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MB0005_M2AA2L1_Fracciones Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez

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Método de integración por fracciones parciales

Por: Sandra Elvia Pérez

• ¿Recuerdas que se te comentó que no existe una regla

general para resolver la integral de una función racional?

• Entonces, ¿cómo la resuelves?

Algunas funciones racionales muy específicas sí tienen reglas de integración como las que conociste en el primer módulo de este curso. Las que son muy parecidas a las fórmulas de integración directa, pero que por un detalle no pueden ser resueltas, se resuelven por el método de sustitución trigonométrica.

¿Cómo le haces con todas las demás?

Para ello acude al álgebra y dependiendo de qué tipo de fracción se tenga es el procedimiento a seguir:

• Si tienes la división de dos polinomios donde el grado del numerador es mayor al grado de denominador, se debe hacer una división entre polinomios.

• Si el grado del numerador es menor al grado del polinomio del denominador, se utiliza el método de

las fracciones parciales. Para poder aplicar este método se tienen 4 casos establecidos por la forma factorizada del denominador del integrando.


2


Caso 1 El denominador tiene solamente factores lineales que no se repiten.

Caso 2 El denominador tiene factores lineales que se repiten.

Caso 3 El denominador tiene factores cuadráticos que no se repiten.

Caso 4 El denominador tiene factores cuadráticos que se repiten.

Tabla 1. Cuatro casos establecidos por la forma factorizada del denominador del integrando. La tabla 2 muestra la forma que toma el integrando en cado uno de los cuatro casos y su descomposición en fracciones parciales.

Caso Forma inicial del Integrando

Representación en fracciones parciales

1

2

3

4

Tabla 2. Casos de Integración por fracciones parciales. Dependiendo del caso que te encuentres:

))()(()(

cxbxaxxP

−−− )()()( cxC

bxB

axA

−+

−+

−

naxxP)()(

− )(?.......

)()()( 21 axaxC

axB

axA

nnn −+

−+

−+

− −−

))(()(22 bxxaxxP

−++ )()( 22 bxxDCx

axBAx

−++

+++

naxxP)()(

2 + )(??....

)()( 2122 axx

axDCx

axBAx

nn ++

+++

+++

−

Primero se separa el integrando en fracciones parciales.

Posteriormente se procede a encontrar, aplicando métodos algebráicos, el valor de las constantes de los numeradores (A, B, C, D...)


3


A continuación se presentan algunos ejemplos. Caso 1. Ejemplo 1

Calcula la integral

Solución Comienza por factorizar completamente el denominador del integrando y queda:

Ahora que se tiene completamente factorizado el denominador, se puede observar que todos los factores son lineales y que ninguno se repite, por lo tanto, se trata de una integral del caso 1. Separando en fracciones parciales de acuerdo al caso 1, tienes:

El paso siguiente es determinar los valores de las constantes A, B y C. Para ello es necesario realizar la suma de fracciones y tienes:

Recuerda que una suma de fracciones se realiza de la siguiente forma:

1. Se determina el denominador común. En este caso, el denominador común es la multiplicación de los factores

lineales, es decir, 2. Dividir el denominador común por cada uno de los

denominadores y multiplicar por su numerador correspondiente. Esto se explica en la tabla 3.

∫ − 2x)32x(

x²+x³dx+

)1)(2(32x

)2(32x

2x32x

−−− x+xx+=

x+x²x+=

x²+x³+

12)1)(2(32x

)2(32x

2x32x

−−−− xC+

+xB+

xA=

x+xx+=

x+x²x+=

x²+x³+

( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )122112

1232x

−

−−

−+ x+xx+xxC+xxB+x+xA=

xxx+

( )( )12 −+ xxx


4


Dividiendo entre x, tienes:

Al multiplicar este resultado por A, se obtiene .

Dividiendo entre , tienes:

Al multiplicar este resultado por B, se obtiene .

Dividiendo entre , tienes:

Al multiplicar este resultado por B, se obtiene .

Tabla 3. División del denominador por cada uno de los denominadores.

Debido a que los denominadores son iguales, sólo se trabajará con los numeradores para hallar los valores de las constantes A, B y C.

Una forma de encontrar los valores de las constantes, es asignar a x valores adecuados que simplifiquen la ecuación. Los valores que se eligen son los que provocan que el denominador se haga cero; en este caso, los valores son, x=0, x=-2, x=1. Tienes:

Si

Por lo tanto:

Observa que el segundo y el tercer término se hacen cero al multiplicar por x = 0.

