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Material desarrollado porProf. Juan Víctor Retamal vretamal@unet.edu.veIng. Carmen Saldivia Luongo csaldiva@unet.edu.ve

Universidad Nacional Experimental del Táchira2011

Dos monedas reposan sobre una mesa, con una separación de 1.5 m y contienen

cargas idénticas, ¿De qué magnitud es la carga en cada una si una de las monedas

experimenta una fuerza de magnitud 2 N?

R: q = 2 10-5 C

En el problema anterior, Sí la separación entre las monedas es de 1.5 m y se

encuentran dentro de una tina de agua. ¿Cuánto vale la carga si la constante

dieléctrica es aproximadamente 80?

R: q = 2 10-4 C

Un núcleo de helio tiene una carga +2e y uno de neón de +10e, donde e es el

quantum de carga 1.6 10-19 C. Encuéntrese la fuerza de repulsión ejercida sobre

cada uno de ellos debido al otro, cuando se encuentran apartados 3.0 nm.

Considérese que se encuentran en el vacío.

R: F = 0.51 nN

En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, el electrón circunda a un protón en

una órbita de radio 5.3 10-11 m. La atracción del protón por el electrón aporta la

fuerza centrípeta para mantener al electrón en la órbita. Encuéntrese

a) La fuerza de atracción eléctrica entre las partículas

b) La rapidez del electrón.

R: F=82 nN; v=2.2 106 m/s

Tres cargas puntuales se colocan sobre el eje x como muestra la figura.

Determínese la fuerza neta sobre la carga de -5μC ocasionada por las otras dos

cargas.

R: F=0.6 N

Determínese la razón de La fuerza eléctrica de Coulomb Fe a la fuerza

gravitacional de Newton Fg entre dos electrones en el vacío.

R: Fe/Fg = 4.2 1042

La figura muestra dos esferas idénticas en equilibrio, cada una de masa 0.1 10-3

kg, portan cargas iguales y están suspendidas por un hilo de igual longitud.

Encuéntrese la carga de cada esfera.

R: q=0.1 μC

Las cargas de la figura son estacionarias. Encuéntrese la fuerza ejercida sobre la

carga de 4 μC, debida a las otras dos cargas.

R: Fx=-0.45 N; Fy=3.9 N

Dos cargas están colocadas sobre el eje x: +3.0 μC en x=0 y -5.0 μC en x=0.4 m

¿Dónde debe colocarse una tercera carga q si la fuerza resultante sobre ésta debe

ser cero?

R: x=1.4 m

¿Cuántos electrones están contenidos en una carga de 1.0 C? ¿Cuál es la masa

de los electrones en 1.0 C de carga?

R: n=6.2 1018 electrones; m=5.7 10-12 kg

Si dos cargas iguales de 1 C están separadas en el aire por una distancia de 1 km

¿Cuál sería la fuerza entre ellas?

R: 9 kN

Determínese la fuerza entre dos electrones libres separados 1.0 angstrom.

R: 23 nN

¿Cuál es la fuerza de repulsión entre dos núcleos de argón que están separados

por una distancia de 1.0 nm. La carga del núcleo de argón es de 18e.

R: 75 nN

Dos esferas igualmente cargadas están separadas por una distancia de 3 10-2 m

en el aire y se repelen con una fuerza de 40 μN. Calcúlese la carga de cada

esfera.

R: 2 nC

Tres cargas puntuales se colocan sobre el eje X: +2.0 μC en x=0, -3.0 μC en x=0.4

m, y -5.0 μC en x=1.2 m. Encuéntrese la fuerza:

a) sobre la carga de -3.0 μC

b) sobre la carga de -5.0 μC

R: +0.55 N; 0.15 N

Cuatro cargas puntuales iguales de +3.0 μC se colocan en los cuatro vértices de

un cuadrado cuyo lado es de 0.4 m. Determínese el tamaño de la fuerza sobre una

de las cargas

R: 0.97 N

Cuatro cargas puntuales de igual magnitud 3.0 μC, se colocan en los vértices de

un cuadrado de 0.4 m de lado. Dos, diagonalmente opuestas, son positivas y las

otras dos son negativas. Determínese la magnitud de la fuerza sobre una de las

cargas negativas

R: 0.46 N

Cargas de +2.0; +3.0 y -8.0 μC se colocan en los vértices de un triángulo

equilátero cuyo lado es de 0.1 m. Calcúlese la magnitud de la fuerza que actúa

sobre la carga de -8.0 μC debida a las otras dos cargas

R: 31 N

Una carga de +5.0 μC es colocada en x=0 y una segunda carga de +7.0 μC en x=1

m ¿Dónde debe colocarse una tercera carga para que la fuerza neta debida a las

otras dos sea cero?

R: x=0.46 m

Dos diminutas esferas metálicas idénticas portan cargas de +3 nC y -12 nC.

