Mate5_unidad4. Ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
Ecuaciones diferenciales del flujo fluido
12
Materia: Mecánica de fluidos I Capítulo 4 Profesor: Emilio Rivera Chávez 4-1 Facultad Nacional de Ingeniería 08/07/2002 Apuntes de clase 4 Ecuaciones diferenciales del flujo fluido 4.1 Introducción En el capítulo anterior se han estudiado las leyes fundamenta- les del flujo fluido, las que han sido expresadas matemática- mente en forma de ecuaciones integrales para un volumen de control arbitrario, si bien estas ecuaciones son importantes por su aplicación práctica dado que permiten evaluar globalmente un determinado flujo fluido, se caracterizan por trabajar con valores promedio de la propiedades del flujo fluido. Sin em- bargo existen situaciones en las que es necesario conocer la variación de las propiedades del flujo de un punto a otro. Una forma de resolver este problema es aplicar las ecuaciones integrales a un volumen de control diferencial, para obtener las ecuaciones de flujo para un punto del flujo fluido. En este capítulo se obtendrá la ex- presión diferencial de las ecuaciones de continuidad ( principio de conservación de la masa) y de cantidad de movimiento (segunda ley de Newton de la mecánica), a partir de su forma integral. Existen tres métodos diferentes para obtener las ecuaciones diferenciales del flujo fluido: • Utilizando el cálculo vectorial.- En este caso no se necesita ningún razonamiento físico adicional, pues se trata de obtener las expresiones diferenciales a partir de las expre- siones integrales siguiendo un riguroso procedimiento matemático. • Aplicando las ecuaciones integrales a un volumen de control elemental.- Se obtienen las ecuaciones diferenciales al llevar la expresión resultante al limite haciendo cuando el volumen se hace infinitesimal. • Aplicando las ecuaciones básicas del sistema a un volumen elemental.- De este modo se obtienen directamente las ecuaciones diferenciales para un volumen elemental me- diante balances de masa, cantidad de movimiento y energía. 4.2 Ecuación diferencial de continuidad Como se recordará la ecuación integral de continuidad esta dada por: υ d t d vc sc ∫∫∫ ∫∫ ∂ ∂ − = ⋅ ρ ρ A v (4.2.1) La ecuación diferencial de continuidad que no es mas que la ley de conservación de la masa, puede ser obtenida, como se explicó en el epígrafe anterior, de varias maneras. En este caso utilizaremos el teorema de Gauss para convertir la integral de superficie del primer miembro de la ecuación integral de continuidad (4.2.1). en una integral de volu- men. υ ρ d d vc sc ) ( ρ v A v ∫∫∫ ∫∫ ⋅ ⋅ ∇ = (4.2.2) Sustituyendo (4.2.2) en (4.2.1) se obtiene: υ υ d t d vc vc ∫∫∫ ∫∫∫ ∂ ∂ − = ∇ ⋅ ρ ρv
-
Upload
cristina-garcia-ramos -
Category
Documents
-
view
12 -
download
7
description
mecánica de fluidos
Transcript of Ecuaciones diferenciales del flujo fluido
-
Materia: Mecnica de fluidos I Captulo 4 Profesor: Emilio Rivera Chvez 4-1 Facultad Nacional de Ingeniera 08/07/2002 Apuntes de clase
4 Ecuaciones diferenciales del flujo fluido 4.1 Introduccin En el captulo anterior se han estudiado las leyes fundamenta-les del flujo fluido, las que han sido expresadas matemtica-mente en forma de ecuaciones integrales para un volumen de control arbitrario, si bien estas ecuaciones son importantes por su aplicacin prctica dado que permiten evaluar globalmente un determinado flujo fluido, se caracterizan por trabajar con valores promedio de la propiedades del flujo fluido. Sin em-bargo existen situaciones en las que es necesario conocer la variacin de las propiedades del flujo de un punto a otro. Una forma de resolver este problema es aplicar las ecuaciones integrales a un volumen de control diferencial, para obtener
las ecuaciones de flujo para un punto del flujo fluido. En este captulo se obtendr la ex-presin diferencial de las ecuaciones de continuidad ( principio de conservacin de la masa) y de cantidad de movimiento (segunda ley de Newton de la mecnica), a partir de su forma integral.
