Ecuaciones diferenciales
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ECUACIONES DIFERENCIALES J22
~ 1 ~
ECUACIONES DIFERENCIALES
JAIR OSPINO ARDILA
VALLEDUPAR-CESAR
ECUACIONES DIFERENCIALES J22
~ 2 ~
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BESSEL
La E.D. de Bessel es la ecuación diferencial de segundo orden lineal propuesta por
𝑥2𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑥2 − 𝑛2 𝑦 = 0.
De manera equivalente, dividiendo por𝑥2,
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+
1
𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 1 −
𝑛2
𝑥2 𝑦 = 0.
Las soluciones a esta ecuación definen las funciones de Bessel𝐽𝑛 𝑥 y 𝑌𝑛 𝑥 . La ecuación tiene una regular singularidad a 0 y una regular singularidad en ∞. Una versión transformada de la ecuación diferencial de Bessel propuesta por Bowman (1958) es
𝑥2𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ (2𝑝 + 1)𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑎2𝑥2𝑟 + 𝛽2 𝑦 = 0.
La solución es
𝑦 = 𝑥−𝑝 𝐶1𝐽𝑞/𝑟 𝛼
𝑟𝑥𝑟 + 𝐶2𝑌𝑞/𝑟
𝛼
𝑟𝑥𝑟 ,
Donde
𝑞 ≡ 𝑝2 − 𝛽2,
𝐽𝑛 𝑥 y 𝑌𝑛 𝑥 son las funciones de Bessel de primera y segunda clase , y 𝑐1 y𝑐2 son
constantes. Otra forma se da por dejar que 𝑦 = 𝑥𝜕𝐽𝑛 𝛽𝑥𝑦 , 𝑛 = 𝑦𝑥−𝜕 , 𝑌 𝜀 =
𝛽𝑥𝑦 (Bowman, 1958, p.117), a continuación,
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2−
2𝛼 − 1
𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝛽2𝑦2𝑥2𝑦−2 +
𝛼2 − 𝑛2𝑦2
𝑥2 𝑦 = 0.
La solución es
ECUACIONES DIFERENCIALES J22
~ 3 ~
𝑦 = 𝑥𝛼 𝐴 𝐽𝑛 𝛽𝑥𝑦 + 𝐵 𝑌𝑛 𝛽𝑥𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑟 𝑛
𝑥𝛼 𝐴 𝐽𝑛 𝛽𝑥𝑦 + 𝐵 𝐽−𝑛 𝛽𝑥𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑟 𝑛.
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LEGENDRE
La ecuación diferencial de Legendre es la ecuación diferencial normal de segundo orden.
1 − 𝑥2 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2− 2𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 1 𝑙 + 1 𝑦 = 0,
Que puede ser reescrito
𝑑
𝑑𝑥 (1 − 𝑥2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥 + 𝑙(𝑙 + 1)𝑦 = 0.
El formulario anterior es un caso especial de la "ecuación diferencial de Legendre
asociada" llamada correspondiente al caso𝑚 = 0.La ecuación diferencial de Legendre
tiene puntos singulares regulajres en −1, 1 y ∞.
Si la variable x se sustituye por cos 𝜃 , Entonces la ecuación diferencial de Legendre se convierte en
𝑑2𝑦
𝑑𝜃2+
cos 𝜃
sin 𝜃
𝑑𝑦
𝑑𝜃+ 𝑙 𝑙 + 1 𝑦 = 0,
derivados a continuación para el asociado (𝑚 ≠ 0) Caso.
Dado que la ecuación diferencial de Legendre es una ecuación ordinaria de segundo
orden, tiene dos soluciones linealmente independientes. Una solución𝑃1(𝑥) que es regular en los puntos finitos, se llama una función de Legendre de primera especie,
mientras que una solución 𝑄1(𝑥) que es singular en ±1, se llama una función de Legendre de segunda especie . Si l es un número entero, la función de la primera clase se reduce a un polinomio conocido como el polinomio de Legendre .
