ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Son aquellas ecuaciones que contienen una o mas derivadas parciales de una dependiente.Una ecuacin diferencial parcial es una que contiene la expresin de tipo:

Contiene variables independientes tales como X y Y, una funcin incgnita o con variable dependiente u y sus derivadas parciales sucesivas Ux, Uy.

Cualquiera de los siguientes mtodos de escritura representa derivadas parciales:

A continuacin se muestran las deducciones de las tres EDP, ms utilizadas en la fsica clsica, con sus soluciones analticas y numricas.

Caso parablico (Ecuacin del Calor)

Se desarrolla este tema en tres partes: inicialmente la deduccin de la ecuacin de calor, seguido de su solucin analtica, en donde se utiliza teora de todo el procedimiento matemtico elaborado hasta el momento, incluyendo la parte formal de la solucin, adems se utiliza los mtodos numricos para introducir |los elementos finitos unidimensionales como parte de la aproximacin numrica a la solucin.

La siguiente deduccin fue tomada de Ecuaciones diferenciales, Takeuchi-Ramirez-Ruiz, Editorial Limusa, Mxico 1980

Inicialmente consideremos el flujo de calor en dos dimensiones y se calcula el total del calor acumulado dentro del elemento ABCD. (ver figura), segn la ley de conduccin del calor, la cantidad de calor que atraviesa una pared es proporcional al gradiente de la temperatura normal a la pared y tambin proporcional al rea de la pared. Si T(x,y,t) es la temperatura en el punto (x,y) y tiempo t, entonces la cantidad de calor que atraviesa la pared de AB en un tiempo es , en donde es un factor de proporcionalidad, llamado en este caso coeficiente de conduccin del calor. (el signo negativo proviene de la propiedad del calor de tender de una temperatura alta una temperatura baja).

En la misma forma, el calor que atraviesa la pared DC viene dado por la expresin siguiente:

Pero en este caso el valor de debe calcularse en .

Entonces el calor acumulado entre AB y CD es:

(14)Por otra parte el calor acumulado entre las paredes BC y AD esta dado por la expresin siguiente:

(15)El total del calor acumulado en el elemento es la suma de las cantidades (14) y (15), es decir:_

Con este calor acumulado la temperatura del elemento ABCD aumente Y como el aumento de la temperatura es proporcional a la cantidad del calor acumulado se obtiene la expresin siguiente:

(17)

En donde el factor es la capacidad calorfica del elemento y C es la capacidad calorfica por unidad de superficie. De (17) se recibe entonces que:

(18)

Tomando a como infinitsimos, la ecuacin (18) puede escribirse as:

(19)

Esta es la Ecuacin de conduccin del Calor , el factor es el coeficiente de trasmisin del calor .

En tres dimensiones la ecuacin (19) puede generalizarse as:

Una vez obtenida la ecuacin del calor se procede a su solucin analtica; recordemos que lo primero que hacemos es comprobar, que realmente, es una ecuacin parablica, tomando la forma general de una ecuacin diferencial parcial de segundo orden lineal.

Verificamos que sede que , esta se puede llevar bajo la transformacin a fin.

A su forma cannica

Donde F es una relacin de estas cuatro variables.

Nota: Recordemos que se dice parablica ya que su forma cannica tiene forma de parbola, es decir, , va la transformada de Fourier esto es

S=k2, se escapa del alcance de estas notas, pero la transformada de Fourier cambia (en algn sentido cambia las derivadas por polinomios) ver que donde i es el imaginario solucin de .

As basta hacer un estudio de este caso para las ecuaciones parablicas.

Lo que haremos es esta seccin es estudiar un caso particular de este (es decir, cuando (F = 0) en dos formas, la solucin analtica y su solucin numrica y las comparemos. No se pretende solucionar analticamente las ecuaciones parablicas, este ejemplo se desarrolla para mostrar la dificultad de este tipo de solucin y por esto la necesidad de trabajarlas numricamente.

