Ecuaciones diferenciales para ingenieros

Ecuaciones diferenciales para estudiantes deciencias e ingenieras

Adriana Gomez, Graciano Calderon, Jaime Arango

Prefacio

Como muchos libros de texto este empezo en forma de borradores declase: los del profesor Graciano Calderon. Tambien como muchos libros estenacio del deseo de sus autores de deciry escribiralgunas cosas, y su con-vencimiento de que vala la pena embarcarse en tal empresa.

Nuestra aspiracion ha sido siempre la de contar con un texto de buenacalidad, que resulte accesible para nuestros estudiantes. Debera reemplazaras la poco afortunada costumbre de fotocopiar parcialmente trozos dispersosde librosmuchas veces tan lejanos de nuestras propias experienciaso lade prescindir por completo de un libro de texto. Nuestros esfuerzos se hanconcentrado a traves del tiempo en que resulte un texto razonablemente bienescrito que presente una introduccion concisa a las ecuaciones diferencialesordinarias. Debera ser util tanto para estudiantes de ciencias, matematica yfsica, posiblemente interesados en los aspectos teoricos de la materia, comopara los estudiantes de ingenieras, la mayora de ellos mas inclinados hacialas aplicaciones practicas. Con la experiencia de muchos anos de los autores yla colaboracion desinteresada de estudiantes y colegas, la iniciativa original deGraciano Calderon fue tomando cuerpo hasta convertirse en lo que tenemosahora. Seguramente nuestras pretensiones apenas se han logrado en parte:seran los lectores quienes juzquen en que grado hemos logrado materializarlas.

La lista de todos aquellos con quienes este trabajo esta en deuda es porcierto muy larga y con seguridad siempre quedara incompleta. No queremossin embargo dejar de mencionar a Aida Patricia Gonzales y a Luis Cobo, estu-diantes del programa de Matematicas de la Universidad del Valle cuando estelibro era apenas un bosquejo. Nuestro reconocimiento tambien va en memoriade J. Tischer, cuyos comentarios, a veces causticos, seguimos extranando. Anuestro colega Manuel Villegas este trabajo tambien debe mucho: ademas desugerencias y correcciones, su generosa disposicion a usarlo en versiones pre-liminares. Queremos finalmente agradecer al Departamento de Matematicas

iii

IV

de la Universidad del Valle, y desde luego al ciudadano que paga sus impues-tos, y que con su contribucion hace posible que algunos podamos dedicarnosa las privilegiadas tareas de pensar y escribir.

Indice general

Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

1. Modelos matematicos y ecuaciones 11.1. Sistemas dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1. Modelo de Malthus (crecimiento exponencial) . . . . . 21.1.2. Movimiento rectilneo en un medio resistivo . . . . . . 4

1.2. El concepto de solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Teorema fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Campos de direcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Ecuaciones de primer orden 192.1. Variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3. Ecuaciones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4. Cambios de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3. Aplicaciones 473.1. Procesos de crecimiento y de declinacion. . . . . . . . . . . . . 473.2. El modelo de Verhulst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3. Ley de Newton del enfriamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4. El modelo del tanque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.5. Cada de cuerpos cerca de la superficie de la Tierra. . . . . . . 593.6. Cada en un potencial gravitatorio variable . . . . . . . . . . . 623.7. Trayectorias ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4. Metodos cualitativos y numericos 694.1. Metodos Cualitativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.1.1. El modelo de Verhulst . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

v

VI INDICE GENERAL

4.1.2. Ecuaciones diferenciales autonomas . . . . . . . . . . . 724.1.3. Equilibrios y estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.1.4. Un ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2. Metodos numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.1. El metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.2. Los metodos tipo Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . 87

5. Ecuaciones de segundo orden 915.1. Teora general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.2. Ecuaciones lineales homogeneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.2.1. Conjuntos fundamentales de soluciones . . . . . . . . . 955.2.2. El metodo de reduccion de orden . . . . . . . . . . . . 1005.2.3. Ecuaciones diferenciales con soluciones complejas . . . 1025.2.4. Ecuaciones lineales homogeneas con coeficientes cons-

tantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.3. Ecuaciones lineales no homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.3.1. Principios de superposicion . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.3.2. El metodo de la variacion de parametros . . . . . . . . 1085.3.3. El metodo de los coeficientes indeterminados . . . . . . 111

5.4. Ejercicios adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6. Osciladores lineales 1176.1. Osciladores mecanicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.2. Oscilaciones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.3. Oscilaciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7. Ecuaciones de orden superior 1397.1. Teora general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

7.1.1. Ecuaciones lineales homogeneas . . . . . . . . . . . . . 1407.1.2. Ecuaciones lineales no homogeneas . . . . . . . . . . . 144

7.2. Ecuaciones con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . 1477.2.1. Ecuaciones homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.2.2. Ecuaciones no homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . 150

8. Soluciones en series de potencias 1558.1. Soluciones cerca a un punto ordinario . . . . . . . . . . . . . . 1588.2. El metodo de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

INDICE GENERAL VII

9. Transformada de Laplace 1779.1. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.2. Propiedades de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . 1839.3. La transformada de Laplace inversa . . . . . . . . . . . . . . . 1889.4. Metodo de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1929.5. Producto de transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . 1969.6. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

10.Sistemas de ecuaciones 20310.1. Conceptos basicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20610.2. Sistemas homogeneos con coeficientes constantes . . . . . . . . 213

10.2.1. La exponencial de una matriz . . . . . . . . . . . . . . 22210.3. Sistemas no homogeneos con coeficientes constantes . . . . . . 237

10.3.1. El metodo de los coeficientes indeterminados . . . . . . 23710.3.2. Formula de variacion de parametros . . . . . . . . . . . 240

VIII INDICE GENERAL

Captulo 1

Modelos matematicos yecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales constituyen una de las principales herramien-tas empleadas por cientficos e ingenieros cuando se trata de representar

matematicamente alguno de los fenomenos que deben estudiar en sus distin-tas areas de trabajo. Con frecuencia una ecuacion diferencial resulta ser lamejor manera de describir un sistema dinamico. Pero, que es un sistemadinamico? Esta puede ser una pregunta difcil de contestar en terminos rigu-rosos, sin embargo podemos imaginar un sistema dinamico como la evolucionde un sistema fsico, cuyo estado vara con el tiempo. El estado de un siste-ma es el conjunto de caractersticas del sistema que permiten su descripcioncompleta en cada instante. Un pendulo que oscila, un mercado bursatil, elsistema solar, un conjunto de poblaciones animales que interactuan, o uncircuito electrico, pueden citarse como ejemplos que ilustran el concepto desistema dinamico.

Cuando las reglas que gobiernan la evolucion de un sistema dinamicoestan expresadas en terminos de una ecuacion diferencial, el estudio de dichaecuacion y de sus soluciones permite entender y predecir el comportamiento

cretos que muestran como las ecuaciones diferenciales sirven para modelarmatematicamente un rango muy diverso de fenomenos naturales. Tambiendiscutiremos el concepto formal de ecuacion diferencial ordinaria y el desolucion de una ecuacion diferencial, as como el teorema fundamental deexistencia de soluciones para ecuaciones de primer orden.

1

del sistema. En este captulo empezamos por introducir un par de ejemplos con-

2 1. MODELOS MATEMATICOS Y ECUACIONES

1.1. Sistemas dinamicos

En esta seccion se consideraran sistemas cuyos estados se pueden describirmediante una sola variable escalar, que a su vez depende de una variableindependiente, la que muy usualmente corresponde al tiempo.

1.1.1. Modelo de Malthus (crecimiento exponencial)

Como ilustracion estudiaremos un modelo de crecimiento para poblacio-nes aisladas. Los organismos viven en grupos llamados poblaciones, caracteri-zadas por su tamano, que, para el caso del modelo que nos interesa, sera con-siderado el estado del sistema en cada instante. El tamano de la poblacion sepuede dar en terminos del numero total de individuos de la poblacion, perobien podra darse, por ejemplo, en terminos de su densidad.

Para efectos de plantear un modelo introducimos la variable x = x(t),que representa el tamano de la poblacion en el tiempo t. En ese caso la tasarelativa de crecimiento de la poblacion en el tiempo t es igual a 1

x(t)dxdt. En

una poblacion aislada, la variacion del tamano es debida fundamentalmentea los procesos de nacimiento y muerte. En ese caso la tasa de crecimientode la poblacion es igual a la diferencia entre la tasa de natalidad y la demortalidad.

A traves del tiempo ecologos y demografos han planteado varios modelos,en un intento por predecir la forma en que evoluciona el tamano de laspoblaciones. Estos modelos se basan en supuestos, usualmente verificados demanera experimental, que establecen relaciones entre la tasa de crecimientode la poblacion y el tamano de la poblacion en cada instante.

Vamos a estudiar ahora uno de los modelos mas conocidos, el modelo deMalthus, llamado as por el economista Thomas Robert Malthus (1766-1834),quien lo planteo por primera vez en su influyente trabajo Primer ensayo sobrela poblacion. En este modelo la tasa relativa de crecimiento de la poblacionse supone constante, es decir

1

x(t)

dx

dt(t) = a, a constante,

o equivalentementedx

dt(t) = a x(t). (1.1)

1.1. SISTEMAS DINAMICOS 3

Escrito en esta forma el modelo de Malthus proporciona un ejemplo de unaecuacion diferencial.

Es sencillo calcular explcitamente las soluciones de (1.1). En efecto, six = x(t) es solucion de (1.1) y x(t) 6= 0 para todo t, entonces

1

x

dx

dt= a.

Integrando a ambos lados respecto de t resulta que ln |x(t)| = at + c1, paraalguna constante c1. Exponenciando ambos lados esta ultima identidad seobtiene

x(t) = c ea t, < t


1990 2000 2010 2020 2030 2040 2050 2060 2070 20800

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

t

x(t)

Figura 1.1: Numero de individuos de una poblacion en proceso de extinguirse.

1.1.2. Movimiento rectilneo en un medio resistivo

Ahora estudiaremos el problema de determinar la velocidad de un cuerpoque cae cerca de la superficie terrestre. Galileo Galilei (1546-1642) mostro ex-perimentalmente que la aceleracion de un cuerpo que cae en el vaco cerca dela superficie de La Tierra es constante. Teniendo en cuenta que la aceleraciones la razon de cambio de la velocidad con respecto del tiempo, y consideran-do como positiva la direccion hacia arriba, el descubrimiento de Galileo ennotacion moderna puede escribirse como

dv

dt= g, (ley de Galileo de cada libre), (1.3)

donde v representa la velocidad del cuerpo y g es una constante, que en elsistema MKS toma el valor aproximado de g 9,8m/s2. Si en el instante t0la velocidad es v0, entonces mediante integracion se llega a la formula parala velocidad en el caso del movimiento uniformemente acelerado

v(t) = v0 g (t t0) .Cuando un cuerpo cae en un medio diferente del vaco, por ejemplo aire oagua, este ejerce una fuerza de resistencia o friccion que afecta la velocidadde la cada. Es conveniente plantear el problema empleando la segunda ley dede Newton, de acuerdo con la cual el producto de la masa por la aceleracionde un cuerpo es igual a la suma de las fuerzas que actuan sobre este:

mdv

dt= f, (segunda ley de Newton). (1.4)

Si las unicas fuerzas que actuan sobre un cuerpo que cae son la fuerza de lagravedad fW y la resistencia fR, f = fW + fR. Sabemos que cerca de la

1.1. SISTEMAS DINAMICOS 5

superficie terrestrefW = mg,

mientras que para la resistencia un modelo validado experimentalmente es-tablece que fR es proporcional a la velocidad y actua en direccion opuesta ala del movimiento:

fR = v,donde es una constante positiva. De acuerdo con la segunda ley de Newton

mdv

dt= fW + fR = mg v,

o, equivalentementedv

dt= g

mv. (1.5)

Esta ultima relacion puede interpretarse como una correccion de la ecuacionde cada libre (1.3), teniendo en cuenta ahora la resistencia del medio. En unmedio no resistivo = 0 y la relacion (1.5) se reduce a la ecuacion de cadalibre (1.3).

