ECUACIONES DIFERENCIALES CON BERNOULLI
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Capítulo II ECUACIONES DIFERENCIALES BERNOULLI ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA IV
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Esta presentación contiene los procedimientos de la solución de problemas de ecuaciones diferenciales aplicando el método de bernoulli
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Capítulo IICapítulo II
ECUACIONES DIFERENCIALES BERNOULLI
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE
MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA IVMATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA IV
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 2
E. D. DE BERNOULLI
A. DEFINICION:
También se conoce con el nombre de BERNQULLI y está representada por la
siguiente ecuación:
B. SOLUCIÓN:
Para resolver este tipo de ecuaciones (1), primero se transforma a una ecuación
diferencial lineal, mediante el procedimiento siguiente :
1º A la ecuación (1) se le multiplica por , quedando de la siguiente forma:
2º A la ecuación (2) multiplicar por , quedando de la siguiente forma:
𝒅𝒚𝒅𝒙
+𝑷 (𝒙 ) 𝒚=𝑸 (𝒙 ) 𝒚𝒏 ;𝒏≠𝟏………………(𝟏)
𝒚−𝒏𝒅𝒚𝒅𝒙
+𝑷 (𝒙 ) 𝒚𝟏−𝒏=𝑸 (𝒙 )……………(𝟐)
(𝟏−𝒏 )𝒚 −𝒏 𝒅𝒚𝒅𝒙
+ (𝟏−𝒏 )𝑷 (𝒙 ) 𝒚𝟏−𝒏=(𝟏−𝒏 )𝑸 (𝒙 )……(𝟑)
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 3
E. D. DE BERNOULLI
3º Realizar el siguiente cambio de variable en la ecuación (3):
4º Reemplazar la ecuación (4) en (3):
5º Resolver la ecuación diferencial aplicando la fórmula adecuada de E. D. Lineal de 1er Orden:
𝒛=𝒚𝟏−𝒏⇨𝒅 𝒛𝒅𝒙
=(𝟏−𝒏 ) 𝒚−𝒏 𝒅𝒚𝒅𝒙
……….…… (𝟒)
𝒅 𝒛𝒅𝒙
+ (𝟏−𝒏) 𝑷 (𝒙 ) 𝒛= (𝟏−𝒏 )𝑸 (𝒙 )……(𝟑)
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 4
E. D. DE BERNOULLI
C. EJERCICIOS DE APLICACIÓN:
SOLUCION
1º Expresar/adecuar a una E.D. de Bernoulli
P(x) Q(x)
𝒅𝒚𝒅𝒙
+𝑷 (𝒙 ) 𝒚=𝑸 (𝒙 ) 𝒚𝒏
n=3
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 5
E. D. DE BERNOULLI
2º Multiplicando a la ecuación por , se tiene:
3º Multiplicando a la ecuación por , se tiene:
4º Cambiando variable :
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 6
E. D. DE BERNOULLI
5º Reemplazando (2) en (1):
P(x) Q(X)6º Aplicando la fórmula adecuada, se tiene:
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 7
E. D. DE BERNOULLI
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 8
E. D. DE BERNOULLI
SOLUCION
1º Expresar/adecuar a una E.D. de Bernoulli
P(x) Q(x)
𝒅𝒚𝒅𝒙
+𝑷 (𝒙 ) 𝒚=𝑸 (𝒙 ) 𝒚𝒏
n=-3
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 9
E. D. DE BERNOULLI
2º Multiplicando a la ecuación por , se tiene:
3º Multiplicando a la ecuación por , se tiene:
4º Cambiando variable :
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 10
E. D. DE BERNOULLI
5º Reemplazando (2) en (1):
P(x) Q(X)6º Aplicando la fórmula adecuada, se tiene:
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 11
E. D. DE BERNOULLI
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 12
EJERCICIOS DE APLICACIÓN Nº 2
Resuelva las siguientes E. D.: (Pág. 52-Pág. 57)