Calcúlese:

a) La fuerza de atracción, si las esferas están separadas 0.03 m

b) La fuerza de repulsión, si las esferas se juntan y después se separan a 0.03 m

R: 4 10-4 N; 2 10-4 N

Tres cargas puntuales de q=3 [µC] se localizan en los puntos (-2 ; 5), (1 ;

5), (9 ; -5). Determinar cuál es la fuerza neta ejercida sobre una cuarta

carga de -5 [µC] ubicada en (1 ; 1)

q1 q2

q3

-q4

+Q4

41F

-q1

-q3

+Q2

43F

42F

xF42

yF42

yyxx

yx

FFFFFF

FF

42414243

00

243

241

2

20

2

242

2

20

2

242

.

.

2

2

2

.45

)2(

.

2

2

2

.45cos

)2(

.

L

qQKF

L

qQKF

L

QQKsen

L

QQKF

L

QQK

L

QQKF

y

x

02

2

2

..2

2

2 L

QQK

L

qQK q

qQ 22

2

42

1. Se tiene un cuadrado de lado L en cuyos vértices se sitúan cargas

puntuales tal como se muestra en la figura. Determinar el valor de la

carga +Q para que la fuerza neta sobre la carga +Q4 sea cero.

1

2

3q

Q

Q

Q

QQ

x

y

q

Q

Q

Q

QQ

x

y

4

5

45o

Cinco carga iguales Q están igualmente espaciadas en un semicírculo de

radio R. Calcular la fuerza eléctrica que experimenta una carga q situada en

el centro del semicírculo.

iR

QqkF

R

Qqk

R

Qqk

R

QqkF

FFFF

r

r

oor

ˆ)(

)coscos(

12

2

2

2

2

4545

2

222

354

+2q4-q2

+q1 -2q3

a

a

P

¿Cuál es la magnitud y la dirección de E en el centro

del cuadrado en la figura?. Supóngase que q=1.0

10-8 [C] y que a = 0,05 [m].

jC

N10.018,1E

a

2q2K45cos

2

2a

q2KE

45cos

2

2a

qK45cos

2

2a

qK45cos

2

2a

q2K45cos

2

2a

q2KE

5r

2

0

2r

0

2

0

2

0

2

0

2r

1E

2E

3E

4E

21 EE

43 EE

Una carga de 3 C está distribuida uniformemente a lo largo de un hilo de 0,6

m de longitud. Calcular el campo eléctrico en un punto situado sobre su eje a

0,3 m de uno de sus extremos.

5 N ˆE 1 10 iC

9.0rx

dxdl

dldq

r

dqkdE

2

0.6 0.6

2 2 2

0 0

dx dx dxdE k E k E k

(0.9 x) (0.9 x) (0.9 x)

0.6

9 6

0

1 1 1E k E 9 10 5 10

0.9 x 0.3 0.9

rx0 0.6 0.9

Ed

Una barra delgada no conductora de longitud finita L, contiene una carga

positiva Q distribuida uniformemente. Determinar el campo eléctrico:

a) En un punto ubicado a una distancia a sobre la mediatriz perpendicular a

la barra

b) Producido por una barra delgada e infinitamente larga.

a

L

X

Ed

Y

x

θ

2

2 2

dqdE k

r

dq dl

dl dx

r x a

2222yy

ax

a

ax

dxkdEcosdEdE

32

y y2 2 2 22 2

dx a dxdE k dE k a

x a (x a )x a

LL 22

32

y y2 2 2 2 20 0

dx xE 2k a E 2k a

(x a ) a x a

r

y2 2

LE 2k

a L 4a 2 2

L ˆE 2k ja L 4a

Una barra delgada no conductora semi infinita, tiene una carga positiva

distribuida uniformemente en su longitud λ. Demuestre que el campo

eléctrico en el punto P de la figura forma un ángulo de 45° con la barra

independiente de la distancia a.

a

X

Ed

Y

x

θ

r

2 2

2

dqdE k dq dl dl dx r x a

r

sindEdEcosdEdE yx

32

y y y2 2 2 22 2

dx a dxdE dE cos dE k dE k a

(x a ) (x a )x a

32

x x x2 2 2 22 2

dx x xdxdE dEsin dE k dE k

(x a ) (x a )x a

32

y y y2 2 2 2 20 0

dx x kE k a E k a E

a(x a ) a x a

32

x x x2 2 2 20 0

xdx 1 kE k E k E

a(x a ) x a

R 2

dqdE k

R

x rdE dEsin dE dEcos

y r z rdE dE sin dE dE cos

θ

X

Yxy

z

r

R

dE

Φ

zdE

xdE

ydE

dq dx dy

R x y z

2 2 2r y a

2 2 2R x r

x y zdE dE dE dE

x y zˆ ˆ ˆdE dE i dE j dE k

2 2 2 2

y zsin cos

y z y z

2 2 2 2

x rsin cos

x r x r

Sigue

R x y z R z Rˆ ˆ ˆ ˆ ˆdE dE i dE j dE k dE dE k dE dEcos cos k

32

2 2

R R2 2 2 2 2 22 2 2 2 2

y zdx dy z k z dx dyˆdE k k dE(x y z ) (x y z )x y z y z

3 32 2

a a

R 2 2 2 2 2 2

a a 0

dy dyE k z dx 2k z dx

(x y z ) (x y z )

