Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas y resuélvalas

C.y' '− y '−6 y=0 WILLIAM STID ROMERO CAÑON

m2−1m−6=0

¿ (m+2 ) (m−3 )

m1=2m2=−3

y=c1e2x+c2e−3x

Es una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes.

E.y' '−9 y=54 Es una ecuación diferencial lineal es no homogénea.

WILLIAM STID ROMERO CAÑON

y= yc+ y pDonde yc: función complementaria

y p : Función particular

Por lo tanto:

y ´ ´c−9 yc=0

r2−9=0

r=±3

Luego yc=Ae3x+Be−3x

Para determinar la función particular se procede así

y p=54−9

=−6

Se deduce la solución:

y=A e3 x+Be−3x−6

F. y' '+25 y=6 senx WILLIAM STID ROMERO CAÑON

Ecuación característica m2+25=0

m=0±√0−( 4∗1∗25 )

2∗1

m=0±√−1002

m=0±10i2

m1=5 im2=−5 i

yh=c1 sen 5x+c2 cos5 x

Ecuación particular

y p=Asi nx+Bcosx

y ´ p=−Bcosx+Asinx

y ´ ´ p=−Asenx−Bcosx

−Asinx−Bcosx+25 ( Asinx+Bcosx )=6 si nx

−Asinx+25 Asi nx−Bcosx+25 Bcosx=6 si nx

24 Asi nx=6 si nx

24 Bcosx=0

A=14

y p=sinx

4

Solución general

y=c1 sen 5x+c2 cos5 x+ si nx4

Es una ecuación diferencial lineal no homogénea.

2. Demostrar que X3

y |x|

3

; son soluciones linealmente independientes de la

siguiente ecuación diferencial:

WILLIAM STID ROMERO CAÑON

x2 y ' '−4 xdydx

+6 y=0En el intervalo

−∞∠ x∠∞

Solución:

Realizamos el proceso de derivación.

❑❑

x2 y ´ ´−4 y ´+6 y=0

y=x3

y ´=3 x2

y ´ ´=6 x

Remplazamos:

x2 (6 x )−4 x (3x2 )+6 (x3 )=0

6 x3−12 x3+6 x3=0

0=0

Entonces si x¿0la derivada de |x|3no existe

Ahora comprobamos que |x|3es una solución de

x2 y ' '−4 xdydx

+6 y=0

|x|=x si x>00 si x=0

−x si x<0

Dado x2 y ' '−4 x

dydx

+6 y=0 (1)

a) Para

|x|3¿ x3 si x>0

Ya se hizo la comprobación

b) para

|x|3¿0 si x=0

0 y ´ ´−4 (0 ) dydx

+6 y=0

6 y=0

Se cumple para y=0

c) para

|x|3¿−x si x<0

Sea y ¿−x3

Y´¿−3 x2

Y´´¿−6 x

Luego remplazando en (1)

x2 (−6 x )−4 x (−3 x2)+6 (−x3 )=0

−6 x3+12x3−6x3=0

Se cumple también por consiguiente.

X3

Y |x|

3son soluciones linealmente independientes.

5. Resolver la siguiente ecuación diferencial : WILLIAM STID ROMERO CAÑON

x2 y ' '+x y '+ y=0

xm−1+xm=0m2 xm+xm=0

xm (m2+1 )=0

Como x es diferente de 0

m2+1=0

m=± i

xm=emlnx

y=c1 ¿

y=(c1+c2 ) cos (lnx )+ (c1−c2 ) isin ( lnx )

y=c1 cos ( lnx )+c2sin (lnx )

3 ´ ´−2xy+8 y=0 ; y (0 )=3 , y ´ ( 0 )=0

3 ´−2xy+8 y=0 ; y (0 )=3 , (0 )=0