Ecuaciones diferenciales[Ecuaciones de primer orden] [Ecuaciones de segundo orden] [Operador D]

[Sistemas de ecuaciones] [Teoría de la estabilidad]

Orden de una ecuacion diferencial Orden de la derivada máxima que aparece

La solución general de una ecuación diferencial de orden n posee n constantes arbitrarias

Grado de una ecuación diferencialExponente al que está elevado la derivada de orden máximo

La solución general de una ecuación diferencial de orden n contiene n constantes arbitrarias (y se deberán aplicar n condiciones para obtener una solución particular)

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (y grado 1): 

y´ = f (x, y) siendo y´= dy / dx

Variables separadas y´ = f (x) g (y)

Lo que depende de x se lleva a un miembro y lo que depende de y al otro

Homogéneas y´ = f (y / x)

Cambio u = y / x

Se llega a una ecuación en variables separadas

Reducibles a homogéneas

y´ = f ( (a x + b y + c) / (d x + e y + f) )

Se calcula el punto de intersección entre las rectas:  a x + b y + c = 0 d x + e y + f = 0

Si se cortan en el punto P (xo, yo) 

Cambio:  x = xo + u y = yo + v Se llega a una ecuación homogénea

Si resultan paralelas:  Cambio: z = ax + by (ó z = d x + ey)

Lineales y´ + p (x) y = q (x)

Se multiplica por el factor integrante r (x) tal que

r (x) [ y´ + p (x) y ] = r (x) q (x) = d [ r (x) y ] / dx

Bernoulli y´ = a(x) y + b (x) yp

Mediante el cambio u = y1-p, se obtiene una ecuación lineal

Ricatti y´ = a(x) y + b (x) y2 + c (x)

Cambio: y = y1 + u, donde y1 es una solución particular conocida

ExactasM (x, y) + N (x, y) y´ = 0 Es exacta si se verifica que M (x , y) / y =  (x , y) / x

La solución de la ecuación es F (x, y) = cte, donde F (x, y) es una función tal que F (x , y) / x = M (x, y) F (x , y) / y = N (x, y)

No exactas. Factor integrante

Multiplicamos la ecuación M (x, y) + N (x, y) y´ = 0 por  (x, y) de forma que la ecuación resultante sea diferencial exacta.

 (x)Cuando (M / y -  / x ) / N es función de x  (x) = exp {   [ ( M / y -  / x ) / N ]  dx }

 (y)Cuando ( / x -  / y) / M es función de y  (x) = exp {   [ ( / x -  / y ) / M ]  dy }

 (x . y)Cuando ( / x -  / y ) / (x M - y N) es función de (x . y)  (x . y) = exp {  ( / x -  / y ) / (x M - y N) ]  d (x .y) }

 (x + y)Cuando ( / x -  / y ) / (M - N) es función de (x + y)  (x + y) = exp {  ( / x -  / y ) / (M - N) ]  d (x + y) }

 (xm . yn)

Cuando ( / x -  / y ) / (n xm yn-1 M - m xm-1 yn N) es función de (xm . yn)  (xm . yn) = exp {  ( / x -  / y ) / (n xm yn-1 M - m xm-

1 yn N) ]  d (xm . yn) }

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden de grado mayor que 1Llamamos y´ = p

Ecuaciones resolubles en y

Cuando podemos despejar la y en función de x y de y´.  y = f (x, p)

Se deriva la ecuación respecto de x

Ecuaciones resolubles en x

Cuando podemos despejar la x en función de y y de y´. x = f (y, p)

Se deriva la ecuación respecto de y

Ecuaciones resolubles en p

Cuando tenemos un polinomio de grado n en p.

Ecuación de Lagrange - D´Alembert

y = x f (p) + g (p)

Se deriva la ecuación respecto de x. Resulta una ecuación lineal donde la variable dependiente es la p y x la independiente.

Ecuaciones de Clairaut y = x p + g (p)

Solución general: y = x C + g (C), donde C es una constante. Solución singular: x = - g´(p)

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden

Trayectorias ortogonales

Son las curvas que se intersecan formando un ángulo recto. Si la familia de curvas tiene por ecuación F (x, y', y) = 0, la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales a ella es otra familia de la forma F (x, - 1/ y' , y) = 0

Material radiactivo Un material radiactivo se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente. 

d N / dt = - k N ==> N (t) = No exp (- k t)

Cultivo de bacteriasSi la rapidez de multiplicación es proporcional al número de bacterias presentes en cada instante. d N / dt = k N ==> N (t) = No exp (k t)

Ley de enfriamiento de Newton

La velocidad a la que se enfría una sustancia al aire libre es proporcional a la diferencia de temperaturas de la sustancia y del aire. d T / dt = - k (T - Ta) ==> T (t) = Ta + (To - Ta) exp (- k t) donde To es la temperatura inicial y Ta la temperatura del aire que le rodea.