Existen tres mtodos diferentes para obtener las ecuaciones diferenciales del flujo fluido:
Utilizando el clculo vectorial.- En este caso no se necesita ningn razonamiento fsico adicional, pues se trata de obtener las expresiones diferenciales a partir de las expre-siones integrales siguiendo un riguroso procedimiento matemtico.
Aplicando las ecuaciones integrales a un volumen de control elemental.- Se obtienen las ecuaciones diferenciales al llevar la expresin resultante al limite haciendo cuando el volumen se hace infinitesimal.
Aplicando las ecuaciones bsicas del sistema a un volumen elemental.- De este modo se obtienen directamente las ecuaciones diferenciales para un volumen elemental me-diante balances de masa, cantidad de movimiento y energa.
4.2 Ecuacin diferencial de continuidad Como se recordar la ecuacin integral de continuidad esta dada por:
dt
dvcsc
= Av (4.2.1)
La ecuacin diferencial de continuidad que no es mas que la ley de conservacin de la masa, puede ser obtenida, como se explic en el epgrafe anterior, de varias maneras. En este caso utilizaremos el teorema de Gauss para convertir la integral de superficie del primer miembro de la ecuacin integral de continuidad (4.2.1). en una integral de volu-men.
ddvcsc
)( vAv = (4.2.2)
Sustituyendo (4.2.2) en (4.2.1) se obtiene:
dt
dvcvc
= v
-
Materia: Mecnica de fluidos I Captulo 4 Profesor: Emilio Rivera Chvez 4-2 Facultad Nacional de Ingeniera 08/07/2002 Apuntes de clase
Llevando el segundo miembro de la ecuacin al primer miembro y permutando la derivada con la integral se obtiene:
0 =
+ dtd
vcvc
v
0)( =
+ dtvcv
Para que la integral sea cero, puesto que el volumen de control es arbitrario, necesaria-mente se debe cumplir que:
(4.2.3)
Esta ltima ecuacin, es la forma diferencial de la ecuacin de continuidad. Para flujo permanente: (4.2.4) Y para flujo incompresible (4.2.4)
La ecuacin (4.2.3) puede ser expresada en cualquier sistema de coordenadas. As por ejemplo en coordenadas cartesianas:
0)()()( =
+
+
+
xv
zv
yv
x zyx (4.2.5)
El resultado anterior puede obtenerse directamente por aplicacin de la ecuacin (4.2.1) al volumen elemental mostrado en la figura 4.1. El estudiante se encargar de comprobar este echo.
y
x
z
XV dxx
)( XX VV
+
YV
dyy
)( yY VV
+
dzz
)( zZ VV
+
ZV
Figura 4.1 Flujo de masa a travs de las 6 caras de un volumen de control diferencial.
0 =
+ t
v
0 = v
0= v
-
Materia: Mecnica de fluidos I Captulo 4 Profesor: Emilio Rivera Chvez 4-3 Facultad Nacional de Ingeniera 08/07/2002 Apuntes de clase
4.3 Ecuacin diferencial de cantidad de movimiento La ecuacin diferencial de cantidad de movimiento es la forma diferencial de la segunda ley de Newton del movimiento para el flujo fluido. Por ello para obtener la ecuacin dife-rencial de continuidad se utilizar la forma integral de esta ecuacin correspondiente a un volumen de control arbitrario.
