Ecuacion de una recta

DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE CIENCIAS E

INGENIERÍA E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E

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ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA PARA LA INGENIERÍA CICLO: III

Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. [email protected] – [email protected]

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TEMA: Línea Recta SEMANA: 10

TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 501B SEMESTETRE: 2017 - II

ECUACIÓN DE UNA RECTA

Es la ecuación de todos los puntos del plano cartesiano de la forma (𝑥; 𝑦) que pertenecen a una recta del plano.

Las ecuaciones más usuales son:

Ecuación Punto-Pendiente

Es la ecuación de la recta que se desprende de conocer un punto de paso y la pendiente de la recta.

Sea L una recta del plano que pasa por el punto 𝑃 0 = (𝑥0; 𝑦0) y tiene pendiente m.

Todo punto P del plano cartesiano tiene la forma (x; y), entonces la pendiente de P͞P0 debe ser m.

Luego: 𝑦− 𝑦0

𝑥− 𝑥0 = m

De donde: (𝑦 – 𝑦0) = 𝑚(𝑥 – 𝑥0)

Entonces la ecuación de la recta L del plano cartesiano, son todos los puntos (x; y) que satisfacen la ecuación:

𝐿: (𝑦 – 𝑦0) = 𝑚(𝑥 – 𝑥0)

Ecuación Canónica de la recta

Es la ecuación que se desprende de conocer la pendiente de la recta y la intersección de la recta con el eje de ordenadas (se conoce la ordenada en el origen).

Sea m la pendiente de la recta y b la ordenada en el origen, entonces la intersección de la recta L con el eje de abscisas es el punto P0 = (0; b).

A partir de la ecuación punto - pendiente, su ecuación es 𝐿: (𝑦 – 𝑏) = 𝑚(𝑥 – 0), de donde la ecuación canónica lo expresamos como:

𝑳: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃

A esta ecuación también se le conoce como la ecuación pendiente con intersección en la ordenada.

Ecuación Simétrica

Es la ecuación que relaciona, las coordenadas de los puntos de intersección de la recta, con los ejes coordenados.

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Sea a la abscisa en el origen y b la ordenada en el origen, entonces las coordenadas de los puntos de intersección de la recta con los ejes de abscisas y ordenadas son, respectivamente, (𝑎; 0) 𝑦 (0; 𝑏).

La pendiente m de la recta L, lo calculamos como

m = 0−𝑏

𝑎−0 = -

𝑏

𝑎

Reemplazando en la ecuación canónica de la recta, tenemos:

L: y = (- 𝑏

𝑎)x + b, de donde

L: 𝒙

𝒂 +

𝒚

𝒃 = 1

Ecuación con intersección a los ejes coordenados.

Ecuación General

Es la ecuación de la recta que tiene la forma Ax + By + C = 0, donde A, B y C son números reales.

Si la recta L, interseca al eje de abscisas en (a; 0) y al eje de ordenadas en (0; b), entonces la ecuación de la recta es

L: 𝑥

𝑎 +

𝑦

𝑏 = 1

Si multiplicamos toda la expresión por a.b, resulta

L: bx + ay – a.b = 0

Sea b = A, a = B y –a.b = C, entonces la ecuación, puede expresarse como:

L: Ax + By + C = 0.

Observación: La pendiente de L, es

m = - 𝑏

𝑎 = -

𝐴

𝐵

Distancia de un punto a una recta

Es la longitud del segmento perpendicular, trazado desde dicho punto a una recta dada.

Sea P0 = (x0; y0) un punto exterior a la recta

L: Ax + By + C = 0, entonces la distancia de P0 a la recta L es:

d = |𝐴.𝑥0+𝐵.𝑦0+𝐶|

√𝐴2+ 𝐵2

Observación: La distancia entre dos rectas paralelas es igual a la longitud del segmento perpendicular a ambas rectas comprendido entre dichas rectas.