Para esto comenzaremos con el siguiente problema:

Considere una varilla delgada de longitud , con una temperatura inicial en toda su longitud y cuyos extremos se mantienen a temperatura cero durante todo el tiempo (). Si la varilla mostrada en la figura, satisface las siguientes suposiciones:

El flujo del calor dentro de la varilla toma lugar solo en direccin La superficie lateral, o curva, de la varilla est aislada; es decir, el calor no escapa de la superficie. No se genera calor dentro de la varilla. La varilla es homognea; es decir, su masa por unidad de volumen es una constante.

El calor especficoy la conductividad trmica del material de la varilla, son constantes.y adems se cumplen las condiciones expuestas en la deduccin de la ecuacin.

Partiendo de la forma general de la ecuacin diferencial parcial parablica tomaremos valores especficos de ; de forma que se simplifique la solucin analtica de este problema.

Hallar la temperatura en la varilla para ; es decir

[1]

Condiciones de frontera

Condicin inicial

Este problema es llamado un problema mixto, es decir es un problema de valores en la frontera (para la variable x), dado por la tercera lnea de [1] y es un problema de Cauchy (o valores inciales para la variable t) dado por la cuarta lnea en [1].

i-) Solucin analticaUsaremos el mtodo de separacin de variables para obtener soluciones Uj para el problema de valores en la frontera y luego el principio de superposicin para encontrar una general.

As asumimos que tiene la forma (lo cual no es trivial)

[2]

Al remplazar [2] en la segunda lnea de [1] obtenemos

[3]

La idea crucial en este mtodo es reducir el problema de valores en la frontera a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (desacoplado) junto con condiciones inciales o de frontera el cual esperamos poder resolver.Ahora al separar las variables en [3] obtenemos

[5]

Donde inicialmente puede ser una constante compleja.As obtenemos los siguientes problemas, la EDO es la variable t

[6]

Y la EDO en la variable x

[7]

Nota: el problema 7 obviamente es una ecuacin diferencial, sin embargo podemos escribirlo como

Recordando la notacin de algebra lineal podemos escribir el problema como Donde A es la transformacin lineal D2 es decir, menos la segunda derivada la cual se comporta como una matriz simtrica en el sentido que AU.V=U.AV este tipo de operadores es llamado simtricos, para este caso el equivalente seria ( Af , g)=(f, Ag) es decir

Entonces el problema 7 es un problema de valores y vectores propios, es decir lamndaseria el valor propio y X seria el vector propio, y al igual que en el caso de las matrices simtricas los valores propios son reales. Es mas, el teorema espectral nos dice que los valores propios son reales y positivos y que los vectores propios asociados a estos valores propios son ortogonales.Con lo cual descartamos el caso de los complejos.

Ahora cuando imponemos las condiciones de frontera [1] es decir

Y de forma anloga

Con lo cual ya sabemos solucionar por ecuaciones ordinarias, para esto primero veremos que debe ser positivo.

Esto es

Obtenemos:

+

As

Como

Obtenemos

[9]

como buscamos una solucin trivial y continua para x(x) entonces

ahora,

As fuera cero x(x) = 0 y as x(x) seria constante, pero como

x(0) = 0 entonces x = 0 y as u = 0 por lo tanto > 0

Ahora volviendo a la EDO [8] es decir

X(x)+x(x) = 0 Escribimos la ecuacin auxiliar y as

resolviendo obtenemos las races

por lo tanto la solucin de x

Ahora, ya que los vectores propios son cosenos y senos el teorema espectral afirma que ellos son ortogonales entre si ver ejercicio (marica toca poner el ejercicio de las integrales de senos y cosenos para ver que son cero).

Ahora con las condiciones de frontera en [8] obtenemos

Y as tomando Obtenemos

Pero como B 0 (de lo contrario u(x,t) = 0)

Necesitamos que

y as los valores que puede tomar son para cada

As para cada valor tenemos y para cada uno de estos una solucin de [8] as:

(10)

Ahora resolveremos el problema [6] para estos valores de

Y as tenemos las soluciones

[11]

Combinando [2], [10] y [11] obtenemos una familia de soluciones para [1]

As

Y usando el principio de superposicin ( ya que la EDP es lineal)

[12]

Ahora necesitamos ver quines son los coeficientes bk y ver que estos no daen la convergencia de la serie [12].Para ver quines son, usamos la condicin inicial es el problema [1]

[13]

As nuestro problema se reduce a ver la funcin f como una serie de Fourier en senos.

