5

Tabla de contenido Página

Ecuaciones de orden superior 3

Ecuaciones homogéneas de segundo orden con

coeficientes constantes 3

Caso 1. Raíces reales y distintas 6

Caso 2. Raíces complejas conjugadas 6

Caso 3. Raíces reales e iguales 7

Resumen 13

Bibliografía recomendada 13

Párrafo nexo 14

Autoevaluación formativa 15

5

2

Copyright©1999 FUNDACION UNIVERSITARIA SAN MARTIN

Facultad de Ingeniería de Sistemas.

Sistema de Educación Abierta y a Distancia.

Santa Fe de Bogotá, D.C.

Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización por

escrito del Presidente de la Fundación.

La redacción de este fascículo estuvo a cargo de

JAIME PRECIADO LOPEZ

Sede Santa Fe de Bogotá, D.C.

Diseño instruccional y orientación a cargo de

MARIANA BAQUERO DE PARRA

Diseño gráfico y diagramación a cargo de

SANTIAGO BECERRA SAENZ

ORLANDO DIAZ CARDENAS

Impreso en: GRAFICAS SAN MARTIN

Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825

Santa Fe de Bogotá, D.C.

5

3

Ecuaciones de orden superior En este fascículo comenzaremos el estudio de las ecuaciones de orden

superior; estudiaremos las ecuaciones lineales de segundo orden con

coeficientes constantes y su forma de solución, haciendo uso de una

ecuación que llamamos ecuación auxiliar o característica de la ecuación

diferencial dada. Además veremos ejemplos para cada uno de los ca-

sos que resultan al estudiar dicha ecuación.

Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante:

Reconoce la forma de una ecuación diferencial lineal con coeficientes

constantes.

Asocia a cada ecuación diferencial con coeficientes constantes, la

ecuación característica correspondiente.

Diferencia las soluciones de una ecuación de segundo orden con coe-

ficientes constantes de acuerdo con las raíces de la ecuación caracte-

rística.

Resuelve correctamente ecuaciones diferenciales lineales de segundo

orden con coeficientes constantes.

Ecuaciones homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes

La ecuación

)()()('''

xkyxayxay 21

es una ecuación diferencial lineal de segundo orden; vamos a resolver

este tipo de ecuaciones pero haciendo un par de suposiciones que sim-

plifican enormemente la situación, veamos:

i. Haremos que )(xa1 y )(xa2 sean constantes

ii. Igualaremos la ecuación a cero, es decir, 0)(xk

5

4

Con estas suposiciones nuestra ecuación se convierte en

021 yayay'''

(1)

la cual podemos nombrar como ecuación diferencial lineal homo-

génea de segundo orden con coeficientes constantes.

Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden tiene dos

soluciones que son independientes (es decir, ninguna es múltiplo de la

otra); si llamamos )(xV1 y )(xV2 a estas soluciones se puede mostrar

que la combinación lineal de ellas

)()()()( xVxCxVxC 2211

también es solución de nuestra ecuación diferencial.

Pero, ¿cómo resolver una ecuación lineal homogénea de segundo or-

den?. Si pensamos un poco y recordamos la solución de una ecuación

lineal de primer orden, con coeficiente constante como:

0 kyy'

corresponde a una función exponencial de la forma:

kxcey

esto nos lleva a pensar que una ecuación diferencial lineal de segundo

orden como (1) ha de tener una solución de la forma:

kxey (2)

para algún k apropiado, veamos, si derivamos dos veces la ecuación(2)

kxkey '

kx

eky2''

al remplazar estas derivadas en (1) obtenemos:

021

2 kxkxkxeakeaek

de donde:

021

2 kxeakak )(

5

5

como kx

ey nunca es cero, kx

ey es solución de (1) para un valor

de k apropiado que satisfaga la ecuación cuadrática

021

2 akak (3)

la ecuación (3) se conoce como ecuación característica o ecuación

auxiliar de la ecuación (1). Para resolver (3) podemos hacer uso de la

formula cuadrática y obtener las raíces

2

2

112

2

2

111

42

1

42

1

aaak

aaak

y por tanto las funciones

xkey 1 y

xkey 2

son solución de (1) con los valores obtenidos para k .

Es imprescindible en estos momentos recordar que al solucionar una

ecuación cuadrática como lo es la ecuación característica pueden pre-

sentarse tres casos:

Caso 1. Las soluciones son reales y distintas.

Caso 2. Las soluciones son complejas y conjugadas.

Caso 3. Las soluciones son iguales y reales.

Ahora, vamos a estudiar cada uno de estos casos por separado.

