EECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE

ECUACIONES CUADRATICAS EN UNA VARIABLE

APLICACIONES

RESOLVER ECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE

RESOLVER ECUACIONES CUADRATICAS EN UNA VARIABLE

RESOLVER PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

INTRODUCCION A LAS ECUACIONES

INTRODUCCIÔN:

Las ecuaciones en general, son igualdades entre expresionesalgebraicas en las que intervienen una o más variables. Lasecuaciones constituyen una importante herramienta en el álgebra.Adquirir habilidad para resolverlas resulta de suma importancia,por cuanto ello facilita la solución a múltiples problemas que sepresentan en las aplicaciones de matemática.

Cuando las expresiones algebraicas de cada miembro de la igualdadson polinomios las ecuaciones resultantes son llamadasEcuaciones Polinómicas,

Existen otras expresiones algebraicas que no son polinomios, talescomo las expresiones algebraicas racionales .

CONCEPTOS BASICOSDefinición de Ecuación: Ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas donde al

menos una de las expresiones involucran variables o incógnitas. Ejemplos

Definición En una ecuación las variables reciben el nombre de incógnitas.

Definición En una ecuación de una incógnita cualquier número que esté contenido

en el dominio de la incógnita y que al ser sustituido en la ecuación haceque la igualdad sea verdadera, es una solución de la ecuación.

ConceptosDefiniciónDada una ecuación de una incógnita, el subconjunto S del

dominio de la incógnita que contiene únicamente lassoluciones de la ecuación dada recibe el nombre deconjunto solución.

Lo anterior afirma que si S es el conjunto solución de unaecuación, entonces en S están las soluciones y todoelemento de S es una solución de la ecuación dada.

DefiniciónResolver una ecuación significa determinar su conjunto

solución.

ECUACIONES LINEALES

GRADO DE UNA ECUACIÓN:El grado de una ecuación en una variable es el mayor de los grados de sus

monomios.

Ejemplos.

3x4 + 5 = 3x3 – x ECUACION DE CUARTO GRADO

0.5 – 3y2 – y = 8 ECUACION DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación Polinomial de grado n en la variable x, tiene la forma

an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 +… + a2 x2 + a1 x + a0 = 0

Ejemplo: 3x5 +2x3 – x2 – x + 3 = 0 ES DE QUINTO GRADO

ECUACIONES DE PRIMER GRADOECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES

Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0 , dondeP(x) es un polinomio.

Sean a, b, c constantes reales con a ≠ 0, . Se llama ecuación linealo de primer grado con una variable a toda ecuación de la forma

a x + b = c , ó cualquier otra ecuación en la que al operar,trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión. Porejemplo, son ecuaciones lineales

2x + 1 = -2

5x - 3 = 0

(x + 1)2 = x2 - 2

x2 + 2x + 1 = x2 - 2

Ejemplos

Ejemplos:1) Para la ecuación ax + b = 0 , su conjunto solución consta de

un solo valor; x = - b / a

19424

3)2 xx

}32{,03263823

3192

32319

2

3193

2

3

1944

32

4

31942

4

3

Sxxx

xxxxxx

xxxx

Ejemplos

77142

12

2

1142

2

1

14219636931

6331162

36

6

16

6)2,6.(..el

12

3

6

1)3

Szzz

zzzzz

zzzz

mcm

zz

ECUACION DE SEGUNDO GRADO

• Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuaciónpolinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, laexpresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que seexpresa en la forma canónica: ax2 + bx + c = 0

• donde a es el coeficiente cuadrático, a ≠ 0 , b el coeficiente lineal y c es el término independiente.

• Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en xn es de la forma:

• con ax2n + bxn + c = 0 con n є N y a ≠ 0

• La ecuación cuadrática es de gran importancia en diversos campos, ya que junto con las ecuaciones lineales, permiten modelar un gran número de relaciones y leyes.

Clasificación de las ec. cuadráticas

La ecuación de segundo grado se clasifica de la siguiente manera:

1.- Completa: Tiene la forma canónica: ax2 + bx + c = 0

con a, b. c ≠ 0

Se resuelven por factorización, por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. La fórmula general se deduce más adelante.

2.- Incompleta pura:

Es de la forma: ax2 + c = 0 con a ,c ≠ 0.

