Ecuaciones de primer grado pre universitario uc

Pontificia Universidad Catolica de ChileCentro de Alumnos de Ingenierıa 2009Preuniversitario de Ingenierıa

AlgebraGuıa No8

ECUACION DE PRIMER GRADO

1. ¿Ecuacion?

Una gran facilidad que nos entrega el algebra es la posibilidad de podertrabajar con una incognita, a pesar de no conocer su valor. Una ecuacion esuna igualdad que involucra una incognita y que nos permite conocer su valor.

De todas las ecuaciones que existen, partiremos por la mas simple: la ecuacion

de primer grado o lineal con una incognita. Se conoce ası ya que esposible ordenarla de tal forma donde la incognita x se encuentra a lo maselevada a 1.

Ejemplo 1 Las siguientes ecuaciones son de primer grado:

x + 1 = −x − 2

2x + 6 = 3x − 2

5x + 6 = 2

Diremos que una ecuacion ha sido resuelta, cuando conozcamos para que va-lores de x se cumple la igualdad, es decir, que es solucion. Para esto trata-remos de llevar las ecuaciones a la forma

ax + b = 0,

donde a, b ∈ R son conocidos. Se dice que ese valor de x satisface laecuacion.

2. Pasando pa’l otro lao...

Para poder llevar las ecuaciones a esa forma, utilizaremos la milenariatecnica de pasar pa’l otro lao. Como la ecuacion es una igualdad, entoncespodemos pensarla como una balanza de 2 platillos que esta en equilibro. Siagregamos, quitamos, etc. cualquier cosa en uno de los platillos, mientras lohagamos tambien en el otro, la balanza seguira estando en equilibrio y porlo tanto la igualdad se seguira manteniendo. Por ejemplo si tenemos

3x + 5 =x

2,

1


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y en ambos lados de la igualdad multiplicamos por 2, obtenemos

2(3x + 5) = 2x

2⇒ 6x + 10 = x.

Luego, si en ambos lados restamos x, nos queda

6x + 10 − x = x − x ⇒ 5x + 10 = 0.

Lo cual es como si hubiesemos pasado el 3 que estaba dividiendo, multipli-cando y el x que estaba sumando pasa al otro lado restando. En generaltodo lo que se encuentra:

1. Sumando pasa restando.

2. Restando pasa multiplicando.

3. Multiplicando pasa diviendo.

4. Diviendo pasa multiplicando.

Ojo 1 Hay que mucho cuidado ya que 2 errores bastante comunes son

1. Desarrollar

x + 2 =x

3+ 5 ⇒ 3(x + 2) = x + 5 ⇒ 3x + 6 = x + 5.

Aquı no se respeto el hecho que cuando multiplicamos a ambos lados

por 3, el 5 no fue multiplicado. Lo correcto serıa

x + 2 =x

3+ 5 ⇒ x + 2 − 5 =

x

3⇒ 3(x − 3) = x ⇒ 2x − 9 = 0

o,

x + 2 =x

3+ 5 ⇒ 3(x + 2) = x + 3 · 5 ⇒ 3x + 6 = x + 15 ⇒ 2x− 9 = 0.

Para pasar multiplicando un numero al otro lado, debe estar dividiendo

a TODO el lado de la igualdad.

2. Desarrollar

3x + 2 =x + 7

2⇒ 3x + 2 − 7 =

x

2⇒ 3x − 5 =

x

2.

2


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Aquı no se respeto el hecho que cuando restamos a ambos lados por 7,el 7 que se encontraba en el numerador no fue restado totalmente. Lo

correcto serıa

3x + 2 =x + 7

2⇒ 2(3x + 2) = x + 7 ⇒ 6x + 4 = x + 7 ⇒ 5x − 3 = 0,

o,

3x+2 =x + 7

2⇒ 3x+2−

7

2=

x

2+

7

2−

7

2⇒ 3x−

3

2=

x

2⇒

5x

2−

3

2= 0 ⇒ 5x−3 = 0.

Para pasar restando un numero al otro lado, debe estar sumando a

TODO el lado de la igualdad.

