INDICE

INTRODUCCIN OBJETIVOSAPLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN INGENIERA CIVILSISTEMAS DE RESORTE Y MASA DEFLEXIN DE VIGAS VACIADO DE TANQUESEJERCICIOS DE APLICACIN CONCLUSIONES

I. INTRODUCCIN

Las ecuaciones diferenciales se usan para obtener resultados aproximados en distintos campos, uno de ellos es la Ingeniera Civil y la Fsica (que estn ligadas estrechamente).

En el presente trabajo presentamos un sistema masa resorte, cuya masa estar conformada por una viga unida a dos resortes, en cuyo centro le aplicaremos una masa para que esta viga se deflexione, y el resorte adopte una postura de fuerza de restitucin.

Generalmente, este tipo de sistemas se dan en los sistemas antissmicos (amortiguadores y aisladores de energa), por lo que son muy usados en la construccin de edificios.

II. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN INGENIERIA CIVIL

a) Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguadoLey de Hooke Supongamos que, como en la figura 5.1 (b), una masa m1 est unida a un resorte flexible colgado de un soporte rgido. Cuando se reemplaza m1 con una masa distinta m2, el estiramiento, elongacin o alargamiento del resorte cambiar.

Segn la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitucin, F, opuesta a la direccin del alargamiento y proporcional a la cantidad de alargamiento s. En concreto, F = Ks, donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte. Aunque las masas con distintos pesos estiran un resorte en cantidades distintas, este est caracterizado esencialmente por su nmero k; por ejemplo, si una masa que pesa 10 libras estira i pie un resorte, entonces 10 = k(i) implica que k = 20 lb/ft. Entonces, necesariamente, una masa cuyo peso sea de 8 libras estirar el resorte f de pie.Segunda ley de Newton. Despus de unir una masa M a un resorte, sta lo estira una longitud s y llega a una posicin de equilibrio, en la que su peso, W, est equilibrado por la fuerza de restauracin AZS. Recurdese que el peso se define por W = mg, donde la masa se expresa en slugs, kilogramos o gramos y g = 32 ft/s2, 9.8 m/s2 o 980 cm/s2, respectivamente. Como se aprecia en la figura 5.2 (b), la condicin de equilibrio es mg = ks o mg - ks = 0. Si la masa se desplaza una distancia x respecto de su posicin de equilibrio, la fuerza de restitucin del resorte es k(x + s). Suponiendo que no hay fuerzas de retardo que acten sobre el sistema y que la masa se mueve libre de otras fuerzas externas (movimiento libre), entonces podemos igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta, o resultante, de la fuerza de restitucin y el peso:

Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libreEl concepto del movimiento armnico libre no es realista porque el movimiento que describe la ecuacin (1) supone que no hay fuerzas de retardo que actan sobre la masa en movimiento. A menos que la masa est colgada en un vaco perfecto, cuando menos habr una fuerza de resistencia debida al medio que rodea al objeto. Segn se advierte en la figura 5.6, la masa podra estar suspendida en un medio viscoso o conectada a un dispositivo amortiguadorEcuacin diferencial del movimiento amortiguado libre. En mecnica se considera que las fuerzas de amortiguamiento que actan sobre un cuerpo son proporcionales a alguna potencia de la velocidad instantnea. En particular, supondremos en el resto de la descripcin que esta fuerza est expresada por un mltiplo constante de dx/dt. Cuando no hay otras fuerzas externas aplicadas al sistema, se sigue por la segunda ley de Newton:

(I)

Se dice que el sistema est subamortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento es pequeo en comparacin con la constante del resorte. Ahora las races m1 y m2 son complejas:

Entonces, la solucin general de la ecuacin (l) es:

b) Deflexin de vigas

La ecuacin de la elstica es la ecuacin diferencial que, para una viga de eje recto, permite encontrar la forma concreta de la curva elstica. Concretamente la ecuacin de la elstica es una ecuacin para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su forma recta original a la forma curvada o flectada final. Para una viga de material elstico lineal sometido a pequeas deformaciones la ecuacin diferencial de la elstica viene dada por:

Donde:

Representa la flecha, ordenada (eje y) o desplazamiento vertical, respecto de la posicin sin cargas.La abscisa (eje X) sobre la viga. El momento flector sobre la abscisa . Elsegundo momento de reao momento de inercia de la seccin transversal. Elmdulo de elasticidaddel material.

