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1. Introduccin a las tcnicas de simulacin digital

La simulacin digital es una tcnica que permite imitar (o simular) en un ordenador el comportamiento de un sistema real o hipottico segn ciertas condiciones particulares de operacin. Para analizar, estudiar y mejorar el comportamiento de un sistema mediante las tcnicas de simulacin digital es necesario primero describir bajo un cierto formalismo el conocimiento que se tiene sobre las dinmicas de inters (modelo conceptual), y luego codificarlo en un entorno de simulacin para poder realizar experimentos y analizar los resultados.

Aunque la simulacin digital es una tcnica relativamente reciente y en constante evolucin, el uso de la simulacin como metodologa de trabajo es una actividad muy antigua, y podra decirse que inherente al proceso de aprendizaje del ser humano. Es el caso, por ejemplo, de un nio jugando con unos objetos que no son ms que representaciones, a escala, de objetos reales. Para poder comprender la realidad y toda la complejidad que un sistema puede conllevar, ha sido necesario construir artificialmente objetos y experimentar con ellos dinmicamente antes de interactuar con el sistema real. La simulacin digital puede verse como el equivalente computarizado a este tipo de experimentacin. Para ello ser necesario construir objetos (modelos) que representen la realidad, de tal modo que puedan ser interpretados por un ordenador.

A partir de esta primera definicin -muy genrica- se desprende que el uso de las tcnicas de simulacin digital para la solucin de problemas es un campo interdisciplinario muy amplio, tanto por la variedad de sistemas que pueden ser considerados, como por la diversidad de contextos que pueden describirse.

Estas tcnicas han adquirido recientemente una importancia cada vez ms relevante en la resolucin de diferentes tipos de problemas prcticos; es usual encontrar aplicaciones en ingeniera, economa, medicina, biologa, ecologa o ciencias sociales. La formacin en el desarrollo de modelos matemticos y la utilizacin de simuladores digitales est as mismo presente en muchos estudios universitarios, de doctorado, postgrado y master.

Si bien existen diferentes enfoques posibles en la formacin en el campo de la simulacin digital, la orientacin que pretenden dar los autores del presente libro consiste en introducir una metodologa de modelado de sistemas orientados a eventos discretos, as como los mecanismos que permiten a los simuladores ejecutar los modelos. Estos conocimientos son, en opinin de los mismos, imprescindibles para un correcto uso de las tcnicas de simulacin.

2 Modelado y Simulacin

1.1. Tipos de sistemas

Para poder introducir el concepto de modelo de un sistema, y presentar los tipos de modelos de simulacin y sus principales caractersticas, debe previamente especificarse qu se entiende por sistema.

Un sistema puede definirse como una coleccin de objetos o entidades que interactan entre s para alcanzar un cierto objetivo. Si se considera, por ejemplo, el estudio sobre el nmero de cajeros necesarios en un supermercado para ofrecer un buen servicio a sus clientes, los objetos del sistema podran ser en los clientes en espera de ser atendidos, y los cajeros/as que realizan dicho servicio.

Ntese que los objetos considerados en un sistema pueden, en algunos casos, ser un conjunto distinto de los que se precisaran si el objetivo a alcanzar por el estudio fuera otro. Considerando de nuevo el ejemplo del supermercado, si lo que se desea es estudiar la atencin a las necesidades de consumo de los clientes, el sistema debera contemplar adicionalmente entidades tales como los productos o la lista personal de la compra, por no citar muchos otros.

El estado de un sistema puede ser definido como el conjunto mnimo de variables necesarias para caracterizar o describir todos aquellos aspectos de inters del sistema en un cierto instante de tiempo. A estas variables las denominamos variables de estado. Cabe reiterar que el nmero y tipo de stas vienen condicionados por los objetivos de nuestro estudio. As pues, en el sistema ejemplo descrito, las variables de estado podran ser el estado de cada uno de los cajeros (en este caso, disponible u ocupado), el nmero de clientes en cada cola, as como el nmero total de clientes en el supermercado.

Sin perder generalidad y considerando como finalidad de los experimentos el estudio del comportamiento de un sistema en el dominio temporal, los sistemas pueden clasificarse en: continuos, discretos, orientados a eventos discretos y combinados, atendiendo tan slo a la relacin entre la evolucin de las propiedades de inters y la variable independiente tiempo.

Sistemas continuos: las variables de estado del sistema evolucionan de modo continuo a lo largo del tiempo. Un ejemplo de este tipo de sistemas es la evolucin de la temperatura en una habitacin durante cualquier intervalo de tiempo, o bien la del nivel del lquido en un tanque (figura 1.1).

tiempo

Estado

Figura 1.1 Evolucin de un sistema continuo

Sistemas discretos: se caracterizan en que las propiedades de inters del sistema cambian nicamente en un cierto instante o secuencia de instantes, y permanecen constantes el resto del tiempo. La

Introduccin a las tcnicas de simulacin digital 3

secuencia de instantes en los cuales el estado del sistema puede presentar un cambio obedece a un patrn peridico.

Sistemas orientados a eventos discretos: al igual que los sistemas discretos, se caracterizan en que las propiedades de inters del sistema cambian nicamente en una secuencia de instantes de tiempo y, podemos considerar que permanecen constantes el resto del tiempo. La secuencia de instantes en los cuales el estado del sistema puede presentar un cambio obedece a un patrn aleatorio.

Sistemas combinados: aquellos que combinan subsistemas cuyas dinmicas responden a caractersticas continuas y discretas. Es el caso de los sistemas que poseen componentes que deben ser necesariamente modelados segn alguno de dichos enfoques especficos.

EJEMPLO 1.1 Peaje de una autopista

Un proceso muy conocido que ilustra el comportamiento de un sistema orientado a eventos discretos, es el peaje de una autopista, al cual llegan coches de modo aleatorio y en el cual se desea prever el tiempo de espera de los coches en las colas en funcin del nmero de taquillas abiertas. Considerando, por ejemplo, los cambios de estado de una taquilla (libre, ocupado), puede observarse que los instantes de tiempo en los cuales aparecer un cambio, obedecen a un patrn aleatorio. En la figura 1.2 (izquierda) se ha representado el estado de una de las taquillas de un peaje, indicando con el valor 1 que la taquilla se encuentra libre y con valor 0 que la taquilla se encuentra ocupada (sistema orientado a eventos discretos). En contraposicin, en la misma figura (derecha) tambin se ha representado la evolucin de la seal de control generada por un ordenador con un periodo de muestreo constante (sistema discreto).

estado

1

0

t0 t1 t2 t5 t6 t7 t8 tiempot3 t4

estado

t0 t1 t2 t3 t4 tiempo Figura 1.2 Evolucin de un sistema orientado a eventos discretos y de un sistema discreto

1.2. Tipos de modelos

Existen alternativas a las tcnicas de simulacin digital para imitar (simular) el comportamiento de un sistema. Sera el caso de la construccin de un prototipo a escala del sistema real (plantas piloto, procesos en miniatura, ...), la representacin analgica del sistema mediante circuitos elctricos, la descripcin cualitativa del sistema, o la analoga con otros sistemas fsicos o biolgicos, como la experimentacin de drogas en animales para prever sus efectos en las personas.


