se enfatizarán los criterios de selección, búsqueda,

enfoque, desarrollo, y validez de las posibles herramientas, recorridos y trayectos

de aprendizaje. Domiciliariamente se dejará al alumno las tareas de

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profundización de desarrollos, demostraciones y uso de TIC como soporte de

cálculo, verificación y visualización.

El docente ocupará un rol de guía o tutor, y finalmente, será expositor en una

devolución global, institucionalizando los resultados y aportes de alumnos, que

considere relevantes para el enriquecimiento cognitivo del grupo.

2. Justificación de la Propuesta:

Principios Evidencias

Es una consigna “abierta”

Al no especificar el formato de la canaleta, ni las medidas ni formato de la chapa, el problema se vuelve abierto, en el sentido de multiplicidad de producciones posibles. Queda en manos de los alumnos, el análisis de los casos de inviabilidad, ya sea por falta de funcionalidad de la canaleta, dificultad de producción o por ausencia de convencionalidad. También es abierto el abordaje del problema, ¿lo harán de manera inductiva poniendo valores testigos y probando? ¿Lo harán de manera abstracta directamente nominando con parámetros y variables genéricas a las medidas del modelo? ¿Qué recurso utilizarán para visualizar? ¿Cómo hallarán el óptimo? ¿Utilizarán recursos concretos para fijar ideas en la creación de diseños? (Como podría ser una hoja en el caso de una chapa rectangular) También lo seleccioné porque tiene componentes geométricos, analítico/funcionales y se corresponde con una problemática real.

Las TIC actúan con recurso didáctico, no son el eje del problema.

El recorrido o trayectoria didáctica del problema enfatizará los contenidos matemáticos, en las áreas geométrica y analítica. Las herramientas informáticas servirán como “agilizadores” de cálculos y representaciones, generando producciones “visibles” y verificables de los desarrollos, demostraciones y argumentaciones, que sustenten los diferentes diseños creados.

Puede extenderse y da lugar a la elaboración de conjeturas.

El diseño “abierto” de la consigna, se complementa con la posibilidad de continuar creando más allá de la misma. Por ejemplo, luego de hallar los óptimos de los diferentes diseños, queda abierta la posibilidad para el alumno de intentar hallar regularidades, coincidencias, y patrones, entre ellos (¿La forma del valor que optimiza, está relacionado con el número de pliegues de la chapa?, Etc). O también analizar comparativamente los óptimos hallados (¿Cuál es el

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óptimo de los óptimos?, Etc).

Se da libertad en la elección de los recursos, para resolución de la problemática

No se especifica la metodología de producción y validación a utilizar. Puede ser numérica, por aproximación (planillas de cálculo), puede ser analítica por derivación (programas de cálculo), puede ser geométrica-analítica por valuación gráfica con uso de “deslizadores” (programas gráficos).

Se incentiva la participación activa del alumno en la construcción del aprendizaje.

El alumno investiga, selecciona, produce, y verifica su propia creación.

Propicia el aprendizaje significativo, por autoevaluación auto-reflexión.

El uso de TIC en el desarrollo de la problemática propuesta, provoca una mirada crítica ante los resultados obtenidos, y también, la asequibilidad de recursos, provoca el interés de “ir más allá”, dado que las herramientas informáticas lo permiten, de manera ágil y efectiva.

3. Estrategias que, estimamos, desplegará el alumno:

Erróneas:

Pedir más datos, pensando que la consigna está incompleta.

Modelizar sin considerar la multiplicidad de opciones que el problema

despliega.

Disminuir los grados de libertad de la problemática, dejando fijas algunas

variables y parámetros.

Llegar a relaciones equívocas entre las variables (restricciones del

problema de optimización).

Extraer conclusiones generales a partir de pocos casos particulares.

Aceptar aproximaciones con bajo grado de significación, como “buenas”

(muestras de tamaños pequeños, interpolaciones groseras, pasos

“grandes”).

Creer que los dibujos y gráficos “demuestran”, cuando sólo “muestran”.

Confiar y descansar demasiado en el potencial de las TIC (muy común ya

desde las calculadoras).

Ausencia de mirada crítica ante los resultados obtenidos.

Perder de vista la funcionalidad y el objetivo del diseño.

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Acertadas:

Buscar ayuda y ejemplos, en el docente, en pares, en la realidad, en libros,

en la Web.

Hacer explícitas sus dudas.

Descartar diseños complicados.

Hacer uso de las herramientas tecnológicas que les sean más “amigables”.

Pasar al campo de lo concreto y esquematizar cuando se les complica la

problemática.

Aceptar ayuda, compartir, colaborar, discutir, respetar opiniones.

Pensar con libertad.

Animarse a ir más allá de lo que existe

Soñar y crear, más allá del error.