a a

R 2 22 2 2 2 2a 0

o

y 1E 2k z 4k z dx

(x z )(x z ) x y z

aa

1 1

R 2 2

0 0

1 1 x aE 4k z dx 4k z tg 4k tg

(x z ) z z z

1

R

a ˆE 4k tg kz

1.2 Un anillo de radio R tiene una densidad de carga lineal positiva y

uniforme. Calcule el campo eléctrico en un punto P situado sobre el

eje X.

dq

θ

R

Px

1dE1dE

2dE

2dE

2dEθ

1dEθ

dq

θ

Sigue

dE dE cos

2

dqdE k

r

2

dqdE k cos

r

xcos

r

2 2r R x

2 2 22 2

dq xdE k

R xR x

Q

3/ 2 02 2

kxE dq

R x

2 2 22 2

dq xE k

R xR x

Px

R

1.3 Un disco de radio R tiene una densidad de carga

superficial positiva y uniforme. Calcule el campo eléctrico

en un punto P situado sobre el eje X.

dE

dEdE

θ dE

dE

θ dE

θ

dq dA

dA 2 RdR2 2r R x dE dE cos

2

dqdE k

r

Sigue

dq dA

dA 2 RdR

dE dE cos

2

dqdE k

r

dq 2 RdR

2

dqdE k

rcos

2 2 2 2

2 RdR xdE k

(R x ) R x

2 2r R x

2 2

x

R xcos

2 2 2 2

2 RdR xE k

(R x ) R x2 2 3/ 2

2RdRE k x

(R x )

-Q

+Q

Una varilla de vidrio se dobla en forma de un semicírculo de radio R. En la mitad

superior se distribuye uniformemente una carga +Q, y en el inferior se distribuye

uniformemente una carga –Q, tal como se muestra en la figura. Determinar el campo

eléctrico en el punto P situado en el centro del semicírculo.

+Q

dq

dE

dq

dE

xdE

ydE

xdE

ydE

+Q

X

Y

P

ydE dEcos

2

kdqdE

r

dq dl

dl Rd

y 2

k RddE 2 cos

R

X

Y

P

/ 2

y0

2kE cos d

R

/ 2

y 0

2kE sen

R

2k ˆE jR

Un hemisferio hueco, no conductor de radio interno a, tiene una carga q, distribuida

uniformemente en su superficie interna. Determinar el campo eléctrico de su centro de

curvatura.

dq= dA

X

Y

Z

ydE dEsen2

kdqdE

r

dq dA dA 2 xds

dE

ds rd x rcos z r sen

y 2

k 2 r cos rddE sen

r

/ 2

y0

E k 2 sen cos d

/ 22

y 0E k sen

y

0

ˆE j4

a b

1

2

3

Se ubica una carga puntual positiva +q en el centro de un cascarón no conductor con carga -2q de

radio interno a y externo b. Determinar la expresión del campo eléctrico en las tres zonas indicadas.

Nota: Asuma la zona 2 a un radio equivalente de (a+b)/2

Para la superficie Gaussiana 1

2

30

2

2n

0

n

r4

qE

r4Aq2qqq

AdE

Para la superficie Gaussiana 3

2

10

2

1n

0

n

r4

qE

r4Aqqq

AdE

ab

1

2

3Para la superficie Gaussiana 2

n

0

(a b) / 2

2

n

a

(a b) / 2(a b) / 2 32

n n

a a

3 3

n

2

qE dA

q q .dV con dV 4 r dr

rq q 4 r dr q q 4

3

(a b) / 8 aq q 4

3 3

a bA 4 ( )

2

3 3

2

0

(a b) / 8 aq 4

3 3E

a b4 ( )

2

Campo de un cilindro largo cargado: Consideremos un cilindro infinito de radio

a, cargado con densidad uniforme .

E

A

Superficie

Gaussianar

a

Usando la ley de Gauss podemos encontrar el

campo en la superficie gaussiana indicada

2nn

0

2 2

0 0

qE dA q r L A 2 rL

a L aE E

2 rL 2r

Calcúlese:

a) La intensidad de campo eléctrico E en el aire a una distancia de 0.3 m de

una carga puntual q1=5.0 nC

b) La fuerza sobre una carga q2=0.4 nC colocada a 0.3 m de q1

c) la fuerza sobre la carga q3=-0.4 nC colocada a 0.3 m de q1 (en ausencia de

q2)

R: 0.5 kN/C; 0.2 μN; 0.2 μN

Para la situación que se muestra en la figura, encuéntrese:

a) la intensidad de campo eléctrico E en el punto P

b) la fuerza sobre una carga q3= -4.0 10-8 C colocada en el punto P

c) el lugar en donde el campo eléctrico será igual a cero (en ausencia de la

carga q3)

R: 9 105 N/C; -0.036 N; 0.1 m

Tres cargas están colocadas sobre vértices de un

cuadrado de lado 0.3 m, como se muestra en la figura.

