Microsoft Word - 2. PRIMER ORDEN TIEMPO.doc

28 . SISTEMAS DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN (I) 2.1 INTRODUCCIN DOMINIO TIEMPO Un sistema lineal de primer orden con una variable de entrada,"x(t)", y una variable salida, "y(t)"se modela matemticamente con una ecuacin que en funcin de parmetros de significado dinmico se escribe en la siguiente forma:

Siendo, una constante de tiempo y K la ganancia en estado estacionario del sistema. Estos dos parmetros se calculan con ecuaciones en funcin de caractersticas fsicas del sistema. La constante de tiempo expresa un atraso dinmico y la ganancia es el cambio ltimo en la variable de salida con respecto al cambio ltimo en la variable de entrada. La ecuacin (2.1) se escribe, usualmente, en trminos de las variables desviacin con respecto a sus valores en el estado inicial, es decir en la forma estndar para anlisis dinmico o de sistemas de control:

Siendo,

La ecuacin (2.2) es diferencial lineal de primer orden cuya solucin se puede hallar mediante un factor integrante que para este caso es igual a . Al multiplicar la ecuacin (2.2) por este factor, resulta fcilmente integrable y evaluando la solucin general obtenida para las condiciones iniciales de las variables de entrada y salida se encuentra la solucin correspondiente. A continuacin se desarrollan las respuestas paso, rampa y seno de un sistema lineal de primer orden 2.2 RESPUESTA PASO DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN Al considerar que en la ecuacin diferencial (2.2), la variable de entrada es perturbada con un cambio paso constante, es decir que x , entonces se puede escribir que:

Al resolver la ecuacin (2.3) se obtiene como solucin la siguiente respuesta para Y(t):

La ecuacin (2.4) se obtiene aplicando el factor integrante a (2.3) y una integracin indefinida da como solucin general

Evaluando la ecuacin (2.5) para la condicin inicial Y(0) = 0, se obtiene que el valor de la constante de integracin es A1 =Kx y, con ello, la solucin dada por (2.4) La Figura 2.1 muestra el perfil grfico correspondiente a la respuesta (2.4). La expresin exponencial permite describir al comportamiento de un sistema de primer orden ante un cambio paso constante en su variable de entrada como una respuesta monotnica estable porque alcanza un valor ltimo constante. A partir de las ecuaciones (2.3) y (2.4) se pueden deducir algunas caractersticas acerca de las propiedades dinmicas de un sistema de primer orden as: Ganancia en estado estacionario, K: Expresa el cambio ltimo en la variable de salida o respuesta del sistema para un determinado cambio paso en la variable de entrada, es decir que (2.6) En su ltimo estado el sistema se ha estabilizado porque su respuesta se mantiene constante, es decir, la derivada de su variable de salida se hace igual a cero. Al considerar esto en la ecuacin (2.3) se deduce la ecuacin (2.6) Figura 2.1 Respuesta Paso de un Sistema de Primer Orden (K = 3; = 1; x = 2) Constante de Tiempo, : Esta constante expresa el tiempo definido por la relacin entre la capacidad que tiene el sistema de transportar a una entidad (masa, energa, cantidad de movimiento, etc) con respecto a la rapidez de cambio o capacitancia de dicha entidad en la respuesta del sistema, es decir que:

Si la ecuacin (2.4) se evala para un tiempo igual a la constante de tiempo, se deduce un significado muy importante sealado sobre la Figura 2.1 y que es el tiempo, en el perodo no estacionario del sistema, en que la respuesta del sistema ha alcanzado el 63.2 % de su respuesta ltima. Se escribe, por lo tanto, que (2.8) Si se evala la ecuacin (2.4) para un tiempo igual a cinco veces la constante de tiempo, se obtiene una respuesta, aproximadamente, igual al 99.2% de la respuesta ltima, lo que para muchas situaciones es considerado como el tiempo transcurrido para alcanzar la estabilidad o el valor ltimo 2.3 RESPUESTA RAMPA DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN Al considerar que en la ecuacin diferencial (2.2), la variable de entrada es perturbada con un cambio rampa, es decir que , entonces se puede escribir que: (2.9) Al resolver la ecuacin (2.9) se obtiene como solucin la siguiente respuesta para Y(t): (2.10)