La ecuacin (1) constituye slo una aproximacin, en la que se ha supuesto que las deformaciones son muy pequeas con respecto a las dimensiones de la viga y, por tanto, se ha aproximado el giro de una seccin de la viga con la derivada primera de la flecha. Para deformaciones mayores se obtiene la ecuacin ms exacta (1'):

La ecuacin de la elstica (1) puede ser reescrita en funcin de la carga distribuidaq(x) sobre la viga:

III. Procedimiento y resultados.

a) Para hallar el coeficiente de restitucin K del resorte en forma experimental:

Se midi la longitud inicial del resorte, la cual es de 11.7 cm 0.117 m, luego se colocaron distintas pesos que elongaron el resorte, como K = F / X, siendo F la fuerza colocada y X la longitud del resorte elongada, se obtuvieron los siguientes resultados:

fuerza (N)Lo resorte (m)Lf resorte (m)X (m)K (N/m)K promedio

29.430.1170.1720.055535.09531.66 N/m

66.220.2430.126525.56

39.540.1910.074534.32

b) Para determinar la ecuacin del movimiento del resorte

Consideramos el coeficiente de amortiguamiento del aire 3 N. s/m, y el coeficiente de restitucin K = 531.66 N/m (valor obtenido experimentalmente). Como es un movimiento amortiguado libre, F(t) = 0. La ecuacin diferencial planteada es:

La ecuacin caracterstica: Como b^2-4ac = -14983.81r1 = -0.213 + 122.41 i , r2 = -0.213 122.41 i

= arc tan (b/a)

C) Para la viga:

Fy = 02 F = 69.163 F = 34.58 N

Tramo A B (0 X 0.51)

M + 2.9 X (X/2) = 34.58 XM = 34.58 X 1.45 X2E . I . y = 34.58 x 1.45 x2

E . I . y = 17.29 x2 0. 48 x3 + C1

E. I. y = 5.76 x3 - 0.12x4 + C1 x + C2 Como y (0.51) = 0 = 17.29 (0.51)2 0. 48 (0.51)3 + C1Ensconces C1 = -4.43Como y (0) = 0 C2 = 0 E. I. y = 5.76 x3 - 0.12x4 -4.43 x FLECHA MAXIMA:

VACIADO DE TANQUESEl vaciado de tanques y recipientes es un proceso en rgimen no estacionario dado que tenemos una salida de masa del sistema a una velocidad variable que depender del nivel de lquido en el mismo. Al no haber ingreso de masas al tanque, esta descarga provocar un cambio en el contenido inicial del equipo, de modo que podemos plantear el balance general de masas y energa del sistema de la siguienteforma:

Esta ecuacin es conocida en hidrodinmica, la ley de Torricelli el cual establece que la velocidad v de el flujo (o salida) del agua a travs de un agujero de bordes agudos en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una altura (o profundidad) h es igual a la velocidad de un objeto (en este caso una gota de agua), que cae libremente desde una altura h; esto es,

Donde g es la aceleracin de la gravedad. Esta ltima expresin se origina al igualar la energa cintica, (mv2), con la energa potencial, mgh, despejando v.

Modelo Matemtico Del Vaciado De Tanques

Se considera un recipiente lleno de agua hasta una altura h, donde A es el rea de la seccin transversal constante, y a es el rea de un orificio de seccin transversal por el que fluye el agua, el cual est ubicado en la base del tanque.Sea h la altura del agua en el tanque en un tiempo t (nivel 1) y h + Ah la altura en un tiempo t + At (nivel 2). Se desea establecer la altura del lquido en el tanque en cualquier instante t y el tiempo que este demora en vaciarse.