¿Cuál sería la fuerza sobre una carga de 6 μC situada

en la esquina vacante?

R: 1.48 N a 118°

Sean dos placas metálicas en el vacío, separadas 0.15

m, como se muestra en la figura. El campo eléctrico

entre las placas es uniforme y tiene una intensidad

E=3000 N/C. Un electrón está en reposo en el punto P

justamente sobre la superficie de la placa negativa.

a) ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar la otra placa?

b) ¿Cuál será la rapidez a la que viajará exactamente

antes de chocar?

R: 2.4 10-8 s; 1.3 107 m/s

Supóngase que en la figura anterior que un electrón se dispara en línea recta

hacia arriba desde el punto P con una rapidez de 5 106 m/s ¿A qué distancia

sobre el punto A golpea la placa positiva?

R: 0.12 m

En la figura anterior un protón se dispara con una rapidez de 2.0 105 m/s

desde A hacia P ¿Cuál será su rapidez inmediatamente antes de golpear la

placa en el punto P?

R: 356 km/s

Dos diminutas esferas metálicas idénticas tienen cargas q1 y q2. La fuerza

repulsiva que una ejerce sobre la otra cuando están separadas 0.2 m es de

1.35 10-4 N. Posteriormente se tocan una a la otra y se vuelven a separar a

0.2 m, ahora la fuerza repulsiva es de 1.406 10-4 N. Determínese q1 y q2

R: q1=20 nC; q2=30 nC

En cierto punto del espacio una carga de +6.0 μC experimenta una fuerza de 2.0 mN

en la dirección +x.

a) ¿Cuál era el campo eléctrico en ese punto antes de que la carga se colocara?

b) Descríbase la fuerza que experimentará una carga de -2.0 μC si se situara en el

lugar de la carga de +6.0 μC?

R: 0.33 kN/C; 0.67 mN en la dirección -x

Una carga puntual de -3.0 10-5 C recoloca en el origen de coordenadas. Encuéntrese

el campo eléctrico en x=5.0 m

R: 11 kN/C en dirección -x

Cuatro cargas de 4.0 μC se colocan en las esquinas de un cuadrado de lado 0.2 m,

Determínese el campo eléctrico en el centro del cuadrado

a) sí todas las cargas son positivas

b) si los signos de las cargas se alternan alrededor del perímetro del cuadrado

c) si las cargas tienen la secuencia alrededor del cuadrado; más, más , menos, menos

R: cero; cero; 5.1 MN/C hacia el lado negativo

Una esfera de 0.2 g cuelga de un hilo en eun campo eléctrico de 3.0 kN/C

dirigido hacaia arriba. ¿Cuál es la carga de la esfera si la tensión en la cuerda

es:

a) cero

b) 4.0 N

R: +653 nC; -680 nC

Determínese la aceleración de un protón en un campo eléctrico de intensidad

0.5 kN/C ¿Cuántas veces es más grande esta aceleración que la debida a la

gravedad?

R: 4.8 1010 m/s2; 4.9 109

Una pequeña esfera de 0.6 g tiene una carga cuya magnitud es 8.0 μC. Está

suspendida por un hilo en un campo eléctrico de 300N/C dirigido hacia abajo

¿Cuál es la tensión en el hilo si la carga de la esfera:

a) positiva

b) negativa

R: 8.3 mN; 3.5 mN

La pequeña esfera que se encuentra en el extremo de un

hilo, como muestra la figura, tiene una masa de 0.6 g y está

en un campo eléctrico horizontal y uniforme de intensidad

700 N/C. Si se encuentra en equilibrio en la posición que se

muestra ¿Cuál es la magnitud y el signo de la carga de la

esfera?

R: -3.1 μC

Un electrón se proyecta en el eje de las x con rapidez inicial

de 3.0 106 m/s. Se mueve 0.45 m y se detiene debido a un

campo eléctrico uniforme en la región. Encuentre la magnitud

y dirección del campo.

R: 57 N/C en dirección +x

Una partícula de masa m y carga –e se proyecta con

velocidad horizontal v, en un campo eléctrico de intensidad E

dirigido hacia abajo. Encuentre:

a) las componentes horizontal y vertical de su aceleración

b) sus desplazamientos horizontal y vertical después de un

tiempo t

c) la ecuación de su trayectoria

R: ax=0, ay=Ee/m; x=vt, y=0.5ayt2; y=0.5(Ee/mv2)x2

Los protones de los rayos cósmicos inciden sobre la atmósfera de la tierra a

razón de 0,15 protones/cm2s. ¿Cuál es la tasa de carga por unidad de tiempo

que irradia la tierra en forma de protones de radiación cósmica?

