Ecuaciones diferenciales
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ECUACIONES DIFERENCIALES
TECNOLOGÍAS DE LA PRODUCCIÓN
ALUMNA: ANAHÍ GERALDINE DAZA ZAMORA
MATEMÁTICAS APLICADAS
PROFESOR: LIC. EDGAR MATA
7° “A”
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Ecuaciones Diferenciales
Conceptos Básicos:
Es una expresión que involucra a una función desconocida y sus derivadas por ejemplo:
Y + y´ = 0
Clasificación de las ecuaciones Diferenciales:
Ecuación Diferencial Ordinaria.
Ecuación Diferencial Parcial.
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Orden de una Ecuación Diferencial
El orden de la derivada máximo que aparece en la ecuación:
• Y´ significa derivada de Y.
• Y¨ significa segunda derivada.
Solución de una ecuación diferencial:
La solución de una ecuación diferencial en una función desconocida “y” y la variable independiente “x” definida en un intervalo y es una función y que satisface la ecuación diferencial para todos los valores de x en el intervalo dado.
Y¨+ 4y = 0
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Ejemplo
Tenemos la ecuación Y= sen2x + cos2x y queremos comprobar si la solución de la misma es: Y¨+ 4y = 0
Y= sen2x + cos2x
Y´ = 2cos2x – 2sen2x
Y¨= 2 (-sen2x)(2) – 2 (cos2x)(2)
Y¨= - 4sen2x – 4cos2x
Comprobación y¨+4y = 0
4sen2x – 4cos2x+ 4 (sen2x+cos2x) = 0
-4sen2x – 4cos2x + 4sen2x + 4cos2x = 0
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Notablemente podemos ver que si es la solución porque al hacer la comprobación nos da como resultado 0. A esta solución se le llama particular.
Pero cuando no tenemos la solución tenemos que obtenerla a través de el método de solución general:
Y = C1 sen2x + C2 cos2x
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Comprobar de la siguiente ecuación:
Y= x2 – 1
Si la es solución es:
(y´)4 + y2 = - 1
Y´= 2x
Comprobación
(2x)4 + ( x2 – 1 )2 = 16x4 + x4 - 2x2 +1
Despejamos y obtenemos el resultado de: 17x4 - 2x2 +1
EJEMPLO 2
No es la solución
porque no es igual a -1
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Y = e2x
Solución : y¨ + y´- 6y = 0
Y´= 2 e2x
Y¨ = 4 e2x
Comprobación :
4 e2x + 2 e2x - 6(e2x) = 0
6 – 6 = 0
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Y = e-2x + e3x
Solución: y¨ - y´ - 6y = 0
Y´= -2 e-2x + 3e3x
Y¨ = 4 e-2x + 9 e3x
Comprobación:
-4 e-2x + 9 e3x – (- 2 e-2x + 3 e3x )- 6(e-2x + e3x )
6 e-2x + 6 e3x - 6 e-2x - 6 e3x = 0
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Y = x2 + ex + e-2x
Solución : y¨ + y´- 2y = 2(1+ x - x2 )
Y´= 2x + ex + (-2e-2x )
Y¨ = 2 + ex + 4e-2x
Comprobación:
2 + ex + 4e-2x + 2x + ex + (-2e-2x ) – 2 x2 -2 ex -2 e-
2x )
2(1+ x - x2 ) = 2(1+ x - x2)
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Y = C1 e2x + C2 (xe2x)
Solución : y¨ - 4y´ + 4y = 0
U=x du=1dx
V=e2x dv=2e2x Y´= 2 C1 e2x + 2 C2 xe2x + C2e2x
U=x du=1dx
V=e2x dv=2e2x Y¨= 4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 2 C2e2x + 2C2e2x
Comprobación :
4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 2 C2e2x + 2C2e2x - 4(2 C1 e2x + 2 C2 xe2x + C2e2x ) + 4 (C1 e2x + C2 (xe2x)) = 0
4 C1 e2x - 8 C1 e2x + 4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 4 C2 xe2x
- 8 C2 xe2x - 4 C2e2x - 4 C2e2x = 0
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Ecuaciones diferenciales por separación de variables
Ecuaciones diferenciales con variables separables:
=
Aplicando anti-logaritmo
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Comprobación:
Sustituyendo:
2
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ECUACIONES DIFERENCIAL
EXACTAS
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Ecuaciones diferenciales exactas
= =
No es posible separar las variables, por lo que es necesario buscar otro método.
Formula : =
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=4
Si es una ecuación diferencial exacta por
que :
es igual a =4
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1.-
No es posible separar las variables por lo que debemos determinar si es una ecuación diferencial exacta.
= =
No es exacta porque no coinciden los resultados
Ejercicio 1
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A veces es posible encontrar un factor (factor integrante), el cual al multiplicarse por la ecuación diferencial la convierte en exacta. Para encontrar este factor integrante podemos utilizar la siguiente formula:
Sustituimos nuestros valores en la formula anterior:
=
Este resultado lo integraremos atreves de la
sig. fórmula
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Utilizaremos este resultado para obtener el factor integrante por medio de la expresión:
Factor integrante
Multiplicaremos la ecuación diferencial original por este factor integrante, y el resultado de la multiplicación será una ecuación diferencial exactas.
=
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A continuación aplicamos el método de solución de ecuaciones diferenciales exactas, (el primer paréntesis se resuelve con respecto a “X”)
Integramos:
Solo falta determinar el valor g(y)
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Para determinar el valor g(y) derivamos la función f encontrada respecto a “Y”.
Este resultado se iguala con la segunda N que obtuvimos:
Simplificando:
- =0
Si =0 entonces
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Por lo tanto la función buscada es :
Y la solución se obtiene igualando esta función a una constante C2:
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2.-
No son exactas por lo cual se aplica la formula para encontrar el factor integrante:
=
=
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= 0 = 1
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Integramos :
=3
Determinar :
=
== =0
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