La cantidad de agua que se pierde cuando el nivel baja de 1 a 2 es igual a la cantidad de agua que se escapa por el orificio. Sea h(t) la altura del liquido en el tanque en cualquier instante t y V(t) el volumen del agua del tanque en ese instante. La velocidad v del agua a travs del orificio es

Donde g es la gravedad. La ecuacin anterior representa la velocidad que una gota de agua adquirir al caer libremente desde la superficie del agua hasta el agujero. En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contraccin que sufre un chorro de agua en un orificio, por lo que se obtendr

Donde c es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1. En algunos problemas, cuando el coeficiente de descarga no se indica, se asume que c=1.Segn el Teorema de Torricelli, la razn con la que el agua sale pro el agujero (variacin dl volumen de liquido en el tanque respecto al tiempo) se puede expresar como el rea del orificio de salida por la velocidad v del agua. Esto es

Sustituyendo en la ecuacin Si A(h) denota el rea de la seccin transversal horizontal del tanque a la altura h, aplicando el mtodo del volumen por secciones transversales se obtiene

Derivando respecto a t y aplicando el teorema fundamental del clculo

Comparando las ecuaciones

Esta es una ecuacin diferencial de variables separables, la cual al resolver sujeta a la condicin de conocer la altura inicial h0 para el tiempo t=0, permite obtener la variacin de la altura del liquido en el tanque en funcin del tiempo.

Las medidas o dimensiones de los tanques se pueden expresar de la siguiente forma:

ElementoNotacinUnidades

Alturah(t)cmmtpies

VolumenB(t)Cm3Mt3Pies3

Tiempotsegsegseg

Gravedadg981cm/seg29,81mt/ seg232pies/ seg2

rea del orificio de salidaaCm2Cm2Pies2

rea de la seccin transversalA(h)Cm2Cm2Pies2

Coeficiente de descargacSin Unidades

La constante C depende de la forma del orificio:

Si el orificio es de forma rectangular, la constante C = 0,8.Si el orificio es de forma triangular, la constante 0,65 C 0,75.Si el orificio es de forma circular, la constante C = 0,6.Y en algunos casos viene especificada.Algunos Tipos De Tanques

Caso 1: Cilindro circular de altura h0 y radio R, dispuesto en forma vertical y con un orificio circular de dimetro d.

y separando variables, Integrando

Con las condiciones iniciales t=0 y h= h0, se halla la constante C, as:

Entonces de la ecuacin se despeja el tiempo

Esto es el tiempo que demora en vaciarse el tanque cilndrico vertical. Caso 2: El mismo cilindro pero dispuesto horizontalmente y con el orificio en el fondo.

Entonces

Reemplazando en (*)

Con las condiciones iniciales, t0=0 y h=2r, se halla la constante de integracin. El tiempo de vaciado tv se produce cuando h=0 Caso 3: Un cono circular recto de altura h0 y radio R dispuesto verticalmente con orificio circular en el fondo de dimetro d.

Por semejanza de tringulos se conoce que

Condiciones iniciales cuando t=0 y h= h0, el tiempo de vaciado tv se produce cuando h=0Tiempo De Descarga En Tanques Y Recipientes

El diseo de tanque ms difundido es sin dudas, el tanque cilndrico de eje vertical con fondo plano. Considerando este y otros diseos, ya detallados, como base se puede calcular el tiempo de descarga de los mismos, que se pueden obtener simplemente utilizando la ecuacin diferencial, hallada anteriormente, claro, teniendo en cuentas las condiciones iniciales que se dan encada caso.