La ecuacion (1.5) relaciona a v con su derivada dvdt. Este es un ejemplo de

una ecuacion diferencial de primer orden . Lo de primer orden se refiere aque solo aparece la primera derivada de la funcion incognita v = v(t).

Vamos a determinar ahora las soluciones v = v(t) de la ecuacion (1.5).Observese que la ecuacion (1.5) se puede reescribir en la forma

1

g + mv

dv

dt= 1.

Integrando ambos lados con respecto de t se sigue que,

lng +

mv =

mt+ c1,

donde c1 es una constante cualquiera. Despejando v tenemos

v = c emt mg

, (1.6)

donde c = mec1

es una constante arbitraria. Si en el instante inicial t0 elcuerpo cae con velocidad v = v0 podemos precisar el valor de la constante c.En efecto en ese caso

v0 = c e mt0 mg

,


as que despejando c y reemplazando en (1.6) se obtiene una expresion parael valor de v en cada instante t:

v =

(v0 +

mg

)e

m(tt0) mg

. (1.7)

Ejemplo 1.1.2. Para fijar ideas consideremos una masa de 0.2 kg que se dejacaer desde el reposo en un medio resistivo, con una constante = 1

100kg/s.

De acuerdo con (1.7), la velocidad en metros por segundo en cada instante tresulta ser

v(t) = 20 9,8(e

t20 1

).

La grafica de esta funcion velocidad v = v(t) puede apreciarse en la figura1.2, conjuntamente con la de la velocidad que correspondera a una cadalibre.

0 5 10 15 20 25 30 35 40

400

300

200

100

0

tv(t)

Figura 1.2: Velocidad de un cuerpo que cae en un medio resistivo. La lnea punteada esla velocidad asintotica, la lnea a trozos representa la velocidad de no existir resistencia.

1.2. El concepto de solucion

La ley de Malthus para la evolucion del tamano de una poblacion y lasleyes que gobiernan la velocidad de un cuerpo que cae en un medio resistivoson ejemplos de modelos que dan lugar a ecuaciones diferenciales ordinarias.Por una ecuacion diferencial ordinaria de ordenm para una funcion incognitax = x(t), que depende de una variable real t, se entiende una condicion quese puede expresar en la forma

E

(t, x,

dx

dt, . . . ,

dmx

dtm

)= 0, (1.8)

1.2. EL CONCEPTO DE SOLUCION 7

que relaciona los valores que tome la funcion x = x(t) con los que toman susderivadas hasta la de orden m, y posiblemente con los valores de la variableindependiente t. La letra E representa aqu una funcion de m+ 2 variables,esto es, una regla o procedimiento que a cada conjunto ordenado de m+2numeros (u1, u2, . . . , um+2), perteneciente a un cierto subconjunto del espacioRm+2, le asocia un valor que se denota por E(u1, u2, . . . , um+2). El orden dela ecuacion es el orden m de la derivada mas alta de x = x(t) que aparece enla ecuacion.

Ejemplo 1.2.1. Por ejemplo dxdt= 2x es una ecuacion diferencial. En efecto

esta condicion se puede expresar en la forma (1.8), tomando por ejemploE(u1, u2, u3) = u3 2u2, de manera que E(t, x, dxdt ) = dxdt 2x.Definicion 1.2.1. Una solucion de la ecuacion diferencial (1.8) en un inter-valo I es una funcion x = x(t), definida en I y con valores en R tal que:

x = x(t) es continua y posee derivadas dxdt, . . . , d

mxdtm

hasta de orden men I.

x = x(t) satisface (1.8) en I. Es decir, E(t, x(t), dx

dt(t), . . . , d

mxdtm

(t))= 0,

para todo t I.El intervalo I es el intervalo de definicion de la solucion x(t).

En discusiones de caracter general, se hace necesario considerar ecuacionesen forma normal

dmx

dtm= f(t, x,

dx

dt, . . . ,

dm1xdtm1

), (1.9)

es decir, resueltas para la derivada de orden mas alto dmxdtm

. A continuacionvamos a estudiar algunos ejemplos.

Ejemplo 1.2.2. Las funciones de la forma x(t) = c e2t, c constante, sonsoluciones de la ecuacion dx

dt= 2 x en I = (,). En efecto para cada una

de estas funciones x(t), dxdt(t) = 2 c e2t = 2 x(t).

Ejemplo 1.2.3. Dada una constante fija , cada una de las funciones de laforma y(t) = a cos t+ b sen t, a y b constantes, es solucion de la ecuacion

d2y

dt2+ 2 y = 0, > 0 constante,


en el intervalo I = (,). Ello puede verificarse facilmente, ya que paraestas funciones y(t),

d2y

dt2(t) + 2 y(t) = a2 cos t b 2 sen t+ 2 (a cos t+ b sen t) = 0.

Ejemplo 1.2.4. La funcion u(t) = 1tes solucion de du

dt= u2 en (0,) y

tambien en (, 0). Se dejan al lector los detalles de la verificacion.

Ejemplo 1.2.5. De acuerdo con la definicion que hemos presentado las si-guientes ecuaciones no son ecuaciones diferenciales ordinarias:

la ecuacion del caloru

t=2u

x2, donde u es funcion de las variables x

y t.

la ecuacion de Laplace2u

x2+2u

y2= 0, donde u es funcion de x y de y.

Las anteriores son en cambio ejemplos de ecuaciones parciales.

Observacion. Los modelos que hemos presentado en esta gua correspondena sistemas que dependen del tiempo. Resulta en ese caso natural emplearla letra t para denotar a la variable independiente (temporal), y con otraletra, por ejemplo x, a la variable dependiente. As, x(t) puede representar eltamano de una poblacion o la posicion de un cuerpo en el instante t. Ahorabien, no hay nada de malo en denotar con letras distintas a las variablesdependiente e independiente. De la misma manera es cierto que puede usarsecualquiera de las posibles notaciones para las derivadas. Por ejemplo, si no esimportante precisar el nombre de la variable independiente, puede escribirsex, x, . . . en lugar de dx

dt, d

2xdt2, . . . . Solo el contexto y la tradicion indican cual

notacion puede ser la mas conveniente en un determinado caso. Notese que

dx

dt+ x = cos t,

du

dt+ u = cos t y

dy

dx+ y = cos x,

as como

x + x = cos t, o y + y = cos x,

son formas equivalentes de escribir la misma ecuacion diferencial.

1.2. EL CONCEPTO DE SOLUCION 9

Separacion de variables

En la seccion 1.1 presentamos un par de ecuaciones asociadas a problemasconcretos, al tiempo que mostramos como se podan obtener las solucionesde dichas ecuaciones. En los ejemplos de esta seccion hemos verificado queciertas funciones son soluciones de ecuaciones dadas, pero no nos hemos re-ferido aun a la forma en que tales soluciones fueron obtenidas. Por decirlode algun modo, las soluciones fueron sacadas de la manga. En realidadel mismo metodo que empleamos para las ecuaciones de la primera seccion,puede aplicarse en el ejemplo 1.2.2, que es un caso particular de la ecuaciondel crecimiento exponencial (1.1), y tambien en el ejemplo 1.2.4. La tecnica ala que nos referimos se conoce como separacion de variables y puede aplicarsesiempre que se tenga una ecuacion de primer orden de la forma

dx

dt= f(t, x),

en la que el termino f(t, x) se pueda escribir como el producto de un fac-tor que dependa exclusivamente de t y uno que dependa unicamente de x.Ilustramos estas ideas con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.2.6. Considerese la ecuacion

dx

dt=x

t.

Si en un primer intento por resolver la ecuacion integramos a ambos ladosrespecto de t, estaramos en problemas, pues aunque a la izquierda la integrales x(t), a la derecha tendramos que integrar la funcion x(t)

t, siendo que x(t)

no se conoce aun. Una mejor idea es dividir a ambos lados por x, de maneraque se obtenga la ecuacion

1

x

dx

dt=

1

t.

Ahora que se han separado las variables si podemos proceder a integrar aambos lados respecto de t, pues teniendo en cuenta el teorema de substitucionpara integrales indefinidas, se sigue que

1

xdx =

1

tdt.

Despues de calcular las integrales anteriores y de despejar x, obtenemos lafamilia de soluciones x = c t, c una constante arbitraria.


Un estudio mas detallado de este y otros metodos de solucion de ecua-ciones de primer orden se postergara hasta el captulo 2, mientras que lasecuaciones de segundo orden, como la del ejemplo 1.2.3, se consideraran enel captulo 5. Sin embargo y como hemos anticipado, existen numerosos casosen los que hallar las soluciones en forma cerrada de una ecuacion diferencialresulta en la practica imposible. Es entonces que puede ser conveniente con-tar con resultados generales, que aunque no proporcionen formulas para lassoluciones, si puedan aportar informacion util acerca de su naturaleza. Tales el caso del teorema de la proxima seccion. Por simplicidad trataremos uni-camente el caso de las ecuaciones de primer orden, pero existen resultadosanalogos para ecuaciones ordenes mayores.

1.3. Teorema fundamental

Una ecuacion diferencial ordinaria determina una coleccion de funciones,la familia formada por todas sus posibles soluciones. Cada una de estas fun-ciones se puede particularizar mediante condiciones adicionales. El teoremade existencia y unicidad de soluciones que formularemos en esta seccion pre-cisa esta idea en el caso de ecuaciones de primer orden.

Teorema 1.3.1 (Teorema fundamental de existencia y unicidad de solucio-nes). Sea

dx

dt= f(t, x) (1.10)

una ecuacion diferencial tal que la funcion f = f(t, x) satisface

C1) f(t, x) es continua para t J y x , donde J y son intervalosabiertos de R.

C2) La derivada parcial fx(t, x) existe y es una funcion continua de (t, x),

para todo t en J y x en .

Entonces para cada t0 J y x0 existen un intervalo abierto I incluido enJ y que contiene a t0, y una funcion x = x(t) definida en I, tales que x = x(t)es la unica solucion de (1.10) definida en I y que satisface la condicion inicialx(t0) = x0 (ver la figura 1.3).

La demostracion de este teorema, por ejemplo la debida a E. Picard(1890), requiere de metodos de Analisis Matematico. No se discutira aqu,

1.3. TEOREMA FUNDAMENTAL 11

x

t

J

I

x0

t0

Figura 1.3: La solucion al problema de valor inicial x = f(t, x), x(t0) = x0.

pero al lector que le interese puede consultarla en por ejemplo el texto deG. Simmons, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas historicas,McGraw-Hill, 1993.

