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Huaringa Leon hernanHuaringa Leon hernan

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAUNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFACULTAD DE INGENIERIA MECANICAFACULTAD DE INGENIERIA MECANICA

Ecuaciones de primer Ecuaciones de primer orden y grado superiororden y grado superior

ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR

Una ecuación diferencial de primer orden tiene la forma f (x,y,y’)= 0 o bien f (x, y, p) = 0, donde se ha sustituido por p. Si el grado de p es mayor que uno, como en , la ecuación es de primer orden y grado superior (aquí, segundo).

La ecuación general de primer orden de grado n se puede escribir en la forma 1) A veces se pueden resolver tales ecuaciones por uno o varios de los procedimientos que se van a exponer. En cada caso se reduce el problema a resolver una o mas ecuaciones de primer orden y primer grado.

dx

dyy '

0232 ypxp

0,,............, 11

1 yxppyxppyxpp nnnn

ECUACIONES QUE SE PUEDEN RESOLVER RESPECTO DE “ p ”. En este caso el miembro de la izquierda de 1), considerado como un polinomio en p, se puede resolver en n factores reales lineales, es decir, 1) se puede poner en la forma

Donde las F son funciones de x e y.Iguálese a cero cada factor y resuélvanse las n

ecuaciones diferenciales resultantes de primer orden y primer grado.

Obteniendo

0).........(..........21 nFpFpFp

yxFdx

dy,1 yxF

dx

dy,2 yxF

dx

dyn ,, , ,

2)

La primitiva de 1) es el producto

3)

, 0,,1 Cyxf 0,,2 Cyxf , 0,, Cyxfn

Cyxf ,,1 Cyxf ,,2 0,, Cyxf n, , ,

De las n soluciones 2).Nota. Cada solución individual de 2) se puede escribir en cualquiera de sus diversas formas posibles antes de combinarla en el producto 3).

Ejemplo

1) Determinar la solución general de la ecuación diferencial:

0''' 222 xyyyyxxyy

Solución:Grado superior al primero, hacemos y’= p . Queda:

……… ( 2 ) ( polinomio en p de grado 2)

Expresamos ( 2 ) en factores liniales reales ( si es posible ):

Es decir los factores son: ( 3 )

Procedemos a resolver cada ecuación diferencial que obtiene igualando que se obtiene igualando a cero cada factor de ( 3 ). De:

0` 222 xypypxxyp

0)( 222 xppxyxyp

xy

xyyxxy

yxxyyxp

22

4 22222222222

yx

p xy

p

0

xy

pyx

p

o

De:

La solucion general sera, el producto de las soluciones encontradas para cada factor.

Asi:

0yx

p y

xp

y

xy ' xdxydy cxy 22

022 cxy

0x

yp

x

yp

x

yy '

xdx

ydy

cxy 0)( cxy

022 cxycxy

Grafica de la solución general

022 cxycxy

0124 452

yx

dxdy

xdxdy

pdx

dy pdxdy

0124 452 yxpxp

012484202 4354 dyxydxxdpxpdxxpdp

01212

4484202 4

4

52354

pdxxdxxpxp

xdpxpdxxpdp

Encontrar la solucion general y tambien la solución singular, si ella existe de la ecuación:

Solución:

Sea

diferenciando

0124

42042 452

45

pdxxdx

x

pxppdxxdpxp

0164

842 42

45 pdxxdxx

ppdxxdpxp

084

42 42

5

dxpxdx

x

pdpxp

02422 55 xppdx

dpxpx

022 5

pdx

dpxxp 02 5 xp 02

pdx

dpx

pdx

dpx 2

x

dx

p

dp2 Cxp lnln2ln

v

Si

2.xCp 2.xCp 0124 452 yxpxp

yxCxxC 4742 124 yCxC 124 32

yxCC 124 3

02 5 xp 52xp

yxxx 41010 1284 63 xy solución singular

Reemplazando en la ecuacion

Se tiene

solución general

Si Reemplazando este valor en la ecuación

dada tenemos: :

solución general solución singular

Encontrar la solución general y también la solución singular, si ella existe, de la ecuación:

0122

3

dx

dyyx

dx

dyx

Solución:

Sea pdx

dy pdxdy

01223 pyxpx px

xpy2

1 diferenciando

223

2

xp

dp

px

dxpdxxdpdy pero pdxdy

223

2

xp

dp

px

dxpdxxdppdx

012

2223

dp

xpxdx

pxp

01

11

123223

dx

dp

xpx

pxp

021

132

p

dx

dpx

xp

01

132

xp 02 p

dx

dpxv

Si 02 pdx

dpx 02

x

dx

p

dp

Cxp lnln2ln Cpx lnln 2 2x

Cp

Reemplazando en la ecuación 01223 pyxpx

012

Cyx

C 02 xCyxC solución general

Si 01

132

xp

2

3

xp reemplazando en la ecuación

01223 pyxpx se tiene :

011 232 yxx 02 yx

xy

2 042 xy solución singular

ECUACIONES QUE PUEDEN RESOLVERSE CON RESPECTO A “ y ”

Esto es, y=f(x,p).Derivando respecto de x se obtiene

Una ecuación de primer orden y primer grado.

dx

dppxF

x

p

p

f

x

fp

dx

dy,,

Resuélvase

dx

dppxFp ,, obteniendo 0,, Cpx

Obténganse la primitiva eliminando p entre pxfy , y 0,, Cpx

cuando sea posible, o bien exprésense x e y separadamente como funciones del parámetro p.

Resolver 34 2 ppyx

Solución:

Si pdy

dx 1 derivando respecto de “ y “

dy

dppypp

p133

4 22 de donde

014

1322`

2

pp

dppp

y

dy

Integrando , Cpppy ln1ln5

32ln

10

92ln

10

9ln 2

Luego

53

2109

2 14

pp

Cy

53

2109

2

2

14

3

pp

pCpx

Resolver 042 23 yxypp o bien p

y

y

px

42

2

Solución:

Derivando respecto de y

dydp

py

pyp

dydp

yp

p 22

2 1.4

22de donde 022 32

py

dydpyp

Integrando 02 dy

dpyp y eliminando p entre la solución kyp 2

y la ecuación diferencial original, se tiene 2216 xkky

Haciendo k=2c se puede poner la expresión anterior en la forma

22 xccy solución general

solución general

Resolver : '' yy

ey (1)

Solución:

Es mas sencillo despejar y que p=y’. Así en ( 1 ): p

y

ep

Entonces: p

ylnp ppy ln ( 2 )

Derivamos ( 2 ) con respecto a x:

pp

pppy'

.ln'' 'ln' pppp 1ln' ppp

Como dx

dpp' , entonces escribimos:

dxdp

p

p

1ln

Integrando: cxpp lnln2

1 2

Para la solución general, de ( 2 ) y ( 3 ) no es posible eliminar p.Expresamos la solución en forma parametrica, para x e y. Así:

( 3 )

ppy ln

cppx lnln2

1 2donde p = parámetro. solución general

Hallar la solución general de:

9'2

' 2 yx

yy ( 1 )

Solución:

Veamos de ( 1 ): 922 px

yp

Entonces:

pxp

y2

92 ( 2 )

Derivamos ( 2 ) con respecto de x:

2

22

4

'929'22'

p

xpppxpppy

922 pp

2

222

4

'182492'

p

pxxpxpppy

'

4

182

2

92

222 p

p

xxp

p

pp

0

2

9'

2

9 2

2

2

pp

pp

p

xxp

02

9'

2

9 2

2

2

p

pp

p

xp

01'

2

92

p

p

x

p

p

02

92

p

p 01' pp

xo

Tenemos que se presentan 2 casos:Para encontrar la solución general, nos interesa el factor que contiene a la derivada, es decir nos interesa

*

01' pp

x

Resolviendo : x

dx

p

dp integrando : cxp ( 3 )

Para encontrar la solución general, de ( 2 ) y ( 3 ) eliminamos el parámetro p.