Sean las rectas; L1: Ax + By + C = 0 y L2: Ax + By + D = 0 Entonces la distancia entre las rectas es:

d = |𝐶−𝐷|

√𝐴2+ 𝐵2

Angulo de inclinación de una recta

Es el ángulo que forma una recta y el eje de las abscisas.





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α1 es la medida del ángulo de inclinación de la recta L1

y α2 es la medida del ángulo de inclinación de la recta

L2

La medida del ángulo de inclinación de una recta, se

realiza a partir del eje de abscisas, en sentido anti

horario, hacia la recta.

Pendiente de una recta (m)

Es la tangente del ángulo de inclinación de la recta.

Sea α la medida del ángulo de inclinación, entonces la

pendiente (m) de la recta L es:

𝑚 = 𝑡𝑎𝑛(𝛼)

Si la recta pasa por los puntos A(xa; ya) y B(xb; yb),

entonces la pendiente de la recta (m = tan(α)), lo

calculamos como m = ∆𝑦

∆𝑥 =

𝑦𝑏− 𝑦𝑎

𝑥𝑏− 𝑥𝑎

Angulo entre dos rectas

Para medir el ángulo entre dos rectas, es necesario

conocer las pendientes de ambas rectas y a partir de

ello calculamos la medida de su ángulo de inclinación.

Luego la medida del ángulo buscado es igual a la

diferencia de los ángulos de inclinación de las rectas.

Del gráfico α1 = θ + α2, entonces θ = α1 – α2, luego tanθ

= tan(α1 – α2)

tanθ = (tanα1 – tanα2)/(1 + tanα1.tanα2)

tanθ = 𝑚1 − 𝑚2

1 + 𝑚1.𝑚2

finalmente

θ = arc. tan ( 𝑚1 − 𝑚2

1 + 𝑚1.𝑚2 )

Observación:

Si α1 = α2, entonces las rectas son paralelas.

Si θ = 90°, entonces, tan θ es indeterminado, luego 1 +

m1.m2 = 0, de donde m1.m2 = -1





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Si las rectas son paralelas las pendientes de dichas

rectas son iguales.

Si las rectas son perpendiculares, el producto de sus

pendientes es -1

Aplicación:

01. Halle la medida del ángulo que forman dos rectas,

cuyas pendientes son -1/2 y -3, respectivamente.

Solución:

Sea θ la medida del ángulo que nos piden calcular,

entonces tanθ = 𝑚1 − 𝑚2

1 + 𝑚1.𝑚2, donde m1 y m2 son las

pendientes de las rectas, entonces si m1 = -1/2, luego

m2 = -3 y reemplazando en la ecuación anterior tan θ =

−1

2 + 3

1 + 1

2.3

= 5

25

2

= 1, de donde θ = 45°

Si m1 = -3 y m2 = -1/2, entonces tan θ = -1, de donde θ

= 135°.

Este problema tiene dos posibles respuestas, 45° y

135°.

02. Calcular los parámetros m y n para que las rectas

𝑟: 2𝑥 + 3𝑦 − 2 = 0 𝑦 𝑠: 𝑥 + 𝑚𝑦 + 𝑛 = 0 sean

a) Paralelas

b) Perpendiculares

c) Misma recta

Solución

Pondremos la recta r en forma explícita

2 2: ,

3 3r y x donde la pendiente es

2

3m

ordenada del origen es 2

3n

Ponemos ahora la recta s en forma explícita

1,

ns x

m m cuya pendiente es

1

m y su ordenada

en el origen es n

m

a) Paralelas, mismas pendientes 2 1

3 m

3,

2m Se cumple también que tienen distinta

ordenada en el origen 2

33

2

n n

m 1n

b) Perpendiculares, cuando son perpendiculares se

cumple que las pendientes cumplen

1 2 1´ :

13m

m

m

2

3m

c) Coincidentes cuando tienen misma pendiente y

ordenada en el origen es decir según vimos en a)

31.

2m y n

03. Los gastos en la producción de un producto están

representadas por la expresión g=400p+1000,

represente gráficamente los gastos respecto a la

producción y encuentre la cantidad de productos que

se pueden producir con un gasto de $5000.

