Ecuaciones Diferenciales Capítulo 1

IntroduccionEcuaciones definidas explıcitamente

Integracion elemental de ecuaciones explıcitasEcuaciones definidas implıcitamente

Desigualdades diferenciales

Ecuaciones DiferencialesCapıtulo 1

Manuel Fernandez Garcıa-Hierro

M. Fernandez Ecuaciones Diferenciales Capıtulo 1




Indice1 Introduccion

2 Ecuaciones definidas explıcitamenteSolucionesCampo de pendientesEl problema de valor inicial

3 Integracion elemental de ecuaciones explıcitasEcuaciones del tipo x′ = g(t)Ecuaciones autonomasEl metodo de integracion de las ecuaciones autonomasEcuaciones de variables separadas

El metodo de integracion de ecuaciones de variables separadas

Ecuaciones linealesCambio de variable

La ecuacion de BernoulliLa ecuacion de RicattiEcuaciones homogeneas

4 Ecuaciones definidas implıcitamenteEcuaciones exactasFactores integrantes

5 Desigualdades diferenciales





Indice1 Introduccion2 Ecuaciones definidas explıcitamente

SolucionesCampo de pendientesEl problema de valor inicial












Soluciones

Campo de pendientesEl problema de valor inicial












SolucionesCampo de pendientes

El problema de valor inicial3 Integracion elemental de ecuaciones explıcitas

Ecuaciones del tipo x′ = g(t)Ecuaciones autonomasEl metodo de integracion de las ecuaciones autonomasEcuaciones de variables separadas












3 Integracion elemental de ecuaciones explıcitas

Ecuaciones del tipo x′ = g(t)Ecuaciones autonomasEl metodo de integracion de las ecuaciones autonomasEcuaciones de variables separadas












3 Integracion elemental de ecuaciones explıcitasEcuaciones del tipo x′ = g(t)

Ecuaciones autonomasEl metodo de integracion de las ecuaciones autonomasEcuaciones de variables separadas












3 Integracion elemental de ecuaciones explıcitasEcuaciones del tipo x′ = g(t)Ecuaciones autonomas

El metodo de integracion de las ecuaciones autonomasEcuaciones de variables separadas












3 Integracion elemental de ecuaciones explıcitasEcuaciones del tipo x′ = g(t)Ecuaciones autonomasEl metodo de integracion de las ecuaciones autonomas

Ecuaciones de variables separadasEl metodo de integracion de ecuaciones de variables separadas













Ecuaciones lineales

Cambio de variableLa ecuacion de BernoulliLa ecuacion de RicattiEcuaciones homogeneas












La ecuacion de Bernoulli

La ecuacion de RicattiEcuaciones homogeneas












La ecuacion de BernoulliLa ecuacion de Ricatti

Ecuaciones homogeneas













4 Ecuaciones definidas implıcitamente

Ecuaciones exactasFactores integrantes












4 Ecuaciones definidas implıcitamenteEcuaciones exactas

Factores integrantes5 Desigualdades diferenciales





El Capıtulo 1 es la puerta de entrada a las ecuacionesdiferenciales.

Se introducen los conceptos de solucion, campo dependientes, problema de valor inicial e integral primera enel contexto mas sencillo posible: el de las ecuacionesdiferenciales escalares de primer orden.

Se describen los metodos clasicos de integracion mediantecuadraturas y se enuncian teoremas de existencia yunicidad de soluciones del problema de valor inicial paraalgunos tipos de ecuaciones diferenciales.





Se introduce el concepto de sub (super) solucionenfatizando el hecho de que en general no hay formulaspara las soluciones.

Se describen algunos modelos matematicos en los queaparecen ecuaciones diferenciales que ponen de manifiiestoque son una buena herramienta para entender procesostemporales.





Competencias que debe alcanzar elestudiante al cursar el Capıtulo 1

Conocer el concepto de solucion de una ecuacion diferencialescalar de primer orden y el de campo de pendientesasociado. Conocer el concepto de problema de valor inicial.

Saber integrar elementalmente ecuaciones autonomas, devariables separadas y lineales. Saber transformar medianteun cambio de variable, ecuaciones diferenciales enecuaciones diferenciales de alguno de los tres tiposanteriores.

Saber enunciar teoremas de existencia y unicidad desoluciones del problema de valor inicial.





Competencias que debe alcanzar elestudiante al cursar el Capıtulo 1

Conocer el concepto de subsolucion y supersolucion y suimportancia en el estudio cualitativo de las soluciones deuna ecuacion diferencial.

Saber resolver problemas y ejercicios relacionados conecuaciones diferenciales de primer orden.

Conocer la relacion entre algunos problemas reales(desintegracion radiactiva, prueba del carbono 14, mezclas,ley de enfriamiento, caıda de cuerpos, circuitoselectricos,. . . ) y sus modelos matematicos en terminos deecuaciones diferenciales escalares.






Ecuaciones diferenciales de primer orden

Una ecuacion diferencial de primer orden en forma explıcitatiene la forma

x′ = f(t, x), (1)

donde f : D ⊂ R2 → R, siendo D con interior no vacıo.






Ecuaciones diferenciales de primer orden

Ejemplos

x′ = t

x′ = x

x′ = x2 − 1

x′ = −tx

x′ = 2t− x

x′ = x2 − t






Definicion de solucion

Una solucion de una ED es una funcion x : I → R, donde I esun intervalo de R, tal que para todo t ∈ I

x es derivable en t,

(t, x(t)) ∈ D,

x′(t) = f(t, x(t)).






Campo de pendientes

Sea la ED x′ = f(t, x). En cada (t, x) ∈ D se considera larecta que pasa por dicho punto y tiene pendiente f(t, x). Silas coordenadas del plano son T,X, entonces dicha rectatiene por ecuacion

X − x = f(t, x)(T − t).

El campo de pendientes en D es la aplicacion

(t, x) ∈ D → X − x = f(t, x)(T − t).

Se dice que la pendiente asignada por el campo al punto(t, x) es f(t, x).






Campo de pendientes. x′ = x

-2 -1 0 1 2

-10

-5

0

5

10

t

x






Campo de pendientes

Sea x(t) una solucion. La ecuacion de la recta tangente enel punto (t, x(t)) es

X − x(t) = x′(t)(T − t) = f(t, x(t))(T − t).

Las soluciones son funciones (derivables y con graficaincluida en D), tales que en cada punto de su grafica, surecta tangente coincide con la recta asignada por el campode pendientes.






Campo de pendientes y solucion. x′ = x

-2 -1 0 1 2

-10

-5

0

5

10

t

x






Campo de pendientes

Mostraremos dos metodos para dibujar el campo de pendientesde una ED haciendo una seleccion de puntos (t, x) y marcandocada uno con un pequeno segmento de recta con pendientef(t, x).






Campo de pendientes

1. Metodo de la red. Se considera una red rectangular de puntos(t, x) y en cada uno de ellos se dibuja un segmento de pendientef(t, x).

La orden de Mathematica

VectorPlot[{1,f},{t,tmin,tmax},{x,xmin,xmax},VectorStyle->Arrowheads[0]]

dibuja el campo de pendientes de la ecuacion x′ = f(t, x) en elrectangulo

R = [tmin, tmax]× [xmin, xmax].






Campo de pendientes

1. Metodo de la red. Se considera una red rectangular de puntos(t, x) y en cada uno de ellos se dibuja un segmento de pendientef(t, x).La orden de Mathematica

VectorPlot[{1,f},{t,tmin,tmax},{x,xmin,xmax},VectorStyle->Arrowheads[0]]

dibuja el campo de pendientes de la ecuacion x′ = f(t, x) en elrectangulo

R = [tmin, tmax]× [xmin, xmax].






Referencia

R.J. Swift, S.A. Wirkus, “A Course in Ordinary DifferentialEquations”, Chapman & Hall/CRC, 2007.






Campo de pendientes. x′ = x

-2 -1 0 1 2

-10

-5

0

5

10

t

x






Campo de pendientes y solucion. x′ = x

-2 -1 0 1 2

-10

-5

0

5

10

t

x






Campo de pendientes

2. Metodo de las isoclinas. Consiste en encontrar las isoclinas,que son las curvas sobre las que el campo es constante. Laecuacion de las isoclinas es f(t, x) = c.

La orden de Mathematica

Plot[f,{x,xmin,xmax]}]

dibuja la grafica de la funcion f(x) entre los valores(xmin, xmax) y

ContourPlot[f==c1,f==c2,

{t,tmin,tmax},{x,xmin,xmax}]

dibuja las isoclinas f(t, x) = c1 y f(t, x) = c2 en el rectanguloR.






Campo de pendientes

2. Metodo de las isoclinas. Consiste en encontrar las isoclinas,que son las curvas sobre las que el campo es constante. Laecuacion de las isoclinas es f(t, x) = c.La orden de Mathematica

Plot[f,{x,xmin,xmax]}]

dibuja la grafica de la funcion f(x) entre los valores(xmin, xmax) y

ContourPlot[f==c1,f==c2,

{t,tmin,tmax},{x,xmin,xmax}]

dibuja las isoclinas f(t, x) = c1 y f(t, x) = c2 en el rectanguloR.






Isoclinas. x′ = x2 − t

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3






Campo de pendientes. Isoclinas. x′ = x2 − t

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3






Campo de pendientes. Isoclinas. Solucion.x′ = x2 − t

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3






x′ = −tx

Ejemplo

Sea la ED x′ = −tx. Las ecuaciones de las isoclinas son−tx = c.Ası que los ejes son isoclinas que corresponden a c = 0.Si c 6= 0, la isoclina es una hiperbola.






Campo de pendientes. Isoclinas. Solucion.x′ = −tx

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

t

x






Ejemplo

Sea la ED x′ = 2t− x.

Las isoclinas son las rectas 2t− x = c.Las soluciones tienen la forma x(t) = ke−t + 2t− 2, como puedecomprobarse mediante sustitucion en la ED.Tambien se puede ver que x = 2t− 2 es una asıntota de todaslas soluciones con k 6= 0.Ademas esta lınea es tambien una solucion (la que correspondea k = 0). Este es uno de los casos raros en que una isoclinatambien es solucion.






Ejemplo

Sea la ED x′ = 2t− x.Las isoclinas son las rectas 2t− x = c.

Las soluciones tienen la forma x(t) = ke−t + 2t− 2, como puedecomprobarse mediante sustitucion en la ED.Tambien se puede ver que x = 2t− 2 es una asıntota de todaslas soluciones con k 6= 0.Ademas esta lınea es tambien una solucion (la que correspondea k = 0). Este es uno de los casos raros en que una isoclinatambien es solucion.






Ejemplo

Sea la ED x′ = 2t− x.Las isoclinas son las rectas 2t− x = c.Las soluciones tienen la forma x(t) = ke−t + 2t− 2, como puedecomprobarse mediante sustitucion en la ED.

Tambien se puede ver que x = 2t− 2 es una asıntota de todaslas soluciones con k 6= 0.Ademas esta lınea es tambien una solucion (la que correspondea k = 0). Este es uno de los casos raros en que una isoclinatambien es solucion.






Ejemplo

Sea la ED x′ = 2t− x.Las isoclinas son las rectas 2t− x = c.Las soluciones tienen la forma x(t) = ke−t + 2t− 2, como puedecomprobarse mediante sustitucion en la ED.Tambien se puede ver que x = 2t− 2 es una asıntota de todaslas soluciones con k 6= 0.

Ademas esta lınea es tambien una solucion (la que correspondea k = 0). Este es uno de los casos raros en que una isoclinatambien es solucion.






Ejemplo

Sea la ED x′ = 2t− x.Las isoclinas son las rectas 2t− x = c.Las soluciones tienen la forma x(t) = ke−t + 2t− 2, como puedecomprobarse mediante sustitucion en la ED.Tambien se puede ver que x = 2t− 2 es una asıntota de todaslas soluciones con k 6= 0.Ademas esta lınea es tambien una solucion (la que correspondea k = 0). Este es uno de los casos raros en que una isoclinatambien es solucion.






Ejemplo

Sea la ED x′ = x2 − t.

Las isoclinas son de la forma x2 − t = c, ası que son parabolas.Esta ED es de especial interes porque aunque parece simple, nohay formulas en terminos de funciones elementales, o inclusoen terminos de integrales de funciones elementales, para lassoluciones.Una demostracion de este sorprendente hecho no es facil. Peroesto no significa que no hay soluciones, simplemente que no hayformulas para ellas.






Ejemplo

Sea la ED x′ = x2 − t.Las isoclinas son de la forma x2 − t = c, ası que son parabolas.

Esta ED es de especial interes porque aunque parece simple, nohay formulas en terminos de funciones elementales, o inclusoen terminos de integrales de funciones elementales, para lassoluciones.Una demostracion de este sorprendente hecho no es facil. Peroesto no significa que no hay soluciones, simplemente que no hayformulas para ellas.






Ejemplo

Sea la ED x′ = x2 − t.Las isoclinas son de la forma x2 − t = c, ası que son parabolas.Esta ED es de especial interes porque aunque parece simple, nohay formulas en terminos de funciones elementales, o inclusoen terminos de integrales de funciones elementales, para lassoluciones.

Una demostracion de este sorprendente hecho no es facil. Peroesto no significa que no hay soluciones, simplemente que no hayformulas para ellas.






Ejemplo

Sea la ED x′ = x2 − t.Las isoclinas son de la forma x2 − t = c, ası que son parabolas.Esta ED es de especial interes porque aunque parece simple, nohay formulas en terminos de funciones elementales, o inclusoen terminos de integrales de funciones elementales, para lassoluciones.Una demostracion de este sorprendente hecho no es facil. Peroesto no significa que no hay soluciones, simplemente que no hayformulas para ellas.






Un hecho a destacar del dibujo de las soluciones sobre uncampo de pendientes es que nos permite visualizar y examinarel comportamiento de soluciones para las que no hay formulas.






El problema de valor inicial

Dado (t0, x0) ∈ D, el problema de valor inicial consiste endeterminar la existencia y, en su caso, la unicidad de solucionesx de la ecuacion diferencial tales que x(t0) = x0. Es decir,soluciones de

x′ = f(t, x), x(t0) = x0. (2)

Se dice que (2) es un problema de valor inicial y que (t0, x0) esuna condicion inicial.






La orden basica en Mathematica para resolver ecuacionesdiferenciales simbolicamente es DSolve. Calcula todas lassoluciones y resuelve el problema de valor inicial.La orden

solucion = DSolve[ecuacion,x,t] ,

donde “ecuacion”tiene la forma

x’[t]==f(t,x[t]), x[t0]==x0

resuelve en algunos casos el problema de valor inicial.






Para dibujar la grafica de la solucion en el intervalo(tmin, tmax) se utiliza

Plot[Evaluate[x[t] /. solucion],{t,tmin,tmax} ] .

Si se suprime la condicion inicial, se obtienen todas lassoluciones que Mathematica puede hallar. Tambien se puederesolver numericamente el problema de valor inicial en elintervalo (tmin, tmax) mediante la orden

solucion = NDSolve[ecuacion,x,{t,tmin,tmax}] .





Ecuaciones del tipo x′ = g(t)Ecuaciones autonomasEl metodo de integracion de las ecuaciones autonomasEcuaciones de variables separadasEcuaciones linealesCambio de variable

Integracion elemental

Esta parte presenta metodos que nos permiten obtenerformulas para las soluciones.

Es muy convenente y sencillo establecer hipotesis bajo lascuales los metodos de integracion funcionan.

Tambien se aprovechara la oportunidad para enunciar losteoremas de existencia y unicidad de soluciones delproblema de valor inicial, que seran probados en laasignatura Ampliacion de Ecuaciones Diferenciales.






x′ = g(t)

Sea g : I → R, continua en el intervalo I de R. El conjunto desoluciones de la ecuacion diferencial es el conjunto de primitivasde g.En efecto, si G(t) es una primitiva de g(t), entonces el conjuntode todas las soluciones es

x(t) = G(t) + c,

donde c ∈ R.






x′ = g(t)

Notese que:

Todas las soluciones estan definidas en I, intervalo dedefinicion de g.

Si x(t) es solucion, tambien lo es x(t) + x0, donde x0 ∈ R.

La funcion

x(t) = x0 +

∫ t

t0

g(s) ds

es la unica solucion del problema de valor inicial

x′ = g(t), x(t0) = x0.






Las ordenes

Integrate[g,t], Integrate[g,{t,tmin,tmax}]

calculan las integrales indefinida y definida de g(t).






x′ = f(x)

Son ecuaciones diferenciales de la forma

x′ = f(x), (3)

donde f : U ⊂ R→ R.






x′ = f(x)

Se empieza con la siguiente observacion:Sea x0 ∈ U . Entoncesx(t) ≡ x0 es solucion si y solo si f(x0) = 0.






La siguiente observacion es elemental, aunque importante:

Proposicion

Si x : I → U es solucion de x′ = f(x) y t0 ∈ R, entoncesx(t+ t0) : − t0 + I → U , tambien es solucion, donde−t0 + I = {−t0 + t : t ∈ I}.

Demostracion.

Sea τt0(t) = t+ t0, entonces (x ◦ τt0)(t) = x(t+ t0). Aplicando laregla de la cadena

d(x ◦ τt0)

dt(t) =

dx

dt(τ0(t))

d(τt0)

dt(t)

=dx

dt(t+ t0) = f(x(t+ t0)) = f((x ◦ τt0)(t)).






x′ = f(x)

Por lo tanto es suficiente estudiar el problema de valor inicial

x′ = f(x), x(0) = x0 ∈ U, (4)

ya que si x(t) es solucion del pvi anterior, entonces x(t− t0) essolucion de

x′ = f(x), x(t0) = x0 ∈ U,






El metodo de integracion

Ejemplo

Sea la ecuacion diferencial x′ = 1 + x2 y sea x(t) una solucion.Entonces

x′(t)

1 + x2(t)= 1, para todo t de su intervalo de definicion.

Integrando ∫x′(t)

1 + x2(t)dt = t+ C.

Por tanto,

arctan(x(t)) = t+ C, x(t) = tan(t+ C).







Ejemplo

Alternativamente, integrando entre 0 y t∫ t

0

x′(s)

1 + x2(s)ds = t =

∫ x(t)

x(0)

1

1 + x2dx.

Por tanto

arctanx(t)− arctanx(0) = t, x(t) = tan(t+ arctanx(0)).






x′ = f(x). El metodo de integracion

Supongase que U = (x1, x2), que f es continua y distinta decero en U . Se puede suponer que f es estrictamente positiva.

Si x(t) es solucion, entonces

x′(t)

f(x(t))= 1.

Integrando, ∫x′(t)

f(x(t))dt = C + t,

donde C ∈ R.






x′ = f(x). El metodo de integracion

Supongase que U = (x1, x2), que f es continua y distinta decero en U . Se puede suponer que f es estrictamente positiva.Si x(t) es solucion, entonces

x′(t)

f(x(t))= 1.


f(x(t))dt = C + t,

donde C ∈ R.






Si H(x) =∫

dxf(x) , entonces H(x(t)) =

∫ x′(t)f(x(t)) dt.

La funcion H(x) tiene derivada estrictamente positiva y,por tanto, es estrictamente creciente y tiene funcioninversa, que se denota H−1.

En consecuenciaH(x(t)) = t+ C.

Despejando, x(t) = H−1(t+ C).







Recıprocamente, es facil comprobar que H−1(t+C) es solucion.

Para determinar la solucion del problema de valor inicial

x′ = f(x), x(0) = x0,

se elige

H(x) =

∫ x

x0

dξ

f(ξ).

Entonces x(t) = H−1(t).







Recıprocamente, es facil comprobar que H−1(t+C) es solucion.Para determinar la solucion del problema de valor inicial

x′ = f(x), x(0) = x0,

se elige

H(x) =

∫ x

x0

dξ

f(ξ).

Entonces x(t) = H−1(t).







Tambien se puede resolver el problema de valor inicialdirectamente integrando entre 0 y t.Si se integra entre 0 y t se obtiene, aplicando la formula decambio de variable en la integral∫ t

0

x′(s)

f(x(s))ds =

∫ x(t)

x(0)

dx

f(x)= t.

Si se denota

H(x) =

∫ x

x(0)

dx

f(x),

entonces H es un difeomorfismo estrictamente creciente de(x1, x2) en (H(x1), H(x2)).







AdemasH(x(t)) = t

y despejandox(t) = H−1(t).

Recıprocamente, x(t) = H−1(t) es solucion del problema devalor inicial. En efecto, de H(x(t)) = t se sigue

H ′(x(t))x′(t) = 1,

x′(t) =1

H ′(x(t))= f(x(t)).






Se ha probado la

Proposicion

Sea f : (x1, x2)→ R continua y tal que f(x) 6= 0 para todox ∈ (x1, x2). Sea

H(x) =

∫ x

x0

dξ

f(ξ),

entonces H−1(t) es la unica solucion del problema de valorinicial

x′ = f(x), x(0) = x0 ∈ U.






Cuando f se anula en puntos de U la situacion es algo mascomplicada. Ya se ha visto que la funcion constantex(t) ≡ x0 ∈ U es solucion si y solo si f(x0) = 0.

Definicion

Se dice que x0 ∈ U es un punto de equilibrio o crıtico, sif(x0) = 0.






Ejemplo

Sea la ecuacion diferencial x′ = x. La funcion x(t) ≡ 0 essolucion. Supongase que cualquier otra solucion x(t) es tal quex(t) 6= 0 para todo t de su intervalo de definicion. Entonces

x′(t)

x(t)= 1, para todo t de su intervalo de definicion.

Integrando∫x′(t)

x(t)dt = t+K, ln |x(t)| = t+K, |x(t)| = eKet.

x(t) = ±eKet, x(t) = Cet, C ∈ R.






Ejemplo

Alternativamente, integrando entre 0 y t∫ t

0

x′(s)

x(s)ds = 1 =

∫ x(t)

x(0)

dx

x, ln |x(t)| − ln |x(0)| = t.

Por tanto

ln

∣∣∣∣ x(t)

x(0)

∣∣∣∣ = t,

∣∣∣∣ x(t)

x(0)

∣∣∣∣ = et.

Puesto que x(t) es continua, o bien x(t) > 0 para todo t, o bienx(t) < 0 para todo t. Ası que

x(t) = x(0)et






Ejemplo

Tambien se puede integrar la ecuacion diferencial x′ = x sindividir por x. En efecto, sea x(t) una solucion. Entonces

x′(t)− x(t) = 0, 0 = e−t(x′(t)− x(t)) = (x(t)e−t)′.

Ası que por el teorema del valor medio

x(t)e−t = C, x(t) = Cet,

donde C ∈ R. El recıproco es obvio.






Tal como ilustra la ecuacion diferencial x′ = 3x23 , en general por

cada condicion inicial pasan infinitas soluciones de x′ = f(x),siendo f continua.






Ejemplo

Sea la ecuacion diferencial x′ = 3x23 . La funcion identicamente

nula es solucion. Supongase que x(t) es una solucion que no seanula en ningun punto de su intervalo de definicion. Entonces

1

3x(t)−

23x′(t) = 1.

Integrando entre 0 y t y aplicando la formula de cambio devariable, se obtiene

1

3

∫ t

0x(t)−

23x′(s) ds =

1

3

∫ x(t)

x(0)x−

23 dx

=x(t)13 − x(0)

13 = t.






Ejemplo

Si llamamos x(0) = x0 y t0 = x(0)13 , se tiene

x(t) = (t+ t0)3, (t > −t0) o (t < −t0).

Pero para cualesquieras t1 < −t0 < t2 tambien son solucionesque cumplen la condicion inicial x(0) = x0,

x(t) =

−(t− t1)3, si t ≤ t10, si t1 < t < t2

(t− t2)3, si t ≥ t2,






Si f ∈ C1(U), entonces el problema de valor inicial tiene unaunica solucion. En efecto, se verifica el siguiente resultado cuyademostracion se hara en la asignatura Ampliacion deEcuaciones Diferenciales.

Teorema

Sea f ∈ C1(U), donde U es abierto. Para cada x0 ∈ U haysolucion del problema de valor inicial x′ = f(x), x(0) = x0. Six(t) e y(t) son dos soluciones del pvi, entonces coinciden en suintervalo comun de definicion.






Ejemplo

Sea la ecuacion diferencial x′ = x2 − 1. Las funciones x(t) ≡ ±1son dos soluciones constantes. Puesto que f(x) = x2 − 1 es declase 1 en R, cualquier otra solucion x(t) cumple que x(t) 6= ±1para todo t de su intervalo de definicion. Entonces

x′(t)

x2(t)− 1= 1

De la descomposicion en fracciones simples

1

x2 − 1=

1

2

(1

x− 1− 1

x+ 1

),






Ejemplo

e integrando, se obtiene∫x′(t)

x2(t)− 1dt =

1

2ln

∣∣∣∣x(t)− 1

x(t) + 1

∣∣∣∣ = t+K.






Ejemplo

Sea C = e2K y tengase en cuenta que x(t)−1x(t)+1 no cambia de

signo. Entonces si es negativa,

x(t)− 1

x(t) + 1= −Ce2t.

Despejando,

x(t) =1− Ce2t

1 + Ce2t.

La solucion esta definida en todo R.






Ejemplo

Si x(t)−1x(t)+1 es positiva, entonces

x(t)− 1

x(t) + 1= Ce2t.

Despejando,

x(t) =1 + Ce2t

1− Ce2t.

La solucion tiene una asıntota vertical, de modo queesta definida en un intervalo de la forma (−∞, t0) o (t0,∞).






Si x′(t) > 0 (resp. x′(t) < 0), entonces x(t) es estrictamentecreciente (resp. decreciente).

Puesto que x′(t) = x2(t)− 1, las soluciones sonestrictamente decrecientes en la banda −1 < x < 1 yestrictamente crecientes en las bandas x > 1 y x < −1.






Proposicion

Si x : [t,∞)→ R es una funcion monotona creciente(decreciente) y acotada superiormente (inferiormente),entonces existe el lımt→∞ x(t).

Si x : [t,∞)→ R es una solucion de x′ = f(x) tal quelımt→∞ x(t) = x0 ∈ U , entonces x0 es un punto deequilibrio.

Si x : I → R cumple que −∞ < x1 < x(t) < x2 <∞ paratodo t ∈ I, entonces I = R.

Hay resultados analogos para soluciones definidas en (−∞, t].






Ejemplo

Alternativamente, integrando entre 0 y t, se obtiene

t =

∫ t

0

x′(s)

x2(s)− 1ds =

∫ x(t)

x(0)

dx

x2 − 1

=1

2

(ln

∣∣∣∣x(t)− 1

x(t) + 1

∣∣∣∣− ln

∣∣∣∣x(0)− 1

x(0) + 1

∣∣∣∣)

=1

2ln

∣∣∣∣∣∣x(t)−1x(t)+1

x(0)−1x(0)+1

∣∣∣∣∣∣ = t.






Ejemplo

Sea C = x(0)−1x(0)+1 . Entonces

Ce2t =x(t)− 1

x(t) + 1.

Despejando x(t), se obtiene

x(t) =1 + Ce2t

1− Ce2t.






Ejemplo

Si C < 0, la solucion esta definida en todo R. Si C > 0, lasolucion tiene una asıntota vertical, de modo que esta definidaen un intervalo de la forma (−∞, t0) o (t0,∞).

Si x′(t) > 0 (resp. x′(t) < 0), entonces x(t) esestrictamente creciente (resp. decreciente).

Puesto que x′(t) = x2(t)− 1, las soluciones sonestrictamente decrecientes en la banda −1 < x < 1 yestrictamente crecientes en las bandas x > 1 y x < −1.






Ecuaciones de variables separadas

Las ecuaciones diferenciales de variables separadas tienen laforma

x′ = g(t)f(x), (5)

donde f : (x1, x2)→ R y g : (t1, t2)→ R son funciones continuas.Una ecuacion autonoma es de variables separadas con g(t) ≡ 1.






x′ = g(t)f(x)

Ejemplo

Sea la ED x′ = a(t)(1 + x2) y sea x(t) una solucion. Entonces

x′(t)

1 + x2(t)= a(t).

Integrando entre t0 y t, se obtiene

arctanx(t)− arctanx(t0) =

∫ t

t0

a(s) ds := A(t).

Despejandox(t) = tan(A(t) + arctanx(t0)).






El metodo de integracion. x′ = g(t)f(x)

Sea la ED x′ = g(t)f(x) donde f : (x1, x2)→ R yg : (t1, t2)→ R son funciones continuas.

Supongase que f(x) 6= 0 para todo x ∈ (x1, x2); porejemplo, f(x) > 0.

Si x(t) es solucion tal que x(t0) = x0, entonces

x′(t) = f(x(t))g(t).








f(x(t))dt =

∫g(t) dt+ C,

donde C ∈ R.

Si H(x) es una primitiva de 1/f(x), entonces

H(x(t)) =

∫x′(t)

f(x(t))dt.







La funcion H(x) tiene derivada estrictamente positiva y,por tanto, es estrictamente creciente. En consecuencia tienefuncion inversa, que se denota por H−1. Con esta notacion

H(x(t)) = G(t) + C,

donde G(t) es una primitiva de g(t). Despejando,

x(t) = H−1(G(t) + C).

Recıprocamente, se comprueba que H−1(G(t) + C) essolucion.







Sea (t0, x0) ∈ (t1, t2)× (x1, x2). Si se elige H(x) =∫ xx0

dξf(ξ) y

G(t) =∫ tt0g(τ) dτ , entonces x0 = x(t0) = H−1(C), de donde se

deduce que C = 0.







Tambien se puede resolver el problema de valor inicialdirectamente, integrando entre t0 y t.Si se integra entre t0 y t, se obtiene aplicando la formula decambio de variable∫ t

t0

x′(s)

f(x(s))ds =

∫ x(t)

x(t0)

dx

f(x)=

∫ t

t0

g(s) ds.






Si se denota

H(x) =

∫ x

x0

dx

f(x), G(t) =

∫ t

t0

g(s) ds,

entonces H es un difeomorfismo estrictamente creciente de(x1, x2) en H((x1, x2)). Ademas

H(x(t)) = G(t)

y despejandox(t) = H−1(G(t)).







Recıprocamente, x(t) = H−1(G(t)) es solucion del problema devalor inicial. En efecto, x(t0) = H−1(G(t0)) = x0. Ademas

H(x(t)) = G(t).

Derivando respecto de t,

H ′(x(t))x′(t) =1

f(x(t))x′(t) = g(t),

es decir,x′(t) = f(x(t))g(t).






Se ha probado la

Proposicion

Sean f : (x1, x2)→ R y g : (t1, t2)→ R continuas. Supongaseque f(x) 6= 0 para todo x ∈ (x1, x2). Sea(t0, x0) ∈ (t1, t2)× (x1, x2). Defınanse las funciones

H(x) =

∫ x

x0

dx

f(x), G(t) =

∫ t

t0

g(t) dt.

Entonces H−1(G(t)) es la unica solucion del problema de valorinicial x′ = f(x)g(t), x(t0) = x0.






Si f ∈ C1(U), entonces el problema de valor inicial tiene unaunica solucion. En efecto, se verifica el siguiente resultado cuyademostracion se hara en la asignatura Ampliacion deEcuaciones Diferenciales.