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden:  

a (x) y´´ + b (x) y´ + c (x) y = r (x)La solución general de la ecuación completa es la suma de la solución general de la ecuación homogénea [ a (x) y´´ + b (x) y´ + c (x) y = 0 ] más una solución particular de la ecuación completa [ a (x) y´´ + b (x) y´ + c (x) y = r (x) ]

y = yh + yp La solución general de la homogénea es la que contiene las constantes arbitrarias.

yh Es una combinación lineal de soluciones linealmente independientes (y1 e y2) de la ecuación homogénea

Dependencia e independencia lineal: el wronsquiano

El wronsquiano es un determinante donde en la primera fila colocamos las funciones y1 e y2 y en la segunda filas sus derivadas y1' e y2'. W (y1, y2) = det [ [y1, y2], [y1', y2'] ] = y1. y2' - y1'. y2 Si las soluciones son linealmente independientes deberá ser distinto de cero.

Solución de la parte homogénea

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden de coeficientes constantes:  

a y´´ + b y´ + c y = 0

Suponemos la solución de la forma: 

y = emx

Llegamos a:  a m2 + b m + c = 0

b2 + 4 a c > 0 Dos soluciones reales distintas (m1 y m2) Solución: y = C1 exp (m1x) + C2 exp (m2x)

b2 + 4 a c = 0 Solución real doble (m) Solución: y = C1 emx + C2 x emx

b2 + 4 a c < 0 Soluciones complejas conjugadas: m =  i Solución: y = ex [ C1 cos ( x) + C2 sen (x) ]

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden de coeficientes variables. Ecuaciones de Euler:  

a x2 y´´ + b x y´ + c y = 0

Suponemos la solución de la forma: 

y = xm

Soluciones reales: m  m´

y = C1 xm + C2 xm´

Solución doble: m y = C1 xm + C2 (ln x) xm

Raíces complejas conjugadas: m =  i y = x [ C1 cos ( ln x) + C2 sen ( ln x) ]

Solución de la parte no homogénea

A ojoPodemos obtener una solución particular de la parte no homogénea sin más que probar a "ojo" soluciones y comprobar si verifican o no la ecuación diferencial.

Método de los coeficientes indeterminados

Depende de la forma que tenga r (x)

Polinomio de grado n: r (x) = Pn (x) 

yp (x) = ao + a1 x + a2 x2 + ... + an xn

r (x) = ex Pn (x) yp (x) =  xs ex [ ao + a1 x + a2 x2 + ... + an xn] donde s es el mínimo entero (desde s = 0) que debe tomar para que no coincida con las soluciones de la homogénea.

r (x) = ex Pn (x) cos (x) 

yp (x) =  xs ex [ (ao + a1 x + a2 x2 + ... + an xn) sen (x) + (bo + b1 x + b2 x2 + ... + bn xn) cos (x) ]

r (x) = ex Pn (x) sen (x) 

yp (x) =  xs ex [ (ao + a1 x + a2 x2 + ... + an xn) sen (x) + (bo + b1 x + b2 x2 + ... + bn xn) cos (x) ]

Método de variación de los parámetros

yp = y1 u + y2 v

donde y1 e y2 son dos soluciones de la homogénea linealmente independientes (La solución general de la parte homogénea es yh (t) = C1 y1 (t) + C2 y2 (t), por el método de variación de los parámetros sustituimos C1 por C1(t) = u, C2 por C2(t) = v, así que suponemos la solución de la forma y (t) = C1 (t) y1 (t) + C2 (t) y2 (t). Podemos calcular los coeficientes C1(t), C2(t), ... sustituyendo en la ecuación original)

u =  [ - r (x) y2 / W (y1, y2) ] dx v =  [ r (x) y1 / W (y1, y2) ] dx

Reducción de orden de una ecuación diferencial de segundo orden homogénea

y'' + p (x) y' + q (x) y = 0

Reducimos el orden de la ecuación anterior mediante el cambio y = y1 u (x) donde y1 es una solución particular que verifica la ecuación.

Operador DSi D representa el operador derivada, D x = x ' = d x / d t , 1 / D se define como el operador inverso de D: (1 / D) f (x) = f (x) d x

1. Exponencial. Una solución particular de la ecuación f (D) y = A eax está dada por yp =

[A / f (a)] eax (si f (a)  0) Si f (a) = 0, tendremos en cuenta que [1 / (D-a)m] eax = [xm  eax ] / m!