2. Intervenciones Didácticas y Orientaciones:

Momento Didáctico De la Actividad

Intervención/Orientación

Introducción Invitar a la formación de equipos.

Entregar la consigna, leerla, incitar a la libertad de diseños.

Sugerir la búsqueda de productos existentes en el mercado del tipo “canaleta” o “zinguería”.

Señalar (no taxativamente) posibles utilitarios informáticos que servirán, a la resolución de cálculos y gráficos.

Señalar la posibilidad de utilizar material concreto para representar diferentes situaciones (Como podría ser una hoja en el caso de una chapa rectangular).

Desarrollo

(estas intervenciones son personalizadas,

se realizan cuando el caso lo requiera)

Diferenciar “Canaleta” de “Embudo” o “Campana”, a los fines de descartar formatos posibles, de la chapa que será nuestra materia prima.

Responder a las solicitudes de ayuda, en el uso de los recursos informáticos disponibles.

Insistir con las recomendaciones de: “Viabilidad del proyecto”, por simplicidad, funcionalidad e implementación.

Orientarlos en la búsqueda de simetrías, y regularidades para la vista del diseño y la facilidad de cálculos.

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Orientarlos en la búsqueda de dimensiones variables (las que optimizarán) y paramétricas (las que no influyen en la maximización del caudal).

Recordarles que están trabajando con medidas, es decir, una magnitud real.

Recomendar la fijación de parámetros, para un abordaje más amigable de la situación.

Intervenir en el caso de desacuerdos, en la división de tareas dentro del equipo.

Alentarlos a realizar un “diario” de la experiencia, dejando también registro de los casos desestimados, errores y rediseños, que surgieron a lo largo de su trabajo con la consigna.

“Destrabar” planteos matemáticos incompletos, erróneos, o desacertados.

Incentivar la mirada crítica sobre los resultados obtenidos, preguntarse ¿Por qué se obtuvo ese valor? ¿Qué nos dice? ¿Se puede extender el resultado a otros casos?

Cierre Se invita a los alumnos a realizar una puesta en común dentro de cada equipo, el docente responderá a las inquietudes que surjan, del tipo: ¿Qué se entregará? ¿En qué formato y soporte? ¿Quién se hará responsable de la recolección y entrega?

5. Puesta en común y Cierre:

(a) Dimensión Disciplinar (Matemática)

En el problema planteado se combina la geometría y el análisis matemático, el

alumno selecciona un formato geométrico como materia prima (chapa), la cual

posee ciertas dimensiones no especificadas pero fijas a lo largo de la construcción

de la canaleta, es decir que serán “restricciones” de nuestra creación.

La canaleta o zinguería se construirá por curvado ó plegado de la chapa, dando

origen a nuevos objetos geométricos, curvos, prismáticos, etc. Cada cuerpo

generado y cada decisión tomada en el diseño (prisma sin tapa, con tapa, etc.),

influirá en la modelización matemática y en el óptimo obtenido, porque la chapa a

utilizar ya está fija en el momento de la construcción.

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Será muy destacable que el alumno logre distinguir las dimensiones que influyen

en el óptimo de aquéllas que “si bien dejan pasar más agua”, no mejoran la

performance del diseño.

Por ejemplo, en la siguiente canaleta sin tapa, trapezoidal, el óptimo lo dará la

forma de plegar el “trapecio”, es decir “la vista transversal” de la canaleta, si bien

aumentando el largo de la chapa el caudal será mayor, el óptimo del diseño será

dado por el estudio del “corte transversal”, pues la chapa se considera, de

dimensiones “dadas”, al momento de la fabricación:

A su vez el plegado puede plantearse relacionando medidas lineales o angulares,

para determinar el formato del trapecio. También caben los planteos de simetrías

y asimetrías del corte, la discusión del tipo de trapecio, si es isósceles o no.

¿Qué otros plegados podríamos hacer con una chapa rectangular?:

Un pliegue:

Dos pliegues: El prisma trapezoidal anterior

Tres pliegues:

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N - pliegues: “Imaginarlo”

¿Existe relación en los valores que optimizan con la cantidad de plegados

realizados en el corte transversal de la canaleta?

¿Y si curvamos en lugar de plegar?

Cerrado:

Aquí el problema es cerrado, pues llevando el solapado de soldado al mínimo, el

caudal quedará fijo, dada la chapa rectangular a plegar.

Abierto:

Aquí el corte transversal se convierte en sectores circulares, y como cuerpo

responden al formato de “cilindros truncados longitudinalmente”. Ciertamente es

un diseño que promete todo un desafío matemático.

¿Y si la chapa original no es rectangular? ¿Si es circular? Aquí aparecen también

desafíos de cálculo y diseño. En general se genera una “campana” o “embudo”,

que geométricamente podemos definir como cono truncado:

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No corresponde a lo pedido (canaleta), pero habría que dejarles la inquietud de

posibles extensiones de la problemática.

