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Practica Dirigida 1

Matematicas I

“Argumentos - Conjuntos”

22 de marzo de 2019

1

Argumentos - Conjuntos

Definicion. Una proposicion es un enunciado que tiene la cualidad de ser verdadera o de

ser falsa.

p

V

F


La negacion.

p ¬p

V F

F V

� ¬p : no p, no es cierto que p, es falso que p


La conjuncion.

p q p ∧ q

V V V

V F F

F V F

F F F

� p ∧ q :

p y q

pero, sin embargo, por otro lado

� ¬p ∧ ¬q : ni p ni q

� p ∧ q ≡ V si y solo si todas son V

� p ∧ q ≡ F si y solo si alguna es F


La disyuncion inclusiva.

p q p ∨ q

V V V

V F V

F V V

F F F

� p ∨ q : p o q

� p ∨ q ≡ F si y solo si todas son F

� p ∨ q ≡ V si y solo si alguna es V

� p ∨ q ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q)


La disyuncion exclusiva.

p q p Y q

V V F

V F V

F V V

F F F

� p Y q : “o bien p o bien q”, “p o q, pero no ambas”

� p Y q ≡ F si y solo si p ≡ q

� p Y q ≡ V si y solo si p ≡ ¬q

� p Y q ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)

� p Y q→ p ∨ q ≡ V

� p Y F ≡ p


La condicional: p→ q

p q p→ q

V V V

V F F

F V V

F F V

� p→ q : si p entonces q

� p : antecedente, q : consecuente

� p→ q ≡ F solo hay una posibilidad p ≡ V y q ≡ F

� F → q ≡ V

� V → p ≡ p

� p→ V ≡ V

� p→ F ≡ ¬p


La condicional: p→ q (lenguaje coloquial)

� p→ q :

si p, q

q, si p

p, solo si q

q a menos que ¬p

q, dado que p

q, siempre que p

� p⇒ qtautologıa

:

p implica q

p es condicion suficiente para q

q es condicion necesaria para p


La bicondicional: p↔ q

p q p↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

� p↔ q :

p si y solo si q

p si y solamente si q

p es lo mismo que q, p significa que q

� p↔ q ≡ V si y solo si p ≡ q

� p↔ q ≡ F si y solo si p ≡ ¬q

� p⇔ qtautologıa

:

p es equivalente a q

p es condicion necesaria y suficiente para q


Conectivos logicos:

p q p ∧ q p ∨ q p→ q p Y q p↔ q

V V V V V F V

V F F V F V F

F V F V V V F

F F F F V F V


Principios Logicos I.

p ∧ p ≡ p

p ∧ q ≡ q ∧ p

(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (directa e inversa)

p ∧ F ≡ F

p ∧V ≡ p

p ∧ ¬p ≡ F

¬¬p ≡ p


Principios Logicos II.

p ∨ p ≡ p

p ∨ q ≡ q ∨ p

(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (directa e inversa)

p ∨ F ≡ p

p ∨V ≡ V

p ∨ ¬p ≡ V

¬¬p ≡ p


Leyes de Morgan.

¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q (directa e inversa)

¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q


Definicion. Un argumento es una lista de proposiciones P1, P2, . . . , Pn, llamadas premisas

y una proposicion Q llamada conclusion. Un argumento se denota por

P1, P2, . . . , Pn ` Q


Definicion. Un argumento es valido cuando asumiendo que todas las premisas son

verdaderas, entonces la conclusion tambien lo es.

El siguiente argumento es valido?

p , ¬p , q ` p ∧ q


Teorema. El argumento P1, P2, . . . , Pn ` Q es valido si y solamente si

P1 ∧ P2 ∧ . . . ∧ Pn → Q

es una tautologıa (tabla de verdad).


Negacion de cuantificadores.

� ¬(∀x ∈ A, [P(x)]

)≡ ∃x ∈ A, [¬P(x)]

� ¬(∃x ∈ A, [P(x)]

)≡ ∀x ∈ A, [¬P(x)]


Segmentacion de cuantificadores.

� ∀x ∈ U, [p(x) ∧ q(x)] ≡(∀x ∈ U, [p(x)]

)∧(∀x ∈ U, [q(x)]

)� ∃x ∈ U, [p(x) ∨ q(x)] ≡

(∃x ∈ U, [p(x)]

)∨(∃x ∈ U, [q(x)]

)Justifique porque las siguientes segmentaciones son falsas.

� ∀x ∈ U, [p(x) ∨ q(x)] ≡(∀x ∈ U, [p(x)]

)∨(∀x ∈ U, [q(x)]

)� ∃x ∈ U, [p(x) ∧ q(x)] ≡

(∃x ∈ U, [p(x)]

)∧(∃x ∈ U, [q(x)]

)U = Z, p(x) : x es par, q(x) : x es impar


Contraejemplo.

Demostrar que la siguiente proposicion es falsa

∀x ∈ A, [P(x)]

es equivalente a demostrar que su negacion es verdadera

∃a ∈ A, [¬P(a)]

En logica formal a es llamado un contraejemplo, el cual prueba la falsedad del enunciado

original.


Equivalencias notables.

p→ q ≡ ¬p ∨ q

¬(p→ q) ≡ p ∧ ¬q

p→ q ≡ ¬q→ ¬p

p↔ q ≡ (p→ q) ∧ (q→ p)

p↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ ¬ (p ∨ q)

¬(p↔ q) ≡ (¬p)↔ q

p Y q ≡ ¬(p↔ q)

p ∧ (p ∨ q) ≡ p

p ∨ (p ∧ q) ≡ p


Variantes condicionales. La proposicion condicional esta asociada a otras tres proposi-

ciones importantes, estas son: la recıproca, la inversa y la contrapositiva.

condicional p→ q

contrapositiva ¬ q→ ¬ p

recıproca q→ p

inversa ¬ p→ ¬ q

condicional ≡ contrapositiva, recıproca ≡ inversa

Inferencia. Es el acto de mostrar la veracidad de una proposicion asumiendo la veracidad

de otras.


Argumentos validos notables. Demuestre que los siguientes argumentos son validos.

p→ q , p ` q modus ponens

p→ q , ¬q ` ¬p modus tollens

p→ q , q→ r ` p→ r silogismo hipotetico

p ∨ q , ¬p ` q silogismo disyuntivo

p→ q , r → s , p ∨ r ` q ∨ s dilema constructivo

p ∧ q ` p simplificacion

p ` p ∨ q adicion

p→ q , p→ ¬q ` ¬p reduccion al absurdo

p→ q , ¬p→ q ` q dilema constructivo


Metodo por contradiccion (o por reduccion al absurdo o indirecto).

Justificacion logica.

p ≡(¬p)→

F

(r ∧ ¬r)absurdo

p→ q ≡(

p ∧ ¬q)→

F

(r ∧ ¬r)absurdo


Problema. Demuestre las siguientes propiedades aplicando el metodo por contradiccion:

(1) Sean a y b numeros naturales. Si a + b ≥ 20 entonces a ≥ 10 o b ≥ 10.

(2) Sea n un numero natural. Si n2 es par entonces n es par.

(3)√

2 no es racional.


Solucion. (1) En lenguaje logico formal:

∀a ∈N, ∀b ∈N,[a + b ≥ 20→ (a ≥ 20∨ b ≥ 20)

]Asumamos que es falsa

∀a ∈N, ∀b ∈N,[a + b ≥ 20→ (a ≥ 20∨ b ≥ 20)

]≡ F

entonces su negacion es verdadera

∃a ∈N, ∃b ∈N,[a + b ≥ 20∧ a > 20∧ b > 20

]≡ V

entonces como a > 20 y b > 20 entonces a + b > 20 lo cual es absurdo o una contradiccion

con a + b ≤ 20. Por lo tanto queda demostrada la propiedad (1).


Jerarquıa de los cuantificadores.

Las siguientes proposiciones en general no son equivalentes:

� ∀x ∈ A, ∃y ∈ B, [P(x, y)]

y puede depender de x

� ∃y ∈ B, ∀x ∈ A, [P(x, y)]

y esta fijo y x es independiente de y


Problema. Justifique la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:

(a) ∀x ∈ Z, ∀y ∈ Z, x + y = 0.

(b) ∃x ∈ Z, ∃y ∈ Z, x + y = 0.

(c) ∃x ∈ Z, ∀y ∈ Z, x + y = 0.

(d) ∀y ∈ Z, ∃x ∈ Z, x + y = 0.


Solucion.

(a) Falsa. Contraejemplo x = 1, y = 2

(b) Verdadera. x = 1, y = −1

(c) Falsa. Para y = 1: x + 1 = 0. Para y = 2: x + 2 = 0. Entonces 1 = 2 (F).