Todas estas tcnicas tienen en comn que, para imitar el comportamiento de un sistema, requieren (de algn modo) la descripcin de las caractersticas internas (mecanismos) del sistema en cuestin y as prever su respuesta. La descripcin de las caractersticas de inters de un sistema se conoce como modelo del sistema, y el proceso de abstraccin para obtener esta descripcin se conoce como modelado.

Existen muchos tipos de modelos (modelos fsicos, modelos mentales, modelos simblicos) para representar los sistemas en estudio. Puesto que uno de los objetivos para los cuales se van a desarrollar los modelos es su uso en computadores (entornos de simulacin digital), es necesario que los modelos formalicen el conocimiento que se tiene del sistema de modo conciso, sin ambigedades (interpretacin nica), y que puedan ser procesados por un ordenador. Estas caractersticas determinan el uso de modelos simblicos matemticos como herramienta para representar la dinmica de cualquier sistema en un entorno de simulacin digital. Los modelos simblicos matemticos mapean las relaciones existentes entre las propiedades fsicas del sistema que se pretende modelar en las correspondientes estructuras matemticas. Teniendo en cuenta que uno de los objetivos es encontrar una representacin lo ms simple posible de las dinmicas de inters, el tipo de formalizacin matemtica que se utilice va a depender de las caractersticas intrnsecas de las dinmicas que se quieran representar.

La descripcin en trminos matemticos de un problema real no es una metodologa de trabajo propia de la simulacin digital, sino que es inherente a la mayora de las tcnicas que se utilizan para solventar cualquier tipo de problema. Estas suelen seguir unas pautas que, de modo general, se han resumido en la figura siguiente:

Reconocimiento del problema

Formulacin del modelo matemtico

Solucin del problema matemtico

Interpretacin de los resultadosmatemticos en el contexto del

problema real

Figura 1.3 Etapas en la explotacin de modelos matemticos

Aunque existe una gran diversidad de metodologas para el desarrollo de modelos matemticos de sistemas fsicos, se deben tener en cuenta un conjunto de consideraciones a fin de garantizar una representacin eficiente del sistema real:

Un modelo se desarrolla siempre a partir de una serie de aproximaciones e hiptesis y, consecuentemente, representa tan slo parcialmente la realidad.


Un modelo se construye para una finalidad especfica y debe ser formulado para que sea til a dicho fin.

Un modelo tiene que ser, por necesidad, un compromiso entre la simplicidad y la necesidad de recoger todos los aspectos esenciales del sistema en estudio.

As pues, un buen modelo debe preservar las siguientes propiedades:

Representar adecuadamente aquellas caractersticas del sistema que son de nuestro inters.

Ser una representacin abstracta de la realidad lo suficientemente sencilla como para facilitar su mantenimiento, adaptacin y reutilizacin.

Atendiendo a las caractersticas que debe poseer un buen modelo, as como los objetivos del estudio de simulacin, los modelos de simulacin suelen clasificarse de diferentes formas:

Modelos estticos respecto a modelos dinmicos

Los Modelos Estticos suelen utilizarse para representar el sistema en un cierto instante de tiempo; y en su formulacin no se considera el avance del tiempo. A ttulo ilustrativo, considrese un modelo matemtico simple sobre la cantidad de material en un almacn de una fbrica:

Stock = Stock inicial + Material entrada - Material consumido por la fbrica

Este tipo de modelos es muy til cuando el sistema se encuentra en equilibrio (no evoluciona respecto al tiempo). Si se cambia el punto de equilibrio alterando uno o ms de los valores del sistema, el modelo permite deducir el resto de los valores, pero no muestra la manera en que cambiaron.

En contraposicin a los modelos estticos, los modelos dinmicos permiten deducir cmo las variables de inters del sistema en estudio evolucionan respecto al tiempo. Un ejemplo de modelo dinmico es la evolucin de material en un stock, que depende de los flujos de entrada y salida, cada uno de los cuales conlleva implcita la evolucin del tiempo.

Evolucin del stock = Flujo de entrada Flujo de salida

Las ecuaciones siguientes describen matemticamente la evolucin de un stock suponiendo que las variables de inters evolucionan de manera continua o discreta respectivamente, donde Fi y Fo representan los flujos de entrada y salida del almacn.

( ) ( )tFtFdTdS

oi =

( ) ( ) ( ) ( )kFkFkS1kS oi +=+ Modelos deterministas respecto a modelos estocsticos

Un modelo se denomina determinista si su nuevo estado puede ser completamente definido a partir del estado previo y de sus entradas. Es decir, ofrece un nico conjunto de valores de salida para un conjunto de entradas conocidas.


Los modelos estocsticos utilizan una o ms variables aleatorias para formalizar las dinmicas de inters del sistema. En consecuencia, en la fase de experimentacin, el modelo no genera un nico conjunto de salida, sino que los resultados generados sirven para obtener estimaciones de las variables que caracterizan el comportamiento real del sistema.

Modelos continuos respecto a modelos discretos

Los modelos continuos se caracterizan por representar la evolucin de las variables de inters de forma continua. En general suelen utilizarse ecuaciones diferenciales ordinarias, si se considera simplemente la evolucin de una propiedad respecto al tiempo, o bien ecuaciones en derivadas parciales si se considera tambin la evolucin respecto al espacio.

De modo anlogo a la definicin de modelos continuos, los modelos discretos se caracterizan por representar la evolucin de las variables de inters de forma discreta.

Es importante notar a partir de la clasificacin de modelos realizada, que es posible describir un sistema continuo mediante un modelo discreto y, al revs, tambin es posible describir un sistema discreto mediante un modelo continuo. La decisin de utilizar un modelo continuo o un modelo discreto depende de los objetivos particulares de cada estudio y no tanto de las caractersticas del sistema. As pues, por ejemplo, es posible encontrar modelos continuos de flujos de coches en una autopista donde se ha escogido una formulacin continua cuando los objetivos del estudio se centran, pongamos por caso, en evaluar la evolucin de los flujos ante un accidente o bien cuando se elimina un carril, en que el movimiento individualizado de un vehculo carece de importancia. En cambio, si lo que interesa es describir de forma detallada el comportamiento de los vehculos en una trama urbana, en un cruce especfico, en las entradas o salidas de una ronda perifrica, o evaluar un determinado plan de control semafrico en funcin de la demanda a lo largo del da, utilizaremos una formulacin discreta, en la que cada vehculo ser modelado de forma individual, se tendrn en cuenta sus atributos y otra informacin especfica y, probablemente, se visualice en 2-D o en realidad virtual el movimiento de dichos vehculos as como otros detalles del sistema.

