Pontificia Universidad Catolica de ChileFacultad de MatematicasMAT1640 - Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones DiferencialesProblemas Resueltos

Rodrigo Henrquez AubaNicolas Morales MacayaSebastian Urrutia QuirogaRoberto Zuniga Valladares

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El siguiente apunte tiene una serie de problemas resueltos para el curso de ecuaciones diferenciales or-dinarias. A pesar de que los tipos de problemas y el orden en que se presentan es para el curso dictadoen la PUC, se espera que los problemas sea una buena coleccion para cualquier curso de ecuacionesdiferenciales dictado en cualquier universidad, y que por supuesto no todo esta aqu, por lo que el es-tudiante que utiliza esta coleccion de problemas no crea que con solo esto se cubre la completitud delcurso. No deje de estudiar, y si puede intente hacer los problemas por su cuenta antes de ver la solucion.

Se agradece a la facultad de matematicas de la PUC y a los profesores por las pruebas resueltas y losproblemas utilizados en este apunte. Se agradece ademas a todas las personas que colaboraron conproblemas, como Fabian Cadiz, Diego Kaulen, Pablo Marchant y muchos mas que colaboraron, ya seadirectamente o con sus problemas.

Los autores

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Indice general

1. Ecuaciones diferenciales de primer orden 7

1.1. Metodos de Solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Resolucion de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3. Teorema de Picard-Lindelof (o de existencia y unicidad) . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4. Analisis Cualitativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2. Ecuaciones de Orden Superior 41

2.1. Ecuacion Homogenea de Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2. Coeficientes Indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3. Variacion de Parametros y Reduccion de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.5. Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.6. Modelos y problemas fsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales 89

3.1. Sistemas de coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.2. Variacion de Parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.3. Analisis Cualitativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4. Anexos 119

4.1. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.2. Sistemas de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

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4.2.1. Valores y Vectores Propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.2.2. Diagonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.2.3. Solucion al sistema ~x = A~x para matrices diagonalizables . . . . . . . . . . . . 122

4.2.4. Solucion al sistema ~x = A~x para matrices no diagonalizables . . . . . . . . . . 123

4.2.5. Calculo de vectores propios generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.2.6. Matriz Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.2.7. Matriz Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.2.8. Sistemas de ecuaciones no homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.2.9. Matrices defectuosas o no diagonalizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.3. Linealizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.3.1. Sistema Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.3.2. Linealizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.3.3. Teorema de Hartman-Grobman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.3.4. Clasificacion de puntos de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

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1Ecuaciones diferenciales de primer orden

1.1. Metodos de Solucion

Problema 1.1. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

(a) (t2 xt2)x + x2 + tx2 = 0

(b) x = x x2

(c) x2dy

dx=

x2 + 1

3y2 + 1

Solucion:

(a) Arreglando la ecuacion llegamos:

t2(1 x)x + x2(1 + t) = 0 dxdt

=x2

x 11 + t

t2

que es de variables separables:

x 1x2

dx =1 + t

t2dt

x 1x2

dx =

1 + t

t2dt

As podemos dejar x(t) expresada de forma implcita :

ln |x|+ 1x

= 1t

+ ln |t|+ C

Comentario: Es necesario notar que luego de normalizar la ecuacion diferencial, la funcionf(x, t) = x

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x11+tt2

no es continua para x por lo que no podemos asegurar existencia de solucionsegun el valor inicial. Esto se vera mas adelante en el curso.

(b) Evidentemente es de variables separables:dx

x x2=

dt

1

x+

1

1 xdx = t+ C ln |x| ln |1 x| = t+ C

7

Aqu inmediatamente descartamos las soluciones x(t) = 0 y x(t) = 1. As:

ln

x1 x = t+ C x1 x = A

eCet x(t) = Ae

t

1 +Aet

Aqu si ponemos A = 0 recuperamos la solucion x(t) = 0. As la solucion para este problemaes:

x(t) =Aet

1 +Aet, x(t) = 1

Por otro lado si dividimos arriba y abajo por Aet y llamamos A1 = B tenemos:

x(t) =1

Bet + 1

De esta forma con B = 0 recuperamos la solucion x(t) = 1 por lo que la solucion en estecaso es:

x(t) =1

Bet + 1, x(t) = 0

Comentario: Cuando analicemos el campo de direcciones entenderemos que estas solucionesparticulares estan fuertemente relacionadas con la familia de soluciones que obtuvimos (esen general a como tiende el campo de direcciones para parametros que tienden a infinito).

