Ecuaciones Diferenciales con Condiciones InicialesProblemas de valores en la fronteraUna ecuacin diferencial ordinaria se acompaa de condiciones auxiliares. Estas condiciones se utilizan para evaluar las constantes de integracin que resultan durante la solucin de la ecuacin.Para una ecuacin de n-simo orden, se requieren n condiciones. Si todas las condiciones se especifican para el mismo valor de la variable independiente, entonces se trata de un problema de valor inicial(figura 1 a)

Figura 1.

Hay otra aplicacin en la cual las condiciones no se conocen para un solo punto, sino, ms bien, se conocen en diferentes valores de la variable independiente. Debido a que estos valores se especifican en los puntos extremos o frontera de un sistema, se les conoce como problemas de valores en la frontera (figura 1 b).Mtodos Generales Para Problemas De Valores En La FronteraSe puede utilizar la conservacin del calor para desarrollar un balance de calor para una barra larga y delgada (figura 2). Si la barra no est aislada en toda su longitud y el sistema se encuentra en estado estacionario, la ecuacin resultante es (1)donde h es un coeficiente de transferencia de calor (m2) que parametriza la velocidad con que se disipa el calor en el medio ambiente, y Ta es la temperatura del medio ambiente (C).Para obtener una solucin de la ecuacin (1) se deben tener condiciones de frontera adecuadas. Un caso simple es aquel donde los valores de las temperaturas en los extremos de la barra se mantienen fijos. Estos valores se expresan en forma matemtica como:T (0) = T1T (L) = T2Con estas condiciones, la ecuacin (1) se puede resolver de manera analtica usando el clculo. Para una barra de 10 metros con Ta = 20, T1 = 40, T2 = 200 y h = 0.01, la solucin esT = 73.4523e0.1x 53.4523e0.1x + 20 (2)En las siguientes secciones se resolver el mismo problema usando procedimientos numricos.

Figura 2.

El mtodo de disparoEl mtodo de disparo se basa en convertir el problema de valor en la frontera en un problema de valor inicial equivalente. Posteriormente se aplica un procedimiento de prueba y error para resolver la versin de valor inicial. El mtodo se ilustrar con un ejemplo.Ejemplo 1.Planteamiento del problema. Utilice el mtodo de disparo para resolver la ecuacin(1), con una barra de 10 metros, h = 0.01 m2, Ta = 20 y las condiciones de fronteraT(0) = 40 T(10) = 200Solucin. Usando el mismo procedimiento que se emple para transformar la ecuacin (PT7.2) en las ecuaciones (PT7.3) a (PT7.6), la ecuacin diferencial de segundo orden se expresa como dos EDO de primer orden:

(PT7.2)

(PT/.3)

Para resolver estas ecuaciones, se requiere un valor inicial para z. En el mtodo de disparo, proponemos un valor inicial, digamos, z(0) = 10. La solucin se obtiene integrando las ecuaciones (E27.1.1) y (E27.1.2) simultneamente. Por ejemplo, utilizando un mtodo RK de cuarto orden con un tamao de paso de 2, obtenemos un valor en el extremo del intervalo, T(10) = 168.3797 (figura 3 a), el cual difiere de la condicin de frontera, T(10) = 200. Por lo tanto, debemos realizar otra suposicin, z(0) = 20, y efectuar de nuevo el clculo. Esta vez, se obtiene el resultado de T(10) = 285.8980 (figura 3 b).Ahora, como la EDO original es lineal, los valoresz(0) = 10 T(10) = 168.3797yz(0) = 20 T(10) = 285.8980estn relacionados linealmente. As, pueden utilizarse para calcular el valor de z(0) que da T(10) = 200. Se emplea una frmula de interpolacin lineal para tal propsito:

Este valor se utiliza despus para determinar la solucin correcta, como se ilustra en laFigura 3c

Figura 3.Mtodos de diferencias finitasLas alternativas ms comunes al mtodo de disparo son los mtodos por diferencias finitas, en las cuales, las diferencias divididas finitas sustituyen a las derivadas en la ecuacin original. As, una ecuacin diferencial lineal se transforma en un conjunto de ecuaciones algebraicas simultneas que pueden resolverse utilizando los mtodos de la parte tres.En el caso de la figura 2, la aproximacin en diferencias divididas finitas para la segunda derivada es (recuerde la figura 3)

Esta aproximacin se sustituye en la ecuacin (1) para dar:

Agrupando trminos se tiene:(3)Esta ecuacin es vlida para cada uno de los nodos interiores de la barra. Los nodos interiores primero y ltimo, Ti1 y Ti+1, respectivamente, se especifican por las condiciones de frontera. Por lo tanto, el conjunto resultante de ecuaciones algebraicas lineales ser tridiagonal. Como tal, se resuelve con los algoritmos eficientes de que se dispone para estos sistemas

Cuestionario1. Para qu nos sirven los valores en la frontera en las ecuaciones diferenciales?Se utilizan para evaluar las constantes de integracin que resultan durante la solucin de la ecuacin.2. Cuntos mtodos para resolver ecuaciones diferenciales con valores en la frontera existen? Diga cuales.Existen 2 mtodos:Mtodo de disparo y Mtodo de diferencia finitas.3. Verdadero o falso: En el mtodo de diferencias finitas las diferencias divididas finitas sustituyen a las derivadas en la ecuacin original. (F).

4. Resolver el siguiente ejercicio de ecuaciones diferencialesUse el procedimiento por diferencias finitas para resolver la ecuacin

Con una barra de 10 metros, h = 0.01 m2, Ta = 20 y las condiciones de frontera T (0) = 40 T (10) = 200

Solucin. Empleando los parmetros del ejercicio, se escribe la ecuacin:

Para la barra mostrada en la figura.

El empleo de cuatro nodos interiores con un segmento de longitud x = 2 metros da como resultado las siguientes ecuaciones:

De las cuales se obtienen