Antes de finalizar la presentacin del concepto de modelo de un sistema, se introducen a continuacin otras definiciones igualmente vlidas en el contexto de este libro, y algunas de las caractersticas que debe cumplir un buen modelo:

Un modelo es un objeto o concepto que utilizamos para representar cualquier otra entidad compleja (un sistema). As pues, mediante un proceso de abstraccin, se muestran en un formato adecuado las caractersticas de inters de un objeto (sistema) real o hipottico.

Un modelo es una representacin simplificada de un sistema que nos facilitar explicar, comprender, cambiar, preservar, prever y, posiblemente, controlar el comportamiento del mismo.

Un modelo puede ser el sustituto de un sistema fsico concreto. Un modelo debe representar el conocimiento que se tiene de un sistema de modo que facilite su

interpretacin, formalizando tan slo los factores relevantes para los objetivos de modelado. Un modelo debe ser tan sencillo como sea posible - ya que el desarrollo de modelos universales es

impracticable y poco econmico -, siempre y cuando represente adecuadamente los aspectos de inters.


1.3. Modelos de simulacin de eventos discretos

Los modelos de eventos discretos son modelos dinmicos, estocsticos y discretos en los que las variables de estado cambian de valor en instantes no peridicos del tiempo sin estar dirigidos por un reloj. Estos instantes de tiempo se corresponden con la ocurrencia de un evento. Por tanto, un evento se define como una accin instantnea que puede cambiar el estado del modelo.

Otros elementos de inters de los modelos de eventos discretos son descritos en detalle en el apartado 4.1. Los ms significativos son:

Actividades: son las tareas o acciones que tienen lugar en el sistema. Estn encapsuladas entre dos eventos. Por ejemplo, la reparacin de una mquina, el procesado de una pieza o el transporte de un cliente. Las actividades generalmente tienen duracin temporal y, normalmente, precisan del uso de recursos.

Entidades: son el conjunto de objetos que constituyen o fluyen por el sistema. Pueden ser temporales o permanentes. En la bibliografa a menudo se emplea el concepto de entidad para aludir slo a las entidades temporales, aunque en este libro el concepto es ms amplio dado que tambin incluye a los recursos. Esto nos permite mantener la coherencia con los mltiples formalismos empleados en el proceso de abstraccin del sistema.

Entidades temporales: son los objetos que se procesan en el sistema, como por ejemplo las piezas, los clientes o los documentos. Entidades diferentes pueden tener caractersticas diferentes que denominaremos atributos: por ejemplo, precio, prioridad, estado o tamao. Las entidades temporales son los objetos que llegan, se procesan y salen del sistema.

Recursos o entidades permanentes: son los medios gracias a los cuales se pueden ejecutar las actividades. Los recursos definen quin o qu ejecuta la actividad. Los recursos pueden tener caractersticas como capacidad, velocidad, averas y reparaciones o tiempo de ciclo. Ejemplos de recursos son las mquinas, los elementos de transporte o las personas.

EJEMPLO 1.2

En el modelo del sistema del ejemplo 1.1 descrito anteriormente, los eventos que pueden ocurrir son:

La llegada de un vehculo a la cola. Inicio del pago del peaje. Fin del pago y salida del sistema.

Las entidades temporales son los vehculos que pasan por el peaje. La actividad nica del proceso es el pago en la taquilla y el recurso de inters es la taquilla o taquillas habilitadas.

1.4. Alternativas en la simulacin de modelos de eventos discretos

Resumiendo algunos de los conceptos introducidos en las secciones anteriores, el modelo de un sistema debe representar las dinmicas de inters del sistema bajo unas condiciones de un estudio particular, y la simulacin consiste en realizar experimentos sobre el modelo del sistema de tal modo


que los resultados generados por el simulador permitan prever con cierta exactitud los resultados que se obtendran realizando el mismo experimento sobre el sistema real.

Con el objetivo de ilustrar diferentes alternativas para experimentar con el modelo de simulacin de un sistema orientado a eventos discretos, considrese el sistema de procesado de rdenes ilustrado en la figura 1.4, donde las tres actividades ms significativas del sistema en estudio son: la recepcin, el procesado y finalmente la expedicin de las rdenes recibidas. Se considera que hay cuatro trabajadores por cada turno diario de 8 horas y que la franja horaria normal de trabajo es desde las 9 de la maana hasta las 5 de la tarde. No obstante, la jornada laboral se alarga si no ha sido posible expedir todas las rdenes recibidas a lo largo del da.

Recepcinde rdenes

4 rdenes ordinarias / da6 ordenes prioritarias / da

Poceso derdenes Expedicin

2 horas / orden ordinaria4 horas / orden prioritaria

Figura 1.4 Esquema del procesado de rdenes

Los parmetros ms significativos del sistema son:

En promedio, se reciben 10 rdenes cada da. Hay dos tipos de rdenes, las ordinarias y las prioritarias: el 40% de las rdenes son ordinarias y

el 60% restante son prioritarias. En promedio, una orden ordinaria requiere 2 horas de proceso y una orden prioritaria 4 horas. Solo se aceptan rdenes hasta la 1 del medioda.

1.4.1. Simulacin del modelo esttico

A partir de una formulacin esttica del sistema en la que no interviene directamente el tiempo (basada en valores promedio), es posible analizar el comportamiento del sistema llegando a conclusiones errneas, como que no exista ningn retraso en las rdenes y que los recursos humanos estn aprovechados en un 100%:

rdenes ordinarias = 4 rdenes/da * 2 horas/orden = 8 horas/da

rdenes prioritarias = 6 rdenes/da * 4 horas/orden = 24 horas/da

capacidad necesaria = 8 + 24 = 32 horas/da

capacidad disponible = 4 trabajadores/da * 8 horas/da = 32 horas/da

porcentaje de utilizacin = capacidad necesaria/cap. disponible * 100=100%

1.4.2. Simulacin a mano

Para realizar una simulacin del modelo orientado a eventos discretos (modelo de simulacin estocstico y discreto) es necesario formalizar los distintos eventos que afectan a las variables de inters del estudio, los instantes de tiempo en que pueden aparecer dichos eventos, as como las actividades que deben realizarse como consecuencia de la aparicin de dichos eventos.