Una consecuencia interesante del teorema 1.3.1 es que la ecuacion dife-rencial (1.10) tiene infinitas soluciones, pues dado t0 en J fijo, y cualquiervalor x0 en , exactamente una de las soluciones satisface la condicion inicialx(t0) = x0. Otra consecuencia que vale la pena mencionar es que si x = x(t)y y = y(t) son dos soluciones de (1.10) definidas en el mismo intervalo I J ,entonces las curvas{

(t, x(t)) R2 : t I} , {(t, y(t)) R2 : t I}o no se intersecan o son identicas.

Observacion. Al problema de encontrar una solucion de la ecuacion (1.10)que satisfaga una condicion de la forma x(t0) = x0, t0 y x0 valores dados,se le conoce como problema de valor inicial. Usando esta terminologa puededecirse que el teorema Fundamental garantiza la existencia de una unicasolucion para cada problema de valor inicial.


Ejemplo 1.3.1. El teorema fundamental es aplicable a la ecuacion dxdt= x,

con f(t, x) = x, J = R y = R. Igualmente es aplicable a dxdt

= x2, conf(t, x) = x2, J = R y = R. As, cada problema de valor inicial asociadoa una de estas ecuaciones tiene una unica solucion.

Ejemplo 1.3.2. El teorema fundamental no permite en cambio garantizarla existencia de una (unica) solucion de la ecuacion t dx

dt= x que ademas

satisfaga la condicion inicial x(0) = 0. En efecto, la ecuacion en su formanormal se escribe dx

dt= x

t. Sin embargo la funcion a la derecha es f(t, x) = x

t

que no puede definirse en el punto ( ) = (0, 0) de forma continua. Observeseque las funciones x1(t) = 0 y x2(t) = t son dos soluciones distintas, definidasen (,), y ambas satisfacen la condicion inicial x(0) = 0.

Ejemplo 1.3.3. En este ejemplo vamos a considerar la ecuacion

dx

dt= 3 x2/3. (1.11)

La funcion f(t, x) = 3 x2/3 esta definida y es continua para todo (t, x), ten (,) y x en (,). Sin embargo la funcion f

x= 2 x1/3 no es

continua en los puntos de la forma (t, 0), ni siquiera esta definida en dichospuntos. As, la ecuacion diferencial (1.11) satisface las condiciones C1) y C2)del teorema fundamental si tomamos J = (,) y = (0,) o tambienpor ejemplo haciendo J = (,) y = (, 0). Por supuesto no sesatisfacen tomando J = (,) y = (,).

En este caso el teorema fundamental no permite garantizar la existenciani la unicidad de una solucion de (1.11) que satisfaga, por ejemplo, la con-dicion x(0) = 0. Como ejercicio se propone que el lector compruebe que lasfunciones x1(t) = 0 y x2(t) = t

3 son dos soluciones diferentes de (1.11), ambasestan definidas en (,) y ambas satisfacen la condicion inicial x(0) = 0.En cambio el teorema fundamental si garantiza la existencia de una unicasolucion de (1.11) que satisface la condicion inicial x(0) = 1, por que? Ellector puede verificar que la funcion x(t) = (t+1)3 es la unica solucion a esteproblema de valor inicial.

Ejemplo 1.3.4. Inclusive cuando el teorema fundamental garantiza la exis-tencia de una unica solucion que satisfaga la condicion inicial x(t0) = x0,dicha solucion no tiene por que estar definida en todo el intervalo J alrede-dor de t0 donde se satisfagan las condiciones C1) y C2) del teorema. Tal es

t; x

1.4. CAMPOS DE DIRECCIONES 13

el caso por ejemplo de la ecuacion

dx

dt= x2.

Para esta ecuacion f(t, x) = x2 y fx

= 2x, ambas son funciones continuasen cada punto (t, x), t en J = R y x en = R. En este caso el teoremafundamental 1.3.1 se puede emplear para garantizar la existencia de unaunica solucion que satisfaga, por ejemplo, la condicion x(1) = 1. Sin embargola unica solucion que satisface esta condicion inicial es la funcion x(t) = 1

t,

que esta definida unicamente en (0,).Para finalizar damos en la siguiente seccion una interpretacion geometrica

del significado de una ecuacion diferencial de primer orden, que de paso ayudaa aclarar el contenido del teorema fundamental.

1.4. Campos de direcciones

Teniendo presente la interpretacion de la derivada dxdt

de una funcion di-ferenciable x = x(t) como la pendiente de la recta tangente a la grafica de xen el punto (t, x(t)), es facil entender de forma geometrica que significa queuna funcion dada sea solucion de la ecuacion diferencial ordinaria de primerorden (1.10).

La idea consiste en asignar a cada punto (t0, x0) del plano un segmento derecta de longitud fija que pase por ese punto y que tenga pendiente f(t0, x0),tal como se muestra en la figura 1.4. Para cada punto (t0, x0) la graficade una solucion de (1.10) que satisfaga la condicion x(t0) = x0 debe seruna curva que pasa por dicho punto y es tangente al segmento de rectaconstruido all. Esta situacion se ilustra en la figura 1.5. A la luz de estainterpretacion geometrica no es de extranar que cuando la funcion f seasuficientemente bonita se pueda garantizar que por cada punto del dominiode f pase exactamente una solucion. Trazando segmentos de recta en cadapunto del plano (mas exactamente en cada punto del dominio de f), talcomo acabamos de describir, se obtiene el llamado campo de direcciones dela ecuacion diferencial. La figura 1.6 ilustra el campo de direcciones de laecuacion diferencial dx

dt= x. En este contexto las soluciones x = x(t) de la

ecuacion diferencial (1.10) son curvas diferenciables con graficos en el planoy tangentes al campo de direcciones en cada punto. En aquellos casos en que


tan

x

t

x

t

= f(t,x)

Figura 1.4: Direccion tangente a la cur-va x = x(t) en el punto (t0, x0).

x

t

x

t

Figura 1.5: La curva x = x(t) y su tan-gente en el punto (t0, x0).

3 2 1 1 2 3

2

1

1

2

t

x

Figura 1.6: Una solucion y el campo de direcciones de dxdt = x.

no se puede encontrar la solucion general en forma cerrada, la tecnica delcampo de direcciones es una fuente valiosa de informacion.

Ejercicios

1. El numero de celulas en un cultivo bacteriano crece siguiendo la leyde crecimiento exponencial de Malthus. Si el numero de bacterias seincremento de 10,000 a 10,000,000 en 4 horas, determine a) la tasade crecimiento relativo de este cultivo y b) el tiempo que tardan lasbacterias en duplicar su numero.

Los datos de los dos siguientes problemas son aproximaciones de los que


suministra el Departamento Administrativo Nacional de EstadsticaDANE en su paginawww.dane.gov.co.

2. La poblacion de Colombia en en los anos 1964 y 1973 era de 17.484 y22.862 miles de habitantes respectivamente. Cual debera haber sidola poblacion colombiana en el 2005 de haber seguido esta poblacion elmodelo de Malthus?

3. La evolucion de la poblacion del Valle del Cauca (en miles de habitan-tes) entre 1973 y 2005 se da en la siguiente tabla

Ano 1973 1985 1993 2005Poblacion 2.392 3.027 3.736 4.060

siguio la poblacion del Valle el modelo de Malthus en el periodo de1973 a 2005? justifique su respuesta.

4. Demuestre que si v = v(t) es una solucion de la ecuacion (1.5) quemodela la cada de un cuerpo en un medio resistivo, entonces v(t) sa-tisface lmt v(t) = mg . Como puede interpretarse este resultado?cual sera el lmite si v = v(t) fuera solucion de la ecuacion diferencialcorrespondiente al modelo de cada libre de Galileo?

5. En cada caso determine si la funcion dada es solucion de la ecuacioncorrespondiente en el intervalo indicado

a) y(t) = c eat ba, t R, (a, b, c constantes); dy

dt= a y + b.

b) x(t) = ln t, 0 < t < ; m d2xdt2

+ c dxdt+ k x = 0, (m, c, k

constantes).

c) u(t) = tan t, pi2< t < pi

2; du

dt= 1 + u2.

d) y(x) = 1acosh a x, x R; d2y

dx2= a

1 +

(dydx

)2, (a constan-

te).

6. Verifique que las funciones

x1(t) = e t2

2 , y x2(t) = e t2

2

t0

es2

2 ds


son soluciones de la ecuacion diferencial d2xdt2

+t dxdt+x = 0 en el intervalo

(,).7. Suponga que x = x(t) es solucion de la ecuacion diferencial d

2xdt2t x = 2

y satisface las condiciones iniciales x(0) = 1, y dxdt(0) = 1. Calcule

d3xdt3

t=0

.

8. Dada la ecuaciond2x

dt2 2 dx

dt 3x = 0, (1.12)

a) determine todas las soluciones de esta ecuacion que sean de laforma x(t) = et, t R, constante.

b) Pruebe que si x1(t) y x2(t) son soluciones dadas de esta ecuacion,entonces para cada par de constantes c1 y c2 la funcion x(t) =c1 x1(t) + c2 x2(t) tambien es una solucion.

c) Emplee los resultados anteriores para obtener una solucion de laecuacion, que satisfaga las condiciones x(0) = 1, dx

dt(0) = 2.

9. Muestre que y1(x) = sen x y y2(x) = 2 sen x son soluciones distintas dey+ y = 0 que satisfacen la misma condicion inicial y(0) = 0. Expliquepor que no se contradice el teorema fundamental.

10. De las curvas que aparecen en el grafico siguiente cual de ellas es laque mas se asemeja al grafico de la solucion x = x(t) del problema devalores iniciales

d2x

dt2+ (1 + t)x = 0, x(0) = 1,

dx

dt(0) = 0?

1

t

a b

c

d

x(t)


11. Para dxdt

= x(1 x) verifique que el teorema fundamental es aplicablecon J = R y = R.

12. Dada la ecuacion diferencial

dx

dt= x2

a) muestre para cada valor de c la funcion x(t) = c1c t representa

una solucion.

b) muestre que la ecuacion satisface las condiciones C1) y C2) delteorema fundamental para J = R y = R. Halle la solucion alproblema con condicion inicial x(0) = 1 y determine en que inter-valo esta definida esta solucion.

13. Dada la ecuacion

tdx

dt= 2x,

a) determine para que valores de t0 y x0 el teorema fundamental per-mite garantizar la existencia de una unica solucion que satisfagala condicion inicial x(t0) = x0.

b) resuelva la ecuacion dada reescribiendola en la forma

1

x

dx

dt=

2

t

e integrando a ambos lados respecto de t.

c) halle todas las soluciones que satisfagan la condicion dada en cadacaso (i) x(0) = 0, (ii) x(0) = 1, (iii) x(1) = 1. Relacione susrespuestas con la respuesta dada en la parte a).

14. Determine todas las soluciones de la forma x(t) = tk, t (0,), de laecuacion diferencial 2t2 d

2xdt2

+ 3t dxdt x = 0.

15. Determine si existe algun valor de k para el cual x = tk sea una solucionde la ecuacion t2 x t (t+ 2) x + (t+ 2) x = 0

16. Halle una ecuacion diferencial de primer orden de la forma dxdt= f(x)

que tenga como solucion a la funcion x(t) = sen t en un intervalo ade-cuado.


