“EDUCAMOS CON EXIGENCIA Y CALIDAD PARA TODA LA VIDA” …

INSTITUCION EDUCATIVA COLEGIO CLAUDIA MARIA PRADA SEDE: ______Principal______

“EDUCAMOS CON EXIGENCIA Y CALIDAD PARA TODA LA VIDA”

GUIA DE TRABAJO N° 1 – INTERVALOS E INECUACIONES

Código: F-GP05 Versión: 01

Fecha de aprobación: 18/01/12

Aprobado por:

Comité de calidad

I. MOMENTO INICIAL:

Analiza y resuelve las siguientes situaciones:

1. Calcula tres números consecutivos cuya suma sea 51.

2. Calcula el número que sumado con su anterior y con su siguiente dé como resultado 114.

3. Calcula el número que se triplica al sumarle 26.

4. La tercera parte de un número es 45 unidades menos que su doble. ¿Cuál es el número?

5. Tres hermanos se reparten 1300 el mayor recibe el doble que el mediano y el mediano cuádruplo que el pequeño ¿cuánto

recibe cada uno?

6. Si a la edad de Rodrigo se le suma su mitad se obtiene la edad de Andrea. ¿cuál es la edad de Rodrigo si Andrea tiene 24

años?

FACTORIZA: a. x2 + 4x + 4 c. x

2 – 16 e. x

2 + 5x

b. x2 + 4x –

21 d. 343 + 8a

3 f. x

2 + x – xy – y

II. MOMENTO CONCEPTUAL Y PRAXIOLÓGICO:

INTERVALOS E INECUACIONES

AREA/ASIGNATURA: Matemáticas PERIODO: I PROFESORA: Astrid Liliana Jaimes Sanabria

ESTUDIANTE: GRADO: 11- 0 FECHA:

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE: Utiliza las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y sus

relaciones y operaciones para construir y comparar los distintos sistemas numéricos. Justifica la validez de las propiedades de

orden de los números reales y las utiliza para resolver problemas analíticos que se modelen con inecuaciones.






Aprobado por:

Comité de calidad

PARA RECORDAR…

NÚMEROS ENTEROS: Los números enteros forman un conjunto ordenado, en el que se pueden sumar, restar y multiplicar. Sin

embargo, con estos números no siempre es posible la división. NÚMEROS RACIONALES: Para dar solución a la división, se amplía el conjunto de números enteros (Z), introduciendo los números

fraccionarios, que junto con los enteros, constituyen el conjunto de los números racionales (Q).

Los números racionales también forman un conjunto ordenado, en el cuál se pueden realizar las cuatro operaciones aritméticas.

NÚMEROS IRRACIONALES: Hay operaciones algebraicas sin solución en el conjunto de los números racionales (Q), como las raíces

no exactas. También existen expresiones decimales que son infinitas no periódicas como 0,124573… y como π = 3,1415… que no se

pueden escribir de la forma p/q . Estas expresiones decimales no periódicas constituyen el conjunto de los números irracionales (I o

Q´).

NÚMEROS REALES: al considerar juntos los números racionales y los irracionales, se obtiene el conjunto de números reales (R). En

los reales la adición, la multiplicación y la ordenación cumplen las mismas propiedades que en los racionales (Q)

INTERVALOS

1. CONCEPTO: Dados dos números reales a y b, si a < b; el punto A, que corresponde al número a, está a la izquierda del

punto B, que corresponde al número B. Todo intervalo es un subconjunto del conjunto de los números reales.

Gráficamente se representa de la siguiente manera:






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Comité de calidad

2. CLASES DE INTERVALOS: Existen intervalos abiertos, en los que no se incluyen los extremos; cerrados, en los que se

incluyen los extremos, y aquellos en que se combinan ambos. Para representar los intervalos se utiliza una circunferencia

vacía en el extremo, si este no se incluye, o rellena si se incluye.

La grafica representa el intervalo entre todos los números reales (x) mayores que 7

(x > 7), excluido el 7, hasta el infinito.

La grafica el intervalo entre los números reales (x) mayores o iguales a 7 (x ≥ 7),

incluyendo el 7, hasta el infinito.