+
=+......
sup. cscvcs
erficiecv
masicas ddtFF Avvv (4.3.1)
Aplicando esta ecuacin a un volumen de control elemental, dividiendo miembro a mim-bro entre el volumen y llevando esta razn al limite, cuando el volumen tiende a cero, se obtiene la ecuacin que permite calcular la variacin de la cantidad de movimiento en un punto del flujo fluido. As.
+
=
+
..
0
..
0
..sup
0
. limlimlimlim cscvcserficie
cvmasicas ddtFF
Avvv (4.3.2)
Cada uno de los trminos de la ecuacin anterior sern evaluados por separado. 4.3.1 Balance de las fuerzas externas Las fuerzas externas que actan sobre el volumen de control estn agrupadas en dos categoras: Fuerzas msicas debidas a la accin de los campos de fuerzas y fuerzas superficiales debidas a las tensiones normales y tangenciales que se manifiestan por efecto presin y a la accin viscosa.
Fuerzas msica debidas a la accion del campo gravitacional Esta fuerza esta representada por el primer trmino del primer miembro de la ecuacin (4.3.2) y concretamente se refiere al peso del volumen elemental de fluido contenido de-ntro del volumen de control, que en el lmite se reduce a un punto.
La masa del volumen de control elemental es:
=m Entonces la fuerza msica por unidad de volumen, ser:
(4.3.3)
Suma de fuerza externas, msi-cas y superficiales, que actan sobre el volumen de control
Flujo neto de cantidad de movimiento a tra-vs de la superficie de control
Cambio de cantidad de movimiento dentro del volumen de control
g
gg
g
lim
limlimlim
limlim
.
0
00
.
0
..
0
.
0
=
=
=
=
vcgrav
vcgrav
cvvcgrav
F
F
dF
-
Materia: Mecnica de fluidos I Captulo 4 Profesor: Emilio Rivera Chvez 4-4 Facultad Nacional de Ingeniera 08/07/2002 Apuntes de clase
Fuerzas superficiales debidas a la viscosidad y presin
Figura 4.2 En la figura se muestran las componente cartesianas, en las tres direcciones, de las fuerzas superfi-ciales que actan sobre un volumen de control diferencial.
y
x
z
XXXXX+XX
YY+YX
ZZ+ZX
ZZX
XXX
YYX
y
x
z
YY+YY
XX +XY
ZZ +ZY
ZZY
YYY
XXY
(a) Direccin X
(b) Direccin Y
y
x
z
YY+YX
XX +XZ
ZZ +ZZ
ZZZ
YYX
XXZ(c) Direccin Z
-
Materia: Mecnica de fluidos I Captulo 4 Profesor: Emilio Rivera Chvez 4-5 Facultad Nacional de Ingeniera 08/07/2002 Apuntes de clase En la figura 4.2 se muestra las diversas fuerzas que actan sobre la superficie de control. Para simplificar la sumatoria de fuerzas superficiales, se consideraran las tres direcciones ortogonales por separado.
Direccin x Con referencia a la figura 4.2 (a). se tiene:
yxzxzyF zzxzzzxyyxyyyxxxxxxxxcs
X ++= +++ )()()(..
sup
Dividiendo la expresin anterior entre el volumen y llevando al lmite, cuando el volumen de control tiende a cero, se tiene:
++
=
+++
zyxyxzxzyF zzxzzzxyyxyyyxxxxxxxx
zyx
csX )()()(
limlim0,,
..sup
0
zyx
Fzzxzzzx
zyx
yyxyyyx
zyx
xxxxxxx
zyx
csX
+
+
=
+
+
+
0,,0,,0,,
..sup
0limlimlimlim
Finalmente, aplicando la definicin de derivada de una funcin, se obtiene:
(4.3.4)
De manera anloga, se pueden obtener expresiones similares para las componentes en las otras dos direcciones: Direccin y De la figura 4.2 (b).
( 4.3.5)
Direccin z Figura 4.2 (c).