(d) Verdadera. Para cada x existe y = −x tal que x + y = 0.


Metodo abreviado para determinar si un argumento es valido o invalido

P1, P2, . . . , Pn ` Q

� Asumimos la premisas P1, P2, . . . , Pn verdaderas y la conclusion Q falsa.

� Si llegamos a un absurdo (esto es, una contradicion t ∧ ¬t ≡ F) entonces el argu-

mento es valido.

� Si encontramos una combinacion de valores que cumplan las condiciones estableci-

das, entonces el argumento es invalido (evaluar).

Aplicacion. Determine si el siguiente argumento es valido o invalido:

q→ p , ¬r ` q


Contencion e igualdad de conjuntos.

� A ⊂ B es equivalente a mostrar que

∀x ∈ U, [x ∈ A→ x ∈ B]

� A = B es equivalente a mostrar que

∀x ∈ U, [x ∈ A↔ x ∈ B]


Teorema. Sea U un conjunto universal.

� Para todo conjunto A se cumple que ∅ ⊂ A.

� El conjunto vacıo es unico.

� (A = ∅) ≡ ∀x ∈ U, [x /∈ A].


Principios de conjuntos I. Si A, B, C son subconjuntos de un universo U, entonces

A ∩ A = A

A ∩ B = B ∩ A

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (directa e inversa)

A ∩∅ = ∅

A ∩U = A

A ∩ Ac = ∅

(Ac)c = A


Principios de conjuntos II. Si A, B, C son subconjuntos de un universo U, entonces

A ∪ A = A

A ∪ B = B ∪ A

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (directa e inversa)

A ∪∅ = A

A ∪U = U

A ∪ Ac = U

(Ac)c = A


Leyes de Morgan. Si A, B son subconjuntos de un universo U, entonces

(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc (directa e inversa)

(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc


Diferencia simetrica. Mostramos tres definiciones equivalentes

(a) A∆B = (A− B) ∪ (B− A).

(b) A∆B = (A ∪ B)− (A ∩ B).

(c) A∆B ={

x ∈ U, x ∈ A Y x ∈ B}

.

donde A, B son subconjuntos de un universo U.


Dominio. Si R ⊂ A× B es una relacion entonces el dominio de R se define como

dom R = {x ∈ A : ∃y ∈ B, [(x, y) ∈ R]}

Rango. Si R ⊂ A× B es una relacion entonces el rango de R se define como

ran R = {y ∈ B : ∃x ∈ A, [(x, y) ∈ R]}


Funcion. Una relacion R ⊂ A× B es una funcion, cuando cada elemento del dominio se

relaciona con un unico elemento del rango. Es decir

∀x ∈ domR, ∃! y ∈ ranR, [(x, y) ∈ R]

esto es equivalente a decir que

∀x ∈ A, ∀y, z ∈ B,[(x, y) ∈ R∧ (x, z) ∈ R→ y = z

]Determine si las siguientes relaciones en R son funciones:

S = {(x, y) ∈ R×R : x2 + y2 = 1}

T = {(x, y) ∈ R×R : x2 + y2 = 1∧ y ≥ 0}

U = {(x, y) ∈ R×R : x = y ∨ x + y = 4}

Argumentos y Cuantificadores

Problema. Determine la validez del siguiente argumento.

(¬p)→ q q→ (¬r) r ∨ s ¬s ` p


Problema. Determine la validez del siguiente argumento.

p ∨ q↔ ¬ r ¬ p→ s ¬ t→ q s ∧ t→ u ` r → u


Problema. Decimos que un ano es bisiesto si es divisible por 4, excepto el ultimo de cada

siglo, salvo que este ultimo sea divisible por 400. Establezca una formula logica para

determinar si un ano dado es bisiesto.


Solucion. Establecemos nuestro diccionario:

p : es divisible entre 4

q : es divisible entre 100

r : es divisible entre 400

Entonces un ano es bisiesto si cumple la siguiente formula logica: p ∧ (¬ q ∨ r).


Problema. Determine la validez de los siguientes argumentos.

¬ q↔ p ¬ q↔ r ¬ r ↔ s ∨ p ` s

p Y q q→ p ` ¬q ∧ p

r ∨ s p→ q ¬p→ ¬r p→ ¬q ` s ∨ t

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