En la figura 1.5 se muestran, en forma de organigramas, las acciones asociadas al evento de llegada de una orden. Si todos los trabajadores estn ocupados, la orden se espera en la cola. En caso contrario, se asigna un trabajador a la orden y se inicia su proceso.

NO

Llegada deuna orden

S4 Trabajadores

ocupados

Se inicia elproceso de

la orden

La orden seespera en la

cola

Figura 1.5 Diagrama de flujo del evento de llegada de una orden

NO

La orden esexpedida

SHay rdenesen la cola?

Trabajador/es enespera de rdenes

Quitar una ordende la cola

Quitar una ordende la cola

Figura 1.6 Diagrama de flujo del evento de expedicin de una orden

En la figura 1.6 se representan las acciones ligadas al evento de expedicin de una orden. Al finalizar el proceso de una orden, uno de los trabajadores queda libre. Si hay rdenes en cola, el trabajador selecciona la orden ms prioritaria e inicia su procesado. En caso contrario, el trabajador permanece a la espera de la llegada de nuevas rdenes.


Para analizar el comportamiento del sistema se simula la dinmica del proceso en el cual la llegada de rdenes es aleatoria. La figura 1.7 muestra, para cada una de las rdenes, la hora de llegada, el tiempo que est en cola, el tiempo de procesado y la hora de expedicin.

orden 9 a 10 10 a 11 11 a 12 12 a 13 13 a 14 14 a 15 15 a 16 16 a 17 17 a 18 18 a 19 19 a 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Orden ordinariaOrden prioritaria

Orden en la colapara el proceso

Inicio del proceso

Expedicin

horas extras

Figura 1.7 Diagrama de la simulacin a mano

Las primeras dos rdenes llegan a las 9 de la maana. La tercera orden llega una hora ms tarde, a las diez. Dado que estas primeras rdenes son ordinarias y hay trabajadores para procesarlas, las tres rdenes son expedidas al cabo de dos horas. Ms adelante, a las 13 horas, llega la orden nmero 8. En este instante, los cuatro trabajadores estn ocupados. En consecuencia, no se puede iniciar su proceso hasta una hora ms tarde, despus de ser expedida la orden nmero 5. Para completar las rdenes 8, 9 y 10 es preciso que 3 trabajadores alarguen su jornada de trabajo ms all de las 5 de la tarde.

A continuacin se muestra tambin, de forma tabular, los resultados de la simulacin a mano. La primera columna muestra en qu instante ocurre cada evento. En la cuarta columna se muestra el tipo de evento, evento de llegada de una orden o evento de expedicin de una orden. En la columna nmero dos se muestra la orden que se recibe o expide y en la siguiente columna, la tercera, se muestra el tipo de orden, ordinaria o prioritaria. En la quinta columna se muestra el nmero de rdenes en la cola. En la sexta columna se muestra el nmero de rdenes en el sistema (desde que llega la orden hasta que sta es expedida). La penltima columna muestra el tiempo que est cada orden en la cola a la espera de ser procesada. La ltima columna muestra, en el evento de expedicin, el tiempo total que ha estado la orden en el sistema, o sea, la suma del tiempo en la cola ms el tiempo en proceso.

Las ltimas cuatro columnas muestran estadsticas importantes para analizar el comportamiento del sistema. Estas estadsticas son recogidas cada vez que hay un evento. Por ejemplo, el nmero de rdenes en la cola alcanza su valor mximo a las 13 horas. Las ltimas tres rdenes estn en la cola una, dos y tres horas respectivamente.


Tiempo (hora)

Nmero de orden

Tipo de orden

Tipo de evento

Nmero en cola

Nmero en sistema

Tiempo en cola

Tiempo en sistema

9 1 Ordinaria Llegada 0 1 - - 9 2 Ordinaria Llegada 0 2 - - 10 3 Ordinaria Llegada 0 3 - - 11 1 Ordinaria Expedicin 0 2 - 2 h 11 2 Ordinaria Expedicin 0 1 - 2 h 11 4 Prioritaria Llegada 0 2 - - 12 3 Ordinaria Expedicin 0 1 - 2 h 12 5 Ordinaria Llegada 0 2 - - 12 6 Prioritaria Llegada 0 3 - - 13 7 Prioritaria Llegada 0 4 - - 13 8 Prioritaria Llegada 1 5 - - 13 9 Prioritaria Llegada 2 6 - - 13 10 Prioritaria Llegada 3 7 - - 14 5 Ordinaria Expedicin 2 6 - 2 h 15 4 Prioritaria Expedicin 1 5 - 4 h 16 6 Prioritaria Expedicin 0 4 - 4 h 17 7 Prioritaria Expedicin 0 3 - 4 h 19 8 Prioritaria Expedicin 0 2 1 h 5 h 19 9 Prioritaria Expedicin 0 1 2 h 6 h 20 10 Prioritaria Expedicin 0 0 3 h 7 h

Tabla 1.1 Tabla de la simulacin manual del proceso de rdenes

A continuacin se resume el comportamiento del proceso observado mediante la simulacin manual:

tiempo de ciclo promedio para rdenes ordinarias = 8 h/4 rdenes = 2 h/orden

tiempo de ciclo promedio para las prioritarias = 30 h/6 rdenes = 5 h/orden

tiempo promedio en la cola = 6 h/10 rdenes = 0.6 h/orden

tiempo mximo en la cola = 3 h

nivel de servicio promedio = 7 rdenes a tiempo / 10 rdenes = 70%

3 trabajadores han tenido que trabajar un total de 6 horas extras para completar las rdenes

Aunque inicialmente pareca que el diseo del proceso era el adecuado, las llegadas aleatorias provocan colas y retardos posteriores en el procesado de las rdenes. En este ejemplo se ha observado que las llegadas aleatorias provocan desviaciones significativas respecto al comportamiento esperado inicialmente.

Para efectuar la simulacin anterior, se ha supuesto conocido el nmero de rdenes que llegan en cada franja horaria. Sin embargo, en la prctica diaria, esta secuencia precisa de tiempos puede no ser conocida al ocurrir que:

el proceso simulado todava no existe en la realidad, o se desea simular el comportamiento de un sistema real segn condiciones diferentes de

operacin.


Aunque no se disponga de la informacin anterior, s que, en general, se dispone de informacin sobre la distribucin del nmero de rdenes que llegan cada hora. En este caso, la informacin pudo ser obtenida de forma precisa a partir de una muestra real o de forma aproximada a partir del conocimiento que se tena del sistema.

