EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

• Función 1

96)(

2

2

x

xxxf

Tipo de función Racional

DominioSe excluyen las raíces

del denominador

1,1)(_ xfDom

),1()1,1()1,()(_ xfDom

EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

• Función

Continuidad g(x) no es continua

Existe una discontinuidad

x=1 y x=-1Estudiar el limite de

f(x) x=1

Discontinuidad de 1ª especie de salto infinito

1

96)(

2

2

x

xxxf

Discontinuidad de 1ª especie de salto infinito

Estudiar el limite de f(x)

x=-1

EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

• Función

Simetría

Par f(x) =f(-x)

Impar f(x) =-f(-x)

1

96)(

2

2

x

xxxf

1

96

1)(

9)(6)()(

2

2

2

2

x

xx

x

xxxf

)()( xfxf

)()( xfxf

f(x) no es simétrica

EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

• Función 1

96)(

2

2

x

xxxf

PeriodicidadPeriódica si se cumple

que: f(x) =f(x+T)

1)(

9)(6)()(

2

2

Tx

TxTxTxf)()( xfTxf

En nuestro caso g(x) no es periódica

EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

• Función

Asíntotas

Oblicuas

Horizontales

Verticales

Asíntota en y=mx+b, siempre que el grado numerador sea una

unidad mayor que el de denominador:

Las raíces del denominador que no lo

son del numerador

Asíntota en y=k, siendo k: kxfx

)(lim

y=mx+b es el cociente

1

96)(

2

2

x

xxxf

EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

• Función

Asíntotas VerticalesLas raíces del

denominador que no lo son del numerador

1012 xxLas raíces

del denominador 169)1(6)1()1(

49161)1(2

2

p

p

Las raíces del denominador no lo son

del numerador:

Asíntota vertical en: x=-1

1

96)(

2

2

x

xxxf

Asíntota vertical en: x=1

EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

• Función

Asíntotas Oblicuas

No hay ya que el grado del numerador es igual

que el del denominador

Horizontales

Asintota en y=k Asíntota

horizontal en y=1

1

96)(

2

2

x

xxxf

kxfx

)(lim

EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

• Función

Máximos y Mínimos

Primera derivada

1

96)(

2

2

x

xxxf

2

2

22

2323

22

22

)1(

6206)(

)1(

181226262)(

)1(

)96)(2()1)(62()(

x

xxxf

x

xxxxxxxf

x

xxxxxxf

I

I

I

EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

• Función

Máximos y Mínimos

Se iguala a cero la 1ª derivada

3

3/106206

)1(

6206)( 2

22

2

x

xxx

x

xxxf I

Puntos candidatos

Se calcula la 2ª derivada

Puntos candidatos

32

23

32

2323

32

22

42

2222

)1(

20366012

)1(

24802420201212)(

)1(

)6206(4)1)(2012(

)1(

)6206)(2)(1(2)1)(2012()(

x

xxx

x

xxxxxxxf

x

xxxxx

x

xxxxxxxf

II

II

1

96)(

2

2

x

xxxf

EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

• Función

Máximos y Mínimos

Se iguala a cero la 1ª derivada

Puntos candidatos

Se calcula la 2ª derivada

3x 3/1xPuntos candidatos

0).( candidatoptof II 0).( candidatoptof II

MAXIMO MINIMO

3x3

1x

1

96)(

2

2

x

xxxf

3

23

)1(

20366012)(

x

xxxxf II

EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

• Función 1

96)(

2

2

x

xxxf

MonotoníaMáximos y mínimos

Puntos no pertenecen al

dominio

Definen los

intervalos

Evaluar el signo de la 1ª derivada

0)( xf I 0)( xf I

Función g(x) decrece

Función g(x) crece

),3[]3/1,1()1,( ]3,1()1,3/1[

22

2

)1(

6206)(

x

xxxf I

EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

• Función

Punto inflexión

Cambio concavo a convexo o viceversa

22

2

)1(

6206)(

x

xxxf I

Igualar 2ª derivada a

cero

Comprobar 3ª

derivada distinta de cero

1

96)(

2

2

x

xxxf

3

23

)1(

20366012)(

x

xxxxf II

0203660120)1(

20366012)( 23

3

23

xxx

x

xxxxf II

x=4.4048 es punto de inflexión

EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

• Función

Puntos no pertenecen al

dominio

Definen los

intervalos

Evaluar el signo de la

2ª derivada

0)( xf II 0)( xf II

Función f(x) concava

Función f(x) convexa

]4048.4,1()1,(

Punto inflexión

Curvatura

),4048,4[)1,1(

1

96)(

2

2

x

xxxf 3

23

)1(

20366012)(

x

xxxxf II

EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

• Representación de la función 1

96)(

2

2

x

xxxf

EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL