Ecuaciones de espacio estado

Capitulo 4

Contenido

Representacin en ecuaciones de estado de los sistemas

Estado. Es el conjunto mas pequeo de variables Variables de estado. Es el conjunto mas pequeo de variables que

determinan el estado de un sistema dinmico Vector de estado. Representado por x(t), cuyos elementos son las

variables de estado Espacio de estado. Es el espacio n-dimensional cuyos ejes coordenados

son las variables de estado

SistemaX(t)

U(t) Y(t)

Diagramas de simulacin

Un diagrama de bloques o grafico de flujo de seal (GFS)compuesto nicamente de integradores y transmitancias constantesse denomina diagrama de simulacin

Variable de fase: la entrada esta conectada a un solo nodo y lasalida acoplada a los integradores. Permite la representacin de nsalidas

Dual variable de fase: la salida se obtiene de un solo nodo y laentrada esta acoplada a los integradores, permite unarepresentacin de m entradas

Variable de fase

Dada la FT dibujar el diagrama de simulacin:

Dividir numerador y denominador entre el termino de la potenciamas alta de s del denominador, producindose un factor 1 en eldenominador, y otros trminos en el numerador y denominador.Este resultado se puede compara con la formula de Masson.Para nuestro ejemplo

5 4

5 4

5

4

Comparando con la formula de Mason.

El numerador son las trayectorias directas y el denominador es eldeterminante del sistema. (1-suma de todos los lazosindividuales). En variable de fase los lazos individuales vanunidos al nodo de la entrada, de tal manera que los cofactores alas trayectorias directas son igual a 1.

Trayectorias directas 3 Lazos individuales 3

5 4

5

4

Construccin del diagrama variable de fase

1

-1/3

1/s 1 1 1/s

5/33

-2/3

-4/3

-1/3

C(s)

R(s)1/s

5

4

Dual variable de fase

Dada la funcin de transferencia:

Dividir numerador y denominador entre el termino de la potencia mas altade s del denominador, producindose un factor 1 en el denominador. Esteresultado se puede compara con la formula de Masson. Para nuestroejemplo, tenemos 03 trayectorias directas 03 y 03 lazos individuales

5 4

5 4

5

4

Construccin del diagrama dual variable de fase

1/s 1 11/s 1/s 1

C(s)

R(s)

-2/3

-4/3

-1/3

-1/35/3

3

5

4

Entradas y salidas mltiples

Salidas adicionales se puede obtener fcilmente a partir de los arreglos en variable de fase

Ejemplo 4.1. Dadas las FT: 1 entrada y 2 salidas.

Aplicando el procedimiento para construir un DS (dividiendo entre la potencia s de mayor orden):

5 4

5 4

5 4

Construimos los DS para la FT1

y1(s)

R1(s)1 1/s 1 11/s 1/s

-5

124

-6-1

-3

5 4

Construimos los DS FT2

Y2(s)

R1(s)1 1/s 1 11/s 1/s

-6-1

-3

-613

y1(s)

R1(s)1 1/s 1 11/s 1/s

-5

124

-6-1

-3

5 4

-613

y2(s)

Ejemplo 4.2

Hallar EE funcin de transferencia 1:

y1(s)

R(s)1

1/s 1 11/s 1/s

-5

124

-6

-1

-3

X1X2X3

4 5 4 5

5 4

Ejemplo 4.3

Hallar EE de la FT 2

Y2(s)

R1(s)

1 1/s 1 11/s 1/s

-6

-1

-3

-61

3x3 x2 x1

Ecuaciones de estado sistema con 2 salidas

Hallar EE

y1(s)

R(s)1 1/s 1 11/s 1/s

-5

124

-6

-1-3

Y2(s)

-613

x1x2x3

4 5

4 5

Para un sistema MIMO (2 Entradas, 2 salidas)

4

4

5

4

5

4

Y1(s)R1(s)

1/s 1 11/s 1/s-12

4

-6

-1-3

4

1

Y2(s)10

4

1

5

R2(s)3

1

-6

Ejemplo 4.4

Ecuaciones de desacoplamiento

Formas diagonales de EE Diagonalizacin mediante Fracciones Parciales (races diferentes) Ejemplo 4.4 : Dada la funcin de transferencia

!" !