Influencia De La Geometra Del Recipiente

Muchos problemas fsicos dependen de alguna manera de la geometra. Uno de ellos es la salida de lquido de un tanque a travs de un orificio situado al fondo del mismo. La forma geomtrica del recipiente determina el comportamiento fsico delagua.Amedida queseproduce ladescarga dellquido ysegn laforma geomtricadeltanque,pueden presentarse dos situaciones:1. Que el reatransversal del recipiente sea constante en toda su altura, o2. Que el reatransversal vare en distintos niveles.En efecto, el planteo e integracin de las ecuaciones anteriores se simplifica dado que en el caso analizado la seccin transversal del tanque cilndrico se mantiene constante en toda su altura. Si el rea transversal vara, el tema es ms complicado y para obtener los tiempos de descarga se tiene que conocer la funcin que relaciona el rea con la altura delquido, esto es, encontrar la relacin: Esta cuestin es importante dado que es otro delos casos frecuentes que se presentan en laprctica industrial en los tanques y recipientes tales como Recipientes esfricos Recipientes cilndricos horizontales de: Cabezales Semielpticos. Cabezales Semiesfricos. Cabezales Toriesfricos. Cabezales Planos. Recipientes cilndricos verticales de: Fondo Semielptico. Fondo Semiesfrico. Fondo Toriesfrico.La siguiente imagen muestra el tiempo de descarga de los recipientes segn su forma geomtrica.

EJERCICIOS RESUELTOS

Un cilindro recto circular de 10 pies de radio y 20 pies de altura, est lleno con agua. Tiene un pequeo orificio en el fondo de 1 pulgada de dimetro, Cundo se vaciara el tanque?

Primero se debe convertir la unidad de rea del orificio a pies, el dimetro de este es de 1 pulgada, por lo tanto su radio es de pulgada; 1 pulgada es igual a 1/12 pies. Dado que el orificio es una circunferencia, su rea es igual a ((radio)2), entonces el rea del orificio de salida es:

As mismo, el rea de la seccin transversal, A(h)= (10)2= 100 2El coeficiente de descarga no est dado, por lo tanto se asume que c= 1, la gravedad g= 32pies/ seg2Sustituyendo todos los valores en la ecuacin asociada a los problemas de vaciado de tanque, se obtiene:* (1/ )

Esta ecuacin debe resolverse sujeta a la condicin que para t=0, h0=20pies.

*Luego se integra

y Se sustituyen los resultados en la ecuacin

Para hallar el valor de la constante de integracin, se sustituyen los valores iniciales del problema.*

Para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque, se debe sustituir h=0 en la anterior ecuacin

As, el tanque logra vaciarse en un tiempo de 64398.75 segundos, es decir, 17horas 53 min 19seg.

Un tanque tiene la forma de un cubo de 12 pies de arista. Debido a un pequeo orificio situado en el tanque, de 2 pulgadas cuadradas de rea, presenta un escape. Si el tanque esta inicialmente lleno hasta las tres cuartas partes de su capacidad, determine:a) Cundo estar a la mitad de su capacidad?b) Cundo estar vacio?

Como las dimensiones del tanque estn dadas en pie, y puesto que 1 pulg=1/12 pies, entonces haciendo la conversin, el rea del orificio de salida ser

El coeficiente de descarga es c=1 y la gravedad es g=32pies/seg2.

Como puede observarse en la figura las secciones transversales del tanque van a ser cuadrados de lados constantes iguales a 12pies, independientemente de la altura a la cual se efecta el corte, por lo tanto, el rea de la seccin transversal ser A(h)=144pies2 Ya que las secciones transversales son de rea constante y puesto que el tanque est inicialmente lleno de su capacidad, resulta que la altura inicial ser h=3/4 de la altura total. As, como la altura inicial del tanque es h1= 12pies, entonces la altura inicial h0= ht = 9piesSustituyendo estos valores en la ecuacin inicial se obtiene

Se simplifica, y se obtiene

La anterior es una ecuacin diferencial de variables separables, para separar las variables se multiplica la ecuacin por el factor

Y se obtiene

Luego se integra toda la ecuacin

Ambas integrales son inmediatas y Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin se obtiene

Para determinar el valor de la constante de integracin se reemplaza la condicin inicial h= 9pies y t=0 resultando C= -7776, este valor se sustituye en la ecuacin

Multiplicando por

Y elevando al cuadrado

La anterior, es la ecuacin que define la altura del lquido en el tanque en cualquier instante t.Se requiere determinar el tiempo para el cual el volumen del liquido del tanque es igual a la mitad de su capacidad, es decir, cuando h=6pies, este valor se sustituye en la ecuacin,

Elevando a la

Multiplicando por -1

Sumando 3 y multiplicando por 2592

As se conoce que debe transcurrir un tiempo t=1425,6seg es decir 23 min 45 seg.

Un tanque en forma de cono circular recto, de altura H radio R y vrtice por debajo de la base, est totalmente lleno con agua. Determine el tiempo de vaciado total, si H=12pies, R=5pies, a= 1pulg2 y C= 0,6.

Como las dimensiones del tanque estn dadas en pie, y puesto que 1 pulg=1/12 pies, entonces haciendo la conversin, el rea del orificio de salida ser

El coeficiente de descarga es c= 0,6 y la gravedad es g=32pies/seg2.

Segn puede observarse en la figura, las secciones transversales son circunferencias cuyo radio vara dependiendo de la altura a la cual se efecte la seccin transversal. El rea de la seccin transversal es variable y est dada por

Para expresar r en funcin de h se debe visualizar el tanque no como un solido sino como una figura plana, as:

Si se ubican los ejes coordenados de talforma que el vrtice del cono coincida con elorigen del sistema de coordenadas, entonces se tiene una figura simtrica respecto del eje y,tal y como se muestra

Por simetra, ser suficiente trabajar con uno de los tringulos. Por semejanza de tringulos se tiene entonces la siguiente relacin de proporcin:

Y sustituyendo en la ecuacin:

Sustituyendo todos los valores en la ecuacin inicial:

integrando

Para determinar el valor de la constante de integracin se sustituyen los valores de la condicin inicial en la ecuacin

La anterior ecuacin es la razn de variacin de la altura del liquido en el tanque en cualquier instante t. el tiempo total de vaciado se obtiene cuando la altura es h=0

Se conoce entonces que el tanque se vaca completamente en 3264.83seg, es decir, 54min 25seg.

Una taza hemisfrica de radio R est llena de agua. Si hay un pequeo orificio de radio r en el fondo de la superficie convexa, determine el tiempo de vaciado.

Como el radio de la taza hemisfrica es R y el tanque se encuentra lleno entonces la altura inicial de lquido en el tanque es R, es decir, h(0) = R. El orificio de salida tiene radio r, por lo tanto, el rea del orificio de salida es

Sea C el coeficiente de descarga y g la gravedad. Las secciones transversales del tanque hemisfrico, son circunferencias de radio variable, segn la altura donde se realice la seccin transversal. Sea x el radio variable de la seccin transversal. Por ser circunferencia, el rea es:

Se debe establecer una relacin entre el radio x y la altura h, de tal forma que el rea de la seccin transversal quede expresada en funcin de la altura h. Observando el tanque de frente comouna figura plana yubicndolo en un sistema decoordenadas cartesianas rectangulares. Puesto que la figura resultante es simtrica respecto del eje y, ser suficiente trabajar con la mitadde la figura.

El tringulo que se forma, tiene como base el radio=x, altura=(R-h) e hipotenusa= R

Aplicando el teorema de Pitgoras a este tringulo se obtiene,

Sustituyendo este valor en la ecuacin del rea, obtenemos:

Ahora se sustituyen A(h) y a en la ecuacin inicial:

Separando variables,

A partir de la ecuacin anterior y sabiendo que para el tiempo t=0 la altura es h=R, se debe determinar el tiempo de vaciado, esto es el tiempo para el cual la altura del liquido en el tanque es cero.