Para despejar los bk usamos las relaciones de ortogonalidad de los senos es decir multiplicamos (en el sentido de producto punto por y obtenemos (reordenando ):

[15]

Siempre y cuando los coeficientes bk caigan lo suficiente para asegurar la convergencia de esta serie y la de las series formadas al derivar termino a trmino.

As en el problema 1 tenemos l = 0 y f(x) = xEntonces

(17)

Ahora si queremos conocer por ejemplo el valor de la temperatura en t= 3 y x= 0,8

ii-) Solucin Numrica

Para la solucin numrica; tomaremos un ejercicio para que sea mas clara la explicacin de este mtodo.

Recordemos el problema a solucionar:

[1]

Donde

Sea (18)

Recordemos que este es el problema de medir el calor en cada punto (T,X) de una barra delgada de la longitud 2, as escogemos una particin en y otra en (dependiendo de la exactitud que se requiera) por ejemplo haremos Esto crea un conjunto de puntos en el plano (veamos la figura) los cuales demostraremos por:

al punto de coordenadas Donde;Ahora usando diferencias finitas centradas en los puntos interiores para aproximar la derivada espacial (en X) obtenemos.

Y para la segunda derivada(19)

Y en la variable temporal (en t) usaremos diferencias finitas hacia adelante as

Nota: la razn de usar diferencias finitas hacia adelante en la variable temporal y no centradas en que el sistema de ecuaciones ms adelante tiene ms incgnitas que ecuaciones.

Sustituyendo (18) y (19) en obtenemos

Rescribiendo tenemos(20)Esta relacin (20) se tiene para los puntos interiores, para los puntos en las fronteras se usan las condiciones inciales y las de las fronteras del problema (17). As rescribiendo (20) para nuestro ejemplo obtenemos.

(21)Y los puntos de frontera obtenemos

Y para los puntos interiores en el tiempo t=1 tendramos:

Es decir, podemos conocer el estado de la barra en un tiempo futuro si sabemos su estado en un tiempo anterior, ahora para t=2 tenemos:

|

Ecuaciones Diferenciales Parciales SeparablesLas ecuaciones diferenciales que contienen derivadas parciales se llaman Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) y aparecen frecuentemente en problemas de fsica, qumica, ingeniera, etc.

Cuando abordamos las Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP); nos referimos exclusivamente a las que son separables, ya que esta teora es demasiada compleja y no se tratara en este libro; si se quiere ampliar este tema ver : IntroductiontoPartialDifferentialEquations de Donald Greenspan.La forma general de una Ecuacin diferencial parcial, lineal de orden 2 es:

Donde los coeficientes A,B,C,D,E,F,Gson funciones que estn en trminos de x yy; si adems se cumple que G(x,y)=0 se dice que la EDP es homognea de lo contrario es no homognea.Una forma equivalente de escritura es:

Observemos algunos ejemplos de EDO homogneas y no homogneas:

homognea

homognea

homognea

No homognea

Mtodo de solucin de Separacin de Variables

Como se dijo anteriormente; solamente trabajaremos EDP en variables separables.

Inicialmente escribiremos la forma de la solucin, que es , donde el primer factor esta en trminos de x y el segundo factor en trminos de y; adicionalmente definiremos las primeras y segundas derivadas as:

Al plantearse la EDP se aplica este remplazo y tratamos de agrupar trminos semejantes, de forma tal, que se pueda generar una igualdad que garantice que en cada lado de la igualdad exista una sola variable; una vez logrado esto, llegamos a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinario, independiente en cada lado de la igualdad.Ejemplo.

Dada la siguiente EDP, resolverlaResolver

Tenemos tres tipos de solucin:a. Cada expresin igualada a un nmero positivo b. Cada expresin igualado a un nmero negativo -c. Cada expresin igualado a ceroResolveremos primero el item a.

y a la vez

ojo faltaCon ecuacin auxiliar Con ecuacin auxiliar

Cuya solucin es:Cuya solucin es:

Luego la solucin para el caso positivo es:

Se deja como ejercicio la solucin para los otros dos casos.