17. Muestre que todas las soluciones de la ecuacion

dx

dt= t2 + 1 +

1

x2 + 1

son crecientes. Muestre tambien que existe un numero infinito de solu-ciones de esta ecuacion.

18. Esboce el campo de direcciones correspondiente a la ecuacion diferen-cial dx

dt= x. En particular determine un segmento tangente en el

punto (0, 1). Compruebe que x(t) = et es una solucion de la ecuaciondiferencial y que este segmento es tangente a la grafica de x = x(t) enel punto (0, 1).

19. Esboce el campo de direcciones correspondiente a la ecuacion diferen-cial dx

dt= x

t. A partir del campo de direcciones, podra decir quienes

son las soluciones de esta ecuacion?

Respuestas a ejercicios seleccionados

1. a) a = 34ln 10 1,73 horas1 b) t = 4 ln 2

3 ln 10horas 24 minutos

2. 59.325 miles de habitantes. El censo del DANE del 2005 estimo lapoblacion colombiana en 42.095

5. a) Si b) No (excepto si m = c = k = 0) c) Si d) Si

7. d3xdt3

t=0

= 1

8. a) x1 = e3t, x2 = e

t c) x(t) = 34e3t + 1

4et

10. (c)

12. b) x = 11t , I = (, 1)

14. x1 =1ty x2 =

t

15. k = 1

16. f(x) =1 x2, 1 x 1, x = sen t es solucion en (pi

2, pi2).

Captulo 2

Soluciones de ecuaciones deprimer orden

Dada una ecuacion diferencial como hallar sus soluciones? Durante granparte de los siglos XVIII y XIX los mayores esfuerzos en el campo de las

ecuaciones diferenciales estuvieron concentrados en resolver ecuaciones muyconcretas, originadas en por ejemplo problemas de geometra o de mecani-ca. Mediante tecnicas de calculo se busco expresar las soluciones de estasecuaciones en terminos de funciones elementales, es decir, como combina-cion de funciones racionales, algebraicas, trigonometricas, exponenciales, lasinversas de estas funciones, sus integrales y algunas series. Las solucionesas obtenidas, que podramos denominar clasicas, tambien son conocidas co-mo soluciones en forma cerrada. Sin embargo poco a poco se hizo evidenteque, aunque importantes, en mas bien pocos casos resulta posible obtenersoluciones que, en los terminos aludidos, pudieran ser consideradas clasicas.

En este captulo estudiaremos algunas tecnicas que permiten la obtencionde soluciones cerradas para ciertas ecuaciones de primer orden. A grandesrasgos el esquema consiste en emplear cambios de variables y operacionesalgebraicas para tratar de transformar una ecuacion dada en uno de variosprototipos (ecuaciones separables, lineales, exactas,...), para los que se handesarrollado metodos especficos de solucion.

19

20 2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

2.1. Variables separables

Las ecuaciones de variables separables son aquellas ecuaciones que sepueden escribir en la forma

dx

dt= g(t)h(x)

donde g(t) y h(x) son funciones continuas definidas en ciertos intervalos.La tecnica formal de separacion de variables consiste en reescribir estas

ecuaciones en la forma1

h(x)

dx

dt= g(t) (2.1)

para despues integrar respecto de la variable t. Teniendo en cuenta el teore-ma de cambio de variables para integrales indefinidas se llega entonces a laformula

1

h(x)dx =

g(t) dt,

que en general conduce a una relacion implcita entre x y t.Alternativamente, si se busca una solucion x = x(t) que satisfaga la

condicion x(t0) = x0, podemos integrar (2.1) de t0 a t, obteniendose as laecuacion t

t0

1

h(x(s))

dx

dtds =

tt0

g(s) ds.

La formula de cambio de variables para integrales definidas permite simpli-ficar la anterior expresion, de manera que finalmente obtenemos x(t)

x0

1

h(u)du =

tt0

g(s) ds,

que de nuevo representa una relacion implcita entre x y t.

Ejemplo 2.1.1. El problema de valor inicial

(x2 + 9)dy

dx+ x y = 0, y(0) = 2,

puede resolverse separando variables. En efecto, la ecuacion diferencial puedeescribirse en la forma

dy

y= x

x2 + 9dx,

2.1. VARIABLES SEPARABLES 21

de manera que integrando y despues despejando la variable y obtenemossucesivamente

ln |y| = 12ln (x2 + 9) + c1,

y = e 12 ln (x2+9)+c1 = cx2 + 9

,

donde c1 es una constante arbitraria y c = ec1 (notese sin embargo quela funcion constante y 0 tambien es una solucion, que esta incluida en laformula anterior cuando se toma c = 0).

Reemplazando ahora la condicion inicial y(0) = 2, se concluye que c = 6y por lo tanto la unica solucion del problema de valor inicial propuesto es lafuncion

y(x) =6

x2 + 9, x (,).

Ejemplo 2.1.2. Consideremos ahora el problema de valor inicial

dx

dt= 1 + x2, x(0) = 1.

Aplicando la tecnica de separacion de variables se obtiene x1

1

1 + x2dx =

t0

dt,

arctan x pi4

= t.

Despejando x se concluye que la solucion del problema de valor inicial plan-teado esta dada por

x(t) = tan (t+pi

4), 3pi

4< t 0, determine el lmite lmt x(t). Que ocurre si x0 < 0?


6. Determine todas las soluciones de la ecuacion

dv

dt=

v cos t

1 + 2 v2,

y obtenga una solucion que satisfaga la condicion v(0) = 2.

7. Dada la ecuacion

x3z3 z dzdx

= 0,

a) halle todas sus soluciones y b) determine una solucion que satisfagala condicion z(1) = 2.

Respuestas

1. a) x(t) = 1 + c et2/2, c constante b) x(t) = 2 cos t, t (,)

c) y(x) = c |x21|1/2, c constante d) y(x) = tan (x2 + pi4), x (

pi2,pi2)

2. t+ x ln x = c x

3. x5 y2(5x+ 2y)3 = c, c constante; x5 y2(5x+ 2y)3 = 73

4. x(t) = c et k, < t ab = I = ( 1a ln

(b x0ab x0

),); x0 < 0 = I =

(, 1aln(b x0ab x0

)); lmt x(t) = ab cuando x0 > 0

6. ln |v|+ v2 = sen t+ c; ln v + v2 = 4 + ln 2 + sen t7. a) z(x) = 0, x (,) es una solucion; las demas soluciones son

de la forma z(x) = 4cx4 , b) z(x) =

43x4 , x

(, 43)2.2. Ecuaciones lineales

En esta seccion estudiaremos la ecuacion

dx

dt+ a(t)x(t) = b(t), (2.3)

2.2. ECUACIONES LINEALES 25

donde a(t) y b(t) son funciones continuas en un intervalo J . Esta es unaecuacion lineal de primer orden. Para quienes estan familiarizados con laterminologa del algebra lineal, el calificativo lineal tiene que ver con el hechode que la expresion a la izquierda en la ecuacion (2.3) es lineal en x. Es utilnotar que dicha expresion hace recordar la regla para derivacion de productos.En realidad para resolver esta ecuacion lo que hacemos es determinar unfactor A(t), de manera que despues de ser multiplicado por ese factor, eltermino a la izquierda en (2.3) corresponda efectivamente a la derivada delproducto A(t)x(t). En otras palabras se busca que

d

dt(A(t)x(t)) = A(t)

dx

dt+ a(t)A(t)x(t), (2.4)

que se traduce en la condicion dAdt

= a(t)A(t). Concluimos entonces que elfactor A(t) buscado, conocido como factor integrante, esta dado por

A(t) = eRa(t) dt, (2.5)

dondea(t) dt representa una antiderivada arbitraria de a(t). Multiplicando

ahora (2.3) por el factor integrante A(t) se obtiene la ecuacion

A(t)dx

dt+ a(t)A(t) x(t) = A(t) b(t).

Como A(t) satisface la relacion (2.4), la ecuacion anterior puede reescribirseen la forma

d

dt(A(t) x(t)) = A(t) b(t). (2.6)

Integrando a ambos lados respecto de t y despejando x(t) se obtiene la solu-cion general de (2.3):

x(t) =c+

A(t) b(t)dt

A(t), (2.7)

donde c representa una constante cualquiera. La formula (2.7) es especial-mente util en los casos en que tanto el factor integrante A(t) como la integralA(t) b(t) dt se puedan calcular explcitamente.

Ejemplo 2.2.1. Vamos a hallar la solucion general de

tdx

dt= x+ t2.


Para ello dividimos por t y vemos que la ecuacion resultante

dx

dt 1

tx = t (2.8)

es de la forma (2.3) con a(t) = 1ty b(t) = t. Dado que A(t) = 1

t, al aplicar

la formula (2.7) se tiene que las soluciones de la ecuacion dada son de laforma

x(t) = t (c+ t) , c constante. (2.9)

Alternativamente y para no tener que memorizar la formula (2.7) podramosrepetir el procedimiento descrito para llegar a esa expresion, pero para el casoparticular de la ecuacion considerada. Esto significa multiplicar (2.8) por elfactor A(t) = 1

t, obteniendo as la ecuacion

1

t

dx

dt 1t2x = 1.

La expresion a la izquierda se reconoce entonces como la derivada de unproducto, lo que permite reescribir esa ecuacion en la forma

d

dt

(1

tx

)= 1.

Integrando ahora a ambos lados respecto de t obtenemos de nuevo la formulapara las soluciones dada en (2.9).

Al resolver problemas de valor inicial

dx

dt+ a(t)x(t) = b(t), x(t0) = x0,

puede ser mas conveniente emplear integrales definidas en lugar de las inte-grales indefinidas que hemos venido usando. As por ejemplo podemos em-plear como factor integrante la funcion

A(t) = eR tt0a(s) ds

,

en vez de la expresion algo ambigua dada por (2.5). Integrando ahora (2.6)entre t0 y t se llega a la solucion particular descrita en el siguiente teorema.


Teorema 2.2.1. Para todo t0 en J y todo x0 en R, el problema de valorinicial

dx

dt+ a(t) x(t) = b(t), x(t0) = x0,

tiene una unica solucion x = x(t), definida para todo t J, y dada por

x(t) =x0 +

tt0A(s) b(s) ds

A(t),

donde A(t) = eR tt0a(s) ds

.

Ejemplo 2.2.2. Consideremos el problema de valor inicial

dx

dt+ 2 t x = 1, x(0) = 1.

Si aplicamos la formula (2.7) se tiene que las soluciones de esta ecuacion sonde la forma

x(t) = et2

(c+

et

2

dt

), c constante.

Sin embargo como la integralet

2dt no puede escribirse en terminos de

funciones elementales, la expresion anterior no resulta muy clara si lo que sedesea es determinar la solucion al problema de valor inicial dado. En cambio,aplicando el teorema 2.2.1, se obtiene una expresion algo mas precisa para lasolucion del problema de valor inicial considerado:

x(t) = et2

(1 +

t0

es2

ds

).

Ecuaciones de Bernoulli

Algunas ecuaciones no lineales pueden reducirse a lineales mediante unasustitucion o cambio de variables adecuado. Tal es el caso de las ecuacionesde Bernoulli

dx

dt+ a(t)x = b(t)xn, n 6= 1 constante.