La expresión para el cálculo de la superficie terrestre es 24 rS

Sustituyendo r por el radio promedio de la tierra 6,4 x 106 m.

Llevando la tasa de protones a protones/m2s, queda

smprotonesscmprotones22 /1500/15,0

Por lo tanto la tasa de carga por unidad de tiempo que recibe la tierra

proveniente del espacio es:

s

mxprotónCxsmprotonesq

)1014,5)(/106,1(/1500 214192

Por lo tanto C

q 0.1236s

21426 1014,5)104,6(4 mxxS

Se tienen dos partículas iguales de cargas

q y masa m en equilibrio, suspendidas de

hilos no conductores de longitud L , tal

como se muestra en la figura 19a.

Determine una expresión para la

separación horizontal x de las partículas.

Realizando un diagrama de cuerpo libre, se puede observar que para que la

partícula esté en equilibrio, la suma de las fuerzas debe ser igual a cero

(segunda Ley de Newton). En este caso, TFgm e

. Y por la geometría del

problema, la relación de triángulos semejantes da:

2

2

0

x

Fe x q2

L mg 2L 4 x mg, despejando

3

1

0

2

2 mg

Lqx

Un sistema está compuesto de cuatro cargas puntuales dispuestas sobre los

vértices de un cuadrado de lado a , tal como se muestra en la Fig. 20.

Determinar la fuerza resultante sobre la carga que está en el vértice inferior

izquierdo del cuadrado. La fuerza resultante sobre la partícula ubicada en la

esquina inferior izquierda vendrá dada por la suma de todas las fuerzas, de

donde: 4342414 FFFFR

Considerando un eje de coordenadas cartesianas convencional tenemos:

iFiFF xˆcosˆ

42434

jFjFF yˆsenˆ

42414

Reemplazando los valores de carga y distancias, y considerando que o45

ia

qKi

a

qKF x

ˆ2

2

2

2ˆ22

2

2

2

4

j

a

qKj

a

qKF y

ˆ2

2

2

2ˆ22

2

2

2

4

Por lo tanto la fuerza resultante sobre la partícula es:

2

4 2

q 2 ˆ ˆF K 2 i j2a

Una partícula cargada 0q y de masa m entra en un campo eléctrico

uniforme jEE ˆ0

con velocidad de 000 8.0,6.0 vvv

. Determine:

a) Altura máxima que alcanza la partícula.

b) Velocidad de la partícula al volver a la altura inicial.

c) Posición al llegar a su alcance horizontal máximo.

d) Describa la trayectoria que debería seguir la partícula.

Consideración 1:

Por definición de campo eléctrico jEqFEqF ˆ00

Según la segunda ley de Newton jm

EqaamF ˆ00

Consideración 2:

Ya que la aceleración es constante y vertical hacia abajo, entonces las

ecuaciones cinemáticas del movimiento son:

(1) tvx x0 (2) 2

002

1tavyy yy

(3) xx vv 0 (4) tavv yyy 0

Sigue

Consideración 3:

En el punto más alto de la trayectoria la componente vertical de la velocidad

es nula y solo existe componente horizontal, reemplazando en la ec. (4)

00

0máxmáx

000 8.08.00

Eq

mvtt

m

Eqv

sustituyendo en ec. (2)

(a) 00

2

00máx 32.0

Eq

mvhh

Consideración 4:

Dado que la partícula se mueve en un campo eléctrico uniforme, con

aceleración constante, la componente vertical de la velocidad será de igual

magnitud y de sentido contrario, a la componente vertical inicial de la

velocidad

(b) 00 8.0;6.0 vvv

Sigue

Consideración 5:

Para llegar al alcance horizontal máximo (R) la partícula debe subir y bajar en

el campo, luego el tiempo de subida y bajada son iguales máx2tt

Según la ec.(1)

00

2

0

00

000 96.08.06.02

Eq

mv

Eq

mvvRtvx x

(c) 0

00

2

0 ;96.0 hEq

mvr

Consideración 6:

La ecuación de la trayectoria xfy la podemos obtener de la composición

de las ec. (1) y (2)

2

2

0

0002

0

2

00

0

0018

25

3

4

2

1x

mv

Eqxhy

v

x

m

Eq

v

xvyy

xx

y

(d) la trayectoria es una parábola convexa

Se tiene una línea de carga de longitud L con una densidad lineal de carga

constante , y una carga puntual Q a una distancia a sobre la mediatriz, tal

como muestra la Fig. 22. Determine la fuerza resultante sobre la partícula.

Consideración 1:

dl

dq, pero dydl entonces dydq

Sigue

Consideración 2:

Observando la simetría del dibujo respecto del eje X, los elementos dq se

han tomados simétricamente.