Así de ( 3 ): p=cx .En ( 2 ):

cx

xxcy

2

922

c

cxy

2

9

2

2

solución general

Utilidad del otro factor: si en * , 0

2

92

p

p ( 4 )

(nos debe conducir a otra solución ).

De ( 4 ) : 92 p 3pReemplazando en ( 1 ): donde y’ = p, asi:

932

3 2 x

y x

y618 3

x

y

xy 3 solución singular

ECUACIONES QUE SE PUEDEN RESOLVER RESPECTO DE “ x ”, esto es, pyfx ,

Derivando respecto de “y” de obtiene

dy

dppyF

y

p

p

f

y

f

pdy

dx,,

1

Una ecuación de primer orden y primer grado.

Resuélvase

dy

dppyF

p,,

1obteniendo 0,, Cpy

Obténgase la primitiva eliminando p entre pyfx , y 0,, Cpycuando sea posible, o bien exprésense x e y separadamente como funciones del parámetro p.

Resolver 22 pxpy

Solución:

Derivando respecto de x. dx

dppxpp 22 de donde

pxdp

dx

2

1Esta es una ecuación lineal que tiene

pdpee 2

12

1

como un factor integrante.

Entonces Ceepdppeexpppp 2

12

12

12

1.4.2.

pCepx 2

122

pCeppy 2

12 28,

solución general

Resolver 2263 yppxy

Solución:

Derivando respecto de x, 263 pyp

yx . Derivando ahora respecto de y,

pydy

dpy

dy

dp

p

y

pp126

13 2

2 0261 2

dy

dpypypy

Igualando a cero el segundo factor se deduce py2=C. Despejando p y sustituyendo en la ecuación diferencial original se obtiene la primitiva

23 63 CCxy

Resolver 4x yxy” Solución Aquí una de las variables, y, está ausente de la ecuación. El métodoen este caso es hacer y’=v . Entonces y ” = v ‘ , y la ecuación puede escribirse

4x yxy” o 4x xvdx

d

La integración da , c 2x xv 2 x

c 2x v 1

,

Remplazando v por y’, tenemos

o xc

2x 'y 1 212 clnx c xy

o

solución general

Se asumió c1= c2l

Hallar la solución general y singular de la ecuación diferencial

Observando la estructura de la ecuación hacemos el cambio de variable:

2

ln.2

222 xxpxxxpxy ……………………………….( 1 )

Solución:

2xpxu queda: 2

ln.2

2 xuxuy ……………….. ( 2 )

Derivando respecto a x: xuux

uxuy '.2ln'.' ……… ( 3 )

Pero 2xpxu

px

xu

2

en ( 3 ): xx

uuuxu

x

xu

'..2ln'

2

02ln'2

x

xux

x

uuxu 02ln' uxu

0'u 02ln ux

v

Si u’ = 0 ( nos conduce a la solución general )

0'u cu

. En ( 2 ):

2ln.

22 xcxcy ( solución general )

Si 02ln ux (proceso que nos conduce a la solución singular)

xu ln2

1

2ln

4

1ln

2

1 222 xxxy

2ln

4

1 22 xxy

En ( 2 ) :

( solución general )

Encontrar la solución general de la ecuación diferencial:

tgxpsenxtgxpy ln

Solución:En este caso sabemos que

dx

dyyp '