La ecuación diferencial de Legendre puede resolverse usando el método de Frobenius,
haciendo un desarrollo en serie con 𝑘 = 0 ,
𝑦 = 𝑎𝑛𝑥𝑛
∞
𝑛=0
ECUACIONES DIFERENCIALES J22
~ 4 ~
𝑦′ = 𝑛 𝑎𝑛𝑥𝑛−1
∞
𝑛=0
𝑦′′ = 𝑛 𝑛 − 1 𝑎𝑛𝑥𝑛−2
∞
𝑛=0
Enchufar el aparato,
(1 − 𝑥2) 𝑛 𝑛 − 1 𝑎𝑛𝑥𝑛−2 − 2𝑥 𝑛𝑎𝑛𝑥
𝑛−1
∞
𝑛=0
+ 𝑙(𝑙 + 1) 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 0
∞
𝑛=0
∞
𝑛=0
𝑛 𝑛 − 1 𝑎𝑛𝑥𝑛−2 − 𝑛 𝑛 − 1 𝑎𝑛𝑥
𝑛
∞
𝑛=0
∞
𝑛=0
−2𝑥 𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛−1 + 𝑙 𝑙 + 1 𝑎𝑛𝑥
𝑛 = 0
∞
𝑛=0
∞
𝑛=0
𝑛 𝑛 − 1 𝑎𝑛𝑥𝑛−2 − 𝑛 𝑛 − 1 𝑎𝑛𝑥
𝑛
∞
𝑛=0
∞
𝑛=0
−2𝑥 𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛−1 + 𝑙 𝑙 + 1 𝑎𝑛𝑥
𝑛 = 0
∞
𝑛=0
∞
𝑛=0
𝑛 + 2 (𝑛 + 1)𝑎𝑛+2𝑥𝑛
∞
𝑛=0
− 𝑛(𝑛 − 1)𝑎𝑛𝑥𝑛
∞
𝑛=0
−2 𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑙 𝑙 + 1
∞
𝑛=0
𝑎𝑛𝑥𝑛
∞
𝑛=0
= 0
{(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)𝑎𝑛+2 + [−𝑛 𝑛 − 1 − 2𝑛 + 𝑙(𝑙 + 1)]𝑎𝑛} = 0,
∞
𝑛=0
por lo que cada término debe desaparecer y
ECUACIONES DIFERENCIALES J22
~ 5 ~
𝑛 + 1 𝑛 + 2 𝑎𝑛+2 + −𝑛 𝑛 + 1 + 𝑙(𝑙 + 1) 𝑎𝑛 = 0
𝑎𝑛+2 =𝑛 𝑛 + 1 − 𝑙(𝑙 + 1)
𝑛 + 1 (𝑛 + 2)𝑎𝑛
𝑎𝑛+2 = −[𝑙 + 𝑛 + 1 ](𝑙 − 𝑛)
𝑛 + 1 (𝑛 + 2)𝑎𝑛
Por lo tanto,
𝑎2 = −𝑙 𝑙 + 1
1.2𝑎0
𝑎4 = − 𝑙 − 2 (𝑙 + 3)
3 ∗ 4𝑎2
𝑎4 = (−1)2 𝑙 − 2 𝑙 [(𝑙 + 1)(𝑙 + 3)]
1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 4𝑎0
𝑎6 = − 𝑙 − 4 (𝑙 + 5)
5 ∗ 6𝑎4
𝑎6 = (−1)3 𝑙 − 4 𝑙 − 2 𝑙 [(𝑙 + 1)(𝑙 + 3)(𝑙 + 5)]
1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 5 ∗ 6𝑎0
Por lo que la solución par es
𝑦1 𝑥 = 1 + −1 𝑛∞
𝑛=1
𝑙 − 2𝑛 + 2 … 𝑙 − 2 𝑙 𝑙 + 1 𝑙 + 3 … 𝑙 + 2𝑛 − 1
2𝑛 !𝑥
Del mismo modo, la solución impar es
𝑦2 𝑥 = 𝑥 + (−1)𝑛 𝑙 − 2𝑛 + 1 … 𝑙 − 3 𝑙 − 1 𝑙 + 2 𝑙 + 4 … 𝑙 + 2𝑛
2𝑛 + 1 !