Teorema

Sean f ∈ C1(Uf ), donde Uf es abierto, y g : Ug → R continua.Para cada (t0, x0) ∈ Ug × Uf hay solucion del problema de valorinicial x′ = f(x)g(t), x(t0) = x0. Si x(t) e y(t) son dossoluciones del pvi, entonces coinciden en su intervalo comun dedefinicion.






Ejemplo

Sea la ED x′ = a(t)x2, donde a(t) es una funcion continuaen un intervalo. Se cumplen las hipotesis del teoremaanterior. Por tanto hay una unica solucion por cadacondicion inicial.

La funcion x(t) ≡ 0 es solucion, de modo que cualquierotra solucion o es estrictamente positiva o es estrictamentenegativa en todo punto de su intervalo de definicion.

Sea x(t) una solucion no nula. Entonces

x′(t) = a(t)x2(t), x−2(t)x′(t) = a(t).






Ejemplo

Integrando entre t0 y t, se obtiene∫ t

t0

x−2(s)x′(s) ds =

∫ x(t)

x(t0)x−2 dx =

∫ t

t0

a(s) ds.

De donde se deduce

1

x(t0)− 1

x(t)= A(t), x(t) =

x(t0)

1−A(t)x(t0),

donde A(t) =∫ tt0a(s) ds.






Ecuaciones lineales

Si a(t) y b(t) son funciones continuas definidas en elintervalo I, entonces

x′ = a(t)x+ b(t)

es una ED lineal de primer orden.

Se llama homogenea si b(t) ≡ 0. La ED lineal homogeneax′ = a(t)x es de variables separadas y verifica las hipotesisdel Teorema de existencia y unicidad.






Ecuaciones lineales homogeneas. x′ = a(t)x

La funcion identicamente nula es solucion y la solucion queverifica x(t0) = x0 6= 0 con t0 ∈ I, se obtiene por integracionelemental como sigue:∫ t

t0

a(t) =

∫ t

t0

x′(s)

x(s)ds

=

∫ x(t)

x(t0)

dx

x= ln

|x(t)||x(t0)|

.

De donde se deduce

x(t) = x0 exp

∫ t

t0

a(s) ds,= x0eA(t) (t ∈ I),

donde A(t) =∫ tt0a(s) ds.






Observese quex(t)e−A(t) = x0.

Derivando respecto de t, se obtiene

e−A(t)x′(t)− a(t)e−A(t)x(t) = 0.

Es decir

(x(t)e−A(t))′ = e−A(t)(x′(t)− a(t)x(t)) = 0.







En este caso sencillo y sin hacer alusion al Teorema deexistencia y unicidad, se pueden obtener de una vez todas lassoluciones, integrando del siguiente modo: La funcion x : I → Res solucion si y solo si para todo t ∈ I,

x′(t)− a(t)x(t) = 0.







Por tanto (e−A(t)x(t)

)′= e−A(t)(x′(t)− a(t)x(t)) = 0.

Del Teorema del valor medio, se obtiene que

e−A(t)x(t) = x(t0), (t ∈ I)

De donde se obtiene x(t) = x(t0)eA(t).







Observese que el conjunto de todas las soluciones de x′ = a(t)xes un subespacio vectorial unidimensional de C1(I).






Ecuaciones lineales. x′ = a(t)x+ b(t)

Para resolver la ecuacion diferencial lineal completa,x′ = a(t)x+ b(t), considerese una solucion x : I → R. Entoncespara todos t0, t ∈ I,

x′(t)− a(t)x(t) = b(t),

(x′(t)− a(t)x(t)) exp(−A(t)) = exp(−A(t))b(t).

Por tanto

(x(t) exp(−A(t)))′ = b(t) exp(−A(t)).







Integrando entre t0 y t y despejando x(t) se obtiene

x(t) exp(−A(t))− x(t0) =

∫ t

t0

b(s) exp(−A(s)) ds.

Despejando x(t), se llega a

x(t) = x(t0) expA(t) + expA(t)

∫ t

t0

b(s) exp(−A(s)) ds







Finalmente, teniendo en cuenta que

exp(A(t)−A(s)) = exp

(∫ t

sa(τ) dτ

),

se obtiene

x(t) = x(t0) exp

(∫ t

t0

a(s) ds

)+

∫ t

t0

b(s) exp

(∫ t

sa(τ) dτ

)ds.

Derivando respecto de t en la formula anterior, se demuestraque x(t) es solucion de la EDL.






La discusion anterior se resume en el siguiente teorema deexistencia y unicidad de soluciones del problema de valor inicial.

Teorema

Sean a, b : I → R funciones continuas en el intervalo I. Sea(t0, x0) ∈ I × R. El problema de valor inicial

x′ = a(t)x+ b(t), x(t0) = x0,

tiene la unica solucion definida en todo el intervalo I,

x(t) = x0 exp

(∫ t

t0

a(s) ds

)+

∫ t

t0

b(s) exp

(∫ t

sa(τ) dτ

)ds.






Cambio de variables

Hay ecuaciones diferenciales que se reducen mediante un“cambio de variable”, a ecuaciones de variables separadas olineales. A continuacion se presentaran algunos ejemplos deresolucion de ecuaciones mediante un cambio de variable.







Tiene la formax′ = a(t)xm + b(t)x, (6)

donde a y b son continuas en el intervalo I y donde m es unentero positivo.

Si m = 0, es una ecuacion diferencial lineal y si m = 1 una devariables separadas. Supongase que m 6= 0, 1 y que hay a losumo una solucion para el problema de valor inicial. Puesto quex(t) ≡ 0 es solucion, cualquier otra solucion es o estrictamentepositiva, o estrictamente negativa en todo su intervalo dedefinicion.







Tiene la formax′ = a(t)xm + b(t)x, (6)

donde a y b son continuas en el intervalo I y donde m es unentero positivo.Si m = 0, es una ecuacion diferencial lineal y si m = 1 una devariables separadas. Supongase que m 6= 0, 1 y que hay a losumo una solucion para el problema de valor inicial. Puesto quex(t) ≡ 0 es solucion, cualquier otra solucion es o estrictamentepositiva, o estrictamente negativa en todo su intervalo dedefinicion.







Se verifica que x(t) es solucion positiva de la ecuacion deBernoulli si y solo si y(t) = x1−m(t) es solucion de la ecuaciondiferencial lineal.

