Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

Ejercicios

Leyes de exponentes

10 a )0( a

nn

aa 1

)0( a

nnn baab

n

nn

ba

ba

nmnm aaa mnnm aa )(

nmn

m

aaa

Radicales

nn aa1

)0( aaaaa n nnn

nmmnn m aaa

nnn baab

n

nn

ba

ba

mnm n aa

)0( b

Ecuaciones exponenciales

Ecuación exponencial es aquella en donde la incógnita se encuentra como exponente.

Ejemplo: 82 x

Para resolver una ecuación exponencial (determinar el (los) valor(es) de la incógnita para los cuales la igualdad se cumple) se hace uso de las leyes de exponentes o bien de las propiedades de logaritmos.Veamos cómo resolver la ecuación del ejemplo usando leyes de exponentes:

322

823

x

x

x Factorizamos el 8 y lo expresamos con exponente y como las bases son iguales podemos igualar los exponentes, de esta forma determinamos el valor de “x” que hace que la igualdad se verifique.

Ejemplos

444414

25614

4

4

x

x

x

x

Resolver:

21111

55515

2.05

11

1

1

xxx

x

x

x

51511514

4122

)2(2

42

41

221

21

x

x

xxxxx

xx

xx

xx

388335353333

33

333

533

532

532

x

xxx

x

xx

xx

Logaritmos

El logaritmo de un número es igual al exponente al que tiene que estar elevada la base del logaritmo para obtener dicho número.

abcaLog cb

aeba b ln

El logaritmo base “b” de “a” es igual a “c”

El logaritmo natural de “a” es igual a “b”

Existe dos tipos de logaritmos:

Logaritmo vulgar (base 10, decimal o común)

Logaritmo natural (neperiano):

Propiedades de logaritmos

xnx bn

b log)(log

yxyx

bbb logloglog

yxxy bbb loglog)(log

bxxb log

loglog

Cuando en el argumento del logaritmo se tienen dos cantidades multiplicándose entre sí:

Cuando en el argumento del logaritmo se tienen dos cantidades dividiéndose entre sí:

Cuando en el argumento del logaritmo se una cantidad elevada a un exponente:

Cambio de base: De base “b” a base 10

Nota: Estas mismas propiedades aplican para logaritmos naturales.

De las propiedades anteriores podemos deducir las siguientes:

ENaEN

b

b

b

b

b

/)(log/0log

01log1log

Ecuaciones logarítmicas

Una ecuación logarítmica es una ecuación en la que la incógnita se encuentra dentro del argumento del logaritmo o bien como base del logaritmo.Ejemplo: 24log x 265log3 x

Para resolver las ecuaciones logarítmicas tenemos que hacer uso de la definición de logaritmos así como de sus propiedades. Resolviendo los ejemplos:

965365

265log2

3

xx

x

3515155695

x

x

xx

24

4

24log2

xx

xx

Ejercicios de Tarea