∞
𝑛=1
Si l es un entero, la serie y1(x) se reduce a un polinomio de gradol con sólo hastapotencias de xy la serie y2(x) diverge. Si l es un impar entero, la serie y2(x) se reduce a un polinomio de grado l con sólo impares de xy la serie y1(x) diverge. La solución general para un número enterolentonces se da por el polinomio de Legendre
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~ 6 ~
Evenodd
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑐𝑛 𝑦1 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠
𝑦2 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠
𝑃𝑛 = 𝑐𝑛 2𝐹1 −
1
2,1
2 𝑙 + 1 ;
1
2, 𝑥2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙 𝑝𝑎𝑟
𝑥 2 𝐹1 1
2 𝑙 + 2 ,
1
2 1 − 𝑙 ;
3
2; 𝑥2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
Donde 𝑐𝑛 se seleccionara de forma que el rendimiento de la normalización 𝑃𝑛 1 = 1
y 2𝐹1 𝑎, 𝑏; 𝑐; 𝑧 es una función hipergeometrica. El asociado de la ecuación diferencial de Legendre es
𝑑
𝑑𝑥 1 − 𝑥2
𝑑𝑦
𝑑𝑥 + 𝑙 𝑙 + 1 −
𝑚2
1 − 𝑥2 𝑦 = 0,
Que se puede escribir
1 − 𝑥2 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2− 2𝑥
𝑑𝑦
𝑦𝑥+ 𝑙 𝑙 + 1 −
𝑚2
1 − 𝑚2 𝑦 = 0
Las soluciones 𝑃1𝑚 (𝑥) a esta ecuación se llaman los polinomios asociados de Legendre
(si l es un número entero), o las funciones asociadas de Legendre de primera especie (si l no es un número entero). La solución completa es
𝑦 = 𝐶1𝑃1𝑚 𝑥 + 𝐶2𝑄1
𝑚 𝑥 ,
Donde 𝑄1𝑚 𝑥 es una función de Legendre de segunda especie.
La ecuación diferencial asociada de Legendre se escribe a menudo en una forma que se
obtiene mediante el establecimiento de 𝑥 ≡ cos 𝜃. Al conectar las identidades
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑦
𝑑(cos 𝜃)
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
1
sin 𝜃
𝑑𝑦
𝑑𝜃
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2=
1
sin 𝜃
𝑑
𝑑𝜃
1
sin 𝜃
𝑑𝑦
𝑑𝜃
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~ 7 ~
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2=
1
𝑠𝑖𝑛2𝜃 𝑑2𝑦
𝑑𝜃2−
cos 𝜃
sin 𝜃
𝑑𝑦
𝑑𝜃
En (◇), entonces da
𝑑2𝑦
𝑑𝜃2−
cos 𝜃
sin 𝜃
𝑑𝑦
𝑑𝜃 + 2
cos 𝜃
sin 𝜃
𝑑𝑦
𝑑𝜃+ 𝑙 𝑙 + 1 −
𝑚2
𝑠𝑖𝑛2𝜃 𝑦 = 0
𝑑2𝑦
𝑑𝜃2+
cos 𝜃
sin 𝜃
𝑑𝑦
𝑑𝜃+ 𝑙 𝑙 + 1 −
𝑚2
𝑠𝑖𝑛2𝜃 𝑦 = 0.
Luna y Spencer (1961, p. 155) llamada
1 − 𝑥2 𝑦′′ − 2𝑥𝑦′ − 𝑘2𝑎2 𝑥2 − 1 − 𝑝 𝑝 + 1 −𝑞2
𝑥2 − 1 𝑦 = 0
Función de onda de Legendre (Zwillinger 1997, p. 124).