Como vemos, la simbología que se utiliza en los casos abiertos (que no incluyen al extremo) son el signo < (menor que) o >

(mayor que); y para los casos cerrados (que incluyen al extremo) son el signo ≥ (mayor o igual que) o el signo ≤ (menor o

igual que).

De acuerdo con la simbología y las características, existen los siguientes tipos de intervalos:






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Comité de calidad

Ejemplos:

ACTIVIDAD N°1. Será propuesta por la docente durante la hora de clase.

3. OPERACIONES CON INTERVALOS: Dado que los intervalos constituyen un tipo particular de conjuntos, se definirán a continuación

algunas operaciones con conjuntos y se ilustraran estas operaciones mediante ejemplos.

Las operaciones que nos interesa definir aquí son: la intersección, la unión y la diferencia de conjuntos.

3.1 UNIÓN:

Definición

Sean y conjuntos. Se define la unión de y y se denota como , al

conjunto cuyos elementos pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos o .






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Comité de calidad

3.2 INTERSECCIÓN:

Definición

Sean y conjuntos. Se define la intersección de y y se denota , al conjunto

cuyos elementos pertenecen a y también a .

Simbólicamente se tiene que:






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Comité de calidad

3.3. DIFERENCIA:

ACTIVIDAD N°2. Será propuesta por la docente en la hora de clase correspondiente.

INECUACIONES Y DESIGUALDADES

Para hablar de la NO IGUALDAD podemos utilizar varios términos o palabras. Como son: distinto y desigual.

El término "DISTINTO" (signo ≠), no Tene apenas importancia en matemáTcas y en la vida real. Ejemplos: 4 ≠ 5, que se lee 4 disTnto

de 5 o 5 distinto de 4

1. CONCEPTO: El término "DESIGUALDAD" si tienen interés en la vida real y por tanto en matemáticas; y se forma con

cualquiera de estos cuatro símbolos " mayor que" ( > ), " menor que" ( < ), “mayor o igual que ( ≥ ) y “menor o igual que ( ≤ }

Definición

Sean y conjuntos. Se define la diferencia de y y se denota , al

conjunto cuyos elementos pertenecen a y no a .






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Comité de calidad

Ejemplos de desigualdades:

a) 5 < 11 b) –2 > –7 c) 0 ≤ 1 d) 4 ≥ –3

Las desigualdades tienen un inconveniente al leerse y es que se leen diferentes de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.

Practica con los ejemplos anteriores.

Con estos símbolos se construye la relación de orden, ya que dados dos números reales a y b, siempre se da una de estas

condiciones:

• a es menor que b

• a es igual a b

• a es mayor que b

• a es menor o igual a b

• a es mayor o igual a b

Para evaluar una desigualdad, sólo podemos decir si es verdadera o falsa.

Ejemplos: evaluar si las siguientes desigualdades son verdaderas o falsas:

Una desigualdad falsa se puede convertir en verdadera cambiando de sentido a la desigualdad; ejemplo: 3 > 5 es falsa si cambiamos

de sentido 3 < 5, es verdadera; cambiar de sentido una desigualdad es cambiar el signo que tiene por el contrario.

2. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

• DE LA SUMA:

Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número o una expresión algebraica se obtiene otra

desigualdad del mismo sentido.

Ejemplos: � Dada la desigualdad 3 < 8, si sumamos 7 a los dos miembros se obtiene 3+7 < 8+7, otra desigualdad (en

concreto) 10 < 15 del mismo sentido.

� Dada la desigualdad 3 < 8, si restamos 4 a los dos miembros se obtiene –1 < 4, otra del mismo sentido.






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Comité de calidad

• DEL PRODUCTO:

Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un número:

a. Mayor que cero se obtiene otra desigualdad del mismo sentido

b. Menor que cero se obtiene otra desigualdad de sentido contrario.

Ejemplos: � Dada la desigualdad 3 < 8, si multiplicamos ambos miembros por 5 se obtiene 15 < 40, otra del mismo

sentido

� Dada la desigualdad 3 < 8, si multiplicamos ambos miembros por –6 se obtiene –18 > –48, otra

pero de sentido contrario.