Se plantea as el problema de valor en la frontera:

Integrando desde t=0 a t=tv y h=R a h=0

Un tanque de agua tiene la forma que se obtiene al hacer girar la curva y= x4/3 alrededor del eje y. Siendo las 11:27 de la maana se retira un tapn que est en el fondo y en ese momento la profundidad del agua en el tanque es 12 pies. Una hora ms tarde la profundidad del agua ha descendido a la mitad. Determine:a) A qu hora estar vaco eltanque?b) A qu hora quedara en eltanque 25% del volumen de lquido inicial?

La curva y= x4/3 que se hace girar alrededor del eje y para generar el tanque tiene su vrtice en el origen. Cuando la variable y toma el valor de la mxima profundidad de lquido en el tanque, esto es, y = 12, la variable x que representa el radio de giro toma el valor x =(12)3/4= 6,45.

El coeficiente de descarga es c = 1 y la gravedad es g = 32 pies/seg2. El rea a del orificio de salida debe determinarse. Las secciones transversales son circunferencias de radio variable r. Por lo tanto, el rea de las secciones transversales es:

El radio r debe expresarse en funcin de la altura h. Para ello debe observarse el tanque como una figura plana, vista desde el frente.

El punto P(r, h) pertenece a la curva y=x4/3; esto quiere decir que las coordenadas del punto P satisfacen laecuacin de la curva. Sustituyendo x= r, y = h

Y entonces,

Una vez que el rea de la seccin transversal del tanque ha quedado expresada en funcin de la altura, se sustituyen A(h), c y gen la ecuacin inicial,

La ecuacin anterior es la ecuacin diferencial asociada al problema de vaciado planteado y debe resolverse sujeta a dos condiciones: la primera condicin es que para el tiempo t = 0 seg, la altura es h = 12 pies; la segunda condicin es que luego de una de iniciado el proceso de vaciado, es decir, para t = 3600 seg, la altura de lquido en el tanque ha descendido a la mitad, esto es, h = 6pies.Por lo tanto, lo que debe resolversees el problema de valor de frontera

Integramos definidamente

Este valor que se obtuvo para a se sustituye en laecuacin;

Se pide determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque, es decir, el tiempo para el cual la altura de lquido en el tanque se hace cero. Para ello se debe resolver el problema de valor en la frontera

Integramos definidamente

De aqu se sabe que el tanque tarda en vaciarse t= 4800seg, lo que equivale a 1 hora y 20min. Si el proceso de vaciado se inicio a las 11:27am, entonces el tanque estar vacio a las 12:47pm.

Ahora bien, para saber a qu hora queda en el tanque el 25% de su capacidad, se debe comenzar por establecer cul es la altura de lquido en el tanque cuando resta el 25% desu capacidad. Como se conoce la altura inicial de lquido en el tanque, el volumen total se determina por el mtodo del volumen por secciones transversales

As el 25% de volumen es

Conocido el volumen cuando resta el 25% de liquido en el tanque, utilizando el mismo mtodo por secciones transversales, se podr determinar cul es la altura de liquido en el tanque en este caso.

Sustituyendo A(h) y v=25%

Resolviendo la integral definida

Sustituyendo el resultado en la integral de la funcin anterior

Multiplicando por

Elevando a 2/5

Una vez conseguida la altura de liquido en el tanque cuando queda el 25% de volumen total, se procede a buscar el tiempo que demora en llegar a esta altura. Para ello debe resolverse el problema de valor en la frontera

La ecuacin se integra de forma definida; el tiempo varia entre t=0seg y t= t25% la altura vara entre h= 12pies y h=

Sustituyendo los resultados:

Se sabe entonces que el tanque tarda 3216,66seg en vaciarse hasta el 25% de su capacidad inicial, lo que equivale a 53 min y 36seg; si el proceso de vaciado comenz a las 11:27am entonces el tanque tendr el 25% de su capacidad a las 12:20:36pm.