Si z = x1n entonces dzdt= (1n)xn dx

dty la ecuacion de Bernoulli se reduce

a una ecuacion lineal en z

dz

dt+ (1 n) a(t) z = (1 n) b(t).


Ejemplo 2.2.3.

t x2dx

dt x3 + t2 x = 0.

Primero, dividiendo por t x2 llevamos la ecuacion a la forma

dx

dt x

t= t

x

que es de tipo Bernoulli con n = 1. El cambio de variables toma la formaz = x2, dx

dt= 1

2z1/2 dz

dt, que conduce a la ecuacion lineal

dz

dt 2 z

t= 2 t,

cuya solucion general esta dada por z(t) = c t2 2 t2 ln |t|, donde c represen-ta una constante arbitraria. Retomando la variable original x se tienen lassoluciones

x(t) = t2 (c 2 ln |t|).

En la figura 2.3 se muestran las graficas de las anteriores funciones paraunos cuantos valores de c. El dominio de definicion de las soluciones dependeen gneral de c, y cada solucion corresponde a una sola de las ramas de laraz cuadrada. Es decir, o bien la solucion es x =

t2 (c 2 ln |t|), en el

caso de que x tome valores positivos, o es x = t2 (c 2 ln |t|) si tomavalores negativos. Si se pide por ejemplo la solucion que satisface la condicionx(1) = 1, se tiene que c = 1 y x(t) =

t2 (1 2 ln t), t (0,e).

Ejercicios

1. Resuelva los siguientes problemas de valor inicial indicando el intervalode definicion de la solucion.

a) dxdt= 2 x e2t, x(0) = 1

b) dxdt+ x

t= 1, x(1) = 1

c) dxdt+x sec2 t = sec2 t, x(0) = 2

d) dxdt= cos t x cos t, x(pi) = 0

e) x dydx+ y = x4 y3, y(1) = 1

f ) dudt+ 3

tu = t2 u2, u(1) = 2

2. Halle la solucion del siguiente problema de valor inicial indicando enque intervalo esta definida la solucion.

cos tdy

dt (2 sen t) y = cos t sen t, y(0) = 1.


4 2 2 4

2

2

t

x

Figura 2.3: Algunas soluciones de la ecuacion de Bernoulli t x2 dxdtx3+t2 x =

0. Aparece destacada la solucion que satisface x(1) = 1.

3. Dada la ecuacion lineal con coeficientes constantes

dx

dt+ a x = b,

muestre que su solucion general esta dada por

x(t) =b

a+ c ea t, c constante.

Muestre tambien que para todo par de numeros reales t0 y x0, la unicasolucion que satisface la condicion inicial x(t0) = x0 esta dada por

x(t) =b

a+

(x0 b

a

)ea(tt0).

Respuestas

1. a) x(t) = e2t (1 t) , t R,b) x(t) = 1

2(1t+ t), t > 0,

c) x(t) = 1 + e tan t, |t| < pi2

d) x(t) = 1 e sen t, t Re) y(x) = 1

x2x2 , 0 < x 0} pues no se satisface lacondicion (2.11). Puede verse sin embargo que posee factores integrantes quedependen unicamente de x, = (x), puesto que

My N

x

N=

2

x

es independiente de y. Empleando la discusion precedente obtenemos el factorintegrante

(x) = eR

2xdx = e2 lnx = x2.

Hacemos notar que al calcular este factor integrante hemos ignorado las cons-tantes de integracion, pues es suficiente para nuestros fines tener un factorintegrante en lugar de una coleccion de ellos.

Se deja como ejercicio para el lector verificar que la ecuacion de esteejemplo no posee en cambio factores integrantes que dependan solo de lavariable y.

2.4. Cambios de variables

Las ecuaciones homogeneas y las ecuaciones de Bernoulli son casos parti-culares de ecuaciones diferenciales en donde un cambio de variables simplificala ecuacion diferencial y posiblemente se pueden hallar soluciones explcitas.En esta seccion trataremos algunos otros ejemplos de cambios de variables.

2.4. CAMBIOS DE VARIABLES 39

Reduccion de orden

El cambio de variables v = dxdt

permite transformar las ecuaciones desegundo orden del tipo

d2x

dt2= F (t,

dx

dt),

en ecuaciones de primer orden

dv

dt= F (t, v).

El problema de resolver una ecuacion de segundo orden se reduce en esoscasos a resolver dos ecuaciones de primer orden, como las que hemos venidodiscutiendo en esta gua.

Ejemplo 2.4.1. El cambio de variables v = dydt

transforma la ecuacion de

segundo orden en d2ydt2

=(dydt

)2 1 en la ecuacion de primer ordendv

dt= v2 1.

Mediante separacion de variables obtenemos1

v2 1 dv =

dt

La integral de la izquierda puede calcularse descomponiendo, por ejemplo,en fracciones parciales. De esta manera se llega a la relacion

1

2ln

v 1v + 1 = t+ c.

Despejando v y despues de escribir c1 = e2c obtenemos una expresion parav(t):

v(t) =1 + c1 e

2t

1 c1 e2t .Podemos entonces integrar de nuevo para obtener y(t). En efecto despues dealgo de trabajo calculando la integral de la derecha, tenemos finalmente lassoluciones de la ecuacion original:

y =

v(t) dt = t ln c1 e2t 1+ c2,

c1 y c2 constantes arbitrarias.


La sustitucion v = dxdtpermite transformar una ecuacion lineal de segundo

orden de la formad2x

dt2+ a(t)

dx

dt= b(t)

en la ecuacion lineal de primer orden

dv

dt+ a(t) v = b(t),

que puede resolverse usando los metodos de la seccion 2.2. Una vez que seconozca v(t), x(t) se podra obtener integrando de nuevo.

Ejemplo 2.4.2. Consideremos el problema de valor inicial

d2x

dt2+ 2

dx

dt+ t = 0, x(0) = 0,

dx

dt(0) = 1.

Si v(t) = dxdt

entonces v(0) = 1 y v(t) debe satisfacer el problema de valorinicial

dv

dt+ 2 v = t, v(0) = 1,

Podemos resolver esta ecuacion empleando las tecnicas de la seccion 2.2,

v(t) =c t e2t dt

e2t= t

2+1

4+ c e2t.

Como v(0) = 1 conclumos que c = 34y

v(t) =3

4e2t t

2+1

4.

Ahora, como dxdt= v se sigue que x(t) =

v(t) dt de donde

x(t) = 3e2t

8 t

2

4+

t

4+ c,

c una constante. Para finalizar y teniendo en cuenta la condicion x(0) = 0 sellega al valor de c = 3

8. La solucion del problema de valores iniciales planteado

originalmente esta en consecuencia dada por

x(t) = 3e2t

8 t

2

4+

t

4+3

8.

2.5. EJERCICIOS 41

Sustitucion de la variable independiente

Otra tecnica que puede ser util es la sustitucion o reescalamiento de lavariable independiente. Consideremos la ecuacion diferencial escrita en formanormal

dx

dt= f(t, x), t J. (2.17)

Supongase que se define una nueva variable independiente s = s(t), y que tpuede escribirse tambien en terminos de s, t = t(s). Entonces, de acuerdocon la regla de la cadena,

dx

dt=dx

ds

ds

dt,

de manera que reemplazando en (2.17), obtenemos una ecuacion con s comovariable independiente:

dx

ds= f(t(s), x)

dt

ds

que posiblemente sea mas facil de resolver que la ecuacion original.Esta misma sustitucion puede emplearse en ecuaciones de orden mayor.

En efecto, aplicando de nuevo la regla de la cadena, podemos obtener lasderivadas de orden superior de x respecto de t, en terminos de sus derivadasrespecto de s. Por ejemplo,

d2x

dt2=

d

dt

(dx

dt

)=

d

dt

(dx

ds

ds

dt

)=

d2x

ds2

(ds

dt

)2+dx

ds

d2s

dt2.

Ejemplo 2.4.3. La sustitucion s = et transforma la ecuacion diferencialdxdt= et x en una ecuacion con coeficientes constantes, dx

ds= x.

Ejemplo 2.4.4. sea R. La sustitucion s = t transforma la ecuaciondiferencial de segundo orden d

2xdt2

+ 2 x = 0 en la ecuacion d2xds2

+ x = 0. Seobserva que en esta ultima ecuacion no aparecen parametros.

2.5. Ejercicios

1. Para cada una de las ecuaciones siguientes, determine si es separable,lineal, exacta o reducible a uno de estos tipos por sustitucion.


a) e(t+y+1) dydt= g(t)

b) dxdt= (1 + t) (1 + x)

c) dydx

= 2xy+y x2

d) dxdt+ t x2 x2 + t 1 = 0

e) dudt 2

tu cos t cos t

t2= 0

f ) dds+ = s es + 1

g) x y cosx senx dydx

= 0

h) (x2 + 2 y) dx y dy = 0i) td

2xdt2

+ dxdt= t4

(dxdt

)3j ) y x dy

dx= y2ey dy

dx

k) (ey 2xy) dydx

= y2

2. Para cada una de las siguientes ecuaciones, halle la solucion general,y determine las soluciones particulares que satisfagan las condicionesiniciales que se indican. Por ultimo discuta en cada caso la aplicaciondel teorema fundamental de existencia y unicidad de soluciones.

a) dvdt+2 (v + t)2 = 0, v(0) = 0. Sugerencia: haga u(t) = v(t)+ t.

b) 2 x y dydx

= x2 + y2, y(1) = 0.c) tdy

dt+ y = t4y3, y(0) = 0.

d) (y ex y + 4 y3) dx+ (x ex y + 12x y2 2 y) dy = 0, y(0) = 2.e) 2 x y dx+ (x2 + 1) dy = 0, y(1) = 1

4, y(1) = 0.

f ) x y dx+ (x2 + 2 y2 + 2) dy = 0, y(0) = 0, y(0) = 1.

g) 2 x2y3 + x3y2 dxdy

= 0, x(2) = 14, x(1) = 1, x(0) = 0.

3. Resuelva la ecuacion (t2 + x2) dt+ t x dx = 0 de dos maneras. Primerousando la sustitucion v = x

ty despues teniendo en cuenta que se puede

escribir como una ecuacion de Bernoulli.

4. Dada la ecuacion (x ln x 2 t x) dt+ (t+ x) dx = 0, determine si tienefactores integrantes que dependan solo de t o solo de x. En tal caso,hallelos y encuentre la integral general de la ecuacion.

5. Resuelva la ecuacion y dx+ (y x) dy = 0.6. Muestre que la ecuacion lineal dx

dt+ a(t)x = b(t), con a(t) y b(t) fun-

ciones continuas en cierto intervalo J, es reducible a exacta.

7. Resuelva el problema de valor inicial dydx+ 4 y = f(x) y(0) = 1

4, si

f(x) =

{1, 0 x 22, 2 < x

2.5. EJERCICIOS 43

Esboce un grafico de y(x), se puede aplicar el teorema fundamental(teorema 1.3.1) a este problema de valor inicial?

8. Sea y = y(x) la solucion del problema de valor inicial

dy

dx= f(y)x, y(x0) = y0.

Muestre que si x es una solucion de la ecuacion y(x) = 0, entonces xsatisface la relacion

x2 = x20 + 2

0y0

1

f(y)dy.