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~ 8 ~
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE HERMITE
El segundo fin de las ecuaciones diferenciales ordinarias
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2− 2𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝜆𝑦 = 0. (1)
Esta ecuación diferencial tiene una irregularidad en ∞. Se puede resolver utilizando el método de la serie
𝑛 + 2 𝑛 + 1 𝑎𝑛−2𝑥𝑛 − 2𝑛𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝜆𝑎𝑛𝑥𝑛 = 0∞
𝑛=0∞𝑛=1
∞𝑛=0 (2)
2𝑎2 + 𝜆𝑎0 + 𝑛 + 2 𝑛 + 1 𝑎𝑛+2 − 2𝑛𝑎𝑛 + 𝜆𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 0.∞
𝑛=1 (3)
Por lo tanto,
𝑎2 = −𝜆𝑎0
2 (4)
Y
𝑎𝑛+2 =2𝑛−𝜆
𝑛+2 𝑛+1 𝑎𝑛 (5)
De n=1, 2,… puesto que (4) es solo un caso especial de (5),
𝑎𝑛+2 =2𝑛−𝜆
𝑛+2 𝑛+1 𝑎𝑛 (6)
De n=0, 1,… Las soluciones linealmente independientes son luego
𝑦1 = 𝑎0 1 −𝜆
2!𝑥2 −
(4−𝜆)𝜆
4!𝑥4 −
8−𝜆 4−𝜆 𝜆
6!𝑥6 − ⋯ (7)
𝑦2 = 𝑎1 𝑥 +(2−𝜆)𝜆
3!𝑥3 +
6−𝜆 2−𝜆
5!𝑥5 + ⋯ .(8)
ECUACIONES DIFERENCIALES J22
~ 9 ~
Esto se puede hacer de forma cerrada como
𝑦 = 𝑎0 1𝐹1 −1
4;
1
2; 𝑥2 + 𝑎1𝑥1𝐹1 −
1
4 − 2 ;
3
2; 𝑥2 (9)
𝑦 = 𝑎0 1𝐹1 −1
4;
1
2; 𝑥2 + 𝑎2𝐻
2
𝑥 ,(10)
donde es una función hipergeométrica confluente de primera especie y
es un polinomio de Hermite . En particular, para=0, 2, 4,..., las soluciones pueden
ser escritas
𝑦=0 = 𝑎0 +1
2 𝜋𝑎1 𝑒𝑟𝑓𝑖(𝑥)(11)
𝑦=2 = 𝑎0 𝑒𝑥2
− 𝜋 𝑥 𝑒𝑟𝑓𝑖(𝑥) + 𝑥𝑎1(12)
𝑦=4 = 1
4 2𝑒𝑥2
𝑥𝑎1 − 2𝑥2 − 1 4𝑎0 + 𝜋𝑎1 𝑒𝑟𝑓𝑖(𝑥) ,(13)
dondeerfi(X) es la función erfi.
Si =0, entonces la ecuación diferencial de Hermite se convierte en
𝑦′′ − 2𝑥𝑦′ = 0,(14)
Que es de la forma 𝑃2 𝑥 𝑦′′ + 𝑃1 𝑥 𝑦
′ = 0 y así tiene solucion
𝑦 = 𝑐1 𝑑𝑥
exp 𝑃1𝑝2
𝑑𝑥 + 𝑐2(15)
𝑦 = 𝑐1 𝑑𝑥
𝑒𝑥𝑝 −2𝑥 𝑑𝑥+ 𝑐2(16)
𝑦 = 𝑐1 𝑑𝑥
𝑒−𝑥2 + 𝑐2 = 𝑐1 𝑒𝑟𝑓𝑖 𝑥 + 𝑐2.(17)
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~ 10 ~
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LAGUERRE
La ecuación diferencial de Laguerre viene dada por
𝑥𝑦′′ + 1 − 𝑥 𝑦′ + 𝑦 = 0.
Esta ecuación es un caso especial de la más general “ecuación diferencial de Laguerre asociados”, definido por
𝑥𝑦′′ + 𝑣 + 1 − 𝑥 𝑦′ + 𝑦 = 0
Donde y vson números reales con v=0.
La solución general de la ecuación asociada es
𝑡 = 𝐶1𝑈 −, 1 + 𝑣, 𝑥 + 𝐶2𝐿𝑣 𝑥 ,
Donde U(a,b,x) es una función hipergeometrica confluente de primera especie y 𝐿𝑣 𝑥
es un polinomio generalizado de Laguerre.