Se supone conocida la probabilidad de que en una hora determinada lleguen 1, 2, 3 o 4 rdenes. La distribucin de probabilidades se muestra en la tabla siguiente

rdenes / hora Probabilidad (%) Prob. acumulada 1 40 40 2 30 70 3 20 90 4 10 100

Tabla 1.2 Distribucin de probabilidades

Una forma de simular cul ser el instante de tiempo en el que se procesar la siguiente orden de trabajo consiste en introducir 100 bolas en un saco, numeradas de la 01 hasta la 100, y sacar una al azar. Si el valor extrado est comprendido entre el 01 y el 40, el nmero de rdenes ser 1. Si est comprendido entre el 41 y el 70, llegarn 2 rdenes, si est comprendido entre el 71 y el 90, llegarn 3, y si est comprendido entre el 91 y el 100, llegarn 4 rdenes. Para proseguir, se vuelve a colocar la bola extrada en el saco y se procede de forma exactamente igual para obtener el nmero de rdenes de la hora siguiente. Ntese que, dado que del total de bolas, 40 estn comprendidas entre los valores 01 y 40, la probabilidad de que el nmero de rdenes sea 1 ser de 0.4 (40%).

Hora Nmero al azar Nmero de rdenes9 54 2

10 12 1 11 36 1 12 60 2 13 90 4

Tabla 1.3 Extraccin de valores aleatorios

1.4.3. Simulacin digital mediante un lenguaje de propsito general

Los lenguajes que se utilizan para la simulacin de un sistema orientado a eventos discretos pueden ser tanto lenguajes de programacin de propsito general (por ejemplo, Pascal o C++), como lenguajes de simulacin de propsito general (como el GPSS, Simscript, Siman, Slamsystem), los cuales aparecieron a partir de 1960. La principal caracterstica de los lenguajes de programacin es que ofrecen una librera de instrucciones suficientemente completa como para permitir programar cualquier tipo de modelo, por complejo que ste sea. Cualquier programador con cierta experiencia en el uso de la variable tiempo para coordinar, sincronizar o bloquear procesos, podra con cierta facilidad codificar el modelo de simulacin descrito en los organigramas anteriores (figura 1.5 y figura 1.6), considerando adicionalmente la necesidad de generar nmeros aleatorios que representen los tiempos entre 2 llegadas de rdenes sucesivas, y nmeros aleatorios que representen el tiempo invertido en el procesamiento de una orden.


Aunque en el ejemplo presentado la codificacin del modelo de simulacin en un lenguaje de propsito general es una tarea relativamente sencilla, en general, la codificacin del modelo de un sistema orientado a eventos discretos requiere una inversin considerable de tiempo y personal especializado para el desarrollo del modelo de simulacin, con lo que el mantenimiento del mismo para futuros experimentos suele presentar grandes limitaciones si no se ha formalizado correctamente.

1.4.4. Experimentacin mediante un entorno de simulacin

El principal objetivo para el que se desarrollan entornos de simulacin es facilitar el uso de la simulacin en la fase de programacin del modelo, a costa de restringir los campos de aplicacin. Los primeros entornos de simulacin orientados a eventos discretos aparecieron a principios de los 80, y pueden ser definidos como una toolbox con un nmero limitado de herramientas de programacin de alto nivel. Aunque estos entornos permiten reducir considerablemente las tareas de programacin, las directivas de programacin con las que se trabaja no ofrecen an la flexibilidad que ofrecen los lenguajes de programacin de propsito general.

Figura 1.8 Interfaz grfico de modelado de un simulador

En la figura 1.8 se muestra una interfaz de desarrollo de modelos de un simulador (Arena), en la que puede observarse (parte izquierda) las herramientas de programacin grfica de alto nivel, que


permiten el desarrollo del modelo de simulacin a partir de la interconexin de los mdulos predefinidos.

En opinin de los autores, los entornos de simulacin actuales (como por ejemplo Arena, Witness o LeanSIM) ofrecen la misma flexibilidad que los lenguajes de programacin, puesto que incorporan bloques que pueden ser programados desde lenguajes de alto nivel como C y Visual Basic. La diferencia en cuanto a prestaciones, capacidades y limitaciones entre simuladores y lenguajes de simulacin est prcticamente desapareciendo.

1.5. Ventajas y desventajas de la simulacin

La disponibilidad en el mercado de entornos de simulacin orientados a campos especficos, con libreras preprogramadas y validadas de componentes tpicos, junto con la capacidad de programacin grfica y de visualizacin, han hecho posible que la simulacin sea una tcnica cada vez ms utilizada en el anlisis y la mejora de sistemas. Thomas y DaCosta [THOM79] dieron a los analistas de 137 grandes firmas una lista de herramientas y les preguntaron cuales de ellas usaban. El anlisis estadstico result clasificado en primer lugar, el 93% de las firmas dijeron utilizarlo, seguido por la simulacin con el 84%. La simulacin se situ delante de tcnicas clsicas de investigacin operativa: programacin lineal, teora de colas, PERT/CPM, teora de inventarios o programacin no lineal. Estudios posteriores [FORG83, HARP89, LANE93] confirman que la simulacin es la segunda tcnica de inters (por detrs de la estadstica) en las grandes empresas.

Algunos de los objetivos para los cuales pueden utilizarse muy satisfactoriamente las tcnicas de simulacin digital de sistemas orientados a eventos discretos son:

El anlisis y estudio de la incidencia sobre el rendimiento global del sistema de pequeos cambios realizados sobre alguno de sus componentes. En la actualidad, los sistemas logsticos son considerados sistemas complejos, entre otros motivos, porque un pequeo cambio o una mala sincronizacin entre los elementos que intervienen en los mismos pueden derivar fcilmente en un comportamiento no deseado, lo que frecuentemente implica una importante repercusin econmica.

Cambios en la organizacin de una empresa, as como en la gestin de la informacin pueden ser fcilmente simulados, y los efectos sobre el sistema real pueden ser analizados a partir de la experimentacin con el modelo.

El conocimiento que se obtiene en el desarrollo de un modelo de simulacin es de gran inters para poder sugerir posibles mejoras en su rendimiento, ms all del estricto encargo del estudio de simulacin propiamente dicho.

La observacin de los resultados que se obtienen de un simulador a partir de experimentar con ciertos parmetros del modelo, as como los cambios en las entradas, permiten inferir aspectos relativos a la sensibilidad del sistema y qu variables son las que ms pueden beneficiar al rendimiento del mismo.

La simulacin suele ser utilizada tambin con una perspectiva pedaggica para ilustrar y facilitar la comprensin de los resultados que se obtienen mediante tcnicas analticas.