4 !#

4

4 4

A partir de la funcin de transferencia transformada mediante fracciones parciales, graficamos el grafico de flujo de seal:

1 1

1 3/4

1 -3/411s

31+s

R(s) C(s)

s

1 4 4

El grafico de flujo de seal anterior lo transformamos, en un diagrama de simulacin:

1

1

1 3/4

1

-3/4 C(s)

1/s

1/s

1/s

1

x1

x2

x3

R(s)

-3

1 1

13/4

1-3/4

11s

31+s

R(s) C(s)

s

1

A partir del diagrama de simulacin, hallar las EE

4 4

4 4

1

1

1 3/4

1

-3/4 C(s)

1/s

1/s

1/s

1

x1

x2

x3

R(s)

-3

Ejemplo 4.5

Dada la funcin de transferencia 4 4

4 !#

4 4 !#%

4 !#"

4 4 4

1 1/27

1149/27

1 -23/9

11+s

41+s

101+s

C(s)R(s)

Del diagrama de grafico de flujo de seal anterior convertimos a un diagrama de de simulacin:

1 1/27

1149/27

1 -23/941+s

101

+s

C(s)R(s)

1

1/27

1 149/27

1

-23/9C(s)

1/s

1/s-4

x1

x2

x3

1/s

-1

-10

R(s)

11+s

A partir del diagrama de simulacin obtenemos las ecuaciones de estado

1

1/27

1 149/27

1

-23/9C(s)

1/s

1/s-4

x1

x2

x3

1/s

-1

-10

R(s)

4 4

4

4

Diagonalizacion mediante FP (R. repetidas) Dada la funcin de transferencia 5 5 4 4

4 5 5 4 !#% 5 5 4 !# &&

5 5 4 ' !# 4

A partir de la ecuacin obtenemos el GFS

4

1 3

1

-31

7

21+s

2)2(1

+s C(s)

41+s

R(s)

Convertimos el DGF un DS

13

1

-31

7

21+s

2)2(1

+sC(s)

41+s

R(s) 3

1

1

C(s)

1/s

1/s

-2

-4

-2

R(s)

1/s

1

1/s

-31

7

-2

Hallamos las EE

3

1

1

C(s)

1/s

1/s

-4

-2

R(s)

1/s

1

1/s

-31

7

4

%-2

% %

%

4

%

%

%

A partir de la funcin de transferencia 4

3

1

1

7C(s)

1/s

x3

-4

-2

R(s)

1/s

x2

1 1/s -3

-2

x1

4

4

Diagonalizacion mediante FP (races diferentes) Dada las ecuaciones de espacio estado de un sistema:

La funcin de transferencia

( #

#

#

Operando y simplificando

Obtenemos la funcin de transferencia

#

4

A partir de la funcin de transferencia Expandimos en fracciones parciales

4

4 !# ) )

4 !# )

* && ' 4 !# '

Por lo tanto se tiene:

* &

& ' 4 !# '

) )

A partir de la FT obtenemos: ) )

-28

29

1

C(s)

-2

R(s)

1

68

16

3)3(1

+s

)3(1 +s

2)3(1

+s

1

1

1/s

Otra forma de representar ) )

-28

29

1

C(s)

-2

R(s)

1/s

)3(1 +s)3(1 +s )3(1 +s

11 68

161

Descomponiendo los lazos cerrados

-28

29

1C(s)

-2R(s)

1/s

1 1 68

16

1/s1

1/s 1/s

-3-3 -3

%% %

) ) %

%

A partir de las ecuaciones obtenemos la representacin en espacio estado:

%% %

%

%

) ) % ) )

%

Diagonalizacin mediante FP (r. complejo conjugadas)

Expresando en fracciones parciales:

)

) + + !#

+ ) + + !##, 4 +

+ ) + + !##, 4 +

) + +

Por lo tanto tenemos:

1

-2

14-j

1

4+jC(s)

1/s

1/s-1-3j

x1

x2

x3

1/s

-2

-1+3j

R(s)

4 + + 4 + +

+ +

4 - 4 -

Las ecuaciones espacio estado

+ + 4 - 4 -

+ +

4 + 4 +

A partir de las ecuaciones en fracciones parciales

Podemos obtener (para eliminar la parte compleja) 4 + + 4 + +

4 + + 4 + + + +

) 4

) 4

) 4

Dividiendo entre el mayor orden

Graficando el diagrama de simulacin

-2

1

1C(s)

1/s 1/s

x1

x2x3

1/s

-2R(s) 8

14

-2-10

) 4

1

Las ecuaciones de estado a partir de DS

-2

1

1

1/s 1/s

x1

x2x3

1/s

-2

R(s)

8

14-2

-10

C(s)

4 )

4 )

Formas cannicas

Representacin en el espacio estado de sistemas Esta seccin aborda las representaciones en el espacio de

estados en la forma cannica controlable, 0bservable, diagonal o de Jordn.