2. Polinomio. Una solución particular de la ecuación f (D) y = A xm está dada por yp = [A / an] [1 + g (D)]-1 = [A / an] {1 - g (D) + [g (D)]2 - [g (D)]3 + ... } xn

Algunos desarrollos en serie interesantes: 1 / (1 + x)2 = 1 - 2x + 3x2 - 4x3 + 5x4 - 6x5 + ... 1 / (1 - x)2 = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4 + 6x5 + ... 1 / (1 + x) = 1 - x + x2 - x3 + x4 - x5 + ... 1 / (1 - x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + ...

3. Polinomio por exponencial: [1 / f (D)] f (x) eax = eax  [1 / f (D+a)] f (x)

4. Función trigonométrica: Para buscar una solución particular de la ecuación f (D) y = A cos (a x) ó A sen (a x); si f (D) es un polinomio, hacemos el cambio D2 = - a2 y reducimos f (D) a un operador lineal en D de la forma  D + 

Sistemas de ecuaciones diferencialesConsideremos el sistema lineal de ecuaciones diferenciales no homogéneo: x ' (t) = P (t) x (t) + b (t)., donde x ' (t), x (t) y b (t) son vectores columna y P (t) es una matriz. Si b (t) = 0, el sistema es homogéneo. Si además P (t) = A (matriz de coeficientes constantes) el sistema queda,  x ' (t) = A x (t). Obtenemos los valores i y vectores propios i de la matriz A.

Solución de la parte homogénea: x ' (t) = A x (t)

1. Caso diagonalizable. Si para  = 1 obtenemos el vector propio 1 (vector columna);  para  = 2 obtenemos el vector 2 ... Podemos construir soluciones de la homogénea: x1 (t) = 1 exp (1t) ; x2 (t) = 2 exp (2t) ... la solución la escribimos como combinación lineal: x (t) = C1 x1 (t) + C2 x2 (t) + ...

2. Caso no diagonalizable.  - Supongamos que obtenemos un valor propio (doble) 1al que sólo se asocia un vector propio 1: x1 (t) = 1 exp (1t) una segunda solución la construimos como: x2 (t) = t 1 exp (1t) +  exp (1t) donde podemos obtener  a partir de: (A - 1I) = 1 La solución general la construimos como combinación lineal: x (t) = C1 x1 (t) + C2 x2 (t) + ... - Supongamos que obtenemos un valor propio (triple) 1al que sólo se asocia un vector propio 1: x1 (t) = 1 exp (1t) una segunda solución la construimos como antes: x2 (t) = t 1 exp (1t) +  exp (1t) donde podemos obtener  a partir de: (A - 1I) = 1 y la tercera solución: x3 (t) = (t2 / 2!) 1 exp (1t) + t  exp (1t) +  exp (1t) donde  el mismo que antes y  lo obtenemos a partir de: (A - 1I) =  La solución general la construimos como combinación lineal: x (t) = C1 x1 (t) + C2 x2 (t) + C3 x3 (t) + ...

3. Raíces complejas (conjugadas): Sean  =  +  i;  = a + b i , los valores y vectores propios respectivamente. x (t) = C1 x1 (t) + C2x2 (t)       donde x1 (t) = exp ( t) [a cos ( t) - b sen ( t)] 

     y  x2 (t) = exp ( t) [a sen ( t) + b cos ( t)]Solución de la parte no homogénea: x ' (t) = P (t) x (t) + b (t)

Método de variación de los parámetros: Resolvemos la parte homogénea, obteniendo la solución como: x (t) = C1 x1 (t) + C2 x2 (t) + ..., por el método de variación de los parámetros sustituimos C1 por C1(t), C2 por C2(t), ..., así que suponemos la solución de la forma x (t) = C1 (t) x1 (t) + C2 (t) x2 (t) + ... Podemos calcular los coeficientes C1(t), C2(t), ... sustituyendo en el sistema original: x ' (t) = A x (t) + b (t)

Si P ( t ) = A (diagonalizable). Si en el sistema x ' (t) = A x (t) + b (t) hacemos el cambio x (t) = T y (t) donde T es una matriz regular cuyas columnas son los vectores propios de A, puede transformarse en y ' (t) = D y (t) + T -1b (t) donde D es la matriz diagonal (cuyos elementos son los valores propios, colocados en el mismo orden en que se situaron los vectores propios en la matriz T).

También podemos utilizar el método de los coeficientes indeterminados.

Exponencial de una matriz exp (A t) = eAt = I + A t + A2 t2 / 2! + A3 t3 / 3! + ...

Teoría de la estabilidad

Dado el sistema lineal homogéneo 

d x / d t = a x + b y d y / d t = c x + d y con a d - b c  0

el punto x = 0 e y = 0 se llama punto de reposo del sistema o punto singular.  Calcularemos los valores propios (1 y 2) asociados a la matriz del sistema anterior.