Experimentar con condiciones de operacin que podran ser peligrosas o de elevado coste econmico en el sistema real.

En resumen, las tcnicas de simulacin pueden generalmente ser utilizadas como una metodologa de trabajo barata y segura que,

Permite responder muy satisfactoriamente a preguntas del tipo qu ocurrira si realizamos este cambio en...

Contribuye a la reduccin del riesgo inherente a la toma de decisiones.

Por otro lado, cabe notar que la toma de decisiones basada nicamente en un estudio realizado mediante la simulacin, conlleva un elevado riesgo si el modelo en el cual se basa el estudio no ha sido validado y las fases del proyecto convenientemente verificadas. Ntese que la popularizacin de las tcnicas de simulacin ha ido paralela al incremento de potencia y flexibilidad de las nuevas herramientas. Su facilidad de manejo y sus entornos de visualizacin/animacin han facilitado la incorporacin de nuevos usuarios menos especializados. Si bien se ha popularizado su utilizacin, tambin se ha incrementado su mal uso. Un modelo de simulacin no puede ser mejor que los datos y las tcnicas empleadas en su construccin.

En este libro se pretende presentar las pautas que deberan seguirse en el desarrollo de un proyecto de simulacin, tanto para poder garantizar la fiabilidad de los resultados, como para facilitar la implementacin del modelo.

1.6. Campos de aplicacin de la simulacin orientada a eventos discretos

En la actualidad, la mayor parte de las organizaciones, empresas y procesos productivos han crecido en complejidad y han visto aumentados los requerimientos de competitividad, flexibilidad y calidad en sus actividades. Por ello han debido innovar y adaptarse a los constantes cambios provocados por su pertenencia a un mercado cada vez ms global. Posiblemente influenciadas por las nuevas tendencias en el sector, muchas empresas se han visto involucradas en un proceso de reingeniera de su proceso productivo.

La falta de herramientas analticas que ayuden y faciliten la toma de decisiones es uno de los principales problemas con los que se encuentran los directivos, que ven la necesidad de mejorar el rendimiento de aquellos sistemas cuyo comportamiento depende de un nmero elevado de variables de decisin. Determinar cambios en los procedimientos, en las reglas que utilizan los distintos departamentos en la toma de decisiones, en los flujos de informacin, as como cambios en la organizacin y en las polticas de funcionamiento tradicionales de la empresa son algunos ejemplos de tareas que deben ser realizadas para reaccionar ante perturbaciones y adaptarse a los cambios del mercado a los que se ven constantemente sometidos.

La dificultad que comportan estos procesos se hace evidente en una gran diversidad de campos en los que, prcticamente, se desconoce la influencia de determinados cambios en algunas variables de decisin, sobre el rendimiento global de la empresa. Considrese, a modo de ejemplo, todos aquellos sistemas que no pueden procesar de modo inmediato las peticiones de trabajo y que, en consecuencia, son retenidas y priorizadas en colas de espera asociadas a los distintos recursos.


El problema es todava ms complicado cuando se pretende optimizar (o en todo caso mejorar) el rendimiento de un sistema que presenta un comportamiento estocstico (predecible desde un punto de vista estadstico) a partir de cambios en la logstica del sistema. sta suele contemplar no slo las fluctuaciones estadsticas, sino tambin las distintas situaciones que se derivan de la dependencia entre sucesos.

Las herramientas de simulacin orientadas a eventos discretos ofrecen una plataforma que permite abordar con xito un proceso de mejora continua de sistemas complejos para los cuales las tcnicas analticas clsicas basadas en el uso de clculo diferencial, teora de probabilidades y mtodos algebraicos, no pueden ser utilizadas para formalizar de modo sencillo la complejidad de los procesos.

Una consulta rpida a los artculos publicados en la Winter Simulation Conference de los ltimos aos (http://www.informs-cs.org) nos puede dar una buena perspectiva de los diferentes campos de aplicacin de las tcnicas de simulacin orientadas a eventos discretos:

Procesos de fabricacin : fue una de las primeras reas beneficiadas por estas tcnicas. La simulacin se emplea tanto en el diseo como para la ayuda a la toma de decisiones operacionales.

Logstica: la simulacin contribuye de forma significativa a la mejora de los procesos logsticos en general. Dentro de esta rea, se incluye tanto una cadena completa de suministros (supply chain) como la gestin de inventarios de un almacn.

Transporte: ya sea por ferrocarril, por carretera o por va area y ligado o no a decisiones logsticas. Dentro de esta rea, la intermodalidad entendida como interconexin de diferentes medios de transporte, ha merecido especial atencin en los ltimos aos. Tambin se ha introducido con fuerza la simulacin visual de modelos de trnsito, tanto en lo que se refiere a modelos macroscpicos como microscpicos.

Sanidad: se emplea en la mejora tanto de un departamento hospitalario, como en la logstica asociada a los transplantes o a la coordinacin mdica en una regin.

Negocios (Business Processing): simulacin de los procesos administrativos y de negocio de una empresa.

Construccin: por ejemplo, la planificacin de la construccin en obra civil o la gestin de recursos.

Emergencias: la simulacin se emplea para la gestin de la emergencia; por ejemplo, diseo de planes de evacuacin en edificios o recintos pblicos.

Servicios en general: servicios pblicos, gestin de restaurantes, banca, empresas de seguros,...

1.7. Ciclo de vida de un proyecto de simulacin

Existe el consenso, entre las personas involucradas en el desarrollo y mantenimiento de modelos de simulacin, de que los modelos simples son preferibles a los modelos complejos. A pesar de ello, en muchos proyectos, los modelos de simulacin suelen ser largos y complejos. Una posible explicacin a la falta de dedicacin o de inters en la simplificacin de modelos radicara en la potencia de clculo


de los ordenadores actuales, suficiente para soportar la ejecucin de grandes modelos de simulacin. A pesar de ello, cabe destacar que el exceso de complejidad en los modelos no tan slo repercute en el rendimiento computacional, sino que tambin afecta a otras cuestiones, como el tiempo invertido en el desarrollo del modelo, su mantenimiento, verificacin, validacin, etc.

Aunque parezca un concepto muy intuitivo, no existe ninguna definicin o medida de complejidad que haya sido aceptada como estndar por la comunidad cientfica. Algunos autores relacionan, por ejemplo, la complejidad del modelo con el nivel de detalle y otros con la envergadura del sistema.

Citamos, a continuacin, algunas de las ventajas de trabajar con modelos sencillos:

Son ms fciles de implementar, validar y analizar.

Es ms fcil y, en cierto modo, menos doloroso, desechar un modelo simple cuando se ha cometido, por ejemplo, un error de diseo que si se trata de un modelo complejo en el cual se han invertido un nmero de horas y de personal experto considerable.