3. Resolviendo...

Ahora que ya aprendimos a llevar la ecuacion a su forma ax + b = 0,obtener el valor de nuestra incognita x se hace muy simple, siempre y cuandotengamos en consideracion lo siguiente:

1. Si a 6= 0 entonces existe una unica solucion y es x = −ba

.

2. Si b 6= 0 y a = 0 entonces no existen soluciones puesto que cualquierx que pongamos al multiplicarse por a nos dara como resultado 0 = −b,y eso no es cierto si b 6= 0.

3. Si b = 0 y a = 0 entonces existen infinitas soluciones puesto quecualquier x que pongamos al multiplicarse por a nos dara como resul-tado 0 = 0, y eso es cierto.

Ojo 2 La ecuacion, a pesar que en un principio puede presentar incognitas

al cuadrado, al cubo, etc. si estos desaparecen luego de llegar la ecuacion a

su forma ax + b = 0, entonces es de primer grado.

Ejemplo 2 La ecuacion x2 + 2x + 1 = x2 − 3x + 2 es de primer grado, ya

que al restar a ambos lados x2 estos desaparecen.

Ejemplo 3 Resolver la ecuacion

x + 2

5=

x − 5

2+ 2.

3


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Primero, pasemos el 5 multiplicando

x + 2 = 5

(x − 5

2+ 2

)

⇒ x + 2 =5x − 25

2+ 10.

Luego, pasemos el 10 restando

x + 2 − 10 =5x − 25

2⇒ x − 8 =

5x − 25

2.

Ahora, pasemos el 2 multiplicando

2(x − 8) = 5x − 25 ⇒ 2x − 16 = 5x − 25.

Finalmente, pasemos 5x − 25 restando

2x − 16 − (5x − 25) = 0 ⇒ 2x − 16 − 5x + 25 = 0 ⇒ −3︸︷︷︸

a

x + 9︸︷︷︸

b

= 0.

Como tanto a y b son distintos de 0, entonces la solucion es unica:

x =−9

−3= 3.

Para revisar, simplemente reemplazamos x = 3 en la ecuacion original

x + 2

5=

x − 5

2+ 2

3 + 2

5=

3 − 5

2+ 2

5

5=

−2

2+ 2

1 = −1 + 2

1 = 1.

Por lo tanto, la solucion es correcta.

Ojo 3 Por lo general, tratar de evitar pasar diviendo a la incognita puesto

que 0 podrıa ser solucion de la ecuacion y entonces, habrıamos dividido por

0.

Ojo 4 Cuando nos entregan una ecuacion, si hay alguna fraccion cuyo de-

nominador sea la incognita, entonces automaticamente podemos suponer que

no es 0.

4


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4. Ejercicios

Sin calculadora. Marcar solo 1 alternativa.

1. En la ecuacion en x, (3− 3k)x− 6k + 9 = 0, ¿cual debe ser el valor dek para que la solucion sea x = −1?

a) −4

b) −2

c) −2

3d) 2

e) 4

2. ¿Cual de las siguientes ecuaciones es equivalente a la ecuacion 0, 02x = 4, 6?

a)2

1000x = 4, 6

b)20

100x = 460

c) 0, 2x = 460

d) 2 · 10−3x = 0, 46

e) 0, 2 · 10−2x = 0, 46 · 10−1

3. El valor de x en la ecuacion 3(x − 2) − 2(x − 1) = −5 − 4x es

a) −2

5

b) −1

5

c)1

5

d)3

5e) 3

4. En la ecuacion, 50t + 20(2 − t) = 82, t representa el tiempo en horas.Entonces, t =?

a) 1 hora con 40 minutos

b) 1 hora con 24 minutos

c) 1 hora con 12 minutos

d) 1 hora con 6 minutos

e) 1 hora con 4 minutos

5


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5. Si a(x − b) = x + b, entonces x =

a)2a

b

b) a + b

c)b − a

a

d)b(a + 1)

a − 1

e)b(a − 1)

a + 1

6. Six

3+ 2x = 7 , entonces x =

a) 7

b)7

3c) 3

d)4

3e) 1

7. En la ecuacion 2 −x − 1

40=

2x − 1

4−

4x − 5

8, el valor de x es

a) 66

b) 64

c) 46

d) 44

e) 38

6


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8. ¿Cual(es) de las siguientes ecuaciones es (son) de primer grado?