9. Pruebe que cualquier funcion y = y(x) definida implcitamente por

13 y

+1

9ln3 + y

y= x+ 1

satisface la ecuacion diferencial 1ydydx

= 3 y y2.10. Muestre que si una ecuacion exacta de la forma

M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0

se multiplica por una funcion no nula y diferenciable, en general laecuacion resultante no es exacta. No obstante, muestre que si el factorpor el cual se multiplica fuera una funcion potencial de la ecuacion, laecuacion resultante si continua siendo exacta, en cada rectangulo dondeel potencial no se anule.

11. Halle la solucion general de dydx

= 1y2x (sugerencia: en lugar de deter-

minar y = y(x), plantee la ecuacion diferencial para x = x(y)).

12. Demuestre que el cambio de variables s = et transforma d2xdt2

+ dxdt+

e2t x = 0 en d2xds2

+ x = 0

13. Demuestre que las ecuaciones de la forma d2xdt2

+ a(t) dxdt+ b(t)x = 0

se pueden llevar a la forma d2xds2

+ q(s) x = 0 mediante un cambio devariables del tipo s = s(t). Determine las funciones s(t) y q(s) enterminos de las funciones a(t) y b(t).

Respuestas

1.


a) separable

b) separable

c) separable

d) separable

e) lineal

f ) lineal

g) lineal y exacta

h) ?

i) reducible a Ber-noulli

j ) lineal en x

k) exacta

2. a) v = t + 1tanh( t + c), < t < . Si v(0) = 0, se tiene

v = t+ 1tanh t.

b) y2 = x (c+ x). Si y(1) = 0, y2 = x2+ x. Esta ecuacion no defineuna solucion y = y(x) en un intervalo que contenga a x = 1(notese que las hipotesis del teorema fundamental no se cumplenpara x0 = 1, y0 = 0).

c) Ecuacion de Bernoulli. Soluciones: las definidas mediante y2 t2 (ct2) = 1 y y(t) = 0. Si y(0) = 0, y(t) = 0, t R. Las hipotesis delteorema fundamental 1.3.1 no se cumplen en t0 = 0, y0 = 0.

d) exy + 4y3x y2 = c; si y(0) = 2, exy + 4y3x y2 = 3.e) y = c

(x2+1), x R. Si y(1) = 1

4, y = 1

2(x2+1). Si y(1) = 0, y(x) = 0.

f ) y2x2+ y4+2y2 = c. Si y(0) = 0, y2x2+ y4+2 y2 = 0. Si y(0) = 1,y2x2 + y4 + 2 y2 = 3.

g) x2 + 2 y2 = c; si x(2) = 14, x =

12916 2 y2; |y| ab, el grafico de la solucion x = x(t), t I, permanece en R1. En

ese caso x(t) > ab, y se concluye que dx

dt= x(t) (ab x(t)) < 0 para todo

t I, de forma que la solucion x = x(t) es estrictamente decrecienteen su dominio.

(ii) cuando 0 < x0 0

para todo t I. Es decir, la solucion x = x(t), t I, es estrictamentecreciente en su dominio.

(iii) analogamente se demuestra que cuando x0 < 0, la solucion x = x(t), t I, es estrictamente decreciente en su dominio y su grafico esta contenidoen R3.

3.2. EL MODELO DE VERHULST 53

La figura 3.1 resume el analisis previo acerca del comportamiento de lassoluciones de la ecuacion (3.2). Vale la pena mencionar algunas interpreta-ciones demograficas de los resultados obtenidos. La poblacion de equilibrioxE(t) =

abda un numero que puede interpretarse como el tamano maximo de

la poblacion que un ecosistema dado puede sostener. Si una poblacion, poralguna razon tiene un tamano inicial x0 >

ab, la poblacion disminuira con el

tiempo, y la disminucion sera asintotica hacia el estado de equilibrio ab. Si por

el contrario, el tamano inicial no supera el tamano maximo ab, la poblacion

aumentara asintoticamente con el tiempo acercandose al estado de equili-brio a

b. Desde luego, un tamano inicial x0 < 0 no tiene sentido demografico.

No obstante, la solucion de la ecuacion diferencial (3.2) para el dato inicialx(t0) = x0 existe y tiene sentido hacer consideraciones matematicas sobredicha solucion.

Procederemos ahora a determinar de forma explcita las soluciones de laecuacion (3.2). En efecto, separando variables se llega a la ecuacion

1

x (a b x) dx =

dt,

de forma que descomponiendo la fraccion de la izquierda en sus fraccionesparciales e integrando obtenemos

1

aln

x

a b x = t+ c,

donde c representa una constante arbitraria. Despejando x en la anteriorexpresion se obtiene finalmente la formula

x(t) =C a ea t

1 + C b ea t,

donde C = eac. Si imponemos la condicion x(t0) = x0 resulta que x0 =aC ea t0

1+bC ea t0, de manera que despejando C y reemplazando su valor en la expresion

para x(t) se obtiene

x(t) =a x0

b x0 + (a b x0)ea(tt0) . (3.3)

Esta es la unica solucion de (3.2) que satisface la condicion x(t0) = x0. Elintervalo de definicion I de x = x(t) depende de x0. Invitamos al lector a quelo encuentre explcitamente (ver los Ejercicios).

54 3. APLICACIONES

Ejercicios

1. Si x = x(t) es la solucion de la ecuacion (3.2) que satisface la condicionx(t0) = x0

a) determine el intervalo de definicion de la solucion i) cuando x0 >ab

y ii) cuando 0 x0 ab .b) muestre que si x0 > 0, entonces lmt x(t) = ab , tiene sentido

calcular este lmite si x0 < 0?

2. Suponga que la tasa relativa de crecimiento de una poblacion que crecesiguiendo el modelo de Verhulst es del 2% cuando el tamano de lapoblacion es de 0,5 107 individuos. Si lmt x(t) = 107, halle lasconstantes a y b de la ecuacion de Verhulst y determine el tamano dela poblacion, x = x(t), teniendo en cuenta que x(0) = 106.

3. Supongase que una isla es colonizada por inmigracion desde el continen-te y que en el continente hay un numero de especies S que permanececonstante mientras que en la isla el numero de especies en el tiempot es N(t). La rapidez con la cual las nuevas especies inmigran a la is-la y la colonizan es proporcional al numero S N(t) de especies delcontinente que no se han establecido en la isla, con constante de pro-porcionalidad h. Por otro lado en la isla las especies se extinguen conuna rapidez proporcional al numero de especies presentes, con constan-te de proporcionalidad k. Escriba la ley de variacion de N y calculelmtN(t).

Respuestas

1. a) i) I =(t0 1a ln b x0b x0a ,

)ii) I = R

2. a = 0,04 y b = 0,04 107

3.3. Ley de Newton del enfriamiento

Sabemos por experiencia que cuando un objeto tiene una temperaturadiferente a la de su entorno, el objeto tiende a enfriarse o a calentarse demanera que en ultimas su temperatura se acerca a la del medio que lo rodea.

3.3. LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO 55

Cual sera entonces la temperatura T (t) de un cuerpo que se deja en unambiente cuya temperatura difiere de la suya, una vez haya transcurridoun tiempo t? Este fenomeno puede modelarse de acuerdo con las leyes detransferencia de calor de la termodinamica. Bajo ciertas condiciones (comopor ejemplo que la distribucion de la temperatura dentro del cuerpo seauniforme), la ley de Newton del enfriamiento se simplifica y puede enunciarseen los siguientes terminos

La razon de cambio de la temperatura T (t) de un cuerpo es pro-porcional a la diferencia entre la temperatura T (t) del cuerpo yla temperatura Ta del medio que lo rodea.

La anterior proposicion puede escribirse como una ecuacion diferencial parala variable T = T (t):

dT

dt= r(T Ta),

donde r > 0 es una constante de proporcionalidad que es propia del siste-ma. La anterior ecuacion es lineal (y tambien separable), por lo que puederesolverse facilmente. Los detalles se dejan al lector.

Ejercicios

1. Una barra de metal se extrae de un horno a 1000 y se pone a enfriaren un lugar cuya temperatura se mantiene aproximadamente constan-te a 30. Despues de 10 horas su temperatura descendio a 200.a) Cuanto tardara la tempertaura en ser igual a 31? y b) seran enalgun momento iguales la temperatura de la barra y la del ambiente?Justifique su respuesta.

2. Un termometro que estaba inicialmente en el interior de una habitacionse lleva al exterior donde la temperatura es aproximadamente constantee igual a 15. Despues de un minuto el termometro marcaba 30ydespues de 10 minutos registraba una temperatura de 20. De acuerdocon la ley de Newton, cual era la temperatura de la habitacion?

Respuestas 1. a) t = 39,49 horas 2. Ta = 31,95

56 3. APLICACIONES

3.4. El modelo del tanque

Ciertos procesos se pueden imaginar en terminos de un tanque al que estanentrando y saliendo substancias disueltas en un medio fluido. El resultadofinal del proceso dependera de los intercambios netos que se den entre eltanque y el exterior. La version mas simple de este fenomeno puede describirsede la siguiente manera:

en el tiempo t una solucion entra a un tanque a una razon ve(t), llamadacaudal de entrada, y que se mide en unidades de volumen por unidadde tiempo. La solucion que entra al tanque contiene una concentracionce(t), de cierta substancia X. Esta concentracion, que se suele medir enunidades de masa por unidades de volumen, se denominara concentra-cion de entrada. Es posible que en el tanque exista ya alguna cantidadde la substancia X.

la mezcla es agitada rapidamente en el tanque, de manera que la subs-tancia X se mantiene homogeneamente distribuida dentro del tanque,con una concentracion c = c(t) en el tiempo t. Finalmente la mezcla sa-le del tanque a una razon vs(t), conocida como caudal de salida. Comola mezcla es uniforme, la concentracion cs(t) de X en el fluido que saledel tanque es igual a la concentracion de X en el tanque, cs(t) = c(t).

Si x = x(t) representa la cantidad total de la substancia X dentro del tanqueen el instante t, quisieramos saber como determinar a x como funcion deltiempo. El problema puede formularse en los siguientes terminos: bajo elsupuesto de que la substancia X no se crea ni se destruye en el proceso, larazon neta de cambio de la variable x es igual a la diferencia entre las razonesde entrada y salida de la substancia X. Ahora bien, la razon a la que entrala substancia al tanque en el instante t es igual al producto del caudal deentrada por la concentracion de entrada, ve(t) ce(t). Analogamente la razona la que sale la substancia del tanque es el producto del caudal de salida porla concentracion de salida, vs(t) cs(t) = vs(t) c(t). En consecuencia

dx

dt= ve(t) ce(t) vs(t) c(t).

Las funciones ve(t), ce(t) y vs(t) son datos del problema, sin embargo c(t)depende de x(t). En efecto, si V (t) representa el volumen total de solucion

3.4. EL MODELO DEL TANQUE 57

en el tanque, entonces

c(t) =x(t)

V (t).

A su vez V (t) puede calcularse teniendo en cuenta que

dV

dt= ve(t) vs(t),

de donde

V (t) = V (t0) +

tt0

(ve(s) vs(s)) ds.

Teniendo en cuenta la anterior formula para V (t) tenemos finalmente unaecuacion diferencial (lineal) que permitira determinar a x:

dx

dt= ve(t) ce(t) vs(t)

V (t)x.