Es ms fcil cambiar un modelo simple que un modelo complejo si las condiciones o hiptesis de operacin sobre el sistema real cambian.

El tiempo que conlleva un proyecto de simulacin se ve considerablemente reducido y pueden presentarse resultados correctamente validados antes de las fechas de entrega si se trabaja con modelos sencillos.

Un proyecto de simulacin es dinmico por naturaleza. Los resultados que se van obteniendo a medida que se va desarrollando, ponen a su vez de manifiesto nuevos problemas, as como limitaciones inherentes al sistema en estudio, y pueden forzar a reconsiderar la orientacin tomada en un principio. Es ms, la motivacin del cliente puede tambin variar a lo largo del mismo, como consecuencia de los resultados obtenidos o por factores externos al propio proyecto. Para tener xito en un entorno tan dinmico, es necesario emplear una aproximacin metodolgica correcta.

En la prctica, el xito en el uso de una tecnologa tan potente como la simulacin no depende tan slo de los aspectos puramente tcnicos, sino tambin de otros aspectos complementarios como son:

La necesidad de tener o ganarse el apoyo de los rganos con capacidad de decisin de las empresas. Este apoyo es absolutamente necesario para poder superar las barreras que suelen aparecer.

Es importarte inspirar confianza. El cliente o usuario final responsable de la toma de decisiones no tiene, en general, ni el tiempo ni la capacidad suficientes para fiscalizar todo el trabajo efectuado. En consecuencia, se tomarn decisiones sobre la base de los resultados de un estudio de simulacin si el grupo que lo ha realizado inspira confianza. En general sta hay que ganrsela a lo largo del estudio efectuando un trabajo serio y riguroso.

La tabla 1.4 muestra el conjunto de etapas de un proyecto de simulacin. Aunque puede parecer que el desarrollo de un proceso de simulacin es un proceso secuencial, en la prctica no es as. Por ejemplo, si el modelo de simulacin obtenido no supera la etapa de validacin (etapa 5), es posible que sea necesario modificar tanto el modelo conceptual como el de simulacin:


Formulacin del problema: la especificacin de los objetivos es una de las tareas ms importantes de un proyecto de simulacin. Si los objetivos no estn claros o son poco concretos, existe el peligro de no abordar correctamente el problema para el cual se ha solicitado el proyecto de simulacin y de ser incapaz de responder a las expectativas generadas. En consecuencia, es necesario, en la fase inicial de cualquier proyecto de simulacin, saber identificar los objetivos para los cuales se ha optado por el uso de las tcnicas de simulacin, y formalizarlos (en forma de cuestiones, por ejemplo) de forma que sean precisos, razonables, comprensibles y medibles. Estos objetivos servirn de gua a lo largo del proyecto.

Diseo del modelo conceptual: una vez conocidos los objetivos del proyecto, puede existir la tentacin de iniciar la construccin del modelo de simulacin de forma inmediata. Esto generalmente conduce a la obtencin de modelos de simulacin con mltiples lagunas y de difcil mantenimiento. Es por ello conveniente formular o especificar el modelo de simulacin empleando un nivel de abstraccin (modelo conceptual) superior al del propio cdigo. El modelo conceptual especifica las relaciones estructurales ms importantes del sistema que se intenta simular y, en consecuencia, constituye un medio de dilogo y de coordinacin entre los distintos departamentos o grupos involucrados. El captulo 2 de este libro aborda el diseo de modelos conceptuales empleando el formalismo de las redes de Petri.

Tambin corresponde a esta etapa especificar qu resultados o estadsticas esperamos obtener del modelo de simulacin para as responder a las preguntas formuladas en la definicin de objetivos. Al especificar los resultados, se detecta a menudo qu partes del modelo pueden ser simplificadas o eliminadas dado que no contribuyen a responder a dichas preguntas.

Etapa Descripcin Formulacin del problema Define el problema que se pretende estudiar. Incluye por

escrito sus objetivos. Diseo del modelo conceptual Especificacin del modelo a partir de las caractersticas de los

elementos del sistema que se quiere estudiar y sus interacciones teniendo en cuenta los objetivos del problema.

Recogida de datos Identificar, recoger y analizar los datos necesarios para el estudio.

Construccin del modelo Construccin del modelo de simulacin partiendo del modelo conceptual y de los datos.

Verificacin y validacin

Comprobar que el modelo se comporta como es de esperar y que existe la correspondencia adecuada entre el sistema real y el modelo.

Anlisis Analizar los resultados de la simulacin con la finalidad de detectar problemas y recomendar mejoras o soluciones.

Documentacin Proporcionar documentacin sobre el trabajo efectuado. Implementacin Poner en prctica las decisiones efectuadas con el apoyo del

estudio de simulacin.

Tabla 1.4 Etapas de un proyecto de simulacin


Recogida y tratamiento de los datos: en general, se recomienda cuestionar siempre toda la informacin y los datos disponibles. Cul es la fuente?, cundo se obtuvo?, cmo fue recogida?, tiene sta sentido?, tenemos insuficientes datos o son excesivos?. Para obtener buenos resultados es condicin indispensable disponer de unos buenos datos. Desgraciadamente, en muchos casos no se dispone de ellos. Aun as, se requiere una respuesta a las preguntas planteadas y es necesario efectuar hiptesis razonables en colaboracin con el usuario final. Si los datos son limitados o su calidad es dudosa es conveniente ser prudente a la hora de extraer conclusiones sobre la base de los resultados de la simulacin. Aun en los casos en los que hay problemas con los datos, el conocimiento adquirido y los resultados obtenidos en el estudio de simulacin aportan informacin valiosa para la toma de decisiones. En el captulo 3 de este libro se introducen las nociones estadsticas bsicas necesarias para el tratamiento y anlisis de los datos necesarios para parametrizar el modelo de simulacin.

Construccin del modelo: en numerosos proyectos de simulacin el esfuerzo se concentra ms en la construccin del modelo que en la resolucin del problema. En esta misma lnea, la obtencin de un modelo ejecutable se convierte errneamente en un objetivo prioritario. La motivacin dominante debera ser la comprensin del problema y la obtencin de soluciones. Para avanzar ms rpidamente en la consecucin de estos objetivos, es recomendable construir en primer lugar uno o varios modelos simplificados que caractericen las partes ms esenciales del sistema de inters. En el apndice B se muestran de manera informal tcnicas para construir el modelo de simulacin a partir de las redes de Petri.