La ecuacin (2.10) se obtiene aplicando el factor integrante a (2.9) y una integracin indefinida da como solucin general (2.11) Evaluando la ecuacin (2.11) para la condicin inicial, se obtiene que el valor de la constante de integracin es A1 = Kr y, con ello, la solucin dada por (2.10) La Figura 2.2 muestra, grficamente, el perfil de la respuesta rampa de un sistema lineal de primer orden. Se puede observar un comportamiento lineal y paralelo a la rampa de entrada despus de un determinado tiempo, que aproximadamente es cinco veces la constante de tiempo Figura 2.2 Respuesta Rampa de un Sistema de Primer Orden (K = 3, = 3, r = 2) Se resalta en la Figura 2.2 el atraso de la respuesta con respecto a la rampa de entrada y se demuestra con la ecuacin (2.10) que dicho atraso es igual al tiempo correspondiente a la constante de tiempo 2.4 RESPUESTA SENO DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN Al considerar que en la ecuacin diferencial (2.2), la variable de entrada es perturbada con un cambio seno, es decir que , entonces se puede escribir que: (2.12) Al resolver la ecuacin (2.12) se obtiene como solucin la siguiente respuesta para Y(t): (2.13) Siendo, La ecuacin (2.13) se obtiene aplicando el factor integrante a (2.12) y una integracin indefinida da como solucin general (2.14) Evaluando la ecuacin (2.14) para la condicin inicial Y(0) = 0, se obtiene que el valor de la constante de integracin es y, con ello, la solucin dada por (2.13) La Figura 2.3 muestra el perfil grfico de la respuesta seno de un sistema lineal de primer orden. Se observa una corta regin inicial con una ligera inflexin que se explica por la influencia del trmino exponencial en la expresin (2.13) que corresponde a la respuesta del sistema. Cuando este primer trmino exponencial es de un valor despreciable, la respuesta muestra un perfil definidamente sinusoidal que se distingue por las siguientes caractersticas: Su frecuencia es igual a la del seno de entrada Su amplitud es el coeficiente del trmino sinusoidal y es dependiente de la frecuencia del seno de entrada, adems de los otros parmetros incluidos en el mismo, es decir que:

Es atrasada con respecto al seno de entrada, lo que se mide mediante un ngulo fase que tambin es un valor que depende de la frecuencia del seno de entrada Figura 2.3 Respuesta Seno de un Sistema de Primer Cada una de estas caractersticas es importante porque constituyen los fundamentos para analizar la dinmica de un sistema cualquiera en el dominio de la frecuencia que a su vez se utiliza para el diseo de sistemas de control 2.5 MODELAMIENTO DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN Un sistema con una dinmica lineal de primer orden se puede plantear considerando algunas simplificaciones como en el siguiente reactor de mezcla completa donde se desarrolle una reaccin de una cintica de primer orden con respecto al reaccionante A y en la que este se transforma en un producto B, es decir que: Reaccin Qumica:

Ecuacin de velocidad de reaccin: Para el modelamiento se asume que: No hay efectos calricos en el sistema de reaccin La concentracin de A no influye en la densidad del fludo La constante de velocidad de reaccin es constante e igual a La corriente de entrada tiene una concentracin "" y su valor inicial en estado estacionario es de El volumen de la masa reaccionante es constante e igual a 5 litros El flujo de la corriente de entrada es constante e igual a 1 litro / minuto Se requiere del modelamiento matemtico del reactor y su simulacin para cambios pasos, rampa y sinusoidal de la concentracin en A de la corriente de entrada. La Figura 2.4

Figura 2.4 Reactor de Mezcla Completa Modelo matemtico Un balance de materia del componente A en el reactor es: (2.16) dt Un anlisis de la ecuacin (2.16) nos muestra que en el modelo se tienen dos variables, una de salida y otra de entrada, lo que permite simular su solucin para un cambio en la variable de entrada. No se plantea el balance de energa porque las simplificaciones introducidas consideran que no hay efectos calricos. Una transposicin de trminos en la ecuacin (2.16), permite expresarla de tal manera que se deduzcan las expresiones para calcular los parmetros dinmicos del sistema de acuerdo a la ecuacin general de un sistema de primer orden. Al arreglar la ecuacin (2.16) en la forma general de la ecuacin (2.1): (2.17)

Se obtienen las siguientes ecuaciones para calcular la constante de tiempo y la ganancia en estado estacionario del reactor, conociendo sus parmetros fsicos. Constante de tiempo, minutos: (2.18) Ganancia en estado estacionaria, adimensional: (2.19)

La ecuacin (2.17) escrita en su forma estndar para un sistema lineal de primer orden y en trminos de las variables desviacin es: (2.20) dt Condiciones iniciales y parmetros dinmicos Al evaluar la ecuacin (2.17) en su estado estacionario, se obtiene el valor inicial de la concentracin en el reactor que es de . Con las ecuaciones (2.18) y (2.19) se obtienen que el valor de la constante de tiempo es de 2.5 minutos y la ganancia en estado estacionario es de 0.5

Prueba de escritorio.

FINx,y,yr,er h=(b-x0)/n, x= x0, y= y0.Inicio float h ,x,y, x0,y0, b , w, yr,e,erint n , k x0=0,y0=1, b=1, n=10

Codigo

#include #include #include #include

using namespace std;int main(int argc, char *argv[]){ float h ,x,y, x0,y0, b , w, yr,e,er;

int n , k ;

x0=0; // valor inicial de x, ver grafico de la function real y0=1; // valor inicial de y, ver grafico de la function real b=1; // valor final de x, ver grafico de la function real n=10; // cantidad de divisiones entre x=0 y x=1 h=(b-x0)/n ; // calculo del valor de cada division x= x0; y= y0; w=0.2; e=2.71828 ; cout