CLASIFICACION

Al trabajar con EDP lineales de orden 2, se presentan tres ecuaciones que son muy importantes (Calor), ( Onda) , (Laplace), que son ecuaciones que modelan algunos problemas de fenmenos fsicos; aplicando la transformada de Fourier a cada una de ellas podemos ver formas conocidas y trabajadas en la geometra analtica, que son parbola, hiprbola y elipse respectivamente, cualquier EDP lineal de orden 2 con coeficientes constantes es muy similar a una de esta tres ecuaciones (va la transformada de Fourier) La siguiente forma de clasificarlas es precisamente ver el parecido que tienen la forma general con alguna de nuestras tres ecuaciones fundamentales (calor onda y Laplace)Dada la forma general

Definiremos el discriminante

Inicialmente tomando la ecuacin del calor se tiene: , se tiene que el discriminante es igual a cero, viendo la forma de la ecuacin del calor notamos una similitud con ( Que se llega mediante la aplicacin de la transformada de Fourier a la ecuacin) esto motiva a llamar a este tipo de ecuaciones Parablicas.

Definicin: Una ecuacin Diferencial Parcial con coeficientes, lineal y de orden 2 se dice parablica si.

A continuacin tomando la ecuacin de onda se tiene: , se tiene que el discriminante es mayor que cero, viendo la forma de la ecuacin de onda notamos una similitud con ( que se llega mediante la aplicacin de la transformada de Fourier a la ecuacin) esto motiva a llamar a este tipo de ecuaciones Hiperblicas.

Definicin: Una ecuacin Diferencial Parcial con coeficientes, lineal y de orden 2 se dice hiperblica si.

Finalmente tomando la ecuacin de Laplace se tiene: , se tiene que el discriminante es menor que cero, viendo la forma de la ecuacin de Laplace notamos una similitud con ( que se llega mediante la aplicacin de la transformada de Fourier a la ecuacin) esto motiva a llamar a este tipo de ecuaciones Elpticas.

Definicin: Una ecuacin Diferencial Parcial con coeficientes, lineal y de orden 2 se dice Elptica si.Lo resumiremos en el siguiente cuadro Hiperblica si Parablica si Elptica si

Parabolica; k>0

Hiperbolica

Eliptica

TRANSFORMACIONES A FIN Resuelva por Separacin de variables la EDP

Al separar sus variables

Donde

As

Aqu es fcil ver que no es posible separar las variables; ya que no se puede generar ningn tipo de agrupacin de variables semejantes.Considerar una transformacin afn, para esto primero clasificaremos la E.D.P

Considerar una transformacin afn, para esto primero clasificaremos la E.D.P ,la cual tiene as el discriminante es es decir la ecuacin es hiperblica y como usamos.

AsiEs decir

As despejando tenemos

Con esta transformacin afn, buscamos llegar a las nuevas variables de la ecuacin de la onda, la cual podemos escribir como:

Ya con esta buscamos aplicar separacin de variables

As escribimos

Reescribiendo llegamos a

en la cual es fcil ver, despus de manipular algebraicamente que las variables se pueden separar

Como vemos la parte izquierda depende exclusivamente de v y la parte derecha de w, asi es constante, por tanto, llegamos a un sistema desligado de dos ecuaciones diferenciales ordinarias.

Trabajamos la parte 1.

Llevando a la ecuacin auxiliar

Lo cual nos lleva a tres casos1.

es decir As

Por lo tanto

Y as para

Nuevamente con la ecuacin auxiliar llegamos a

Por tanto

Por lo tanto

As usando la transformacin llegamos a

2. Ahora consideremos cuando

es decir Las races (de la auxiliar) son reales y diferentes

Sea y As las soluciones son

Y para la parte que depende de w

La auxiliar

Consideremos solo

As llegamos a las races y

Los otros casos de dejan al lector.

Caso #1 PARABOLICO

Calor

Caso #2 ELIPTICA

Laplace

Caso #3 HIPERBOLICA

Onda

SiA0, B0, C0 o A0, B0, C=0 o A0, B=0, C0

Si A=0, B0, C0

Si A=0, B0, C=0

EJEMPLOS

2)