El tanque que se muestra en la figura est totalmente lleno de lquido. Se inicia el proceso de vaciado, por una perforacin circular de rea 1 cm2 ubicada en la base inferior del depsito. Si se ha establecido el coeficiente de descarga C = 0,447 y lagravedad es g = 10 m/seg2. Determine:a) Tiempo que debe transcurrir para que quede en el tanque un contenido equivalente al 18,75%de su capacidad.b) Tiempo de vaciado total del tanque.

El rea del orificio de salida es a = 1 cm2, pero como las dimensiones del tanque estn en metros debe efectuarse la conversin. Puesto que 1 cm = 0,01 m= 10-2m entonces a = 1 cm2 = (10-2m)2= (10-4m)2.En el enunciado del problema dan el coeficiente de descarga C = 447.10-3 y la gravedad g =10m/seg2.

Segn puede observarse en la figura, las secciones transversales son rectngulos, dos de los lados paralelos de longitud constante e igual a 8 y los otros dos lados de longitud variable r. El rea de la seccin transversal es entonces A(h)= 8r.

Debe expresarse la longitud r en funcin de la altura h. Para ello si se observa el tanque de frente, como una figura en un plana, ubicada en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, sever como lo muestra la siguiente figura:

Obsrvese que el punto P(r, h) pertenece a la recta que pasa por los puntos (1, 0) y (2, 4). La pendiente la recta es

La ecuacin de la recta que pasa por elpunto (1, 0) (o(2, 4)) y tiene pendiente 4 es:

Ya que elpunto P (r, h)pertenece a la recta L, entonces satisface laecuacin de dicha recta, por lo tanto sustituyendo x = r , y =h

Despejando r

Sustituyendo en la ecuacin, se tiene el rea dela seccin transversal en funcin de la alturah

Y se sustituyen los valores en la ecuacin principal

Simplificando

La ecuacin anterior, es una ecuacin diferencial de variables separables y debe resolverse sujeta a la condicin de que la altura inicial de lquido en el tanque es 4 m, es decir, h(0) = 4. Para separar las variables se debe multiplicar la ecuacin por el factor

Integrando

Ambas integrales son inmediatas

Sustituyendo los resultados de las ecuaciones

Para determinar el valor de la constante de integracin se usa la condicin inicial h(0)= 4 y t= 0

Este valor obtenido se sustituye en la ecuacin

Despejando t La anterior ecuacin representa la relacin entre la altura el tiempo.Ya que se debe determinar el tiempo que debe transcurrir para que en el tanque quede solo el 18,75% del volumen total de lquido, para usar la ecuacin ser necesario conocer la altura de liquido en el tanque, cuando en este queda el 18,75% del volumen total.Se comienza por determinar el volumen total de lquido en el tanque. Como el tanque se encuentra lleno, la altura total del liquido en el tanque coincide con la altura inicial.

As el volumen total del liquido en el tanque es 48m3, as calculamos el 18.75% del volumen

Usando la misma ecuacin se puede determinar la altura de liquido en el tanque

Sustituyendo los datos

Se tiene entonces una ecuacin de segundo grado

De aqu resulta h= -9 y h= 1Ya que h debe serpositivo, pues representa una altura, el valor h =9 se descarta, por lo tanto, la altura de lquido en el tanque cuando el volumen es de 18,75% del volumen total es h = 1m. Luego, para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque hasta 18,75% del volumen total, ser suficiente con sustituir h = 1m en laecuacin

As el tanque se demora en vaciarse 126727,1934seg, es decir, 32 horas 12min 7seg.Ahora bien para determinar el tiempo de vaciado total del tanque, es decir, cuando la altura del liquido en el tanque es cero, se sustituye h=0 en la ecuacin

As que el tanque demora en vaciarse totalmente 213435,273seg, es decir, 59horas 17min 15seg.

El tanque que se muestra en la figura se encuentra lleno en un 100%. El lquido escapa por un orificio de 5cm2 de rea situado en el fondo del tanque. Determine:a) El tiempo de vaciado total.b) Tiempo para que el volumen total de liquido descienda 5mt.