Dada la ecuacin diferencial

De donde obtenemos con la transformada de Laplace ( :

&.&. / &.#

&.# 0 /.# /. 1" &.&. 1 &

.#&.# 0 1.# 1.

2 1". 1.# 0 1.# 1.. /.# 0 /.# /.

Forma cannica controlable

Ecuaciones espacio estado

3.#.

0 0 3 0 /. /.# /.# 0 /

3.#.

3

1. /.1" 1.# /.#1" 1.# /.#1" 0 1 /1"3.#.

1"

2 1". 1.# 0 1.# 1.. /.# 0 /.# /.

Forma cannica observable

Ecuaciones espacio estado3.#.

0 /. 0 /.#3 3 0 / 0 /

3.#.

1. /.1"1.# /.#1"31 /1"1 /1"

0 3.#.

1"

2 1". 1.# 0 1.# 1.. /.# 0 /.# /.

Forma cannica diagonal Si la funcin de transferencia esta dada:

Las ecuaciones espacio estado

2 1". 1.# 0 1.# 1. 4 4 5 4. 1"

6 4 6 4 0

6. 4.3.#.

4 0 4 0 3 3 0 4.# 0 4.

3.#.

3

6 6 0 6.# 6.3.#.

1"

Controlabilidad

Se dice que un sistema es controlable en el tiempo to si se puede llevar de cualquier estado inicial x(to) a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito

Para un sistema diagonalizado, si no existe trayectoria desde cualquier entrada hasta una de las ecuaciones desacopladas, se llama no controlable al nodo

1

1 3/4

1 -3/4 C(s)

1/s

1/s

1/s-8

-4

R(s)

x1

x2

x3

Observabilidad

Se dice que un sistema es observable en el tiempo to si, con el sistema en el estado x(to), es posible determinar este estado a partir de la observacin de la salida durante un intervalo de tiempo finito.

Para un sistema diagonalizado si una de las variables de estado de las ecuaciones estado no se agrega a alguna de las salidas del sistema, el modo correspondiente se denomina modo no observable 1 1

1

1 -3/4 C(s)

1/s

1/s

1/s-8

-4

R(s)

x1

x2

x3

Matriz de controlabilidad

Dadas las EE

Se puede demostrar que un sistema de n-esimo orden con o sinraces repetidas, es completamente controlable si y solo si sumatriz de controlabilidad es de rango mximo

Para ser rango mximo debe tener n columnas o filas linealmenteindependientes

78 0 .#

Matriz de observabilidad

Dadas las EE

Para determinar si un sistema de n-esimo orden nodiagonalizado es o no completamente observable se forma lamatriz Mo, es completamente observable si y solo si la Mo es derango mximo

Para ser rango mximo debe tener n columnas o filas linealmente independientes

79 3.#

Ejemplo 4.6

Dadas las ecuaciones de espacio de estado:

Las matrices de controlabilidad; para n=3, tenemos:

4

45

4

78 4

4 45

5 ) 5 4 4

45 45 5 4

Por lo tanto la matriz de controlabilidad queda:

El rango de la matriz Mc es igual a 3, es de rango mximo; por lo tanto es controlable

78 4 5 ) 5 4

45 5 4

Ejemplo 4.7

Dadas las ecuaciones de espacio de estado

La matriz de observabilidad para n=3

Remplazando tenemos

La matriz de observabilidad es de rango 3, rango mximo; es obsservable

4

79

79 4 ) 4

A partir de las ecuaciones:

%3.

4 0 4 0 4 0 4% 3 3 3 3 3 0 4.

%3.

3

6 6 0 6.# 6.3.#.

1"

2 1" 6 4 6 4

6 4 6% 4% 0

6. 4.

Trabajo: Explicar con un ejemplo Comandos en Matlab para ecuaciones espacio estado

ss Create a state-space model. tf Create a transfer function zpk Create a zero-pole-gain model.

ss Conversion to state space. tf Conversion to transfer function zpk Conversion to zero-pole-gain.

ctrb Controllability matrix obsv Observability matrix

Trabajo