UNIVERSIDAD CENTRAL DEL EUADOR

FACULTAD DE INGENIERA QUMICA

ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIN DE ONDA

NOMBRE:

TINTIN JHONNY

PROFESOR:

GUSTAVO LOPEZ

FECHA DE ENTREGA: 2014-01-24

Quito Ecuador

2013-2014

ECUACIN DE ONDA

Considere una cuerda de longitud L, como una cuerda de guitarra, tensada entre dos

puntos en el eje x, por ejemplo en x=0 y en x=L. Cuando la cuerda comienza a vibrar,

suponemos que el movimiento es en el plano xu de tal manera que cada punto sobre la

cuerda se mueve en una direccin perpendicular al eje x (direcciones transversales).

Como se muestra en la figura, al hacer que u(x,t) denote el desplazamiento vertical de

cualquier punto sobre la cuerda medida desde el eje x para t >0. Adems suponemos

que:

La cuerda es perfectamente

flexible

La cuerda es homognea, es decir

su masa por unidad de longitud p es

una constante

Los desplazamientos u son

pequeos en comparacin con la

longitud de la cuerda

La pendiente de la cuerda es pequea en todos los puntos

La tensin T acta tangente a la cuerda y su magnitud T es igual en todos los puntos

La tensin es grande comparada con la fuerza de gravedad

No acta otra fuerza externa sobre la cuerda

Ahora en la siguiente figura las tensiones

T1 y T2 son tangentes a los extremos de la

curva en el intervalo [x, x + x]. Para 1 y

2 pequeas la fuerza neta vertical que

acta sobre el elemento correspondiente

s de la cuerda es entonces

[ ( ) ( )]

Donde T=| | | | Ahora s x es la masa de la cuerda en [x, x + x], por lo

que de la segunda ley de Newton se obtiene

[ ( ) ( )]

o [ ( ) ( )]

Si el lmite se toma como x 0, la ltima ecuacin se convierte en (

)

Con

PROBLEMA CON VALORES DE FRONTERA

El desplazamiento vertical u(x,t) de la cuerda vibratoria de longitud L que se muestra en

las figuras anteriores se determina a partir de

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

| ( ) ( )

Solucin del PVF

Con la suposicin usual de que u(x,t) = X(x)T(t), la separacin de variables en (1)

conduce a:

( )

Por lo que

( )

Las condiciones de frontera (2) se traducen en X(0) = 0 y X(L)= 0. La ecuacin (4)

junto con estas condiciones de frontera es el problema regular de Sturm-Liouville

( ) ( ) ( )

De las tres posibilidades usuales para el parmetro, =0, = - < 0 y = > 0, solo la

ltima eleccin conduce a soluciones no triviales. Correspondiendo a = 2, > 0, la

solucin general de (4) es

X(0) = 0 y X(L) = 0 indican que C1= 0 y C2 sen L= 0. Nuevamente la ltima ecuacin

implica que L = n o =

. Los eigenvalores y las correspondientes eigenfunciones

de (6) son n=

y X(t) = C2 Sen

, n = 1,2,3,.

La solucin general de la ecuacin de segundo orden (5) es entonces

( )

Reescribiendo C2C3 como An y C2C4 como Bn, las soluciones que satisfacen tanto la

ecuacin de onda (1) como las condiciones de frontera (2) son

(

)

( )

( ) (

)

( )

Y haciendo t=0 en (8) y utilizando la condicin inicial u(x,0) = f(x) se obtiene

( ) ( )

Puesto que la ltima serie es un desarrollo en un semiintervalo de f en una serie de

senos, podemos escribir An= bn ;

( )

( )

Para determinar Bn, derivamos la ecuacin (8) respecto a t y despus hacemos t=0:

(

)

| ( ) (

)

Para esta ltima serie que es el desarrollo en un semiintervalo de senos de la velocidad

inicial g en el intervalo, el coeficiente total

debe estar dado por la forma bn en la

ecuacin:

( )

De lo que se obtiene

( )

( )

La solucin del problema con valores de frontera (1) a (3) consiste en la serie (8) con

coeficientes An y Bn definimos por (9) y (10), respectivamente

Observamos que cuando la cuerda se libera a partir del reposo, entonces g(x) =0 para

toda x en el intervalo [ ] y por tanto, Bn = 0

CUERDA PULSADA

Un caso especial del problema con valores de frontera en (1) a (3) es el modelo de la

cuerda pulsada. Podemos ver el movimiento de la cuerda al trazar la grfica de la

solucin o desplazamiento u(x,t) para valores crecientes del tiempo t y utilizar la

aplicacin de animacin de un SAC. En la figuras siguientes se presentan algunos

marcos de un video generado de esta manera; en la figura a) se presenta la forma

inicial de la cuerda. Se le pide que intente reproducir los resultados que se presentan en

la figura trazando una secuencia de las sumas parciales de (8)

Ondas Estacionarias

De la deduccin de la ecuacin de onda unidimensional, la constante a que se encuentra

en la solucin del problema con valores en la frontera en las ecuaciones (1), (2) y (3)

est dada por

, donde es la masa por unidad de longitud y T es la magnitud de la

tensin en la cuerda.

Cuando T es suficientemente grande, la cuerda vibrando produce un sonido musical.

Este sonido es el resultado de ondas estacionarias. La solucin (8) es una superposicin

de las soluciones producto llamada ondas estacionarias o modos normales:

( ) ( ) ( ) ( )

En vista de las ecuaciones (6) y (7) las soluciones producto (7) se puede escribir como

( ) (

)

Donde y n=

y

. Para n = 1,2,3,. Las ondas

estacionarias son esencialmente las grficas de (

) , con una amplitud que vara

con el tiempo dada por

(

)

Alternativamente, vemos de (11) que a un valor fijo de x cada funcin producto ( )

representa un movimiento armnico simple con amplitud | (

)|| y frecuencia

fn=

. En otras palabras, cada punto en una onda estacionaria vibra con amplitud

diferente pero con la misma frecuencia. Cuando n=1

( ) (

)

Se llama Primera onda estacionaria, primer modo normal o modo fundamental de

vibracin. En la siguiente figura se muestran las primeras tres ondas estacionarias o

modos normales. Las grficas punteadas representan las ondas estacionarias en

diferentes valores de tiempo. Los puntos en el intervalo (0,L), para el cual

(

) , corresponden a puntos en una onda estacionaria donde no hay

movimiento. Estos puntos se llaman nodos. Como ejemplo, en las figuras b y c vemos

que la segunda estacionaria tiene un nodo en

y la tercer onda estacionaria tiene dos

nodos en

y

. En general, el n-simo modo normal de vibracin tiene n-1 nodos.

La frecuencia

Del primer modo normal se llama frecuencia fundamental o primer armnico y est

directamente relacionado con la altura del sonido que produce un instrumento de

cuerda. Es evidente que entre mayor sea la tensin en la cuerda, ms alto ser el sonido

que produce. Las frecuencias fn de los modos normales, que son mltiplos enteros de la

frecuencia fundamental, se llaman sobretonos. El segundo armnico es el primer

sobretono y as sucesivamente