En efecto,

y′ = (1−m)x−mx′,

x′ =xmy′

1−m= axm + bxmy,

de donde sigue1

1−my′ = a+ by.

Se dice que el cambio de variables y = x1−m transformax′ = axm + bx, x > 0 en 1

1−mx′ = a+ bx.







Se verifica que x(t) es solucion positiva de la ecuacion deBernoulli si y solo si y(t) = x1−m(t) es solucion de la ecuaciondiferencial lineal.En efecto,

y′ = (1−m)x−mx′,

x′ =xmy′

1−m= axm + bxmy,

de donde sigue1

1−my′ = a+ by.

Se dice que el cambio de variables y = x1−m transformax′ = axm + bx, x > 0 en 1

1−mx′ = a+ bx.







Si x < 0, el cambio de variables y = −x transforma la ecuacionde Bernoulli en otra del mismo tipo, pero definida para y > 0.

y = −|x|1−m hace la misma funcion.







Si x < 0, el cambio de variables y = −x transforma la ecuacionde Bernoulli en otra del mismo tipo, pero definida para y > 0.y = −|x|1−m hace la misma funcion.







La ecuacion de Bernoulli tambien se puede reducir a dos devariables separadas buscando soluciones de la formax(t) = u(t)v(t) mediante el siguiente procedimiento:

Se buscan soluciones de la forma x = uv. Se verifica que xes solucion de la ecuacion de Bernoulli si y solo si u y vsatisfacen ecuaciones de variables separadas.

En efecto, sea x solucion no nula de la ecuacion deBernoulli, entonces

x′ = u′v + uv′ = aumvm + buv

u′v = u(bv − v′) + aumvm







Se elige v tal que bv − v′ = 0, es decir, v = exp∫b(t) dt.

Finalmente,

u′v = aumvm, ou′

um= avm−1

que es de variables separadas.

Es claro que el proceso es reversible, es decir, si v essolucion de v′ = bv y u de u′v = aumvm, entonces x = uves solucion de la ecuacion de Bernoulli.






La ecuacion de Ricatti

Es de la formax′ = a(t)x2 + b(t)x+ c(t), (7)

donde se supone que a, b, c : I → R son funciones continuas en elintervalo I.






x′ = a(t)x2 + b(t)x+ c(t)

Si a ≡ 0, es lineal y si c ≡ 0 es de Bernoulli con m = 2.

Pero a pesar de estas semejanzas formales, esta ecuaciondiferencial ofrece una diferencia esencial con las anteriores,ya que, en general, sus soluciones no pueden expresarsemediante un numero finito de cuadraturas (integraciones)sobre funciones elementales de sus coeficientes, hecho quefue probado por Liouville.

Sin embargo, si se conoce una solucion x1, el cambio devariables x = x1 + y la reduce a una ecuacion de Bernoulli.






x′ = a(t)x2 + b(t)x+ c(t)

En efecto,

x′ = x′1 + y′ = ax21 + ay2 + 2ax1y + bx1 + by + c

y′ = ay2 + (2ax1 + b)y.






x′ = a(t)x2 + b(t)x+ c(t)

Si se conocen dos soluciones x1, x2, el cambio de variables

u =x− x1x− x2

transforma la ecuacion de Ricatti en u′ + au(x2 − x1) = 0 que eslineal homogenea. Si se conoce una tercera solucion x3, entonces(x3 − x1)/(x3 − x2) es solucion de la ecuacion lineal homogenea.Ası que

x− x1x− x2

= cx3 − x1x3 − x2

,

donde c ∈ R.






x′ = a(t)x2 + b(t)x+ c(t)

En efecto,

u(x− x2) = x− x1, u′(x− x2) + u(x′ − x′2) = x′ − x′1

u′x− u′x2 + uax2 + ubx+ uc− uax22 − ubx2 − uc= ax2 + bx+ c− ax21 − bx1 − c






x′ = a(t)x2 + b(t)x+ c(t)

u′(x− x2) + u(ax2 + bx− ax22 − bx2)= a(x2 − x21) + b(x− x1)

u′(x− x2) + u(a(x2 − x22) + b(x− x2))= a(x2 − x21) + b(x− x1),






x′ = a(t)x2 + b(t)x+ c(t)

u′ + u(a(x+ x2) + b) = a(x+ x1)(x− x1)

x− x2+ b

x− x1x− x2

,

u′ + u(a(x+ x2) + b) = au(x+ x1) + bu,

u′ + ua(x+ x2) = au(x+ x1),

u′ + au(x2 − x1) = 0.






x′ = a(t)x2 + b(t)x+ c(t)

Sea la ecuacion lineal de segundo orden x′′ = a(t)x′ + b(t)x. Conel fin de reducir el orden se efectua el cambio de variablesy = x′/x. Entonces

yx = x′, y′x+ yx′ = x′′, y′ =x′′

x− y2,

x′′

x= a

x′

x+ b,

y′ + y2 = ay + b,

que es una ecuacion de Ricatti.






Ecuaciones homogeneas

Tienen la formax′ = f

(xt

).

Mediante el cambio de variables u = x/t o el cambio a polarest = r cos θ, x = r sen θ, se transforma en una ecuacion devariables separadas.






Ecuaciones definidas implıcitamente

Sea g : A ⊂ R3 → R, donde A tiene interior no vacıo. Unaecuacion diferencial de primer orden en forma implıcita es unaexpresion del tipo

g(t, x, x′) = 0. (8)

Definicion

Se dice que x : I → R, donde I es un intervalo de R es solucionde la ecuacion si para todo t ∈ I,

x es derivable en t,

(t, x(t), x′(t)) ∈ A,

g(t, x(t), x′(t)) = 0.






Integral primera

Definicion

Una integral primera de g(t, x, x′) = 0 en el abierto D′ ⊂ R2 esuna funcion u : D′ → R tal que

u ∈ C1(D′),

(∂u∂t ,∂u∂x) 6= (0, 0) en cada punto de D′.

Si x : I → R es solucion de g(t, x, x′) = 0 tal que(t, x(t)) ∈ D′ para todo t ∈ I, entonces existe c ∈ R tal que

u(t, x(t)) = c, para todo t ∈ I.

De manera que las curvas de nivel u(t, x) = c de la integralprimera contienen a las graficas de las soluciones.






Integral primera

Definicion

Una integral primera de g(t, x, x′) = 0 en el abierto D′ ⊂ R2 esuna funcion u : D′ → R tal que

u ∈ C1(D′),(∂u∂t ,

∂u∂x) 6= (0, 0) en cada punto de D′.

