ECUACIONES DIFERENCIALESLas ecuaciones diferenciales aparecen a partir de las familias de curvas geomtricas y del intento de describir en trminos matemticos, problemas fsicos en ciencias e ingeniera.Unaecuacin diferenciales unaecuacinen la que intervienenderivadasde una o ms funciones desconocidas. Dependiendo del nmero de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:1. Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.1. Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o ms variables.Orden de una ecuacin diferencialEl orden de la derivada ms alta en una ecuacin diferencial se denominaorden de la ecuacin.Grado de una ecuacin diferencialEs la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuacin, siempre y cuando la ecuacin est en formapolinmica, de no ser as se considera que no tiene grado.

Solucin de una Ecuacin DeferencialUna solucin de una ecuacin diferencial es una funcin que al reemplazar a la funcin incgnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuacin, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:1. Solucin general: una solucin de tipo genrico, expresada con una o ms constantes. La solucin general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuacin sea lineal, la solucin general se logra como combinacin lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuacin) de la ecuacin homognea (que resulta de hacer el trmino no dependiente deni de sus derivadas igual a 0) ms una solucin particular de la ecuacin completa.1. Solucin particular: Si fijando cualquier puntopor donde debe pasar necesariamente la solucin de la ecuacin diferencial, existe un nico valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuacin, ste recibir el nombre de solucin particular de la ecuacin en el punto, que recibe el nombre de condicin inicial. Es un caso particular de la solucin general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor especfico.1. Solucin singular: una funcin que verifica la ecuacin, pero que no se obtiene particularizando la solucin general.

TEOREMA DE TORRICELLIEl teorema de Torricelli es una aplicacin del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un lquido contenido en un recipiente, a travs de un pequeo orificio, bajo la accin de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un lquido por un orificio. "La velocidad de un lquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendra un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vaco desde el nivel del lquido hasta el centro de gravedad del orificio":

Donde:

Vt es la velocidad terica del lquido a la salida del orificio.V0 es la velocidad de aproximacin.h es la distancia desde la superficie del lquido al centro del orificio.g es la aceleracin de la gravedad.

Para velocidades de aproximacin bajas, la mayora de los casos, la expresin anterior se transforma en:

Donde:

Vr es la velocidad real media del lquido a la salida del orificio.Cv es el coeficiente de velocidad.

Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de un orificio de pared delgada, es un poco menor que la ideal, debido a la viscosidad del fluido y otros factores tales como la tensin superficial, de ah el significado de este coeficiente de velocidad.

VACIADO DE TANQUESEl vaciado de tanques y recipientes es un proceso en rgimen no estacionario dado que tenemos una salida de masa del sistema a una velocidad variable que depender del nivel de lquido en el mismo. Al no haber ingreso de masas al tanque, esta descarga provocar un cambio en el contenido inicial del equipo, de modo que podemos plantear el balance general de masas y energa del sistema de la siguienteforma:

Esta ecuacin es conocida en hidrodinmica, la ley de Torricelli el cual establece que la velocidad v de el flujo (o salida) del agua a travs de un agujero de bordes agudos en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una altura (o profundidad) h es igual a la velocidad de un objeto (en este caso una gota de agua), que cae libremente desde una altura h; esto es,

Donde g es la aceleracin de la gravedad. Esta ltima expresin se origina al igualar la energa cintica, (mv2), con la energa potencial, mgh, despejando v.

Modelo Matemtico Del Vaciado De Tanques

Se considera un recipiente lleno de agua hasta una altura h, donde A es el rea de la seccin transversal constante, y a es el rea de un orificio de seccin transversal por el que fluye el agua, el cual est ubicado en la base del tanque.Sea h la altura del agua en el tanque en un tiempo t (nivel 1) y h + Ah la altura en un tiempo t + At (nivel 2). Se desea establecer la altura del lquido en el tanque en cualquier instante t y el tiempo que este demora en vaciarse.

La cantidad de agua que se pierde cuando el nivel baja de 1 a 2 es igual a la cantidad de agua que se escapa por el orificio. Sea h(t) la altura del liquido en el tanque en cualquier instante t y V(t) el volumen del agua del tanque en ese instante. La velocidad v del agua a travs del orificio es

Donde g es la gravedad. La ecuacin anterior representa la velocidad que una gota de agua adquirir al caer libremente desde la superficie del agua hasta el agujero. En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contraccin que sufre un chorro de agua en un orificio, por lo que se obtendr

Donde c es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1. En algunos problemas, cuando el coeficiente de descarga no se indica, se asume que c=1.Segn el Teorema de Torricelli, la razn con la que el agua sale pro el agujero (variacin dl volumen de liquido en el tanque respecto al tiempo) se puede expresar como el rea del orificio de salida por la velocidad v del agua. Esto es

Sustituyendo en la ecuacin Si A(h) denota el rea de la seccin transversal horizontal del tanque a la altura h, aplicando el mtodo del volumen por secciones transversales se obtiene

Derivando respecto a t y aplicando el teorema fundamental del clculo

Comparando las ecuaciones

Esta es una ecuacin diferencial de variables separables, la cual al resolver sujeta a la condicin de conocer la altura inicial h0 para el tiempo t=0, permite obtener la variacin de la altura del liquido en el tanque en funcin del tiempo.