Solución

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑔 = 5000, 5000 = 400𝑝 + 1000

5000 − 1000 = 400𝑝

4000/400=p

10 = 𝑝

04. En cierto país el porcentaje del producto nacional

bruto (PNB) dedicado a los gastos médicos pasó del

10,3%, en 1984, al 10,9%, en 1987. Suponiendo que el





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nivel de crecimiento continúa a esta misma razón,

escribir una ecuación lineal que permita describir el

porcentaje del producto nacional bruto dedicado a los

gastos médicos, y, en el año x.

Solución

El planteamiento del problema indica que:

𝑦 ∶ Porcentaje del PNB dedicado a gastos médicos

𝑥 ∶ Año

En 1984 (𝑥1) el PNB era 10,3% (𝑦1), es decir 𝑃1 (1984;

10,3)

En 1987 (𝑥2) el PNB era 10,9% (𝑦2), es decir 𝑃2 (1987;

10,9)

Con los puntos 𝑃1 (1984, 10.3) y 𝑃2(1987, 10.9), se

puede determinar la pendiente 2 1

2 1

y ym

x x

10,9 10,3 0,6

1987 1984 3m

0,2m

La pendiente representa en este caso la razón a la que

se da el nivel de crecimiento, es decir, la variación del

PNB con respecto a los años. Sustituyendo el valor de

la pendiente y las coordenadas de uno de los puntos en

la forma general de la ecuación, es posible obtener el

valor de b. (forma pendiente-intercepto)

Empleando el punto 𝑃2( 1987; 10,9) y la pendiente

m = 0,2, se tiene que: y = m x + b

10,9 = 0,2(1987) + 𝑏

10,9 = 397,4 + 𝑏

10,9 – 397,4 + 𝑏

𝑏 = −386,5.

La ecuación lineal que describe el porcentaje (y) del

PNB dedicado a los gastos médicos en un año (x) será:

𝑌 = 0,2𝑋 − 386,5

05. Hallar la ecuación de la recta que pasa

por 3,2 y es perpendicular a 𝑦 = −2𝑥 + 1.

Solución:

La recta dada es 12 xy , entonces la

pendiente 21 m , por el criterio de

perpendicular 2

12 m

Se utiliza el punto (-2, -3) y lo sustituimos en la ecuación

22

1

312

1

22

1

2

12

2

13

22

13

11

xy

xy

xxy

xy

xxmyy

EJERCICIOS

01. Encontrar la ecuación cartesiana ordinaria de la recta cuya ordenada al origen es −5 y cuya abscisa al origen es 3.

02. Determinar la ordenada y la abscisa al origen de 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0.

03. Encontrar la ecuación de la recta cuya ordenada y abscisa al origen suman 21 y su pendiente es 2.

04. Para las rectas que se presentan a continuación

indique si son paralelas o son perpendiculares.

Justifique su respuesta.

a) 2x − 3y + 7 = 0

b) 4x + 5y − 9 = 0

c) 4x − 6y − 15 = 0

d) 10x − 8y + 17 = 0

05. Encontrar la ecuación de una recta que pase por (1, 3) y sea paralela a 2x − 5y + 7 = 0.

06. Encontrar la ecuación de una recta que pase por (1, 3) y sea perpendicular a 2x − 5y + 7 = 0.

07. Encontrar la ecuación de una recta paralela a 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 con 𝐴2 + 𝐵2 ≠ 0 que contenga al punto (ℎ, 𝑘).

08. Si 𝐴(−1, 3), 𝐵(3, 7), 𝐶(7, 3) son los vértices de un triángulo: a) Determinar las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados.





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b) Determinar las ecuaciones de las rectas que contienen a las medianas. c) Determinar las ecuaciones de las rectas que contienen a las alturas 09. Encontrar la ecuación vectorial de la recta que pasa por (3, −4) y su pendiente es 2.