Se resuelve despejando x con operaciones inversas y su solución son dos

raíces reales que difieren en el signo. 3.- Incompleta mixta:

Es de la forma: ax2 + bx = 0 con a,b ≠ 0. Se resuelve por factorizaciónde x y siempre tiene la solución trivial x 1 = 0. No tiene solución ennúmeros imaginarios

Solución General

Solución general de la ecuación de segundo grado La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos

soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, quepueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:

donde el símbolo "±" indica que los dos valores

y

son las soluciones de la ecuación cuadrática.

Naturaleza de las Raíces

Es interesante observar que esta fórmula tiene las seisoperaciones racionales del álgebra elemental.

En la formula general, la expresión b2 – 4ac se llama DISCRIMINANTE y nos permite conocer la naturaleza de las soluciones de la ecuación:

Valor del Discriminante Naturaleza de las soluciones de

b2 – 4ac ax2 + bx + c = 0

Positivo Dos soluciones Reales y distintas Cero Ambas soluciones Reales e iguales Negativo Dos soluciones Complejas conjugadas

EJEMPLOS

Ejemplos: Resolver cada ecuación dada.

1) 8x2 – 2 = 0

2(4x2 – 1) = 0 2(2x + 1)(2x – 1) =0

(2x + 1) = 0 y (2x – 1) = 0 x = ± 1/ 2

EJEMPLOS

310

30

10

1713

}4.0,3{

4.010

4

10

1713

10

1713

10

28913

)5(2

)6)(5(41313

entonces,;6,13,5Aquí

06135)2

2

2

x

S

x

x

cba

xx

EJEMPLOS

m

mm

mymy

yy

pararesolvemosprimerodonde

0253tenemos,doSustituyen

,tantopor,Hacemos

253)3

2

242

24

}2,2,3

3,

3

3{,tantoPor

)¿(22,,2

)¿(3

3

3

1

3

1,tienee

3

1

.para oResolviend

26

12

6

75

3

1

6

2

6

75

6

75

6

495

6

24255

)3)(2(

)2)(3)(4(552,5,3

2

2

2

iiS

quéPorRyytienesemPara

quéPoryyysmSi

y

m

m

m

mcba

Lenguaje coloquial y simbólicoEn el siguiente cuadro se presenta como podemos pasar

expresiones del lenguaje coloquial al lenguaje simbólico.

Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico

La suma de un número y su consecutivo k + (k + 1)

Un número par 2k

La suma de tres números consecutivos y +(y + 1) + (y + 2)

La mitad de un número x/2

Un tercio de la diferencia de dos números (x – y ) / 3

Dos números consecutivos pares 2x, 2x + 2

Descomponer el 24 en dos partes x, 24 - x

La diferencia de dos números es 24 24, 24 + x

El producto de dos números es 24 x, 24/x

EjemplosEjemplo.

En una reunión en una escuela hay el doble número de mujeres que dehombres y el triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. Halle elnúmero de hombres, mujeres y niños que hay en la reunión si el total es de 156personas.. Solución

Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico Cantidad de hombres h La cantidad de mujeres es el doble del de hombres 2h La cant de niños es el triplo del no. de hombres y las mujeres juntos. 3( h + 2h )

Como en total hay 156 personas, entonces sumamos las tres expresionesanteriores.

Volviendo a la tabla anterior, podemos observar que hay 13 hombres, que hay

2h = 2∙13 = 26 mujeres y hay 3( h + 2h ) = 3(13 + 26) = 117 niños.

1312

15615612156632156)2(32 hhhhhhhhhh

EjemplosEjemplo.

Dos ciudades A y B distan 300 km entre sí. A las 9 de la mañana parte de la ciudad A un vehículo haciala ciudad B con una velocidad de 90 km/h, y de la ciudad B parte otro vehículo hacia la ciudad A conuna velocidad de 60 km/h. Se pide:

a. El tiempo que tardan en encontrarse. b. La hora en la que se encuentran.c. La distancia recorrida por cada uno.

Solución.Como la velocidad es constante, vamos aplicar las fórmulas del movimiento rectilíneo uniforme, a saber

d = vt.A C B

Punto de encuentro

a.

b. Como ambos vehículos parten a las 9, se encontrarán a las 11 de la mañana.

c. Para hallar la distancia recorrida, aplicamos la fórmula d = vt.

horas2decaboalencuentranSe2150

3003001503006090300),(),( ttttBCdCAd

kmtBCd

kmtCAd

1202*6060),(

.1802*9090),(

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MUCHAS GRACIAS

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FELIZ DIA