Nuestro problema se reduce a poner x en función de p y dar la respuesta en forma parametrizada, ya que “ y “ se encuentra despejado.Derivando ( 1 ), con respecto a x:

xptgxptgxpsenx

xtgxsenxxpsenxtgxpy 22 sec''

coslnsecln''

tgxpxptgxptgxppsenxxpsenxtgxpp .'..sec''lnsecln' 22

tgxpsenxxptgxptgxsenxtgxp .'lnsec.'ln' 2

0.'lnsec'ln.' 2 tgxpsenxxptgxpsenxtgxp

0.'ln.sec.' 2 tgxpsenxxptgxp

0sec.' 2 xptgxp 0.'ln tgxpsenx

o

Si 0sec.' 2 xptgxp (proceso que nos conduce a la solución general)

xptgxp 2sec.' tgx

x

p

dp 2sec 1lnln ctgxp

ctgxp lnlnln tgxc

p lnln tgx

cp

Reemplazamos en ( 1 ) :

csenxCy ln. solución general

Que es la ecuación diferencial de una familia de curvas tangentes a la recta y=x en el punto (1,1), determinar una expresión que permita calcular la pendiente de cualquier tangente a cualquiera de tales curvas cuando se conozca la ordenada del punto de tangencia.

Dada la ecuación diferencial:

0.ln1ln12

2

2

dx

dyy

dx

ydyy

Solucion:

pydx

dy '

dy

dpp

dx

dy

dy

dp

dx

dpy ''

0ln1ln1 2 pydy

dppyy

Sea

En la ecuación:

0ln1ln1

py

dy

dpyyp

0p o 0ln1ln1 pydydp

yy

Si 0ln1ln1 pydy

dpyy

dyyy

y

p

dp

ln1

ln1

cyycyyp lnln1lnlnln1ln2lnln 21

2ln1 ycyp ……………………………………………………….( 1 )

,'yp En (1) : 2ln1' ycyy ………………………….( 2 ) C.I.: x = 1 y = 1. Asi como y = x y’ = 1

En ( 2 ) : 1 = c Queda : 2ln1' ycyy ( solución )

Si p=0 Tenemos y’=p=0 vemos que no se cumple que y’ = 1 en x=y, por lo tanto no se llega a nada con esta parte.

Encontrar la solución general de la ecuación diferencial :

011.2

2

2

2

dx

dyytg

dx

ydtgytgy ……………………….(1)

Solución:

utgy 1 '.sec' 2 yyudx

duHacemos el cambio de variable:

222 1

'

1

'

sec

''

u

u

ytg

u

y

uy

22

22

22

2

11

1'211'.'

11

').1(2'''.11''

u

uuuu

u

uuuuuy

Reemplazando en ( 1 ):

011

''.

11

1'211''1

222

22

u

uu

u

uuuuuu

0'11'12''.111 22222 uuuuuuuuu

01112'''.111 2222 uuuuuuuu

2222 1112'''.111 uuuuuuuu ………………..( 2 )

pudx

du '

du

dpp

dx

dup

du

dp

dx

du

dx

d

dx

ud..'

2

2

Hacemos:

En (2): 2222 1112..111 uuupdu

dppuuu

duuuu

udu

uuu

uudu

uuu

uuu

p

dpp

2

2

2

2

2

22

2 111

11

111

12

111

1112.

111

)1(2

1

1

11

1222

u

du

u

dudu

u

udu

uudu

u

u

p

dp

Integrando: 12 )1ln(ln11lnln cuuup

c

u

uup .

1.11lnln

2

u

uucp

1.11.

2

Pero p=u’ luego tenemos: u

uucu

1.11.'

2

u

uuc

dx

du 1.11.

2

dxcduuu

u.

1.11 2

Integrando utilizando fracciones parciales, obtenemos:

Dcxuu

uarctgu

1ln

11

1ln111ln2

2

2

Pero u = 1+tg y, entonces nos queda:

Dcxtgyytg

tgyarctgytg

1ln

1

1ln1ln2

2

2

Dcxtgyy

yy

ln

sec

1lnsecln2 2

Dcxtgyyy lnsecln 3

Grafica de la solución