Ecuaciones Diferenciales (MA-841)Conceptos Básicos y Terminología Ecuaciones Diferenciales - p....

Conceptos Básicos y Terminología Ecuaciones Diferenciales - p. 1/22

Ecuaciones Diferenciales (MA-841)

Conceptos Básicos y TerminologíaDepartmento de Matemáticas / CSI

ITESM

IntroduccionBasicosEDNota 1Ejemplo 1Orden y GradoEjemplo 2LinealidadEjemplo 3SolucionEjemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Ejemplo 8DinamicaPoblacionalDesintegracionEnfriamientoResumen


Conceptos Básicos y Terminología

Todo estudio sistemático de cualquier tema selleva a cabo introduciendo una taxonomía queclasifique los objectos sometidos a estudio. Lassiguientes definiciones permitirán clasificar losobjetos de estudio en este curso y a partir de ellopodremos trazar los caminos y metodologías queseguiremos. El curso se iniciará introduciendo lasdefiniciones de los conceptos básicos de estecurso.



En nuestro curso resolveremos cierto tipo deecuaciones:




Definici onUna ecuación es una relación de igualdad dondeaparecen una o más incógnitas.




Definici onUna ecuación es una relación de igualdad dondeaparecen una o más incógnitas. Una incógnita esuna entidad desconocida que es precisodeterminar.




Definici onUna ecuación es una relación de igualdad dondeaparecen una o más incógnitas. Una incógnita esuna entidad desconocida que es precisodeterminar. Un valor es una solución para unaecuación si cuando se sustituye por la incógnita enla ecuación queda una identidad.




Definici onUna ecuación es una relación de igualdad dondeaparecen una o más incógnitas. Una incógnita esuna entidad desconocida que es precisodeterminar. Un valor es una solución para unaecuación si cuando se sustituye por la incógnita enla ecuación queda una identidad. Una identidades una igualdad matemática que siempre esverdadera.




Definici onUna ecuación es una relación de igualdad dondeaparecen una o más incógnitas. Una incógnita esuna entidad desconocida que es precisodeterminar. Un valor es una solución para unaecuación si cuando se sustituye por la incógnita enla ecuación queda una identidad. Una identidades una igualdad matemática que siempre esverdadera. El proceso de resolver una ecuaciónconsiste en determinar los valores para la o lasincógnitas que son solución a la ecuación.



En los cursos de álgebra los valores buscadospara las incógnitas son números; en el curso deecuaciones diferenciales los valores a determinarson funciones; es decir, que la incógnitarepresenta una función:




Definici onUna Ecuación Diferencial (ED) es una ecuaciónque contiene derivadas o diferenciales de unafunción incógnita.




Definici onUna Ecuación Diferencial (ED) es una ecuaciónque contiene derivadas o diferenciales de unafunción incógnita. Además, diremos que laecuación diferencial es una Ecuación DiferencialOrdinaria (EDO), si la función incógnita dependesólo de una variable independiente,




Definici onUna Ecuación Diferencial (ED) es una ecuaciónque contiene derivadas o diferenciales de unafunción incógnita. Además, diremos que laecuación diferencial es una Ecuación DiferencialOrdinaria (EDO), si la función incógnita dependesólo de una variable independiente, en casocontrario diremos que la ecuación es unaEcuación Diferencial Parcial (EDP).



Notemos que para que una función se puedaderivar es necesario que la función esté definidasobre un intervalo real o bien sobre todos losnúmeros reales; es decir, que la función estédefinida sobre un intervalo continuo.Alternativamente a ello están las funcionesdefinidas sobre conjuntos discretos y en particularlas funciones defindas sobre números naturales:estas funciones están relacionadas conecuaciones en diferencias las cuales serán muybrevemente revisadas en este curso.



Clasifique las siguientes ecuaciones:

1 Velocidad de Escape: vdv

dr= −

gR2

r2



Clasifique las siguientes ecuaciones:

1 Velocidad de Escape: vdv

dr= −

gR2

r2La ED es Ordinaria donde r es la variable independiente y

v = v(r) es la variable dependiente.

2 Ley de Newton sobre el Enfriamiento:dT

dt= k(T − To)

La ED es Ordinaria donde t es la variable independiente y

T = T (t) es la variable dependiente.