I)2x − 2

2=

x2 − 2

x

II) 9x + 3 = 8xIII) x2 + 3x + 5 = 3x + 2

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo III

d) Solo I y II

e) I, II y III

9. ¿Que condiciones debe cumplir el parametro t para que la ecuacion

x(1 + 4t) − 24 = 3xt −x

2, tenga SOLUCION UNICA?

a) t = −2

3

b) t 6= −3

2

c) t 6= −3

14

d) t 6= −1

14

e) t 6= −1

2

10. Con respecto a la ecuacion en x, 2(x − p) = qx + 1, ¿cual(es) de lassiguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) Si q = −2 y p = −1

2, existe solucion unica.

II) Si q = 2 y p = −1

2, no existe solucion.

III) Si q = 2 y p =1

2, existen infinitas soluciones.

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo I y II

d) Solo II y III

e) I, II y III

7


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11. ¿Que condicion debe cumplir el parametro p para que la ecuacion en x,px − 1 = 4x + p, NO TENGA SOLUCION?

a) p = −4

b) p = −1

c) p 6= −1

d) p = 4

e) p 6= 4

12. ¿Que condicion debe cumplir el parametro m para que la ecuacion enx, (m2 − 4)x = m2 − 2m, tenga INFINITAS SOLUCIONES?

a) m = −5

b) m = −2

c) m = 2

d) m = 3

e) m = 5

13. ¿Cual es el valor de x en la ecuacion 8x − 1 = 3?

a)1

4

b)1

2

c) −1

4

d) −1

2

e)3

8

14. Si q + 1 = 6 − 1, entonces q2 − 12 es

a) 6

b) 9

c) 10

d) 15

e) 35

8


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15. El valor de x en la ecuacion −{−2 − [3 − (x − 2x)] + 4} = 4 − 5x es

a)5

4

b)3

4

c)1

2

d)3

8

e) −3

4

16. Si 0, 1x + 2 = 3, entonces x es

a) 0, 01

b) 0, 1

c) 1

d) 10

e) 100

17. Sim − x

n − x= k, entonces x =?

a)m

n

b)km

n

c)kn − m

k − 1

d)m + kn

1 − k

e)m − kn

−k

9


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18. Si1

M+

1

N=

1

P, entonces P =?

a) NM

b) M + N

c)1

N + M

d)M + N

MN

e)MN

M + N

19. Si x =ay + b

cy + d, entonces y =?

a)xc − a

b − xd

b)xd − b

a − xc

c)b + xd

xc + a

d)xd − b

xc − a

e)b − xd

a − xc

20. La formula oC =5

9(oF − 32o) relaciona grados Celsius (oC) y grados

Farenheit (oF ). Al despejar oF se tiene

a) oF =8

5oC + 32o

b) oF =8

5oC − 32o

c) oF =9

5oC + 32o

d) oF =9

5oC − 32o

e) oF =1

5oC + 32o

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21. Si q = −1 −2

5t, entonces t =?

a) −3

5q

b)2

5(q − 1)

c)5(q + 1)

2

d)5(q + 1)

2

e) −2

5q + 5

22. En la ecuacion x + 2n = 6, se puede afirmar que x = n si:

(1) n − 2 = 0(2) x + 2 = 0

a) (1) por sı sola.

b) (2) por sı sola.

c) Ambas juntas, (1) y (2).

d) Cada una por si sola, (1) o (2).

e) Se requiere informacion adicional.

23. Se puede determinar x, si:

(1) 3(x + 2) = 5x − (2x − 6)(2) 50x + 20(x − 2) = 82






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24. 2p + q es igual a 3q si:

(1) p − q = 0(2) p − 3 = 0






25. En la ecuacionx − 3

4 − p= 2 con p 6= 4, el valor de x es 9 si:

(1) 2

p= 2.

(2) p − 1 = 0






1 D 2 D 3 B 4 B 5 D

6 C 7 A 8 D 9 B 10 A

11 D 12 C 13 B 14 D 15 C

16 D 17 C 18 E 19 B 20 C

21 E 22 A 23 B 24 A 25 D

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