(4.3.6)
La fuerza superficial resultante ser:
(4.3.7) Las tensiones que dan lugar a las fuerzas superficiales, como ya se dijo antes, son debidas a la presin y al efecto de la viscosidad debido al movimiento y que se manifiesta como un gradiente de velocidad. Debido a ello las tensiones normales se pueden expresar como la suma de ambos efectos:
zxy
Fzyxyyycs
Y
+
+
=
..
sup
0lim
zyx
Fzxyxxxcs
X
+
+
=
..
sup
0lim
xyz
Fxzyzzzcs
Z
+
+
=
..
sup
0lim
kjixyzzxyzxy
Fxzyzzzzyxyyyzyxyyycs
erficial
+
+
+
+
+
+
+
+
=
..
sup
0lim
-
Materia: Mecnica de fluidos I Captulo 4 Profesor: Emilio Rivera Chvez 4-6 Facultad Nacional de Ingeniera 08/07/2002 Apuntes de clase
iiii p += (4.3.8) Sustituyendo la relacin anterior en la ecuacin (4.3.7) y reagrupando los trminos con-venientemente se tiene:
(4.3.9) Esta ltima expresin puede ser escrita en forma compacta utilizando operadores vecto-riales y tensoriales. As, el primer trmino de la ecuacin representa el gradiente de presin, como se vio en el captulo 2,
pyp
yp
yp kji =
+ +
Por otra parte el segundo termino de esta ecuacion, que representa los esfuerzos viscosos, puede ser expresado como la divergencia del tensor de esfuerzos viscosos, ij.
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
ij
= (4.3.10)
(4.3.11)
Entonces la fuerza supercial neta en un punto del flujo fluido puede ser expresada, asi:
ijcs
erficial
pF
+=
..
sup
0lim (4.3.12)
Fuerza externa neta Entonces, la fuerza neta actuando sobre el volumen de control, cuando este se reduce a un punto, esta dada por:
ijcs
erficialcv
masicacv p
FFF
+=
+
=
g..
sup
0
..
0
..
0limlimlim (4.3.13)
kji
kji
xyzzxyzxy
yp
yp
yp
F
xzyzzzzyxyyyzyxyyy
cserficial
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
..
sup
0lim
ijxyzzxyzxykji xzyzzzzyxyyyzyxyyy =
+
+
+
+
+
+
+
+
Fuerza de gravedad
Fuerza de presin
Fuerza viscosa
Fuerza msica Fuerza superficial
-
Materia: Mecnica de fluidos I Captulo 4 Profesor: Emilio Rivera Chvez 4-7 Facultad Nacional de Ingeniera 08/07/2002 Apuntes de clase
4.4 Flujo Neto de cantidad de movimiento a travs de la superficie de control de un volumen de control diferencial. En la figura se muestra el flujo de cantidad de movimiento a travs de las 6 caras del vo-lumen de control. Entonces el flujo neto estar dado por:
(4.4.1) Llevando al lmite el segundo miembro de la ecuacin, se tiene:
(4.4.2) Realizando las operaciones de derivacin indicadas en el lado derecho de la ecuacin y reagrupando se obtiene:
(4.4.3)
y
x
z
XXVVXX +XVV
YYVV
YY +YVV
ZZ +ZVV
ZZVV
Figura 4.3 Flujo de cantidad de movimiento a travs de las 6 caras de un volumen de control diferencial.