Ejercicios

1. En una casa pequena con un volumen interior de 100 metros cubicos yque se encuentra cerrada, se deja funcionando una estufa de gas que porcombustion incompleta produce altos niveles de monoxido de carbono,CO. En el momento en el que la concentracion de CO dentro de la casallegaba a 1000 partes por millon (ppm), que puede producir la muerteen pocas horas, se suspende la combustion de la estufa y se permite lacirculacion de aire proveniente del exterior, con un contenido de CO de6 ppm. El aire entra y sale de la casa a razon de 10 metros cubicos porminuto. Suponiendo una mezcla homogenea, determine cuanto tiempodebera esperarse para que la concentracion de CO dentro de la casasea se reduzca a 9 ppm, que se considera segura para la salud humana.Cual sera la concentracion de CO en la casa cuando t?

2. A un tanque que contena 400 litros de agua pura se bombea una so-lucion de agua-sal que contiene 0.05 kg de sal por litro, a una razonde 8 litros por minuto. La mezcla homogeneizada sale con la mismarapidez. El proceso se interrumpe al cabo de 50 minutos y a continua-cion se bombea agua pura a la misma razon de 8 litros por minutomientras la mezcla continua saliendo a la misma velocidad. Determine:a) la cantidad de sal en el tanque al cabo de los primeros 50 minutos,

58 3. APLICACIONES

b) la cantidad de sal despues de 100 minutos, c) esboce la grafica de lasolucion.

3. Considerese un tramo del Ro Cauca desde un punto antes de Cali (di-gamos el Paso de la Balsa) hasta un punto despues de Cali (digamosla Laguna de Sonso) como un tanque con un volumen de 60 millonesde metros cubicos en el cual hay una concentracion de contaminantes(detergentes y toxicos de uso domestico, desechos industriales, etc.) del0,00001%. Supongase que a partir de t = 0 entra agua con una concen-tracion de contaminantes del 0,001% a razon de 1200m3/seg y que saleigual cantidad de agua bien mezclada. a) Cual sera la concentracionde contaminantes en el ro al cabo de t minutos? b) Cuanto tardara laconcentracion en elevarse al 0,0001%? c) Si las condiciones persisten,que pasara cuando t?

4. Una fabrica esta situada cerca de un ro con caudal constante de 1000m3/s que vierte sus aguas por la unica entrada de un lago con unvolumen de 1000 millones de m3. Suponiendo que la fabrica empezo afuncionar el 1 de enero de 1993, y que desde entonces, dos veces por da,de 4 a 6 de la manana y de 4 a 6 de la tarde, se bombean contaminantesal ro a razon de 1m3/seg y que el lago tiene una salida de 1000m3/segde agua bien mezclada, esboce la grafica de la funcion x = x(t) querepresenta la contaminacion en el ro al cabo de t das y en particularcalcule a cuanto ascendera esta contaminacion al cabo de: a) un da,b) un mes (30 das) y c) un ano (365 das).

Respuestas

1. t 58 minutos; a largo plazo c 6 ppm

2. a) 20(1 e1) 12,64 kg, b) 20 e1(1 e1) 4,65 kg.

3. a) c(t) = 107(100 99 e0,00002 t) b) 0,0001% c) c(t) 0,001%.

4. Suponiendo una contaminacion constante (promediando los dos bom-beos diarios de contaminacion): a) 0,0014%, b) 0,012% c) 0,146%

3.5. CAIDA DE CUERPOS CERCA DE LA SUPERFICIE DE LA TIERRA. 59

3.5. Cada de cuerpos cerca de la superficie

de la Tierra.

En el captulo 1 discutimos algunas formas de representar la cada ver-tical de un cuerpo cerca de la superficie de La Tierra. En dicha discusionadoptamos un eje vertical de coordenadas con direccion positiva apuntandohacia arriba y en el caso de cada en un medio resistivo consideramos quesobre el cuerpo actuaban la fuerza de la gravedad fW = mg y la fuerza deresistencia o friccion fR que se opone al movimiento. Si v = v(t) es la velo-cidad del cuerpo en el tiempo t la segunda ley de Newton conduce entoncesa la ecuacion

mdv

dt= mg + fR. (3.4)

Cuando un cuerpo se mueve en un medio fludo como aire o agua, la direccionde la fuerza de friccion que ejerce el medio es la opuesta de la direccion dela velocidad v, mientras que la magnitud de la friccion aumenta con la larapidez del cuerpo (ver figura 3.2).

v

fR

Figura 3.2: fR y su linealizacion

La fuerza de friccion se suele aproximar por su linealizacion fR(v) fR(0) + f

R(0) v. Escribiendo = f R(0) y como fR(0) = 0 se tiene la ley de

friccion viscosa fR(v) = v, que, al ser reemplazada en la ecuacion (3.4),da lugar a la ecuacion diferencial lineal del captulo 1

dv

dt+

mv = g (3.5)

60 3. APLICACIONES

Ejemplo 3.5.1. Un hombre que salta en paracadas desde una gran altura ypartiendo del reposo, abre su paracadas 10 segundos despues de saltar. Si ves la velocidad del paracaidista, entonces la resistencia del aire sera numeri-camente igual a 15 v con el paracadas cerrado e igual a 240 v con elparacadas abierto. Considerando al hombre y su paracadas como una masapuntual de 80 kg y suponiendo que las unicas fuerzas que actuan sobre elparacaidista son la de la gravedad y la de resistencia ejercida por el aire, de-terminar la velocidad v = v(t) del paracaidista en cualquier instante t previoa su aterrizaje. En particular determinar v(10) y v(20).

Solucion. Tomamos el origen de coordenadas en la superficie de la Tierra.Para 0 < t < 10 tenemos

dv

dt+15

80v = g.

Como ademas v(0) = 0 concluimos que

v(t) = 16 g3

(1 e 3 t16

), 0 t 10.

Tenemos entonces

v(10) = 16 g3

(1 e 158

) 44,25 m/s.

Consideremos ahora t 10. Para esos valores de t la funcion v = v(t) satisfacela ecuacion

dv

dt+240

80v = g.

Como ademas v(10) 44,25 m/s concluimos que

v(t) = g3+(g3 44,25

)e3(t10), 10 t.

Entonces v(20) 3,27 m/seg. La figura 3.3 es un bosquejo de la solucionv(t), t 0.

Ejercicios

1. Suponga que la velocidad v = v(t) con la que cae un cuerpo de 1 gde masa satisface la ecuacion diferencial (3.5). Halle la constante suponiendo que lmt v(t) = 400 cm/s.

3.5. CAIDA DE CUERPOS CERCA DE LA SUPERFICIE DE LA TIERRA. 61

10 20

44.25

3.27

tv

Figura 3.3: v(t) durante el descenso en paracadas

2. Un cuerpo de 25 kg se lanza verticalmente hacia arriba con una veloci-dad inicial de 20m/s. Si la friccion ejercida por el medio es igual a 5 vdonde v = v(t) es la velocidad del cuerpo en el instante t, y se suponeque las unicas fuerzas que actuan son la gravedad y la friccion, deter-mine durante cuanto tiempo permanece ascendiendo el cuerpo. Cuales la altura maxima alcanzada?

3. Un cuerpo de masa m cae desde el reposo en un medio que oponeuna fuerza de friccion proporcional al cuadrado de la rapidez. Es decir,|fR(v)| = k v2 para alguna constante de proporcionalidad k. Plantee yresuelva el problema de valor inicial para la velocidad v = v(t) y halleademas lmt v(t).

Respuestas

1. = g400

2,45 dinas seg/cm2. t = 5 ln (4/g + 1) 1,71 seg; la altura alcanzada es de 16,13 metros.

Fuerza arquimediana de boyancia Cuando un cuerpo cae en un mediorelativamente denso se hace necesario considerar, ademas de la gravedad yla friccion, el empuje o fuerza de boyancia. Esta fuerza esta descrita por elconocido como

Principio de Arqumedes: Todo cuerpo sumergido en un fluido experimen-ta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado.

62 3. APLICACIONES

Ejercicio

1. Una esfera de masa 5000 kg y volumen 4pi3m3 y un cilindro de 4000 kg

y pim3 de volumen se dejan caer desde el reposo sobre la superficie deun lago. Las fuerzas de friccion ejercidas por el agua sobre la esfera yel cilindro son respectivamente iguales a ve y vc, donde ve y vcson las velocidades respectivas y > 0 es una constante. Suponiendoque las unicas fuerzas que obran son la fuerza de la gravedad, la fuerzade friccion y la fuerza arquimediana de boyancia ejercida por el agua,determine las velocidades que adquieren la esfera ve = ve(t) y el cilindrovc = vc(t), t segundos despues de iniciado el descenso, cual de los dosobjetos llegara primero al fondo?

Respuesta v(t) = A(1ekt), esfera: A = Ae = 1000g3 (154pi), k = ke =

5000; cilindro: A = Ac =

1000g

(4 pi), k = kc = 4000 . Como |ve(t)| < |vc(t)|para todo t > 0, el cilindro llega primero al fondo.

3.6. Cada en un potencial gravitatorio varia-

ble

La fuerza gravitatoria que ejerce un cuerpo sobre otro no es constante sinoque depende de la distancia entre los cuerpos. Segun la ley de la gravitacionuniversal la magnitud de esta fuerza es inversamente proporcional al cuadradode dicha distancia y su direccion es la de la lnea que une a los cuerpos. En elcaso de cuerpos que se lanzan desde La Tierra y a una gran altura, como porejemplo una nave espacial, se hace necesario tener en cuenta la dependenciade la fuerza de la gravedad respecto de la altura alcanzada por el cuerpo.

Consideremos un objeto que se lanza verticalmente desde la superficieterrestre, y un eje vertical de coordenadas z, con el origen sobre la superficiede La Tierra, y cuya direccion positiva sea la que apunta del centro de LaTierra hacia la superficie. En ese caso la fuerza que ejerce el campo gravi-tatorio terrestre sobre el objeto, cuando este se encuentre a una distancia zsobre la superficie, es igual a

Fg = mgR2

(R + z)2,

3.7. TRAYECTORIAS ORTOGONALES 63

dondem es la masa del cuerpo, R es el radio de La Tierra y g es la aceleracionde la gravedad en la superficie. En ausencia de otras fuerzas, la altura z = z(t)del objeto sobre la superficie obedecera a la ecuacion

md2z

dt2= mgR

2

(R + z)2.

Esta es sin embargo una ecuacion de segundo orden. En los Ejercicios quesiguen se indica como puede resolverse.

Ejercicios

1. Sea v = v(z) = v(z(t)) la velocidad de un cuerpo que se lanzo desde LaTierra, cuando el cuerpo se encuentre a una altura z sobre la superficie.Determine una ecuacion diferencial para v como funcion de z, si launica fuerza que actua sobre el cuerpo es la de la gravedad terrestre(sugerencia: tenga en cuenta que dz

dt= v, d

2zdt2

= dvdty dv

dt= dv

dzdzdt= v dv

dz).

2. Determine la velocidad inicial mnima v0 con la cual debe ser lanzadoun objeto desde La Tierra para garantizar su no retorno (este valor esconocido como velocidad de escape).

Respuestas 1. v dvdz= g R2

(R+z)2, 2. 11,1 km/s.