10. Encontrar la ecuación vectorial de la recta que pasa por (5, −3) y su pendiente no está definida.

11. Encontrar la ecuación vectorial de la recta que pasa

por (−3, 4) y su pendiente es cero.

a) 3𝑥 − 𝑦 − 8 = 0 𝑦 3𝑥 − 𝑦 − 15 = 0

b) 15𝑥 − 5𝑦 − 8 = 0 𝑦 12𝑥 − 4𝑦 + 5 = 0

13. Calcular el valor de 𝑘 tal que (2, 𝑘) sea equidistante de las rectas 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 y 𝑥 − 7𝑦 + 2 = 0.

14. Halla el valor de k para que las rectas 2𝑥 3𝑦 + 4 = 0; 3𝑥 + 𝑘𝑦 1 = 0, sean perpendiculares. 15. Calcula la distancia del punto 𝑃(3, 5) a la recta 𝑟 ∶ 𝑦 = 2𝑥 3 16. Halla la distancia de P a Q y de P a r, siendo: 𝑃(1,1), 𝑄(2, 3) y 𝑟: 3𝑥 𝑦 + 6 = 0. 17. Dados los puntos 𝑃(3, 2) y 𝑄(2, 4), y la recta 𝑟: 2𝑥 + 𝑦 3 = 0; calcula la distancia: a) Entre P y Q. b) De P a r. 18. Dado el triángulo de vértices 𝐴(1,1), 𝐵(1, 4) y 𝐶(5, 2), halla las ecuaciones de sus tres medianas y

calcula el baricentro punto de intersección de las

medianas.

19. se pide:

a Hallar el punto medio del segmento de extremos

P3, 2) y Q1, 5).

b Hallar el simétrico del punto P3, 2) con respecto a

Q1, 5). 20. Considera los puntos 𝐴1, 3), 𝐵2, 6) 𝑦 𝐶 𝑥 , 𝑦). Halla los valores de x e y para que C sea:

a El punto medio del segmento de extremos A y B.

b El simétrico de A con respecto a B. 21. Hallar la ecuación de la recta que satisface:

a) Pasa por el punto (−3, 1) y es paralela a la recta

determinada por los dos puntos (0, −2) 𝑦 (5, 2).

b) Pasa por el punto 𝐴(1, 5) y tiene pendiente 2.

c) Pasa por los puntos 𝐴(5, −3) 𝑦 𝐵(−7, 5).

d) tiene pendiente −3 e intersección con el eje y igual

−2.

e) tiene pendiente −4 y pasa por la intersección de las

rectas 2𝑥 + 𝑦 − 8 = 0 𝑦 3𝑥 − 2𝑦 + 9 = 0.

f) es perpendicular a la recta 3𝑥 − 4𝑦 + 11 = 0 y

pasa por el punto (−1, −3).

g) Pasa por el punto (3, 1) y tal que la distancia de esta

recta al punto (−1, 1) sea igual a 2 √2.

h) Pasa por el punto 𝐴(−6, 7) y forma con los ejes

coordenados un triángulo de área igual a 21

2.

i) Es paralela a la recta 5𝑥 + 12𝑦 − 2 = 0 y distanta

4 unidades de ella.

j) Pasa por el punto (2, −1) y que forma un ángulo de

45◦ con la recta 2𝑥 − 3𝑦 + 7 = 0.

BIBLIOGRAFÍA

Instituto de Ciencias y Humanidades. (2008). Algebra y principios del análisis. Lima: Lumbreras.

Zill, D., & Wright, W. (2011). Cálculo. Trascendentes tempranas. México, D.F: Mc Graw Hill.

Fuller, G., Wilson, W., & Miller, H. (1986). Algebra Universitaria. Mexico D.F: Continental.

Stewart, J. (2008). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. México, D.F: CENGAGE Learning.

REFERENCIA

http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtual/libros/matematicas/geometria/indice.htm

http://dme.ufro.cl/clinicamatematica/index.php/contenido-por-materia/geometria/ejercicios-resueltos







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