( )
( )( )
+
+
=
+
+
+
zyxyxvv
zyx
zxvv
zyxzyvv
zyx
zzzzz
yyyyy
xxxxx
yyx
sc
yyx
vv
vv
vvdAvv
0,,0,,lim
)(lim
( ) ( ) ( )zyxscyyx vzvyvxzyx vvvdAvv
+
+
=
)(lim
0,,
( ) ( ) ( )
+
+
+
+
+
=
zv
yv
xv
vz
vy
vxzyx
zyx
zyxsc
yyx
vvv
vdAvv
)(
lim0,,
-
Materia: Mecnica de fluidos I Captulo 4 Profesor: Emilio Rivera Chvez 4-8 Facultad Nacional de Ingeniera 08/07/2002 Apuntes de clase Segn la ecuacin de la continuidad:
(4.4.4)
Sustituyendo esta ltima relacin en la ecuacin (4.4.3), sta ltima toma la siguiente for-ma:
(4.4.5) Expresado en forma vectorial:
(4.4.6) 4.5 Cambio de cantidad de movimiento dentro del volumen de control La variacin de la cantidad de movimiento dentro del volumen de control, por unidad de volumen en el lmite, cuando este tiende a cero, esta dado por:
t
t
zyx
zyxt
zyx
dt
zyx
zyx
cv
zyx
=
=
=
)v
)v
)vv
(
(lim
(
limlim
0,,
0,,
..
0,,
(4.5.1)
Realizando la operacin indicada, se tiene.
t
tzyx
dt cv
zyx
+
=
vvv
..
0,,lim (4.5.2)
4.6 Ecuacin diferencial de cantidad de movimiento Sustituyendo los resultados dados por las ecuaciones: (4.3.13), (4.4.6) y (4.5.2) en (4.3.1) se tiene la expresin final de la ecuacin diferencial de cantidad de movimiento en forma vectorial.
vvvvvg +
+
=+ ttt
p
)vvv(g +
=+ t
p (4.6.1)
( ) ( ) ( )t
vz
vy
vx zyx
=
+
+
+
+
+
=
z
vy
vx
vtzyx zyx
sc
yyx
vvvvdAvv
)(
lim0,,
vvvdAvv
+
=
tzyxsc
yyx
)(lim
0,,
Aceleracin por transporte
Acelera-cin localFuerza de gravedad
Fuerza de presin
Fuerza viscosa
Suma de Fuerzas externas Masa por aceleracin
-
Materia: Mecnica de fluidos I Captulo 4 Profesor: Emilio Rivera Chvez 4-9 Facultad Nacional de Ingeniera 08/07/2002 Apuntes de clase
4.7 Ecuacin de Euler Una situacin particular de la ecuacin (4.6.1), corresponde al flujo no viscoso, es decir cuando no existen tensiones de corte, es decir:
ij = 0 ij = 0
Por lo cual la ecuacin diferencial de cantidad de movimiento (4.6.1), se reduce a
)vvv(g +
= t
p (4.7.1)
)v(gDtDp = (4.7.2)
4.8 Ecuacin de Navier Stockes.- Fluidos newtonianos. Para un fluido newtoniano de viscosidad, , y para flujo incompresible la ecuacin de Newton de la viscosidad se puede generalizar para flujo tridi-mensional, as:
z
y
x
zzz
yyy
xxx
=
=
=
v
v
v
2
2
2
(4.8.1)
Por otra parte la ecuacin (4.6.1) puede expresarse en coordenadas rectangulares, en base a sus tres componentes:
+
==
+
==
+
==
yz
zx
xy
zyyzzy
xzzxxz
yxyxxy
vv
vv
vv
-
Materia: Mecnica de fluidos I Captulo 4 Profesor: Emilio Rivera Chvez 4-10 Facultad Nacional de Ingeniera 08/07/2002 Apuntes de clase Componente x:
Componente y:
Componente z:
(4.8.2)
Sustituyendo las ecuaciones (4.8.1) en (4.8.2) se obtiene la ecuacin de cantidad de mo-vimiento para flujo incompresible de un fluido newtoniano, de densidad, , y viscosidad, , constante; en coordenadas rectangulares: Componente x Componente y
Componente z
(4.8.3)
Las ecuaciones escalares anteriores, tiene la siguiente expresin vectorial equivalente:
DtDp vvg =+ 2 (4.8.4)
En el anexo, se presenta el desarrollo de la ecuacin (4.8.4), en los sistemas de coorde-nadas ms usuales.