Consideración 3:

Las componentes verticales de las fuerzas producidas por los diferenciales

de carga se anulan entre sí, ya que cada elemento de carga dq ejerce la

misma fuerza sobre la partícula Q .

Consideración 4:

La fuerza resultante sobre la partícula Q corresponderá a la suma de las

componentes horizontales de las fuerzas producidas por cada uno de los

elementos de carga.

axrx FdFdFd

luego 2

cos22

r

dqQKFdFdF x

Sigue

de acuerdo a las consideraciones y la geometría del problema, se tiene

22

0

2

22

2

ya

a

ya

dyQKF

L

resolviendo la integral y respetando el carácter

vectorial de la fuerza se obtiene

2 2

2K Q LF i

a 4a L

Se tienen tres partículas cargadas con igual carga q situadas en los

extremos de un triángulo equilátero de lado a2 como muestra la Fig. 23.

Determine el campo eléctrico en el centro de gravedad del triángulo.

Consideración 1:

Al colocar una partícula de prueba en el punto central del triángulo el campo

eléctrico en tal punto, será la resultante de los campos de cada partícula

sobre ese punto, es decir por el principio de superposición tenemos:

321 EEEE

Sigue

Consideración 2:

Por la simetría del triángulo, cada partícula cargada esta a la misma distancia

del punto central, la cual se puede obtener aplicando el teorema de Pitágoras

y sabiendo que el punto central divide la mediatriz en razón de 2:1, se

obtiene:

34 222ahhaa pero axxh 3

3

223

además 321 EEE y 21

21

4

3

3

4 a

KqE

a

KqE

030cos30cosE 21x21 x

oo

xxx EEEEEE

321y321 30sen30senE EEEEEEEoo

yyyy

04

3

2

1

4

3

2

1

4

3222 yy E

a

Kq

a

Kq

a

KqE

E 0

Una barra cargada de longitud 2L tiene una densidad de carga lineal

homogénea y una carga total Q . Calcúlese el campo eléctrico en el

punto P localizado en las coordenadas da, como se muestra en la figura.

Consideración 1:

Por principio de superposición el campo resultante en el punto es la suma de

los campos producidos por la distribución de carga situada por encima de la

coordenada d y por debajo de ella, es decir:

21 EdEdEd R

jdEidEjdEidEEd yxyxR

ˆˆˆˆ2211

de la figura tenemos:

111 cosdEdE x 222 cosdEdEx

111 sendEdE y 222 sendEdE y

pero

2

1

1r

kqdE

2

2

2r

kqdE Sigue

Consideración 2:

Ya que la línea de carga esta ubicada sobre el eje Y entonces dydl con lo

que dydq y tomando

dadytanay2sec además de la figura tenemos:

222

1

1

1 seccos arr

a

Luego para las coordenadas cartesianas de 1E

tenemos:

máx1máx1

00

22

2

1 cossec

cossecd

a

k

a

dakE x

21

221

dLa

dL

a

kE x

21

221

0

1 1senmáx1

dLa

a

a

kEd

a

kE yy

Sigue

Luego para las coordenadas cartesianas de 2E

tenemos:

21

222

0

2

máx2

cos

dLa

dL

a

kEd

a

kE xx

21

222

0

2 1senmáx2

dLa

a

a

kEd

a

kE yy

Finalmente el campo resultante RE

es:

i

dLa

dL

dLa

dL

a

kE xR

ˆ2

1222

122

j

dLa

a

dLa

a

a

kE yR

ˆ2

1222

122

Consideración 3:

Si el punto donde estamos evaluando el campo eléctrico estuviera sobre la

simetral, es decir, si 0d entonces el campo para estos puntos tomará el

valor:

xR 12 2 2

2k L ˆE i

a a L

Hallar el campo y el potencial eléctrico creados por una esfera conductora de

radio R cargada positivamente con carga Q.

a) En el interior de la esfera

b) En el exterior de la esfera

Consideración 1:

Debido a que la esfera es conductora, la carga está distribuida

uniformemente sobre la superficie de ella, pudiendo expresarse la densidad

superficial de carga, como: 2R4

Q

Sigue

Consideración 2:

Dibujando una superficie gaussiana de radio Rr , se observa que la carga

neta encerrada en ella es cero.