3 Conversión Química Simple:dM

dt= −kM

La ED es Ordinaria donde t es la variable independiente y

M = M(t) es la variable dependiente.



4 Ecuación de Onda:∂2y

∂t2= a2

∂2y

∂x



4 Ecuación de Onda:∂2y

∂t2= a2

∂2y

∂xLa ED es Parcial donde t y x son las variablesindependientes y y = y(t, x) es la variabledependiente.

5 Ecuación de Difusión:∂u

∂t= a

∂2u

∂x2

La ED es Parcial donde t y x son las variablesindependientes y u = u(t, x) es la variabledependiente.



Para poder establecer un elemento clasificatorioimportante requerimos ciertas definicionesadicionales:




Definici onEl Orden de una ED es número mayor de vecesque la función incógnita aparece derivada en laED.




Definici onEl Orden de una ED es número mayor de vecesque la función incógnita aparece derivada en laED. Por otro lado, el Grado de una ED es elexponente algebraico mayor al cual apareceelevada la mayor derivada en la ED.



Clasifique las siguientes ecuaciones:1 5 y − 4x y′ + (1− x) y′′ = cos(x)




Respuesta: Orden 2, Grado 1

2 y − 2 ( dydx)4+ x d3y

dx3 = 0 R: O=3, G=1

3 2 y + y y′ = 1 + x2 R: O=1, G=1

4 (− ex x+ y − x y) dx+ x2 dy = 0 R: O=1, G=1

5 −3 y + 4x y′ − x2 y′′ + x3 y(4) = 0 R: O=4, G=1

6 9 y + d2y

dx2 = sen(y) R: O=2, G=1

7 dy

dx=

√

1 + ( d2y

dx2 )2

R: O=2, G=?

8 d2rdt2

= −kr2

R: O=2, G=1



Una clasificación importante en las ED esreferente a la linealidad:



Una clasificación importante en las ED esreferente a la linealidad:

Definici onUna ED Ordinaria se dice Ecuación DiferencialLineal si tiene la forma:

an(x)dny

dxn

+ an−1(x)dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x) y = g(x)



Clasifique las siguientes ecuaciones:1 5 y − 4x y′ + (1− x) y′′ = cos(x) Lineal

2 y − 2 ( dydx)4+ x d3y

dx3 = 0 No lineal

3 2 y + y y′ = 1 + x2 No lineal

4 (− ex x+ y − x y) dx+ x2 dy = 0 Lineal

5 −3 y + 4x y′ − x2 y′′ + x3 y(4) = 0 Lineal

6 9 y + d2y

dx2 = sen(y) No lineal

7 dy

dx=

√

1 + ( d2y

dx2 )2

No lineal

8 d2rdt2

= −kr2

No lineal



Indiquemos qué entendemos como una solución auna ED:




Definici onUna función f definida en un cierto intervalo I sedice solución a una ED si al ser sustituida lafunción y sus derivadas en la ED se obtiene unaidentidad.




Definici onUna función f definida en un cierto intervalo I sedice solución a una ED si al ser sustituida lafunción y sus derivadas en la ED se obtiene unaidentidad. Una función se dice que está definidaen forma explícita en una ecuación si la variablesque representa la función en dicha ecuación estádespejada.




Definici onUna función f definida en un cierto intervalo I sedice solución a una ED si al ser sustituida lafunción y sus derivadas en la ED se obtiene unaidentidad. Una función se dice que está definidaen forma explícita en una ecuación si la variablesque representa la función en dicha ecuación estádespejada. En caso contrario, se dice que funciónestá definida en forma implícita.



Una família de funciones es una relación dondeaparecen las variables dependiente eindependiente, pero adicionalmente aparecenparámetros o constantes que no tienen un valordefinido.



Una família de funciones es una relación dondeaparecen las variables dependiente eindependiente, pero adicionalmente aparecenparámetros o constantes que no tienen un valordefinido. Una família de funciones se dicesolución a una ED, si no importa que valor seasigne a los parámetros, la expresión resultante essolución a la ED.