� Dada la desigualdad 3 < 8, si dividimos ambos miembros por 2 se obtiene 4, otra del mismo sentido.

� Dada la desigualdad 3 < 8, si dividimos ambos miembros por –1, se obtiene –3 > –8, otra de sentido

contrario.

3. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

Una inecuación es una desigualdad en la que aparece alguna incógnita en uno o en los dos miembros de una

desigualdad. Resolver una desigualdad o inecuación significa encontrar todas las soluciones.

Son inecuaciones: 2 + 3x < 5 x – 5x + 3 ≥ 0 3x – y > 5y + 4x – 14

Las inecuaciones se clasifican por el grado y las incógnitas que tiene.

¿CUÁNDO LE DEBEBEMOS CAMBIAR EL SENTIDO A UNA DESIGUALDAD?

Ejemplos:

1. Encuentra los números que verifican: “Que el doble menos uno sea mayor si al número le sumamos 4”. Este problema

tendría una transcripción algebraica así.

2 x – 1 > x + 4






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Comité de calidad

En general una inecuación tiene infinitas soluciones. Resolvamos la anterior inecuación (Aplicando las propiedades de las

desigualdades). Así:

Sumamos 1 a los dos miembros 2x > x + 4 + 1

Restamos x a los dos miembros 2x – x > 4 + 1

Reducimos miembros x > 5

Por tanto, la solución de esta inecuación es: x > 5

2. Analiza los siguientes ejemplos, después de haberlos entendido, pásalos a tu cuaderno de matemáticas, grafica sus

soluciones en una recta numérica y expresa esos resultados en forma de intervalos, como lo señala el primer ejemplo:


3. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (CUADRÁTICAS)

Una inecuación cuadrática o de segundo grado es una desigualdad donde la variable tiene exponente 2 y es en su

forma general de una de las formas siguientes:

• ax2 + bx + c ≥ 0

• ax2 + bx + c ≤ 0

• ax2 + bx + c > 0

• ax2 + bx + c < 0.






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Comité de calidad

Ejemplos: Analiza e interpreta los siguientes ejemplos, luego, cópialos en tu cuaderno. Cualquier inquietud debes preguntar

a la profesora en los espacios dados para tal fin.


4. INECUACIONES RACIONALES

• Hallamos los puntos críticos del numerador y del denominador.

• Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que los puntos críticos del denominador,

independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

• Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

• La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción

polinómica.

ACTIVIDAD N° 5.

1. Ver, analizar, comprender y luego sí, transcribir los ejemplos dados en cada uno de los siguientes vídeos:

• https://www.youtube.com/watch?v=dZjv7mgnD28

• https://www.youtube.com/watch?v=O75Nsbws_CQ

• https://www.youtube.com/watch?v=LEPgW3St6-s

2. Resolver los ejercicios propuestos por la profesora para el afianzamiento del tema.






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Comité de calidad

5. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

5.1. Concepto de Valor absoluto: la idea de valor absoluto está directamente relacionada con el de distancia en la

recta numérica. La distancia de un número al origen se representa por medio de un número positivo. La

distancia de los números 6 y – 5 al origen (0) es la misma. Es por eso, que la distancia de un punto al origen se

representa por medio de una expresión, llamada valor absoluto de estos, que para nuestro ejemplo se denotaría

de la siguiente manera:

5.2. Inecuación con valor absoluto: Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más

incógnitas en los miembros de la desigualdad.

Para resolver desigualdades con valor absoluto, debemos tener en cuenta las siguientes propiedades:

Ejemplos:






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Comité de calidad

ACTIVIDAD N° 6. Será propuesta por la docente en la hora de clase correspondiente.

III. MOMENTO EVALUATIVO:

Debe entregar cada una de las actividades propuestas en la guía, en los momentos acordados previamente con la profesora.

Además, en cada una de las clases se tendrá en cuenta, el respeto por las normas de convivencia que conlleva el mejoramiento del

ambiente de aprendizaje (respeto por el otro, uso del vocabulario, porte adecuado del uniforme, entrega oportuna de actividades y

las demás acordadas en los pactos pedagógicos y de convivencia)

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