Naturaleza de los puntos

I. 1 2 (reales)

1 < 0, 2 < 0 punto de reposo de estabilidad asintótica => Nodo impropio asintóticamente estable

1 > 0, 2 > 0  punto de reposo inestable => Nodo impropio inestable

1 > 0, 2 < 0  punto de reposo inestable => Punto de ensilladura inestable

II. 1 = 2 (reales)

1 = 2 < 0 punto de reposo de estabilidad asintótica => nodo propio estable

1 = 2 > 0  punto de reposo inestable => nodo propio inestable

II.  =  i (complejas conjugadas)

 0 punto de reposo de estabilidad asintótica => Foco (punto espiral) asintóticamente estable

 0  punto de reposo inestable => Foco (punto espiral) inestable

 0  punto de reposo estable => Punto centro

Otra manera de clasificar los puntos (sin llegar a calcular los valores propios)

A es la matriz de los coeficientes del sistema lineal anterior; tr A = a + d, la traza de la matriz A; det A = a d - b c, el determinante de A

 = (tr A)2 - 4 det A

 > 0

det A > 0. tr A > 0 => Nodo impropio inestable

det A > 0. tr A < 0 => Nodo impropio asintóticamente estable

det A < 0 => Punto de ensilladura inestable

 = 0tr A > 0 => manantial (nodo propio inestable)

tr A < 0 => sumidero (nodo propio asintóticamente estable)

 < 0

tr A = 0 => punto centro (estable)

tr A  0 , tr A > 0 => Foco (punto espiral) inestable

tr A  0 , tr A < 0 => Foco (punto espiral) asintóticamente estable

Estabilidad

Dado el sistema lineal homogéneo anterior

- Si las partes reales de todas las raíces de la ecuación característica del sistema son negativas, el punto de reposo del sistema ( x = y = 0) es asintóticamente estable.

- Si al menos una raíz tiene la parte real positiva, el punto de reposo es inestable.

- Si las raíces son complejas con parte real nula, es estable.

Dado el sistema no lineal de ecuaciones diferenciales: d xi / d t = fi (x1, x2, ...) ( i = 1, 2, ... , n), el punto xi = 0 es un punto de reposo del sistema fi (0, 0, ...) = 0. Desarrollando en serie de potencias y quedándonos con términos lineales:  1. Si las partes reales de todas las raíces de la ecuación característica son negativas, las soluciones nulas son asintóticamente estables. 2. Si la parte real de al menos una raíz es positiva, la solución nula del sistema es inestable. 3. Si las partes reales de todas las raíces de la ecuación característica no son positivas (siendo igual a cero la parte real de al menos una raíz), el estudio de la estabilidad según la primera aproximación es, en general, imposible (influyen términos no lineales).

Sistemas autónomos

x ' = F (x, y) y ' = G (x, y)

Son aquellos que "se gobiernan a sí mismos"; las funciones F y G no dependen de t, sólo de x e y. Los puntos de equilibrio del sistema son las soluciones del sistema F (x, y) = 0 y G (x, y) = 0

Aproximación lineal

x ' = a x + b y y ' = c x + d y donde a =  F / x ; b =  F / y ; c =  G / x ; d =  G / y (sustituidos en los puntos de equilibrio)

Funciones de Bessel

Ecuación de Bessel de orden n  0 x2 y'' + x y' + (2 x2 - n2) y = 0

Solución:  y (x) = C1 Jn (x) + C2 Yn (x)

donde Jn (x) es la función de Bessel de primera clase de orden n Yn (x) es la función de Bessel de segunda clase de orden n (función de Neumann)

Funciones de Legendre

Ecuación diferencial (1 - x2) y'' - 2 x y' + n (n + 1) y = 0

Solución:  y (x) = C1 Pn (x) + C2 Qn (x)

donde 

Pn (x) son los polinomios de Legendre P0 (x) = 1 P1 (x) = x P2 (x) = (3 x2 -1) / 2 P3 (x) = (5 x3 - 3x) / 2, etc. y Qn (x) son las funciones de Legendre de segunda clase

Cálculo variacional

queremos hacer extremal la integral (entre x1 y x2) I [y(x)] =  f (x, y, y´) dx 

Fórmula de Euler - Lagrange f / y - d / dx [ f / y´] = 0

Si f = f (x, y´) f / y´ = cte

Si f = f (x, y) f / y = 0

Si f = f (x, y, y´) f  - y´ [f / y´] = 0

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DIFERENCIALES© Los autores:   Mari Paz Hortelano Gómez   e   Iñaki Carrascal Mozo  ©

Castrillo de Don Juan. Palencia. (España)Correo electrónico: fisicas@yahoo.es

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