Por lo tanto en virtud de la Ley de Gauss el campo eléctrico en el interior de

la esfera gaussiana es nulo, es decir: 0E

Consideración 3:

El potencial en un punto, corresponde a traer una carga desde el infinito

hasta dicho punto, es decir, se debe trabajar en dos etapas la primera

consiste en traer la carga desde el infinito hasta la superficie y la segunda

desde la superficie hasta el punto interno (r < R).

r,Rr,r VVV

i. Potencial desde el infinito hasta un punto externo a la superficie

conductora.

r

KQ

r

1KQ

r

drKQdr

r

KQdrErdEV

rr

2

r

2

rr

r.

r

KQV r. Potencial para puntos externos a la esfera conductora

Sigue

Consideración 4:

Por consiguiente, el potencial en la superficie de la esfera conductora es:

R

KQVR

i. Diferencia de potencial para ir desde R a r (punto interno), es:

Rrr,R VVV , pero:

Consideración 5:

La diferencia de potencial entre dos puntos A y B es: B

ArdEV

y dado

que el campo eléctrico en el interior de la esfera conductora es nulo, la

diferencia de potencial para puntos internos es nula, es decir:

R

KQVVV0VVVV rRrRrr,R

Resultado que indica que el potencial en el interior de la esfera conductora es

constante e igual al potencial en su superficie.

Sigue

a) Campo y potencial en el exterior de la esfera

Consideración 6:

Debido a la simetría del problema, es recomendable elegir una superficie

gaussiana externa esférica de radio r’ > R, en tal situación el campo eléctrico

es radial y paralelo al vector área, por lo cual, se tiene: 0

QAdE

)'r4(EdAEdAEAdE 2

2

0

2

)'r(

KQE

Q)'r4(E

r)'r(

KQE

2

Consideración 7:

El potencial eléctrico para puntos externos de la esfera se cálculo

anteriormente en el punto i.

.r

KQV

r

Determinar la fuerza que ejerce una

barra cargada de longitud L2 con

densidad de carga lineal

homogénea, sobre una partícula con

carga Q , ubicada en las coordenadas

)d,a( como se muestra en la figura.

cosdFdFx dFsendFy

dydq2r

kQdqdF

22 yar tagay dsecady 2

cos)tagaa(

secakQdF

222

2

xdcos

a

kQdFx

sen)tagaa(

dsecakQdF

222

2

ydsen

a

kQdFy

Sigue

máx2máx10 0

x sensena

kQdcosdcos

a

kQF

màx1 màx2

máx2máx10 0

y coscosa

kQdsendsen

a

kQF

máx1 máx2

2222máx2máx1x

a)dL(

dL

a)dL(

dL

a

kQsensen

a

kQF

2222máx2máx1y

a)dL(

a

a)dL(

a

a

kQcoscos

a

kQF

EV

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

EEVV

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Una lámina infinita cargada, tiene una densidad superficial de carga de

10-7 C/m2 ¿Qué separación tienen dos superficies equipotenciales entre las

cuales hay una diferencia de potencial de 50 V ?

Dado que la lámina es infinita cargada y tiene una densidad superficial de

carga constante se obtiene:

VE

d

VE

02E

V2d

d

V

20

0

12

0

7

2 V 2 8.8510 50d 8.85 mV

10

Calcular la capacidad de un condensador cilíndrico que consta de un

conductor cilíndrico de radio a y carga +q concéntrico; con un cascarón

cilíndrico de radio b y carga –q (b > a). La longitud del condensador es L; se

supone que es mucho mayor que los radios a y b para despreciar los efectos

en los extremos.

b

b aa

b

b aa

0

0

bb aa

0

V V E dr donde E es el campo entre a y b

2K qa partir de la ley de Gauss se tiene: E= con

r L

dr b q bV V 2K 2K ln ln

r a 2 a

2 Lq qC C C

qV lnln

2 L

C es siempre positiva por definición

Un cable coaxial está compuesto de un conductor macizo cilíndrico en el centro, y por fuera un

conductor cilíndrico. Suponga que el espacio entre los dos conductores es aire. El radio del conductor

interno es 5.0 [mm], y el del conductor externo es 5.0 [cm]. radio interior. Suponga que el conductor del

centro tiene una carga de [C/m] y que el conductor de afuera está colocado a tierra. Use el teorema de

Gauss para determinar el campo eléctrico en cualquier punto entre los dos conductores.

¿Cómo se ven las superficies equipotenciales?

Dado que el campo eléctrico es radial desde el eje del conductor central y

este desminuye en valor hasta alcanzar el conductor cilíndrico externo, las

superficies equipotenciales son mantos cilíndricos concéntricos a los

conductores interno y externo.

¿Cómo cambiaría el resultado si el conductor externo no estuviera aislado?

La situación es análoga a la anterior, aunque el valor del potencial no llega a

cero, en cilindro externo.

Un condensador de 4 F cargado a 400 V, y otro de 2 F cargado a 200 V,

se ponen en contacto entre sí, con la placa positiva de uno conectado a la

negativa del otro. Determinar, después de haberse conectado:

a) La carga eléctrica de cada condensador.

b) La diferencia de potencial entre las placas de cada condensador.

