ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTA

En matemticas, unaecuacin diferencial exactaes unaecuacin diferencial ordinaria de primer ordenque presenta la forma:

donde las derivadas parciales de las funcionesMyN:yson iguales. Esto es equivalente a decir que existe una funcintal que:

dondey.Dado quees una funcin diferenciable, entonces, por elteorema de Clairaut, sus derivadas cruzadas deben ser iguales. Esto significa que:.Mtodo de resolucin.Para resolver una ecuacin diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos: Comprobar la exactitud de la ecuacin, esto es, verificar si las derivadas parciales deM(con respecto ay) y deN(con respecto ax) son iguales. Se integraMoNa conveniencia (Mrespecto axoNrespecto ay) obtenindose de este modo la solucin general de la ecuacin aunque con una funcin incgnitagque aparece como constante de integracin. Esto es:

Para despejar la funcingse derivacon respecto a la variable independiente deg. Se igualag'conMoN(si se integrMse iguala aNy viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente deg; de este modo se encontrar la funcing. Finalmente se reemplaza elgencontrado en la solucin general.Factor integranteSi una ecuacin diferencialnoes exacta, podra llegar a serlo si se multiplica por una funcin especialllamadafactor integrante, tal que:sea exacta.Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe, pero slo para algunas formas de ecuaciones diferenciales es posible encontrarlo fcilmente:

Factor integrante solo en funcin dex.Si la ecuacin diferencial posee un factor integrante respecto ax(es decir,), entonces se puede encontrar por medio de la frmula siguiente:

Cabe decir que para queexista, es condicin necesaria y suficiente que el miembrotiene que ser funcin nicamente de x. (Aclarando queyequivalen a las parciales de estas;yrespectivamente).

Factor integrante solo en funcin dey.Si la ecuacin diferencial posee un factor integrante respecto ay(es decir,), entonces se puede encontrar por medio de la frmula siguiente:

Factor integrante solo en funcin dex+y.Si la ecuacin diferencial posee un factor integrante respecto ax+y(es decir,), entonces se puede encontrar por medio de la frmula siguiente:ConFactor integrante solo en funcin dexy.Si la ecuacin diferencial posee un factor integrante respecto axy(es decir,), entonces se puede encontrar por medio de la frmula siguiente:ConDondeMxCabe mencionar que:

Ecuaciones diferenciales exactasPrimero debemos retomar algunos conceptos de clculo vectorial.Definicin[Vector gradiente]

Seauna funcin escalar, entonces el gradientees la funcin vectorialdada por

EjemploEl gradiente de la funcines

Definicin[Campo vectorial conservativo]

Seauna funcin vectorial, decimos quees un campo vectorial conservativo si existe una funcin escalartal que. A la funcin escalarse le llama funcin potencial.

EjemploLa funcin vectoriales un campo vectorial conservativo, pues, sise tiene que.La definicin anterior no es muy til al tratar de verificar que un campo vectorial es conservativo, pues involucra el hallar una funcin potencial. El siguiente teorema nos facilitar esta tarea.Teorema

Seaun campo vectorial definido sobre una regin simplemente conexa1.1y dado por

dondeytienen derivadas parciales de primer orden continuas en, entonceses conservativo s y slo s

De paso este teorema nos da la clave para construir la funcin potencial, como veremos en el prximo ejemplo.EjemploEl campo vectorial

es conservativo, pues si

tenemos que

Como es conservativo, existe una funcin escalartal que

de donde, como

Derivando con respecto ae igualando a la derivada parcial

Con lo cual.Observacin:algunas veces resulta ms fcil integrarrespecto ayrespecto ay luego elegimoscomo la suma de ambos, tomando los trminos repetidos una vez.Definicin[Ecuacin diferencial exacta]

Una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden escrita en la forma

es exactasi el campo vectorial asociado

es conservativo.

Teorema

La solucin general de la ecuacin diferencial exacta

est dada por, dondees la funcin potencial del campo vectorial.

Demostracin:Comprobemos quees solucin de la ecuacin diferencial. Suponiendo quees funcin de, derivamos implcitamente

Comoes la funcin potencial del campo vectorial,y, de donde

Como se quera.EjemploLa solucin general de la ecuacin diferencial

es, pues la ecuacin diferencial es exacta y como hemos vistoes la funcin potencial del campo vectorial.EjemploDetermine una funcinde modo que la ecuacin diferencial

(1.1)

sea exacta.Para que la ecuacin diferencial(1.1)sea exacta debe cumplirse que

Y al integrar respecto a, obtenemos que

Observacin:en realidad obtenemos toda una familia de funciones, debido a la constante de integracin, como queremos slo una funcinpodemos tomar.EjemploDetermine el valor o valores dede forma que la ecuacin diferencial

(1.2)

Para que la ecuacin diferencial(1.2)sea exacta debe satisfacer

de donde obtenemos que

BIBLIOGRAFIA Tom M. Apostol (1979):Anlisis matemtico.ISBN 84-291-5004-8. Zill, Dennis G. (2006):Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. Octava edicin. Thomson Learning Iberoamericana. Mxico D.F., Mxico.ISBN 970-686-487-3. Olivos, Elena; Mansilla, Anglica (2005):Ecuaciones Diferenciales, 100 Problemas Resueltos. Primera Edicin. Editorial Universidad de La Frontera. Temuco, Chile.