(c) Separando variables:3y2 + 1dy =

x2 + 1

x2dx y3 + y = x 1

x+ C

Problema 1.2. Encuentre las funciones y(x) que satisfacen la ecuacion: 10y(sx)ds = 2y(x)

Solucion: Haciendo un cambio de variable u = sx se obtiene:

1

x

x0y(u)du = 2y

x0y(u)du = 2yx

derivando respecto a x:

y(x) = 2y + 2yx yx

= 2dy

dx

As separando variables e integrando:

dx

2x=

dy

y 1

2ln |x|+ C = ln |y| y2 = A

x

Problema 1.3. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales y encuentre el intervalo de solucion(si es posible):

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(a) y 3y = ex con y(0) = y0

(b) x 2t+ 1

x = (t+ 1)2 con x(0) = 0

(c) y + 2xy = y2y

Solucion: Recordemos que toda ecuacion lineal de la forma: y + P (x)y = Q(x) se resuelvemultiplicando por el factor integrante: (x) = e

P (x)dx con esto obtenemos:

yeP (x)dx + P (x)e

P (x)dxy = Q(x)e

P (x)dx

(y e

P (x)dx

)= Q(x)(x)

As podemos integrar:

y (x) =Q(x)(x)dx+ C y(x) = C e

P (x)dx + e

P (x)dx

Q(x)(x)dx

(a) En este caso P (x) = 3 y Q(x) = ex, por lo que el factor integrante esta dado por: (x) =e3dx = e3x. As:

y =ex e3xdx =

e2xdx = 1

2e2x + C

Por lo que:

y(x) = Ce3x yh

12exyp

As yh corresponde a la solucion homogenea (Q(x) = 0) y yp corresponde a una solucionparticular del problema. Ahora usando el dato inicial: y(0) = y0 tenemos:

y0 = C 1

2 C = y0 +

1

2

As la respuesta es:

y(x) =

(y0 +

1

2

)e3x 1

2ex

Es claro que el intervalo de solucion es todo R.

(b) En este caso P (t) = 2t+1 y Q(t) = (t+1)2. Luego (t) = e

2/(t+1)dt = e2 ln(t+1) = (t+1)2.

As:

x =

(t+ 1)2(t+ 1)2dt =

dt = t+ C x = (t+ C)(t+ 1)2

Usando la condicion inicial: 0 = C As:

x(t) = t(t+ 1)2

Evidentemente el intervalo de solucion es (1,).

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(c) Recordemos que y =dy

dx=

1dxdy

=1

x. As reemplazando por esto:

y + 2x1

x= y2

1

x

Multiplicando porx

ynos queda:

x +2

yx = y

una ecuacion lineal para x. Multiplicamos por = e2/ydy = e2 ln |y| = y2, as:

x =y y2dy x(y) = y

2

4+C

y2

Problema 1.4. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

(a) x+ tx = t3x3

(b) y(x) + 6y(x) = 30y2/3(x)

Solucion: Recordemos que una ecuacion de Bernoulli de la forma y+P (x)y = Q(x)y se resuelvehaciendo el cambio u = y1 .

(a) Es una ecuacion de Bernoulli con = 3, luego el cambio es:

u = x13 = x2 u = 2x3x x = 12x3u = 1

2u3/2u

Reemplazando en la ecuacion tenemos:

12u3/2u+ tu1/2 = t3u3/2

Multiplicando por 2u3/2 tenemos:

u 2tu = 2t3

Esta ecuacion se resuelve multiplicando por el factor integrante: (t) = e2tdt = et

2, as:

u =2t3et2dt

As:

u(t) = Cet2 2et2

t3et

2dt x(t) =

(Cet

2 2et2t3et

2dt

)1/2Resolviendo la integral (hacer z = t2 y luego integrar por partes):

x(t) =

[Cet

2 2et2(1

2et

2(t2 + 1)

)]1/2=[Cet

2+ (t2 + 1)

]1/2

10

(b) En este caso = 2/3 entonces el cambio:

z = y12/3 = y1/3 z = 13y2/3y 3y2/3z = 3z2z = y

reemplazando en la ecuacion tenemos:

3z2z + 6z3 = 30z2

si multiplicamos por 13z2 tenemos

z + 2z = 10