Si

Por lo tanto

En este caso, el término x-1 se hace 0, por lo que el primero y el segundo término se eliminan.

( )( ) ( )( )1212−+=

−+ xxxxxx

( )( )12 −+ xxA

( )2+x

( )( ) ( )1212

−=+

−+ xxx

xxx

( )( )1−xxB

( )1−x

( )( ) ( )2112

+=−

−+ xxxxxx

( )( )2+xxC

( )( ) ( )( ) ( )( )211232x +xxC+xxB+x+xA=+ −−

0=x

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2001001020302 +C+B++A=+ −−

( )A

A=2323

−=

−

23−=A

1=x

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2111111121312 +C+B++A=+ −−

( )35 C=

35=C


5


Si

Por lo tanto:

En este caso, el término x + 2 se hace cero, por lo que el primero y el tercer término desaparecen.

Tabla 4. Denominador que se hace cero al usarse los valores x = 0, x = -2, x = 1.

Sustituyendo los valores de A, B y C en integrales separadas, tienes:

Sacando las constantes de las integrales queda:

Observa que las tres integrales resultantes se pueden resolver mediante la aplicación de la fórmula:

Por lo que la solución final de la integral es:

2−=x

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2221221222322 +C+B++A=+ −−−−−−−−−

( )61 B=−

61−=B

( )∫∫∫∫ −

−−

− 135

261

23

2x32x

x

dx+

+x

dx+

x

dx=

x²+x³dx+

( )∫∫∫∫ −

−−− 13

526

123

2x32x

xdx+

+xdx+

xdx=

x²+x³dx+

( ) | | | | | | C+x++xx=x²+x³dx+ ln1ln

352ln

61ln

23

2x32x

−−−

−∫


6


Aunque al inicio el método puede parecer laborioso, una vez que se han determinado las constantes de las fracciones parciales, las integrales se resuelven, por lo general, aplicando las fórmulas de integración de forma directa.

Caso 1. Ejemplo 2

Encuentra el resultado de integrar

Solución Dado que el denominador se factoriza en , la descomposición en fracciones parciales nuevamente corresponde con el caso 1 y así:

Realizando la suma de fracciones de la misma forma que en el ejemplo anterior, obtienes:

Considerando sólo los numeradores, tienes:

Recuerda que x debe igualarse con los valores que hacen cero el denominador común, sustituye x = 3 y x = -2 para obtener los valores de A y B.

( )( )

dxxx²∫ −−−613x

( )( )32 −x+x

( )( )( ) ( ) ( )3232

13x−−

−xB+

+xA=

x+x

( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )32

233232

13x−+++−

=−−

−xxxBxA

xB+

+xA=

x+x

( ) ( )2313x +xB+xA= −−


7


Para x = 3

Para x = -2

Sustituyendo los valores encontrados de A y B:

Integrando:

En esta integral nuevamente se utilizó la fórmula:

Caso 2. Ejemplo 1

Encuentra

Solución

En este caso, el denominador ya está factorizado, pero el término 𝑥 − 1 ! indica que el factor lineal 𝑥 − 1 se repite dos veces, por lo que se trata del caso 2. Al separar el integrando de acuerdo a este

caso, se obtiene:

( ) ( ) ( )

5858519

2333133

=

=

=−

−−

B

BB

+B+A= ( ) ( ) ( )

5757516

2232123

=

−=−

−=−−

−−−−−

A

AA

+B+A=

( )( )

( )( )( ) 3

58

257

3213x

613x

−−

−

−−

−

x+

+x=

x+x=

xx²

| | | | C+x++x=dxx

+dx+x

=dxxx²

3ln582ln

57

31

58

21

57

613x

−−−−

−∫∫∫

( )( )dx

x+x+

∫ −−

²13138x3x²


8


Al realizar la suma de estas fracciones, se tiene:

Considerando sólo los numeradores:

Sustituyendo y para determinar los valores de las constantes tienes:

Para

Para

Ahora que ya has determinado los valores de las constantes A y C, puedes determinar el valor de la constante B asignándole el valor cero a la variable x (x=0) y sustituyendo los valores conocidos de A y C como sigue:

Para

( )( ) ( )²113²13138x3x²

−−−−

xC+

xB+

+xA=

x+x+

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( )²13313B²1A

²113²13138x3x²

−++−++−

=−−−

−x+x

xCxxxxC+

xB+

+xA=

x+x+

( ) ( )( ) ( )313²1138x3x² +xC+x+xB+xA=+ −−−

1=x 3−=x

1=x

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

24848

4001383311131²111318²13

==

=

++=+−

−−−

C

CC

+C++B+A=+

3−=x

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

416641664

16132427004132493

331133²131338²332

==

=

=++

++−=++

−−−−−−−−

A

CAA

+C++B+A=+

2;4;0 == CA=x( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

13333

36413613413

3021030²1041308²03313²1138x3x²

−=−

=

−=

−=−−

+−+=

−−−

−−−

B

BB

B+++B+=++xC+x+xB+xA=+


9


Sustituyendo los valores de las constantes A = 4, B = -1, C = 2 en las fracciones parciales iniciales, tienes:

Las dos primeras integrales nuevamente se resuelven aplicando la fórmula:

La integral se resuelve aplicando , esto es:

El resultado final de la integral queda:

Caso 3. Ejemplo 1

Calcula la integral

( )( ) ( )

( )( ) ( )∫∫∫∫

∫∫∫∫

−−−

−−

−−−

+−

−

²12

134

²13138x3x²

²12

11

34

²13138x3x²

xdx+

xdx

+xdx=dx

x+x+

xdx+

xdx

+xdx=dx

x+x+

( )∫ − 21xdx

∫ +++

= Cnuduun

n

11

( )( ) ( ) ( )

( )( ) C

xx

xdx

xxdxxxdx

+−

−=−−=−

−−

=

+−−

=−=−

∫

∫ ∫

−

−+−−

1212

12

112

121212

12

12

1122

2

( )( )| | | | C+

xx+x=dx

x+x+

121ln34ln

²13138x3x²

−−−−

−−

∫

∫ +++ dxxxxx81652

3

2


10


Solución La factorización del denominador es:

En donde se observa que se tiene un término lineal y un término cuadrático único. Este ejemplo cumple con el caso 3 porque sólo aparece un término cuadrático. Su descomposición en fracciones parciales queda de la siguiente forma:

Observa que el término lineal x se maneja de igual forma que los casos 1 y 2, por lo que su fracción parcial se forma colocando en el numerador la constante A. Para el término cuadrático 𝑥! + 8, el numerador tiene la forma 𝐵𝑥 + 𝐶. Realizando la suma de fracciones obtienes:

Trabajando sólo con los numeradores, tienes:

Para encontrar los valores de las constantes A, B y C para este ejemplo, utilizas otro método que consiste en igualar los coeficientes de los términos del mismo grado. El primer paso es ordenar los términos de acuerdo al exponente de x, y queda:

En caso de que más de un término contenga un término en x del mismo exponente, éste se factorizan, por lo que:

Una vez que se ha realizado este acomodo, se igualan los coeficientes de los términos del mismo orden.

)8(8 23 +=+ xxxx

( )∫ ∫∫ ++

+=+++

881652

22

2

xCBx

xAdx

xxxx

( ) ( )88

881652

2

22

22

2

++++

=++

+=+++

xxCxBxAAx

xCBx

xA

xxxx

CxBxAAxxx +++=++ 222 81652

ACxBxAxxx 81652 222 +++=++

( ) ACxBAxxx 81652 22 +++=++


11


• ¿Cuál es el coeficiente del término x2 del lado izquierdo de

la ecuación? • ¿Cuál es el coeficiente del término x2 de lado derecho?

Los coeficientes del término x2 son 2 y (A + B) respectivamente.

Para que se cumpla la ecuación, los coeficientes de los términos del mismo orden deben ser iguales, por lo anterior se forman las siguientes ecuaciones: 2 = 𝐴 + 𝐵 5 = 𝐶 16 = 8𝐴 El paso siguiente es resolver este sistema de ecuaciones y tienes:

𝐶 = 5, 𝐴 =168= 2

Sustituyendo 𝐴 = 2 en la primera ecuación para hallar el valor de B, se obtiene:

2 = 2 + 𝐵 𝐵 = 2 − 2 = 0

Ahora que ya tienes los valores de las constantes A, B y C, la integral queda:

Observa que en la integral , se aplicó la fórmula .