Finalizado el estudio geométrico del diseño, se inicia el abordaje analítico.

Distinguiendo variables y parámetros, definiendo la función objetivo “caudal”. El

volumen de líquido se maximizará en la sección de mayor área, por lo tanto

existirá una segunda función objetivo “área sección transversal”, que es la que se

estudiará para hallar el óptimo deseado. La problemática está pensada para que

sean suficientes los contenidos de la asignatura “Análisis Matemático I”, es decir

funciones reales de una variable. Se deberán establecer las condiciones de

“ligado” entre variables, que darán origen a las restricciones bajo las cuales se

hallará el máximo.

También se podrá estudiar la posible existencia de patrones entre los valores de

las variables que maximizan y el procedimiento de fabricación del diseño (cantidad

de pliegues, por ejemplo).

(b) Estrategias

Serán resaltados en la puesta en común los diferentes pensamientos de abordaje

del problema:

¿Cómo se eligió la chapa inicial?: Formato, tamaño, etc.

¿Cómo se pensó el diseño?: Se investigó en la Web, se buscaron ejemplos en

casas reales, se ensayó con material concreto, etc.

¿Por qué se descartaron otros diseños?: Dificultad de fabricación, falta de

funcionalidad (por ejemplo en diseños asimétricos, en los cuales el agua se

derramaría de manera irregular), dificultad en cálculos matemáticos, etc.

¿Qué utilitarios informáticos fueron útiles a la hora de resolver la consigna?:

Graphmatica, GeoGebra, Excel, Mathematica, etc.

¿Cómo se utilizaron las herramientas informáticas?: A los fines de calcular,

verificar, graficar, modelizar, etc.

¿Se obtuvieron resultados sorprendentes?: Los valores hallados se corresponden

con nuestra lógica, que diseño se obtiene con los valores “límite” (dentro del rango

de las restricciones de cada modelo), se pueden deducir patrones, etc.

¿Qué contenidos matemáticos se pusieron en juego en el planteo y resolución de

la problemática?: Cuerpos y secciones transversales planas, fórmulas de área,

variables y parámetros, despeje de ecuaciones, dominio de funciones reales en

problemas concretos, derivación, extremos absolutos de una función, etc.

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¿Qué caminos de colaboración y producción conjunta desarrollaron?: Diferentes

sinergias detectadas, métodos colaborativos desarrollados (división de tareas,

resolución conjunta, unión de partes producidas, etc.).

¿Cómo plasmaron su producción y qué estrategias comunicativas seleccionaron

para la entrega final? Soporte rígido ó digital, producciones multimedia,

procesadores de texto, nubes en la web, manuscritos, etc.

(c) Fortalezas y Debilidades de las TIC

Fortalezas Debilidades

Facilidad y precisión en las representaciones gráficas de figuras, cuerpos, y funciones.

Pueden generar excesivas expectativas de logro.

Posibilidad de obtener información múltiple a partir de una construcción única.

Fomentan la imagen de infalibilidad en los resultados, cuando pueden existir errores de planteo o ejecución.

Exactitud en los resultados numéricos obtenidos.

Requieren un aprendizaje específico, previo a su uso.

Empatía de los estudiantes hacia las nuevas tecnologías.

Disminuyen la mirada crítica del alumno, ante los resultados obtenidos.

Favorece la construcción de nuevas estructuras cognitivas.

A veces obstaculizan los procesos de auto-reflexión del alumno. (Invisibilidad de los procedimientos subyacentes a la ejecución de sentencias).

Disponibilidad de múltiples ayudas y tutoriales online.

Puede generar dependencia (tecnológica).

Resume tiempos de cálculo, aumentando los tiempos de razonamiento.

Favorece el aprendizaje colaborativo.

Ayuda a la visualización y comunicación de conceptos.

B.- Un Recorrido Posible del Problema Planteado

Considerando una chapa rectangular, realizaremos diferentes cantidades de

pliegues simétricos, sin tapa, para observar los máximos que otorga cada caso.

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Caso 1. Un pliegue

El caudal de agua o volumen que soporta la canaleta es:

Como el largo de la chapa es fijo =L, la maximización dependerá del área de la

sección transversal, que es el área de un triángulo.

Como trabajamos plegando simétricamente, el triángulo formado será isósceles de

lado=A/2 y base=b. Los diferentes plegados harán variar la medida b, y en

consecuencia la altura h del triángulo.

Esquematizando para hallar relaciones entre las variables del problema (base y

altura), y “bautizando” algunas medidas para simplificar los planteos:

Tenemos el área de la sección transversal expresada como (es nuestra función

objetivo):

La relación entre las variables es pitagórica (es nuestra restricción):

√

Remplazando en la expresión del área, tendremos una función objetivo a maximizar de una variable real positiva:

( ) √ ( )

x

h

b = 2*x

A/2 = a

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Observemos que los valores extremos producen canaletas “no funcionales”, si x=0, la chapa está totalmente plegada y no produce circulación de agua (caudal =0), si x=a, la chapa se encuentra “totalmente abierta”, perdiéndose la funcionalidad del encauzamiento. Se encuentra el óptimo mediante la derivada primera de A(x), hallando la maximización del área transversal y por lo tanto del caudal volumétrico de nuestro diseño, obtenemos

una medida de plegado óptima1:

√

√ siendo A, el ancho de la chapa.

Los cálculos realizados en el programa Mathematica:

Observemos que como 2*arcsen(x/a) es el ángulo de plegado de la chapa, el óptimo ángulo de plegado es:

(

√ ) (

√ )

Sin importar el Ancho de la chapa, el mejor doblez será a 90° grados. La resolución analítica y gráfica realizada en el programa GeoGebra se muestra a continuación, además se ha compartido el archivo GeoGebra diseñado, y se puede ejecutar el applet en la dirección: http://www.geogebratube.org/student/m59876

1 Se trabajó con medidas lineales, pero el óptimo se pudo haber planteado con medidas angulares de

plegado, considerando el ángulo opuesto a la base b del triángulo.

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Caso 2. Dos pliegues

El caudal de agua o volumen que soporta la canaleta es:

Como el largo de la chapa es fijo =L, la maximización dependerá del área de la

sección transversal, que es el área de un trapecio.

Por condiciones de funcionalidad, el trapecio debe ser isósceles, para mantener la

simetría que impide el desborde irregular del agua. Para facilitar la fabricación,

plegaremos de tal manera que, las tres partes del ancho de la chapa midan lo

mismo, por lo cual la base menor medirá A/3, y la base mayor será la variable B.

Además, los diferentes plegados harán variar la base mayor B, y en consecuencia

la altura h del trapecio isósceles.

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Esquematizando para hallar relaciones entre las variables del problema (Base

mayor y altura), y “bautizando” algunas medidas para simplificar los planteos:

Tenemos el área de la sección transversal expresada como (es nuestra función

objetivo):

( )

( )

( )

( )

( )

La relación entre las variables es pitagórica (es nuestra restricción):

√

Remplazando en la expresión del área, tendremos una función objetivo a maximizar de una variable real:

( ) ( ) √ (

)

Observemos que los valores extremos producen canaletas “especiales”, si x = -b/2, la chapa está totalmente plegada y no produce un trapecio sino un triángulo (B=0), si x=b, la chapa se encuentra “totalmente abierta” (B=A), perdiéndose la funcionalidad del encauzamiento. Se encuentra el óptimo mediante la derivada primera de A(x), hallando la maximización del área transversal y por lo tanto del caudal volumétrico de nuestro

diseño, obtenemos una medida de plegado óptima2:

siendo A, el

ancho de la chapa. Los cálculos realizados en el programa Mathematica:

2 Se trabajó con medidas lineales, pero el óptimo se pudo haber planteado con medidas angulares de

plegado.

A/3 = b

x x

h

B = b+2.x

A/3=b

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Observemos que como 90°+arcsen(x/b) es el ángulo de plegado de la chapa, el óptimo ángulo de plegado es:

(

) (

)

Sin importar el Ancho de la chapa, el mejor doblez será a 120° grados. La resolución analítica y gráfica realizada en el programa GeoGebra se muestra a continuación, además se ha compartido el archivo GeoGebra diseñado, y se puede ejecutar el applet en la dirección: http://www.geogebratube.org/student/m59939

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Caso 3. Tres pliegues

En este momento debemos ponernos a pensar en el diseño, si vale el esfuerzo de

producción del triplegado, con respecto al beneficio en el aumento del caudal.

Por otra parte el aumento de números de plegado va otorgando un formato

“semicircular” de la canaleta.

También en los resultados anteriores observamos cierta “regularidad angular” en

los plegados óptimos.

En general, una de las más hermosas cualidades de la matemática es su

perfección. Las canaletas diseñadas encuentran su caudal óptimo, en un formato

“regular”, y es esperable que ese resultado se mantenga, aumentando la cantidad

de pliegues de la chapa:

Cantidad de Trozos

En los que se divide el Ancho A

de la chapa (Pliegues + 1)

Canaleta Óptima

(Mitad del polígono regular de 2*n lados)

Ángulo Interior del polígono regular de

2*n lados

2

90°

3

120°

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4

135°

……………….. ………………..

……………………..

n

( )

De acuerdo al cuadro anterior, el óptimo caudal de una canaleta de 3 pliegues,

será aquél que corresponde a un plegado de 135 °.

Y el óptimo caudal de una canaleta de x pliegues, se logrará con un plegado

de ángulo =