+
+
+
=
+
+
+
zyxtzyxxpg xz
xy
xx
xzxyxxxx
vv
vv
vv
v
+
+
+
=
+
+
+
zyxtzyxypg yz
yy
yx
yzyyyxyy
vv
vv
vv
v
+
+
+
+
+
+
=
zyxtzyxzpg zz
zy
zx
zzzyzxzz
vvvvvvv
+
+
+
=
+
+
+
zyxtzyxxpg xz
xy
xx
xxxx
vv
vv
vv
vvvvx 22
2
2
2
2
+
+
+
=
+
+
+
zyxtzyxypg yz
yy
yx
yyyyy
vv
vv
vv
vvvv 2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
=
zyxtzyxzpg zzzyzxzzzzz
vv
vv
vv
vvvv 22
2
2
2
2
-
Materia: Mecnica de fluidos I Captulo 4 Profesor: Emilio Rivera Chvez 4-11 Facultad Nacional de Ingeniera 08/07/2002 Apuntes de clase
4.9 Integracin de la ecuacin de Euler.- Ecuacin de Bernoulli Para el caso de flujo ideal, permanente e incompresible, la integracin de la ecuacin de Euler da como resultado la conocida ecuacin de Bernoulli. Para ello se evaluara la ecuacin (4.7.1), a lo largo de una lnea de corriente. Utilizando en este caso las coordenadas de trayectoria, en las que la direccin s, permanece ienpre tangente a la trayectoria de la partcula fluida (lnea de corriente), figura 4.4.
(a)
(b)
Figura 4.3. (a) Flujo ideal representado mediante lneas de corriente (b) Elemento diferencial de fluido, mostrando las
fuerzas msicas y superficiales, que actan sobre una partcula fluida.
Recordamos la ecuacin (4.7.1) de Euler para flujo ideal sin friccin.
)vvv(g +
= t
p (4.7.1) En este caso particular las componentes de la ecuacin en la direccin s, son:
ngseng uug s
= cos
su
spp
=
0v =
t(flujo permanente)
ssvv uvv
= (4.9.1)
Sustituyendo las expresiones (4.9.1) en la ecuacin (4.7.1), se tiene:
s
v
g
g
ds
p
dsspp
+
-
Materia: Mecnica de fluidos I Captulo 4 Profesor: Emilio Rivera Chvez 4-12 Facultad Nacional de Ingeniera 08/07/2002 Apuntes de clase
ssvv
spseng uuu ss
=
(4.9.2)
Tratndose de un flujo unidireccional, en la direccin s, la ltima ecuacin puede escribir-se del siguiente modo:
dsdvv
dsdpseng =
multiplicando por ds
dvvdpdsseng = dividiendo entre
0=++ dvvdpdsseng
(4.9.3)
la diferencial de arco, ds, se puede se puede calcular mediante la siguiente aproxima-cin:
sen
dzds
dzsends = Sustituyendo esta expresin en la ecuacin (4.9.3), e integrando, se tiene:
++ dvvdpdzg
+ C
Cvdpgz =++ 22
(4.9.4)
Para flujo incompresible, = constante, entonces:
Cvpzg =++2
2
(4.9.5)
Ecuacin que expresa que, para las condiciones de flujo dadas, flujo ideal, permanente e incompresible, la energa mecnica total permanece constante en cualquier punto de una lnea de corriente. Esta ecuacin, como ya se vio en el curso de fsica bsica es conocida con el nombre de ecuacin de Bernoulli. Bibliografa Shames H. Irving , La Mecnica de los Fluidos, McGraw-Hill. White M. Frank, Mecnica de Fluidos, McGraw-Hill. Fox Robert, Introduccin a la Mecnica de los Fluidos, McGraw-Hill Hughes William, Dinmica de Fluidos, McGraw-Hill Welty James, et al, Fundamentals of momentum, heat &mass transfer, John Wiley &Sons.
ds dz