3.7. Trayectorias ortogonales

En algunos problemas geometricos y fsicos se necesita conocer a las cur-vas que se intersequen ortogonalmente en cada punto con las curvas de unafamilia dada por una ecuacion del tipo

f (x, y, c) = 0, (3.6)

donde c representa una constante arbitraria.Si y = y(x) es una de las curvas de la familia descrita por (3.6), entonces

para alguna constante fija c debe tenerse

f (x, y(x), c) = 0, (3.7)

64 3. APLICACIONES

Figura 3.4: Curvas que se intersecan ortogonalmente

para todo x en el domio de y. En este caso, derivando (3.7) con respecto dex obtenemos

f

x+f

y

dy

dx= 0.

Geometricamente la interpretacion de la anterior identidad es que la pendien-te de la recta tangente a la curva y = y(x) en el punto (x, y(x)), esta dadapor

m =dy

dx=

fx(x, y(x), c)

fy(x, y(x), c)

. (3.8)

Supongamos ahora que la constante c pueda despejarse de (3.6), en terminosde x y y. En ese caso, reeplazando en (3.7), se obtiene una expresion para lapendiente m, que depende unicamente del punto (x, y) y no de la constantec.

Ahora bien, si y = y(x) es una curva que, en cada punto (x, y) se inter-seca ortogonalmente con los correspondientes miembros de la familia (3.6),entonces la pendientem de la recta tangente a y = y(x) en el punto (x, y(x))satiface mm = 1. Es decir, dy

dx= m = 1

m, de donde concluimos que las

trayectorias ortogonales satisfacen la ecuacion diferencial

dy

dx=

fy(x, y, c (x, y))

fx(x, y, c (x, y))

. (3.9)


Ejemplo 3.7.1. Buscaremos las trayectorias ortogonales a la familia deparabolas x cy2 = 0. Siguiendo los pasos descritos (diferenciar, despejar,reemplazar), obtenemos

1 2 c y dydx

= 0, c =x

y2,

dy

dx=

y

2x.

Esta ultima es pues una ecuacion diferencial que satisfacen todas las parabo-las de la familia dada. Las trayectorias ortogonales deben entonces satisfacerla ecuacion

dy

dx= 2x

y,

que tiene por soluciones a las elipses de la familia

y2 + 2x2 = k2, k constante.

Estas son entonces las trayectorias ortogonales pedidas.

Figura 3.5: Ejemplo de una familia de curvas ortogonales a una familia dada

Ejemplo 3.7.2. En electrostatica el campo electrico 2dimensional E quegenera una partcula de carga q y que se encuentra ubicada en el punto (h, k),esta dado por

E = ,

66 3. APLICACIONES

donde es el potencial electrostatico,

(x, y) = k ln(x h)2 + (y k)2,

siendo k una constante proporcional a la carga de la partcula. En un sis-tema compuesto por m partculas cargadas, ubicadas en los puntos (xj, yj),j = 1, ,m, el potencial electrostatico sera la suma de los potenciales elec-trostaticos correspondientes a cada partcula por separado:

(x, y) =mj=0

kj ln(x xj)2 + (y yj)2.

Las curvas (x, y) = c, c constante, son las llamadas curvas equipotencia-les, mientras que las trayectorias ortogonales asociadas son conocidas comolneas de corriente. Las lneas de corriente son tangentes al campo electrico yrepresentan la trayectoria que seguira una partcula cargada que se encuentresujeta a la accion del campo electrico.

En el caso del campo electrico generado por una sola partcula, situadadigamos en el origen de coordenadas, es facil ver que las lneas equipotencialesson crculos concentricos con centros en el origen, mientras que las lneas decorriente seran las lneas rectas que pasan por el origen.

Consideremos ahora el caso de un sistema de dos partculas con cargasidenticas, situadas en los puntos (a, 0) y (a, 0). El potencial electrostaticodel sistema esta dado por

(x, y) =k

2ln((x a)2 + y2) ((x+ a)2 + y2).

De acuerdo con (3.9), las lneas de corriente en este caso corresponden alas soluciones de la ecuacion diferencial

dy

dx=

y (x2 + y2 + a2)

x (x2 + y2 a2) ,

que resulta ser difcil de resolver explcitamente. Podramos sin embargo tra-zar los graficos de las soluciones empleando metodos numericos. En la figura3.6 se ilustran las lneas equipotenciales (azules) y las lneas de corriente(rojas).


2 1 1 2

1

1

x

y

Figura 3.6: Lneas de corriente y lneas equipotenciales para un sistema dedos partculas

Ejercicios

1. En cada caso halle las trayectorias ortogonales a la familia de curvasque se da (c denota una constante cualquiera):

a) y2 x2 = c b) x2 + y2 =c x

c) y = c ex d) ex cos y =c

2. En cada uno de los siguientes casos determine las curvas que satisfacenlas condiciones requeridas

a) Cada una de las rectas normales a la curva pasa por el origen.

b) La curva pasa por el origen y longitud del arco desde el origen a unpunto cualquiera de la curva es igual al doble de la raz cuadradade la abscisa de ese punto.

3. Muestre que las curvas equipotenciales asociadas al campo electricoque genera una unica partcula son crculos concentricos alrededor dela partcula, y que las lneas de corriente son lneas rectas.

68 3. APLICACIONES

Respuestas

1. a) x y = k b) x2 + y2 =k y

c) y2 =2x+ k

d) ex sen y =c.

2. a) x2 + y2 = c. b) y = (arc senx+x x2)

Captulo 4

Metodos cualitativos y metodosnumericos en ecuacionesdiferenciales

Es equivocado pensar que el estudio de las ecuaciones diferenciales se re-duce a encontrar artificios de calculo para obtener soluciones explcitas. Enel captulo 2 presentamos una seleccion de tecnicas que permiten resolverciertas ecuaciones diferenciales de primer orden, aunque por supuesto la lis-ta no es exhaustiva: existen tratados que contienen tablas de soluciones deecuaciones diferenciales, similares a las tablas de antiderivadas (ver por ejem-plo [5] en las referencias bibliograficas al final de este captulo). Sin embargola pericia para resolver ecuaciones diferenciales, entendida en el sentido deobtener formulas para las soluciones, ha ido perdiendo importancia a me-dida que los computadores se han popularizado y simultaneamente fueronhaciendo su aparicion programas de software especializados en computacionsimbolica. La tendencia actual es dejar al computador las tareas de calculo.Programas como MuPad, Mathematica o Maple, permiten resolver casi todaslas ecuaciones diferenciales que uno pudiera resolver de manera explcita conlas tecnicas conocidas.

Sin restarle importancia a este tipo de programas debe quedar claro queni el mas refinado de los programas de software ni el mas ingenioso de los ma-tematicos pueden resolver todas las ecuaciones diferenciales o siquiera lasmas importantes de ellas, en terminos de funciones elementales. El problemamas que de habilidad es de principio. Por ejemplo no se conocen soluciones

69

70 4. METODOS CUALITATIVOS Y NUMERICOS

clasicas de ecuaciones en apariencia tan simples como la ecuacion

dx

dt= 1

x+ t

(consultar por ejemplo [4]). La busqueda de recetas para resolver todas lasecuaciones diferenciales en terminos de funciones elementales es una busque-da sin esperanzas. Ante este hecho se presentan algunas alternativas: losmetodos cualitativos, los metodos numericos, y los metodos de aproximacion.No es parte de los objetivos de estas notas un estudio detallado de estostemas, pero si quisieramos ilustrarlos en algunos casos particulares.

4.1. Metodos Cualitativos

En muchos problemas mas que calculos cuantitativos puntuales lo queinteresa es el comportamiento cualitativo de las soluciones en terminos delas condiciones iniciales o de los valores de ciertos parametros. Saber queuna solucion es creciente, que es concava o que tiene un lmite en el infinitopuede ser de ayuda en la comprension de un modelo. Ocurre que en ciertoscasos es posible obtener este tipo de informacion sin necesidad de resolverexplcitamente la ecuacion diferencial.

4.1.1. El modelo de Verhulst

Para empezar vamos a resumir los principales resultados obtenidos en elcaptulo 3 acerca del modelo de Verhulst,

dx

dt= x (a b x). (4.1)

Sabemos que la ecuacion (4.1) satisface las hipotesis del teorema fundamental1.3.1, tomando J = (,) y = (,), que las funciones constantesxE(t) =

aby xI(t) = 0 son soluciones (soluciones de equilibrio), cuyas graficas

son rectas horizontales que dividen al plano tx en tres regiones,

R1 ={(t, x) | a

b< x

}, R2 =

{(t, x) | 0 < x < a

b

}y R3 = {(t, x) | x < 0} ,

de manera tal que cada una de las graficas de las soluciones no constantespermanece confinada a una y solo una de estas tres regiones (ver figura 4.1).

4.1. METODOS CUALITATIVOS 71

t

x

x = a2b

Figura 4.1: Concavidad de las soluciones de la ecuacion (3.2)

Mas aun, fue posible determinar en que casos las soluciones son crecientes,y cuando son decrecientes, dependiendo de las condiciones iniciales que sesatisfagan.

El objetivo principal de esta seccion es mostrar como es posible obteneraun mas informacion acerca de las soluciones x = x(t) de la ecuacion (4.1),sin necesidad de recurrir a formulas explcitas para las soluciones. Podemospor ejemplo determinar los tipos de concavidad de las soluciones, estudiandola segunda derivada de x respecto de t. En efecto, si x = x(t) satisface laecuacion (4.1) podemos derivar esta relacion con respecto de t y as obtener

d2x

dt2=

d

dt

(a x b x2) = (a 2b x) dx

dt. (4.2)

Supongase ahora que x = x(t) es una solucion de la ecuacion de Verhulst(4.1), que en un cierto punto t0 satisface la condicion x(t0) = x0. De maneraanaloga al analisis que se hizo en el captulo 3 consideraremos varios casos,dependiendo de cual sea el valor de x0 :

Si x0 >ab, sabemos que la grafica de la solucion x = x(t), t I

esta contenida en R1 y que es estrictamente decreciente. Esto significaque a

b< x(t), y por ello a 2b x (t) < 0. Como ademas dx

dt< 0 se sigue,

reemplazando en la ecuacion (4.2), que d2xdt2

> 0. Por lo tanto x(t) esconcava hacia arriba.

72 4. METODOS CUALITATIVOS Y NUMERICOS

Si 0 < x0 0.

Teniendo en cuenta la relacion (4.2) se puede ver que x(t), t I, esuna funcion concava hacia abajo siempre que a

2b< x(t) < a

b, mientras

que es concava hacia arriba si 0 < x(t) < a2b.

Analogamente, si x0 < 0, se demuestra que la solucion x = x(t), t I,es estrictamente decreciente y concava hacia abajo.

La figura 4.1 resume el analisis del crecimiento y de los tipos de concavidadde las soluciones de la ecuacion de Verhulst. Tal como se senalo en el captulo3, el intervalo I donde esta definida la solucion x = x(t) que satisface unacondicion de la forma x(t0) = x0 depende de t0 y de x0. Por ejemplo, si t0 = 0

y x0 >ab, entonces I =

(1aln b x0a

b x0,), mientras que I = (,) siempre

que 0 x0 ab , independientemente de t0. Adicionalmente, una vez seobtienen las soluciones en forma explcita (por ejemplo mediante separacionde

Ecuaciones diferenciales para ingenieros

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