”

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ECUACIONES DIFERENCIALES.

• Conceptos Básicos:

Es una expresión que involucra a una función desconocida y sus derivadas por ejemplo:

Y + y´ = 0

• Clasificación de las ecuaciones Diferenciales:

Ecuación Diferencial Ordinaria.

Ecuación Diferencial Parcial.

• Orden de una Ecuación Diferencial

El orden de la derivada máximo que aparece en la ecuación:

Y´ significa derivada de Y.

Y¨ significa segunda derivada.

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• Solución de una ecuación diferencial:

La solución de una ecuación diferencial en una función desconocida “y” y la variable independiente “x” definida en un intervalo y es una función y que satisface la ecuación diferencial para todos los valores de x en el intervalo dado.

Y¨+ 4y = 0

Enseguida se muestra un ejemplo de una solución de una ecuación diferencial junto con su comprobación.

Solución:

Y= sen2x + cos2x

Y´ = 2cos2x – 2sen2x

Y¨= 2 (-sen2x)(2) – 2 (cos2x)(2)

Y¨= - 4sen2x – 4cos2x

Comprobación y¨+4y = 0

- 4sen2x – 4cos2x+ 4 (sen2x+cos2x) = 0

- -4sen2x – 4cos2x + 4sen2x + 4cos2x = 0

• Y¨ + 4y = 0

Y= 5sen2x + 3cos2x

Y´= 5(cos2x)(2) + 3(-sen2x) (2)

Y´= 10(cos2x) – 6sen2x

Y¨= - 20sen2x – 12cos2x

Comprobación: Y¨ + 4y = 0

y= - 20sen2x – 12cos2x + 4 (5sen2x + 3cos2x)

Y= -20sen2x – 12cos2x + 20sen2x + 12cos2x = 0

Estas dos soluciones se llaman soluciones particulares, pero lo que generalmente se obtiene es la solución general:

Y = C1 sen2x + C2 cos2x

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Ahora se muestran algunos métodos para resolver ecuaciones diferenciales.

• Y = e2x

Solución: y¨ + y´- 6y = 0

Y´= 2 e2x

Y¨ = 4 e2x

Comprobación:

4 e2x + 2 e2x - 6(e2x) = 0

6 – 6 = 0

• Y = e-2x + e3x

 

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• Solución: y¨ - y´ - 6y = 0

Y´= -2 e-2x + 3e3x

Y¨ = 4 e-2x + 9 e3x

Comprobación:

-4 e-2x + 9 e3x – (- 2 e-2x + 3 e3x )- 6(e-2x + e3x )

6 e-2x + 6 e3x - 6 e-2x - 6 e3x = 0

• Y = x2 + ex + e-2x

Solución: y¨ + y´- 2y = 2(1+ x - x 2 )

Y´= 2x + ex + (-2e-2x )

Y¨ = 2 + ex + 4e-2x

Comprobación:

2 + ex + 4e-2x + 2x + ex + (-2e-2x ) – 2 (x2 + ex + e-2x )

2(1+ x - x2 ) = 2(1+ x - x2 ) 2 x2 - 2 ex - 2 e-2x

• Y = C1 e2x + C2 (xe2x)

Solución: y¨ - 4y´ + 4y = 0

Y´= 2 C1 e2x + 2 C2 xe2x + C2e2x

Y¨= 4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 2 C2e2x + 2C2e2x

Comprobación :

4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 2 C2e2x + 2C2e2x - 4(2 C1 e2x + 2 C2 xe2x + C2e2x ) + 4 (C1 e2x + C2 (xe2x)) = 0

4 C1 e2x - 8 C1 e2x + 4 C1 e2x + 4 C2 xe2x + 4 C2 xe2x

- 8 C2 xe2x - 4 C2e2x - 4 C2e2x = 0

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“ECUACIONES DIFERENCIALES POR VARIABLES SEPARADAS.”

 

 

7

“ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS.”

 

 

Si es una ecuación diferencial exacta porque:

=

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