( )( )

( )

( )∫

∫ ∫∫

∫ ∫∫

+=+++

++=

+++

++

+=+++

8arctan815ln2

81652

852

81652

8502

81652

2

2

22

2

22

2

xxdxxxxx

xdx

xdxdx

xxxx

dxxxdx

xdx

xxxx

∫ +85 2x

dx∫ +=

+C

au

auadu arctan1

22


12


El resultado final de la integral es:

Caso 4. Ejemplo 1

Calcula la integral

Solución El término cuadrático no se puede factorizar en factores lineales reales y, debido al exponente 2 aparece repetido, este ejemplo corresponde con el caso 4. La descomposición en fracciones parciales queda:

Realizando la suma de fracciones se obtiene:

Trabajando sólo con los numeradores y ordenando los términos del lado derecho de la ecuación, se toma como referencia el exponente de las x’ s, y se obtiene:

( )∫ +

+=+++ Cxxdx

xxxx

8arctan85ln2

81652

2

2

( )∫+

22

3

46xdxx

( ) ( ) ( )4446

22222

3

++

++

+=

+ xDCx

xBAx

xx

( ) ( ) ( )( )( )( )

( ) ( )22

23

22

3

22

2

22222

3

444

46

44

4446

+

+++++=

+

+

++++=

++

++

+=

+

xDCxDxCxBAx

xx

xxDCxBAx

xDCx

xBAx

xx

( ) ( )

( ) DBxCADxCxxDBCxAxDxCxx

xDCxDxCxBAx

xx

446446

444

46

233

233

22

23

22

3

+++++=

+++++=

+

+++++=

+


13


En esta última expresión, observa que los coeficientes del término x3 son 6 y C, pero ¿cuáles son los coeficientes del término x2? Debido a que del lado izquierdo de la ecuación no aparece ningún término que contenga a x2, su coeficiente es cero; lo mismo aplica para el término en x al igual que para el término independiente. Al igualar todos estos coeficientes se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Como C = 6 de la tercera ecuación A = -4C = -24. De igual forma, debido a que D = 0, de la cuarta ecuación B = 0. Con los valores de todos los coeficientes, la integral descompuesta en fracciones parciales es:

La integral:

Se resuelve aplicando la fórmula:

Tomando u = x2 + 4, du = 2xdx. Sólo falta completar el du con un 2. El resultado de esta integral es:

DBCA

DC

4040

06

+=

+=

=

=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )dxxxdx

xx

xdxx

dxxxdx

xx

xdxx

∫∫∫

∫∫∫

++

+−=

+

++

++

+−=

+

46

424

46

406

4024

46

22222

3

22222

3

( )( )∫ ∫

−+−=

+− xdxxdx

xx 22

22424

424

( ) ( )

( ) ( ) Cx

xxdxx

xdxxxdxx

++

=−+

−=+

+

−=+−

−−

−−

∫

∫∫

412

14124

242124424

2

1222

2222


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La integral:

Se resuelve aplicando la fórmula:

Tomando u = x2 + 4, du = 2xdx. Sólo falta completar el du con un 2. El resultado de esta integral es:

El resultado final de la integral es:

Bibilografía

Leithold, L. (1987). El Cálculo con Geometría Analítica (5ª. ed.; J. C. Vega, Trad.) México: Harla.

Purcell, E. J. & Varberg, D. (2000). Cálculo Diferencial e Integral (6ª. ed.; E. de Oteyza, Trad.). México: Prentice Hall.

Smith, R. T. & Minton, R. B. (2000). Cálculo Tomo 1 (H. A. Castillo y G. A. Villamizar, Trads.). México: McGraw-Hill.

Stewart, J., Redlin, L. & Watson, S. (2001). Precálculo. Matemáticas para el cálculo (3ª. ed.; V. González y G. Sánchez, Trads.). México: Internacional Thomson Editores.

( )dxxx

∫ + 46 2

( ) ( )

( ) Cxxxdx

xxdx

xxdx

++=+

+

=+

∫

∫∫

4ln34

6

42

216

46

22

22

( ) ( ) ( )

( )Cx

xxdxx

dxxxdx

xx

xdxx

++++

=+

++

+−=

+

∫

∫∫∫

4ln34

124

6

46

424

46

2222

3

22222

3

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