Mostrar que f(x) = x2− x−1 es solución a la ED

d2y

dx2−

2

x2y = 0




d2y

dx2−

2

x2y = 0

Soluci onCalculemos las derivadas de f(x) (hasta el ordende la ED inclusive)




d2y

dx2−

2

x2y = 0


f(x) = x2− x−1

f ′(x) = 2x+ x−2

f ′′(x) = 2− 2x−3




d2y

dx2−

2

x2y = 0


f(x) = x2− x−1

f ′(x) = 2x+ x−2

f ′′(x) = 2− 2x−3

Sustituyendo en la ED obtenemos

(

2− 2x−3)

−

2

x2

(

x2− x−1

)

=




d2y

dx2−

2

x2y = 0


f(x) = x2− x−1

f ′(x) = 2x+ x−2

f ′′(x) = 2− 2x−3


(

2− 2x−3)

−

2

x2

(

x2− x−1

)

= (2−2x−3)−(2−2x−3)




d2y

dx2−

2

x2y = 0


f(x) = x2− x−1

f ′(x) = 2x+ x−2

f ′′(x) = 2− 2x−3


(

2− 2x−3)

−

2

x2

(

x2− x−1

)

= (2−2x−3)−(2−2x−3) = 0




d2y

dx2−

2

x2y = 0


f(x) = x2− x−1

f ′(x) = 2x+ x−2

f ′′(x) = 2− 2x−3


(

2− 2x−3)

−

2

x2

(

x2− x−1

)

= (2−2x−3)−(2−2x−3) = 0

Por tanto, f(x) es solución a tal ED.⋄



Mostrar que la relación y2 − x3 + 8 = 0 es solucióna la ED

dy

dx=

3x2

2y




dy

dx=

3x2

2y

Soluci onDerivando implícitamente la relación dadatenemos




dy

dx=

3x2

2y


ddx(y2 − x3 + 8) = d

dx(0)

2y dy

dx− 3x2 = 0

dy

dx= 3x2

2y




dy

dx=

3x2

2y


ddx(y2 − x3 + 8) = d

dx(0)

2y dy

dx− 3x2 = 0

dy

dx= 3x2

2y

Al observar que queda exactamente la EDconcluimos que efectivamente la relación essolución a la ED.⋄



Mostrar que f(x) = c1e−x + c2e

2 x es solución a laED

y′′ − y′ − 2y = 0





y′′ − y′ − 2y = 0

Soluci onCalculemos las derivadas de f(x) (hasta el ordende la ED inclusive):





y′′ − y′ − 2y = 0


f(x) = c1e−x + c2e

2 x

f ′(x) = −c1e−x + 2 c2e

2x

f ′′(x) = c1e−x + 4 c2e

2x





y′′ − y′ − 2y = 0


f(x) = c1e−x + c2e

2 x

f ′(x) = −c1e−x + 2 c2e

2x

f ′′(x) = c1e−x + 4 c2e

2x

Sustituyendo en la ED obtenemos(

c1e−x + 4 c2e

2x)

−

(

−c1e−x + 2 c2e

2x)

−2(

c1e−x + c2e

2 x)

= 0





y′′ − y′ − 2y = 0


f(x) = c1e−x + c2e

2 x

f ′(x) = −c1e−x + 2 c2e

2x

f ′′(x) = c1e−x + 4 c2e

2x

Sustituyendo en la ED obtenemos(

c1e−x + 4 c2e

2x)

−

(

−c1e−x + 2 c2e

2x)

−2(

c1e−x + c2e

2 x)

= 0

Por tanto, f(x) es solución a tal ED.⋄



Mostrar que la relación 4x2− y2 = C es solución a

la ED

ydy

dx− 4x = 0




la ED

ydy

dx− 4x = 0





la ED

ydy

dx− 4x = 0


ddx(4x2

− y2) = = ddx(C)

8x− 2y dy

dx= 0

dy

dx= 4x

y




la ED

ydy

dx− 4x = 0


ddx(4x2

− y2) = = ddx(C)

8x− 2y dy

dx= 0

dy

dx= 4x

y

Al sustituir en la ED obtenemos:

y

(

4x

y

)

− 4x =




la ED

ydy

dx− 4x = 0


ddx(4x2

− y2) = = ddx(C)

8x− 2y dy

dx= 0

dy

dx= 4x

y


y

(

4x

y

)

− 4x = 4x− 4x = 0




la ED

ydy

dx− 4x = 0


ddx(4x2

− y2) = = ddx(C)

8x− 2y dy

dx= 0

dy

dx= 4x

y


y

(

4x

y

)

