ECUACIONES DIFERENCIALESECUACIONES HOMOGENEAS E100

Obtener la solucion general de las edos:

(1)xy =

x2 y2 + y

(2)(x2 + xy + 3y2) dx (x2 + 2xy) dy = 0

(3)3x 4y + (2x y)y = 0

(4)

dydx =

y + x cos2(yx

)

x ; y(1) =pi4

(5)y dx+ x(ln x ln y 1) dy = 0; y(1) = e

canek.uam.mx: 21/ 4/ 2003.1

2 ECUACIONES HOMOGENEAS E100

Respuestas(1) Obtener la solucion general de las edo:

xy =x2 y2 + y

Dividiendo entre x

dydx

=x2 y2x

+yx=

=

x2 y2

x2 +yx

=

x2

x2 y

2

x2+

yx

dydx =

1

(yx

)+

yx(A)

Se efectua un cambio de variable

Siyx= w y = xw

De donde

dydx = x

dwdx + w

Sustituyendo en (A)

xdwdx + w =1 w2 + w

xdwdx =1 w2

Separando variables

dw1 w2

=dxx

Integrando

dw1 w2

= dx

xarcsenw = ln x+ c1 = ln x+ ln carcsenw = ln(cx)

ECUACIONES HOMOGENEAS E100 3

De donde

w = sen(ln cx)

Pero w = yx , entonces

yx = sen(ln cx)

Por lo que

y = x sen(ln cx)

(2) Obtener la solucion general de las edo:

(x2 + xy + 3y2) dx (x2 + 2xy) dy = 0

(x2 + 2xy) dy = (x2 + xy + 3y2) dxdydx =

x2 + xy + 3y2

x2 + 2xy

=x2(1 +

yx+ 3

y2

x2

)

x2(1 + 2

yx

)

dydx =

1 +yx+ 3

(yx

)2

1 + 2(yx

)(B)

siyx = w y = xw

dydx = x

dwdx + w

Sustituyendo en (B) se obtiene

xdwdx + w =1 + w + 3w2

1 + 2w

xdwdx

=1 + w + 3w2

1 + 2w w = 1 + w + 3w

2 w 2w2

1 + 2w

xdwdx =w2 + 12w + 1

Separando variables

2w + 1w2 + 1 dw =

dxx

4 ECUACIONES HOMOGENEAS E100

Integrando

2w

w2 + 1 dw + dw

w2 + 1 = dx

xln(w2 + 1) + arctanw = ln x+ c

Pero

w = yxEntonces

ln(y2

x2 + 1)+ arctan

yx = ln x+ c

ln(y2 + x2

x2

) ln x + arctan yx = c

ln(y2 + x2) ln x2 ln x+ arctan yx= c

ln(x2 + y2) 3 lnx + arctan yx= c

ln(x2 + y2) ln x3 + arctan yx= c

ln(x2 + y2

x3

)+ arctan

yx= c

(3) Obtener la solucion general de las edo:

3x 4y + (2x y)y = 0

(2x y)dydx

= 4y 3x

dydx =

4y 3x2x y =

=x(4yx 3

)

x(2 yx

)

dydx =

4(yx

) 3

2(yx

)(C)

Si

yx= u y = xu dy

dx= xdu

dx+ u

ECUACIONES HOMOGENEAS E100 5

Sustituyendo en (C) se tiene que

xdudx + u =4u 32 u

De donde

xdudx

=4u 32 u

u = 4u 3 2u+ u2

2 u

xdudx =u2 + 2u 3

2 uSeparando variables

2 uu2 + 2u 3 du =

dxx

Integrando (mediante fracciones parciales el primer miembro)

u+ 2(u+ 3)(u 1) du =

dxx

54ln(u+ 3) + 1

4(u 1) = ln x+ c1

Multiplicando por 4

5 ln(u+ 3) + ln(u 1) = 4 lnx+ c2ln(u 1) ln(u+ 3)5 = ln x4 + ln c

ln[

u 1(u+ 3)5

]= ln(cx4) u 1

(u+ 3)5 = cx4

u 1 = cx4(u+ 3)5; pero u = yx

Entonces

yx 1 = cx4

(yx+ 3

)5 y x

x=(y + 3x

x

)5

y x = cx5 (y + 3x)5

x5 y x = c(y + 3x)5

(4) Obtener la solucion general de las edo:

dydx =

y + x cos2(yx

)

x ; y(1) =pi4

6 ECUACIONES HOMOGENEAS E100

dydx =

yx + cos

2(yx

)(D)

Si

yx = w y = wx

dydx = x

dwdx + w

Sustituyendo en (D) se obtiene

xdwdx + w = w + cos2w

xdwdx

= cos2w

Separando variables

dwcos2w =

dxx

Integrando

sec2w dw =

dxx tanw = ln x+ c

Pero w = yx , entonces

tan(yx

)= ln x + c

Considerando que y(1) = pi4se tiene que

tan(pi4

)= ln 1 + c

de donde c = 1, por lo tanto

tan(yx

)= ln x + 1 = ln x+ ln e = ln(ex)

yx = arctan(ln ex) y = x arctan(ln ex)

ECUACIONES HOMOGENEAS E100 7

(5) Obtener la solucion general de las edo:

y dx+ x(ln x ln y 1) dy = 0; y(1) = e

x(ln x ln y 1)dy = y dx

dydx =

yx(ln x ln y 1)

=

yx

ln y + 1 ln x

=

yx

ln y + ln e ln x

dydx

=

yx

lnyex

dydx =

yx

ln e(yx

)(E)

Si

yx = u y = xu

dydx = x

dudx + u

Sustituyendo en (E) se obtiene

xdudx + u =u

ln eu =u

1 + ln u

xdudx =u

1 + ln u u =u u u lnu

1 + lnu

xdudx = u lnu1 + ln u

Separando variables

1 + ln uu lnu

du = dxx

8 ECUACIONES HOMOGENEAS E100

Integrando

duu lnu +

duu =

dxx

ln(ln u) + ln u = ln x + cln(ln u) + ln u+ ln x = c

ln(xu lnu) = c

Pero u = yx, entonces

ln[x yx ln

(yx

)]= c ln

[y ln yx

]= c

Considerando que y(1) = e, se tiene que

ln[e ln e

1

]= c c = 1

Por lo que

ln[y ln y

x

]= 1

De donde

y ln yx = e