Tenga en cuenta que en el caso especial=0, La ecuación diferencial asociada Laguerre
es de la forma
𝑦′′ 𝑥 + 𝑃 𝑥 𝑦′ 𝑥 = 0,
así que la solución se puede encontrar con un factor de integración
𝜇 = exp 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝜇 = exp 𝑣 + 1 − 𝑥
𝑥𝑑𝑥
𝜇 = exp 𝑣 + 1 ln 𝑥 − 𝑥
𝜇 = 𝑥𝑣+1𝑒−𝑥 ,
Como
ECUACIONES DIFERENCIALES J22
~ 11 ~
𝑦 = 𝐶1 𝑑𝑥
𝜇+ 𝐶2
𝑦 = 𝐶1 𝑒𝑥
𝑥𝑣+1𝑑𝑥 + 𝐶2
𝑦 = 𝐶2 − 𝐶1𝑥−𝑣𝐸1+𝑣 −𝑥 ,
Donde 𝐸𝑛 𝑥 es el n E-función.
Los asociados de ecuaciones diferenciales Laguerre tiene un punto singular regular a 0
y una singularidad irregulares en . Puede ser resuelto mediante un desarrollo en
serie,
𝑥 𝑛 𝑛 − 1 𝑎𝑛𝑥𝑛−2 + (𝑣 + 1) 𝑛𝑎𝑛𝑥
𝑛−1 − 𝑥 𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛−1 +
∞
𝑛=1
𝑎𝑛𝑥𝑛 = 0
∞
𝑛=0
∞
𝑛=1
∞
𝑛=2
𝑛 𝑛 − 1 𝑎𝑛𝑥𝑛−1 + (𝑣 + 1) 𝑛𝑎𝑛𝑥
𝑛−1 − 𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛 +
∞
𝑛=1
𝑎𝑛𝑥𝑛 = 0
∞
𝑛=0
∞
𝑛=1
∞
𝑛=2
𝑛 + 1 𝑛𝑎𝑛+1𝑥𝑛 + (𝑣 + 1) (𝑛 + 1)𝑎𝑛+1𝑥
𝑛 − 𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛 +
∞
𝑛=1
𝑎𝑛𝑥𝑛 = 0
∞
𝑛=0
∞
𝑛=0
∞
𝑛=1
𝑣 + 1 𝑎1 + 𝑎0 + 𝑛 + 1 𝑛 + 𝑣 + 1 𝑛 + 1 𝑎𝑛+1 − 𝑛𝑎𝑛 + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 0
∞
𝑛=1
𝑣 + 1 𝑎1 + 𝑎0 + 𝑛 + 1 𝑛 + 𝑣 + 1 𝑎𝑛+1 + − 𝑛 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 0
∞
𝑛=1
.
Para ello es necesario
ECUACIONES DIFERENCIALES J22
~ 12 ~
𝑎1 = −
𝑣 + 1𝑎0
𝑎𝑛+1 =𝑛 −
𝑛 + 1 𝑛 + 𝑣 + 1 𝑎𝑛
De n>1. Por lo tanto
𝑎𝑛+1 =𝑛 −
𝑛 + 1 (𝑛 + 𝑣 + 1)𝑎𝑛
De n=1,2,…, por lo que
𝑦 = 𝑎𝑛𝑥𝑛
∞
𝑛=0
𝑦 = 𝑎0 1𝐹1(−, 𝑣 + 1, 𝑥)
𝑦 = 𝑎0 1 −
𝑣 + 1𝑥 −
(1 − )
2 𝑣 + 1 (𝑣 + 2)𝑥2 −
1 − 2 −
2 ∗ 3 𝑣 + 1 𝑣 + 2 𝑣 + 3 𝑥3 − ⋯ .
Si es un entero no negativo , entonces la serie termina y la solución viene dada por
𝑦 = 𝑎0
! 𝐿𝑣 𝑥
𝑣 + 1 ,
donde𝐿𝑣 𝑥 está asociado un polinomio de Laguerre y (𝑎)𝑛 es un símbolo de
Pochhammer . En el caso especial v=0,El correspondiente polinomio de Laguerre se
derrumba a una costumbre polinomio de Laguerre y la solución se contrae para
𝑦 = 𝑎0𝐿 𝑥 .
ECUACIONES DIFERENCIALES J22
~ 13 ~
BIBLIOGRAFÍA
http://mathworld.wolfram.com/LegendreDifferentialEquation.html
http://mathworld.wolfram.com/HermiteDifferentialEquation.html
http://mathworld.wolfram.com/LaguerreDifferentialEquation.html
http://mathworld.wolfram.com/BesselDifferentialEquation.html