Si x : I → R es solucion de g(t, x, x′) = 0 tal que(t, x(t)) ∈ D′ para todo t ∈ I, entonces existe c ∈ R tal que

u(t, x(t)) = c, para todo t ∈ I.

De manera que las curvas de nivel u(t, x) = c de la integralprimera contienen a las graficas de las soluciones.






Una integral primera de t+ xx′ = 0 en D′ = R2 \ {(0, 0)} esu(t, x) = t2 + x2.

Una integral primera de (t+ xx′)(t2 + x2)1/2 = 0 enD′ = R2 \ {(0, 0)} es u(t, x) = (t2 + x2)1/2.






Integral primera

Una integral primera de la ED x′ = a(t)x+ b(t) se obtiene de lasiguiente manera: Si x(t) es una solucion, entonces

e−A(t)(x′(t)− a(t)x(t)) = b(t)e−A(t),

(x(t)e−A(t))′ = b(t)e−A(t)

x(t)e−A(t) −∫b(t)e−A(t) dt = C.

De modo que una integral primera es

u(t, x) = xe−A(t) −∫b(t)e−A(t) dt.






Integral primera

Tambien es facil comprobar que u(t, x) = H(x)−G(t) es unaintegral primera de la ecuacion x′ = g(t)f(x), donde H(x) esuna primitiva de 1/f(x) y G(t) de g(t).






Ecuaciones exactas

Sea u(t, x) una funcion de clase 1 que describe una superficie enel espacio tridimensional mediante z = u(t, x). Supongase que lafuncion x(t) tiene su grafica sobre la curva de nivel

u(t, x) = c.

Es decir u(t, x(t)) = c.

Derivando respecto de t la ecuacion anterior, se obtiene lasiguiente ED satisfecha por x(t).

∂u

∂t(t, x) +

∂u

∂x(t, x)x′ = 0,

que podemos reescribirla como

M(t, x) +N(t, x)x′ = 0.






Ecuaciones exactas

Sea u(t, x) una funcion de clase 1 que describe una superficie enel espacio tridimensional mediante z = u(t, x). Supongase que lafuncion x(t) tiene su grafica sobre la curva de nivel

u(t, x) = c.

Es decir u(t, x(t)) = c.Derivando respecto de t la ecuacion anterior, se obtiene lasiguiente ED satisfecha por x(t).

∂u

∂t(t, x) +

∂u

∂x(t, x)x′ = 0,

que podemos reescribirla como

M(t, x) +N(t, x)x′ = 0.






Ecuaciones exactas

Notese que u(t, x) es una integral primera de la ecuaciondiferencial, siempre que (ut, ux) 6= (0, 0). A las ecuaciones deltipo anterior las llamaremos exactas. Es decir:

Definicion

Se dice que la ecuacion diferencial M(t, x) +N(t, x)x′ = 0 esexacta en D, si existe u(t, x) de clase 1 en D tal que ut = M yux = N en D.






Ecuaciones exactas

El siguiente resultado caracteriza a las ecuaciones diferencialesexactas.

Teorema (Condicion de exactitud)

Sea la ED M(t, x) +N(t, x)x′ = 0, donde M(t, x) y N(t, x) sonfunciones diferenciables con continuidad en el rectanguloR = [a, b]× [c, d]. Entonces existe una funcion u(t, x) tal que

∂u

∂t= M(t, x) y

∂u

∂x= N(t, x)

si y solo si∂M

∂x=∂N

∂t. (9)






Ecuaciones exactas

Si M(t, x) y N(t, x) no se anulan simultaneamente en ningunpunto de R y la ecuacion diferencial es exacta, entonces lafuncion u(t, x) es una integral primera en R.






Ecuaciones exactas

Sea la ecuacion diferencial exacta ut + uxx′ = 0. Entonces

u(t, x) es una integral primera y las soluciones se puedenobtener despejando x de la ecuacion

u(t, x) = c.






Factores integrantes

Sea la ED M(t, x) +N(t, x)x′ = 0. Se denomina factorintegrante a una funcion µ(t, x) 6= 0 para todo (t, x) dondeesta definida y tal que

µM + µNx′ = 0

es una ED exacta.Es facil comprobar que µ(t, x) = e−

∫a(t) dt es un factor

integrante para la EDL x′ = a(t)x+ b(t).






Factores integrantes

En las hipotesis del Teorema que establece la condicionnecesaria y suficiente de exactitud, la funcion µ(t, x) es unfactor integrante si y solo si

µxM + µMx = (µM)x = (µN)t = µtN + µNt,

donde el subındice t (resp. x) denota derivacion parcial respectode t (resp. x).






Puesto que la mayorıa de las ecuaciones diferenciales no puedenser resueltas en terminos de cuadraturas, es importante sercapaz de comparar soluciones desconocidas de una ecuaciondiferencial con soluciones conocidas de otra. De modo que en elestudio cualitativo de las ecuaciones diferenciales, necesitaremosintegrar desigualdades diferenciales tales como

x′ ≤ f(t, x) o x′ ≥ f(t, x). (10)

Este apartado se dedica a la comparacion de las soluciones delas inecuaciones diferenciales de arriba con las soluciones dex′ = f(t, x).






Definicion

Sea I un intervalo de R. Se dice que la funcion α : I → R essubsolucion de x′ = f(t, x) si para todo t ∈ I, α es derivable ent, (t, α(t)) ∈ D y

α′(t) ≤ f(t, α(t)).

Es decir, α es subsolucion si es solucion de x′ ≤ f(t, x).Cambiando el signo ≤ por ≥ en la definicion de subsolucion seobtiene el concepto de supersolucion.






Una subsolucion α : I → R de x′ = f(t, x) que verificaα′(t) < f(t, α(t)) para todo t ∈ I se dice estricta. Cambiando <por > se define supersolucion estricta.






Teorema

Sea x : I → R solucion de x′ = f(t, x).Si β : I → R es una supersolucion estricta de x′ = f(t, x) yt0 ∈ I, entonces

x(t0) ≤ β(t0) implica x(t) < β(t) para todo t > t0, t ∈ I.

Analogamente, si α : I → R es una subsolucion estricta de (1),entonces

x(t0) ≥ α(t0) implica x(t) > α(t) para todo t > t0, t ∈ I.


Ecuaciones Diferenciales Capítulo 1

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