− 4x = 4x− 4x = 0

Por tanto, la relación es solución a la ED dada.⋄



Indique para cuál valor de r la función f(x) = erx

es solución a la ecuación diferencial:

10 y − 11 y′ + y′′ = 0





10 y − 11 y′ + y′′ = 0

Soluci onDerivando la función:





10 y − 11 y′ + y′′ = 0


f(x) = erx

f ′(x) = r erx

f ′′(x) = r2 erx





10 y − 11 y′ + y′′ = 0


f(x) = erx

f ′(x) = r erx

f ′′(x) = r2 erx


10 erx − 11 r erx + r2 erx =





10 y − 11 y′ + y′′ = 0


f(x) = erx

f ′(x) = r erx

f ′′(x) = r2 erx


10 erx − 11 r erx + r2 erx = erx(

10− 11 r + r2)

= 0





10 y − 11 y′ + y′′ = 0


f(x) = erx

f ′(x) = r erx

f ′′(x) = r2 erx



10− 11 r + r2)

= 0

Por tanto, para que f(x) sea solución se requiereque r2 − 11 r + 10 = 0.





10 y − 11 y′ + y′′ = 0


f(x) = erx

f ′(x) = r erx

f ′′(x) = r2 erx



10− 11 r + r2)

= 0

Por tanto, para que f(x) sea solución se requiereque r2 − 11 r + 10 = 0. Por tanto, r = 1 ó r = 10.⋄



Modelos: Dinámica Poblacional

En 1798 el economista inglés Thomas Malthusmodeló el crecimiento poblacional al suponer quela rapidez con que crece una población en un paísen un cierto tiempo es proporcional a la mismapoblación del país en ese momento.



Modelos: Dinámica Poblacional

En 1798 el economista inglés Thomas Malthusmodeló el crecimiento poblacional al suponer quela rapidez con que crece una población en un paísen un cierto tiempo es proporcional a la mismapoblación del país en ese momento. Si P = P (t)representa la población de ese país en el instantede tiempo t, lo anterior quedaría primero

dP

dt∝ P

Y finalmentedP

dt= k P



Modelos: Desintegración Radioactiva

En el modelo básico un núcle atómico consiste enuna combinaciones de protones y neutrones.Muchas sustancias poseen núcleos inestables; esdecir, núcleos que se desintegran convirtiendo unasustancia en otra. Tales sustancias inestables sellaman radioactivas. En el modelo matemáticopara esto se supone que la rapídez con la cual sedesintegran átomos radioactivos es proporcional ala cantidad de átomos radioactivos presentes.



Modelos: Desintegración Radioactiva

En el modelo básico un núcle atómico consiste enuna combinaciones de protones y neutrones.Muchas sustancias poseen núcleos inestables; esdecir, núcleos que se desintegran convirtiendo unasustancia en otra. Tales sustancias inestables sellaman radioactivas. En el modelo matemáticopara esto se supone que la rapídez con la cual sedesintegran átomos radioactivos es proporcional ala cantidad de átomos radioactivos presentes. SiM = M(t) representa la cantidad de sustanciaradioactiva en el instante de tiempo t,

dM

dt∝ M

Y finalmentedM

dt= kM



Modelos: Ley de Enfriamiento

Newton propuso una ley experimental sobre elenfriamiento o calentamiento de un cuerpo: larapidez con la que cambia la temperatura de uncuerpo es proporcional a la diferencia detemperaturas entre el cuerpo y el medio ambienteque lo rodea.



Modelos: Ley de Enfriamiento

Newton propuso una ley experimental sobre elenfriamiento o calentamiento de un cuerpo: larapidez con la que cambia la temperatura de uncuerpo es proporcional a la diferencia detemperaturas entre el cuerpo y el medio ambienteque lo rodea. Si T = T (t) representa latemperatura del cuerpo en el instante t y Ta

representa la temperatura del medio ambiente:

dT

dt∝ T − Ta

Y finalmente

dT

dt= k (T − Ta)



Resumen

Conceptos vistos en esta lectura:1. Identidad2. Ecuación3. Incógnita4. Ecuación diferencial5. Ecuación en diferencias6. Ecuación Diferencial Ordinaria7. Ecuación Diferencial Parcial8. El orden de una ecuación diferencial9. El grado de una ecuación diferencial

10. Ecuación diferencial lineal11. Solución de una ecuación12. Algunos Modelos

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