Verificacin y validacin: en los procesos judiciales se presupone que los encausados son inocentes hasta que no se demuestra su culpabilidad. Bien al contrario, en el campo de la simulacin, la experiencia recomienda suponer que todo modelo es incorrecto excepto que se demuestre lo contrario. Los esfuerzos en dotar a los actuales simuladores de potentes herramientas para facilitar su uso curiosamente han contribuido a uno de los principales peligros de la simulacin: olvidarse del mundo real y aceptar sin reparos los resultados del modelo. Para tener una garanta razonable de que el modelo de simulacin representa la realidad, y como consecuencia, tomar decisiones estratgicas u operacionales basndose en los resultados del estudio, es absolutamente necesario trabajar con un modelo convenientemente verificado y validado.

La verificacin consiste en comprobar que el modelo se ejecuta correctamente y segn las especificaciones (modelo conceptual). La validacin consiste en comprobar que las teoras, hiptesis de trabajo y otras suposiciones son correctas y, por tanto, se propicia que el modelo se comporte de forma lo ms parecida posible a la realidad. Es ms: en el caso de que el proceso tal como lo estamos simulando todava no exista, ser necesario contrastar las hiptesis y los resultados con expertos en ese tipo de sistemas a fin de comprobar si el modelo se comporta tal como ellos esperan. Los conceptos presentados en los captulos 4 y 5, as como el resto de la informacin presentada en este libro, pueden facilitar el proceso de verificacin y validacin de un modelo de simulacin.

Anlisis: consiste en experimentar con el modelo con el objetivo de efectuar inferencias que permitan tomar decisiones con mayor seguridad. En esta etapa se emplean a menudo tcnicas como la reduccin de la variancia o el diseo de experimentos.


En general, el valor aadido ms importante de un estudio de simulacin no lo constituyen nicamente los resultados finales obtenidos con el modelo. El resultado ms valioso es el conocimiento adquirido en el proceso de anlisis que permite aportar argumentos cualitativos y/o cuantitativos justificados a favor o en contra de las diferentes opciones de diseo planteadas. En el captulo 5 se muestran las tcnicas bsicas para facilitar la experimentacin y el anlisis de los resultados.

Documentacin: es importante mantener un documento al da que refleje el estado del proyecto. Por tanto, el documento evolucionar y se enriquecer en paralelo con el proyecto de simulacin. Los objetivos perseguidos con la documentacin son:

1. Reflejar el estado del proyecto en un momento dado. De esta forma, todo el personal tcnico

o directivo que est relacionado con el proyecto tiene informacin al da sobre su progreso. 2. Informar sobre todo el proyecto (documento final). 3. Facilitar la reutilizacin del modelo en los casos en los que se prev un posible inters en su

uso futuro.

Se recomienda recoger en los informes la siguiente informacin: introduccin, objetivos, hiptesis, descripcin fsica del sistema, descripcin del modelo, anlisis de los experimentos efectuados y conclusiones.

Implementacin: se entiende por implementacin el tomar decisiones como consecuencia del estudio de simulacin. Un proyecto de simulacin no tiene xito si ha justificado tcnica y econmicamente una mejora o cambio que no ha sido posteriormente implementado.

Para que las recomendaciones sean tenidas en cuenta es necesario que el modelo sea creble. Para ello, no es suficiente que el modelo sea vlido. Es tambin imprescindible que los responsables de la toma de decisiones estn convencidos de su validez.

1.8. Ejercicios

1. Busca en Internet los servidores con contenidos relevantes en el campo de la simulacin de eventos discretos (palabras clave: discrete event simulation). Clasifcalos en funcin de los contenidos.

2. Busca en la librera virtual http://www.amazon.com o similar, los libros publicados de simulacin de eventos discretos.

3. Describe las fuentes ms importantes de azar (variables aleatorias) en los componentes de los sistemas siguientes:

Un restaurante El departamento de urgencias de un hospital Una estacin de ferrocarril


Un supermercado Una fbrica de motores

4. Describe cules pueden ser los eventos, entidades temporales, actividades y recursos de los sistemas del ejercicio anterior.

5. Proporciona tres ejemplos de sistemas que se puedan modelar como sistemas continuos, tres que se puedan modelar como sistemas discretos y tres ms que sean modelables como sistemas orientados a eventos discretos.

6. La taquilla de un teatro est formada por una ventanilla dedicada a la venta de entradas. Los compradores llegan a la taquilla para comprar las entradas. Si ya hay clientes en la taquilla los compradores hacen cola y esperan hasta que la ventanilla queda libre.

Qu parmetros debemos conocer para poder modelar el sistema? Qu variables podemos estudiar del sistema?

7. Simula la llegada de clientes al teatro en los minutos 5, 9, 10, 12, 13, 16, 21, 22, 24 y 28, de manera manual, asocindoles el tiempo de servicio en taquilla que se distribuye segn la siguiente tabla.

Tiempo de servicio Probabilidad (%) 1 min. 20 % 2 min. 30 % 3 min. 40 % 4 min. 10 %

Tabla 1.5 Distribucin de probabilidad

8. Simula manualmente el modelo del proceso de rdenes introducido en este capitulo para las 10 primeras rdenes. Genera los valores aleatorios necesarios con un ordenador (por ejemplo, empleando Excel) o una calculadora.

9. Es importante garantizar que un modelo de simulacin es vlido. Para ello es muy importante asegurar que los datos obtenidos de un sistema sean realmente representativos de lo que se desea modelar. Analiza los problemas potenciales de un estudio de simulacin en el que se desea modelar la eficiencia de los trabajadores en una lnea de fabricacin. Para la modelizacin de este aspecto se observa directamente la eficiencia de una muestra de trabajadores y, a partir de estos datos, se obtiene una distribucin representativa.


10. Una oficina de informacin turstica est formada por un grupo de tres trabajadores. A esta

oficina llegan pidiendo informacin una media de 100 personas/hora. De estas personas, un 70 % solamente necesita mapas o folletos informativos, con lo que el tiempo de atencin por parte de los informadores es de 1 minuto. El 30 % restante pide informacin ms detallada y se precisa una media de 3 minutos para atenderlos. Encuentra el grado de ocupacin de los informadores desarrollando el modelo esttico del sistema.

11. El servicio de informacin turstico del ejercicio anterior ha decidido contratar a estudiantes de

turismo para que puedan realizar prcticas. La nica diferencia entre los estudiantes y los otros trabajadores es que los primeros slo trabajan durante 4 horas en lugar de una jornada laboral de 8 horas. La oficina est compuesta por 1 trabajador y un cierto nmero de estudiantes. Si la jornada laboral de la oficina es de 8 horas/da, cuntos estudiantes se necesitan?

c: Los autores, 2003; Edicions UPC, 2003.

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