1 1 1 2 2 2

6 6

1 2

6 6

1 2

T 1 2 T

T 1 2

1 1 1 2 2 2

1 2

1

Q C V Q C V

Q 410 400 Q 210 200

Q 160010 C Q 40010 C

Al conectar los condensadores se redistribuye la carga uniformemente

Q Q Q Q 1600 400 C Q 1200 C

Q Q Q

Q C V Q C V

1200 4 V 1200 2 V

V 3 2

T 1 2 T

00 V V 600 V

V V V V 900 V

1122

1122

En un condensador de placas paralelas se ponen dos dieléctricos llenándose

como se muestra en la figura. Demostrar que la capacidad del condensador

lleno esta dada por:

2d

AC 210

0 0 0 1 2e 1 2 e 1 2 e

A A AC C C C C

2d 2d d 2

11

22

11

22

En un condensador de placas paralelas se ponen dos dieléctricos llenándolo

como se muestra en la figura. Demostrar que la capacidad del condensador

lleno esta dada por:

21

210

d

A2C

0 01 2

01 2 1 2e e

0 0e 1 2 1 2 1 21 2

A2 A2

2 AC C1 1 1 d dC CA2 A2C C C C C d

d d

bd bd

Una placa de dieléctrico de espesor b se introduce entre las placas de un

condensador de placas paralelas cuya separación de placas es d. Demostrar

que la capacidad de este condensador es:

)1(d

AC 0

0 0e 1 2 e 0

El condensador de la figura equivale a dos condensadores conectados en serie, uno

de espesor b y constante , y el otro de espesor (d-b) y vacio

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

A A 1C C C C A

b d bb d b0

e 0

e 0 0

0e

b d b

A 1

1 1 b (d b)

C A

1 1C A A

b (d b) b d b)

AC

d b( 1)

Calcule la capacitancia equivalente de la combinación de tres

capacitores de la figura.

s

s 1

p

p

p

La capacidad para la combinacion en paralelo, es:

C 3 1 C 4 F

La capacidad para la nueva combinacion se

1 1 1

r

1 1C 2.4 F

C C C

ie s

4

, e :

6

En la figura la capacitancia de cada uno de los condensadores es

de 4 F. Calcule la carga y la energía almacenada en cada uno de

los capacitores.

s

s

p p

t 1 1 t s s t

t 1 s

t 1 s

s 2 3

2

La capacidad para la serie, es:

1 1 1C 2 F

C 4 4

La capacidad en paralelo, es:

C 4 2 C 6 F

La carga total en el circuito, es:

Q CV Q C V Q C V

Q 6 12 Q 4 12 Q 2 12

Q 72 C Q 48 C Q 24 C

Pero : Q Q Q

V 322 3 3

2 3

2 2

1 1

2

2 2

2

3 3

QQ 24 24V 6 V V V 6 V

C 4 C 4

1 1U CV U 4 12 U 288 J

2 2

1U 4 6 U 72 J

2

1U 4 6 U 72 J

2

Los capacitores de la figura inicialmente estaban descargados.

Determine el voltaje de cada uno de los tres capacitores después de

cerrar el interruptor S. Si luego se introduce una hoja de material de

constante dieléctrica = 4, que llena completamente el espacio entre las

placas del capacitor de 12 F, calcule el nuevo potencial en cada uno de

los capacitores

p p

s

s

t t

1616 16

16

t 16 p p p

La capacidad del paralelo, es:

C 12 8 C 20 F

La capacidad de la serie, es:

1 1 1C 8.9 F

C 16 20

La carga total en el circuito, es:

Q 8.9 30 Q 267 C

Q 267V V 16.7 V

C 16

V V V V 30 16.7 V 13.3 p 12 8V V V V

Sigue

0

p p

Si se introduce un dielectrico en algun capacitor, cambia su capacidad,

lo que equivale a calcular todo de nuevo, por lo tanto:

C= C C 4 12 C 48 F

La capacidad del nuevo paralelo, es:

C 48 8 C 56 F

La c

s

s

t t

1616 16

16

t 16 p p p p 12 8

apacidad de la nueva serie, es:

1 1 1C 12.4 F

C 16 56

La carga total en el circuito, es:

Q 12.4 30 Q 373 C

Q 373V V 23 V

C 16

V V V V 30 23 V 7 V V V V

1 3

s1

s1

2 4

s1

s1

s1 s1 t s1 s1

s2 s2 t s2 s2

Los condensadores C y C estan conectados en serie:

1 1 1C 2.2 F

C 4 5

Los condensadores C y C estan conectados en serie:

1 1 1C 1.6 F

C 2 8

Q C V Q 2.2 100 Q 222 C

Q C V Q 1.6 100 Q

33 3

3

44 4

4

x 3 A 4 B

A B

160 C

Q 222V V 44.4 V

C 5

Q 160V V 20 V

C 8

Siendo V 0, entonces V V y V V , luego:

V V 44.4 20 V 24.4 V

Cuatro capacitores inicialmente descargados

son conectados como muestra la figura. Los

valores de ellos son C1=4 F, C2= 2 F, C3=5 F

y C4=8 F. Calcule la diferencia de potencial

entre los puntos A y B.