El coeficiente de descarga es C=1 y la gravedad es g= 9,81m/seg2.El rea del orificio de salida est dada en cm2, pero como las dimensiones del tanque estn dadas en mt, debe realizarse la conversin a una sola unidad.As, a=5cm2 = 5x10-4mt2.

Segn se muestra en la figura, las secciones transversales del tanque son rectngulos, cuyos lados varan en funcin de la altura a la cual se efecte la seccin transversal, sean L y M las longitudes de los lados. Entonces el rea de seccin transversal es A(h)= LM.

Se deben expresar ambos lados en funcin de la altura.Si se observa el tanque por una de sus caras y se considera una figura plana ubicndola en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, se obtiene lo que se ve en la siguiente figura.

Como puede observarse la figura es simtrica respecto al eje y, por lo tanto, a fin de establecer relacin entre L y h se trabaja con la mitad de trapecio que se forma como se muestra a continuacin

Se puede obtener la relacin entre L y h, a travs de la recta que pasa por los puntos (3/2, 0) y (4,12), recta a la cual pertenece el punto (L/2, h). sin embargo, se mostrara otro procedimiento, el cual nos conduce a la misma relacin.Observando la figura como un rectngulo y un triangulo. As;

Ahora debe visualizarse el tanque respecto de una de las dos caras no paralelas a la anterior. La figura plana que se observa, variacin en las dimensiones de las aristas del trapecio antes mostrado, as

Como puede observarse, esta figura es simtrica respecto al eje y, por lo tanto, a fin de establecer la relacin entre My h se trabaja con la mitad del trapecio que se forma

Se puede obtener la relacin entre my h, a travs de la recta que pasa por los puntos (3/2,0) y (4,12), recta a la cual pertenece el punto (L/2,h).

Las ecuaciones que se han planteado se sustituyen en la ecuacin A(h)= LM, as sabemos que el rea de las secciones transversales en funcin de la altura es

Ahora sustituyendo todos los valores en la ecuacin principal

La anterior es la ecuacin, es la ecuacin diferencial asociada el problema y debe resolverse sujeta a la condicin h(0)= 12.Esta es una ecuacin de variables separables. Para separar las variables se debe multiplicar r el factor Resultando

efectuando las operaciones

A partir de esta ecuacin, debe determinarse el tiempo de vaciado del tanque, es decir, el tiempo para el cual la altura de liquido en el tanque es cero. Para ello se debe integrar de forma definida la anterior ecuacin; el tiempo varia de t=0seg a t= tv; la altura varia de h= 12m a h= 0m

Resolviendo las integrales

Sustituyendo los valores

As, el tanque tarde en vaciarse completamente 41709,9673seg, es decir, 11horas 35min 10seg.Ahora debe determinarse el tiempo que demora en descender 5m la cantidad de liquido del tanque con respecto a la altura inicial, es decir, cuando la altura del liquido en el tanque es igual a 7m. para ello, se integra la ecuacin en forma definida; el tiempo vatia entre t= 0seg y t= t1; la altura varias de h= 12m a h=7m.

Sustituyendo los resultados de las integrales.

As el lquido en el tanque tarda en descender 18315,3400seg, es decir, horas min 15seg.

IV. CONCLUSIONES

Se obtuvo las ecuacin del movimiento del resorte

Se obtuvo las ecuacin de la curva elstica de la viga, y la flecha mxima

Se obtuvo el valor del K del resorte experimentalmente.

Teniendo en cuenta la ley de Hooke y sus respectivas ecuaciones se puede determinar valores como constantes, fuerzas, peso y as remplazarlas en las ecuaciones diferenciales de tal forma que podamos hallar y para darle una solucin principal a la ecuacin diferencial.

Sabiendo los valores respectivos con los cuales podemos hallar la ecuacin diferencial podemos darle solucin a siendo el valor final que nos piden en cada ejercicio determinado por la ecuacin principal.