REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR

INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIOCOORDINACIÓN DE PREGRADO

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

María Villamizar

Puntos a tratar

• Ecuaciones diferenciales de Primer Orden• Ecuaciones de variables separadas.• Ecuaciones homogéneas.

Ecuaciones diferenciales de Primer Orden

Una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se denomina Ecuación Diferencial.

Si la función desconocida depende de una sola variable, como es el caso del ejemplo anterior, se la llama Ecuación Diferencial Ordinaria. Si la función desconocida depende de más de una variable se llama Ecuación Diferencial Parcial o en Derivadas Parciales.

Ejemplo:

En este caso, estudiaremos las ecuaciones diferenciales de primer orden. El orden de una Ecuación diferencial está dado por la más alta derivada presente en la ecuación:

Ejemplo:

Una Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden

Las ecuaciones diferenciales de primer orden son las más simples de resolver, al menos en teoría. Muchos problemas de la física, biología, economía, ingeniería, etc., conducen a problemas de valor inicial que involucran ecuaciones de primer orden.

Durante muchos años los matemáticos se esforzaron por resolver tipos específicos de ecuaciones diferenciales. Debido a esto existen hoy en día muchas técnicas de solución, de las cuales estudiaremos 2: Ecuaciones de Variables separadas y homogéneas.

Ecuaciones diferenciales de Variables Separadas

.

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden en la forma: se llama ecuación diferencial en variables separadas.

que puede escribirse

Ejemplo:

Para una ecuación como ésta, separar variables significa que, por medio de operaciones algebraicas válidas, se escriba en la forma:

Entonces tenemos:

Y ahora:

Del resultado anterior, se concluye que la ecuación diferencial

Es decir, se separan las variable de las ecuaciones de dos variables.

es una ecuación diferencial de variables separadas.

Ecuaciones diferenciales homogéneas

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es homogénea si la funciónes homogénea de orden cero, entonces el cambio de variable la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas

la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas.Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden es homogénea, entoncesel cambio de variable

Demostración:

.

Al hacer la sustitución obtenemos

Pero como es una función homogénea de grado cero tenemos que

de donde

la cual es separable, como se quería