Recuerda que las soluciones de una ecuación homogénea son

llamadas raíces.

5

6

Caso 1. Raíces reales y distintas

Si al resolver la ecuación característica (3) se obtienen dos soluciones

reales y distintas 1k y 2k entonces:

xkey 1 y

xkey 2

son soluciones de (1), podemos dar la solución general haciendo:

xkxkeCeCy 21

21

Ejemplo

Resolvamos la ecuación 076 yyy'''

Reconocemos esta ecuación como una ecuación diferencial lineal de

segundo orden con coeficientes constantes; por tanto la ecuación ca-

racterística corresponde a:

0762 kk

equivalente a 017 ))(( kk de donde podemos encontrar las raí-

ces 71 k y 12 k ,por tanto las raíces de nuestra ecuación caracte-

rística son reales y distintas, así, la solución general de nuestra ecuación

es: xx

eCeCy1

2

7

1

Caso 2. Raíces complejas conjugadas

Si al resolver la ecuación característica (3) obtenemos las raíces com-

plejas conjugadas ik entonces la solución general de (1) es

)()cos( xseneCxeCxx

21

Ejemplo

Resolvamos la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo or-

den 0134 yyy'''

5

7

La ecuación característica es 01342 kk ; si aplicamos la ecua-

ción cuadrática obtenemos:

322

64

12

131444 2

k

k.

))(()(

así, las raíces de la ecuación característica son complejas y conjugadas;

por tanto la solución general de la ecuación diferencial es

xseneCxeCyxx 33 2

2

2

1 cos

Caso 3. Raíces reales e iguales

Si al resolver la ecuación característica (3) obtenemos como solución

una única raíz real, o lo que es lo mismo, dos raíces k repetidas, la so-

lución general de (1) corresponde:

kxkxxeCeCy 21

Ejemplo

Resolvamos 02510 yyy'''

La ecuación característica de esta diferencial lineal de segundo orden

es:

025102 kk

o

05 2 )(k

así la raíz es 5k por tanto es una raíz real y repetida, entonces la

solución general de la ecuación diferencial es

xxxeCeCy

5

2

5

1

5

8

Podemos resumir la forma de solución de una ecuación diferen-

cial lineal de segundo orden con coeficientes constantes con el

siguiente cuadro.

Para la ecuación diferencial

021 ayay'''

hallamos las raíces de la ecuación cuadrática o auxiliar

021

2 akak

Si las raíces son: La solución general es:

i. 1k y 2k con 21 kk xkxk

eCeCy 21

21

ii. 1k y 2k con 21 kk xkxk

xeCeCy 11

21

iii. Si 1k y 2k son complejas

ik 1 y ik 2

xseneCxeCyxx

21 cos

Las ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes,

se pueden resolver también con condiciones iniciales; decimos condi-

ciones iniciales porque hemos notado la existencia de dos constantes

arbitrarias a la solución general de una ecuación de este tipo; por esto

podemos encontrar la solución particular a una ecuación diferencial li-

neal de segundo orden si conocemos 2 condiciones iniciales, por ejem-

plo para y y '

y , veamos algunos ejemplos.

Ejemplo

Resolvamos 0103 yyy'''

, con 10 )(y y 100 )('

y

La ecuación característica de nuestra ecuación diferencial es:

01032 kk

de donde

025 ))(( kk

5

9

así, tenemos dos raíces reales y distintas, ellas son 5k y 22 k ,

por tanto la solución general es:

xxeCeCy

2

2

5

1

o

xxeCeCxy

2

2

5

1

)(

si reemplazamos la condición inicial 10 )(y obtenemos

02

2

05

11 .. eCeC

de donde:

211 CC (1)

para remplazar la segunda condición inicial 100 )('

y necesitamos

hallar )('

xy , entonces derivando xx

eCeCxy2

2

5

1

)( obtene-

mos

xxeCeCxy

2

2

5

1 25 )('

reemplazando:

02

2

05

1 2510 .. eCeC

de donde:

21 2510 CC (2)

así, reuniendo (1) y (2) debemos resolver el sistema de ecuaciones

211 CC

21 2510 CC

de donde

7

121 C y

7

52 C ; podemos reemplazar estos valores en

la solución general xx

eCeCxy2

2

5

1

)( y encontrar la solución

particular

5

10

xxeexy

25

7

5

7

12 )(

Ejemplo

Resolvamos 04 yy''

con las condiciones iniciales 20 )(y y

34

y

La ecuación característica es:

042 k

para la cual las raíces son complejas y conjugadas iik 220

de donde la solución general de nuestra ecuación corresponde a:

xseneCxeCxyxx 22 0

2

0

1 cos)(

o

xsenCxCxy 22 21 cos)(

Reemplazando la condición 20 )(y obtenemos

002 21 senCC cos

de donde 21 C , si reemplazamos la segunda condición 34

y

y 21 C en

42

4223 2

senCcos se obtiene 32 C

así, la solución particular es:

xsenxxy 2322 cos)(

Podemos extender el método visto a ecuaciones de orden superior;

supongamos la ecuación

5

11

0012

1

1

yayayayayan

n

n

n

'''

Con ia constantes reales, podemos asociar a esta ecuación, la

ecuación auxiliar

001

2

2

1

1

amamamaman

n

n

n

ahora buscamos las raíces im de esta ecuación, si todas son reales y

distintas la solución de nuestra ecuación diferencial es:

xm

n

xmxm necececy 21

21

Las raíces también podrían ser algunos reales repetidos y otras comple-

jas conjugadas, si por ejemplo 3m es una raíz de multiplicidad k , en-

tonces la solución general de la anterior expresión es:

xmk

k

xmxmxmexcexcxecec 3333 12

321

veamos algunos ejemplos.

Ejemplo

Resolvamos 054 '"'"yyy

La ecuación auxiliar es 054 23 mmm podemos factorizarla co-

mo:

0542 mmm

o

015 mmm

de donde la raíces son reales, distintas y corresponden a 0, 5, -1, la so-

lución general es: xxx

ecececy1

3

5

2

0

1

o

xxececcy 3

5

21

5

12

Leonhard Euler (1707 –

1783): genio suizo de la

matemática, dotado con

prodigiosa memoria y po-

der de concentración.

Ejemplo

Resolvamos 092416 4 yyy")(

La ecuación auxiliar es 092416 24 mm , que podemos factori-

zar como:

034 22 )( m

de donde sus raíces son múltiples y complejas conjugadas; por tanto:

imm2

321 y imm

2

343

así, la solución general es

ixixixix

ececececy 2

3

42

3

32

3

22

3

1

El matemático Leonhard Euler encontró una identidad conocida como

la fórmula de Euler, que nos puede simplificar la solución encontrada;

dicha fórmula corresponde a:

isene

i cos

Empleando la formula de Euler podemos escribir nuestra solución como

xisencxxcxisencxcy

2

3

2

3

2

3

2

38765 coscos

si hacemos 96 cic y 108 cic obtenemos

xxsencxxcxsencxcy

2

3

2

3

2

3

2

310795 coscos

5

13

12.1

a. En los siguientes problemas encuentra la solución general de la

ecuación diferencial dada.

1. 03 '''yy 2. 08 yy

''

3. 01682

2

ydx

dy

dx

yd 4. 04 yyy

'''

5. 02512 yyy'''

6. 028 yyy'''

7. 023 yyy'''

8. 022 yyy'''

9. 02 yyy""

10 08126 yyyy'"'"

b. En los siguientes problemas encuentra la ecuación diferencial da-

da sujeta a las condiciones iniciales indicadas:

11. 2020016 )(,)(;'''

yyyy

12. 10400178 )(,)(;''''

yyyyy

13. 00002 )(,)(;'''''

yyyyyy

En este fascículo hemos estudiado el método de solución de las ecua-

ciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes cons-

tantes; para ello hemos empleado la ecuación auxiliar o característica

de grado 2 asociada a la ecuación diferencial, distinguiendo tres casos

de solución teniendo en cuenta si las raíces de la ecuación auxiliar son

reales y distintas, conjugadas e imaginarias o reales e iguales.

Rainville, Earl D. y otros. Ecuaciones diferenciales. Ed. Prentice Hall.

México: octava edición. 1997, cap. 3.

5

14

Zill, Dennis G. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado.

México Ed. Inter. – Thomson Editores, sexta edición, 2000, cap. 4.

En el próximo fascículo continuaremos el trabajo con las ecuaciones di-

ferenciales de orden superior; trabajaremos ecuaciones no homogé-

neas, coeficientes indeterminados y variación de parámetros.

5

15

Autoevaluación formativaAutoevaluación formativaAutoevaluación formativa

Ecuaciones diferenciales - Fascículo No. 12

Nombre_____________________________________________________________________

Apellidos ________________________________________ Fecha ____________________

Ciudad __________________________________________ Semestre _________________

Resuelve cada uno de los problemas planteados:

1. 023 yyy'''

2. 23

03

0

''',; yyyy

3. 1005002 )(,)(;''''

yyyyy

4. 0 yy'"