Ecuacion de bernoulli_y_aplicaciones
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1 Prof. Aldo Tamburrino Tavantzis ECUACIÓN DE BERNOULLI y APLICACIONES γ = p g 2 v h B 2 Daniel Bernoulli (1700 – 1782) SUMA DE BERNOULLI
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Prof. Aldo Tamburrino Tavantzis
ECUACIÓN DE BERNOULLIy
APLICACIONES
γ++=
pg2
vhB
2
Daniel Bernoulli (1700 – 1782)
SUMA DE BERNOULLI
2
hp
g2
vB
2
+γ
+=
ALTURA DE VELOCIDAD
ALTURA DE PRESIÓN
COTA
COTA PIEZOMÉTRICA
hpp̂
+γ
=γ
COTA PIEZOMÉTRICA:
EL BERNOULLI Y LA COTA PIEZOMÉTRICA TIENEN DIMENSIONES DE LONGITUD
SUMA DE BERNOULLIγ
++=p
g2
vhB
2
γp
h
g2v2
2
D1
D2
v1
v2
γp
h
g2v2
1
γp
h
g2v2
1
NIVEL DE REFERENCIA
B
3
ECUACIÓN (o PRINCIPIO) DE BERNOULLI
h1
h2
NIVEL DE REFERENCIA
v2
v1
(1) (2)
p1
p2
La ecuación de Bernoulli
junto a la ecuación de continuidad
son fundamentales para la resolución de los problemas de la Dinámica de los Fluidos
γ++=
γ++ 2
22
21
21
1p
g2v
hp
g2v
h
2211 AvAv =
APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
Principio de Torricelli:
“La velocidad con la que sale un líquido por el orificio de un recipiente es igual a la que adquiriría un cuerpo que se dejara caer libremente desde la superficie libre del líquido hasta el nivel del orificio”.
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APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLIApliquemos la ecuación de Bernoulli entre los puntos (1) y (2) considerando que el nivel del líquido (H) permanece constante.
B1 = B2
En el punto (1): h1 = H, p1 = patm (o p1 = 0 si trabajamos con presiones relativas). Como el nivel se mantiene constante: v1 = 0.
En el punto (2): h2 = h, p2 = patm (o p2 = 0 si trabajamos con conpresiones relativas).
De donde despejamos la velocidad de salida:
(1) •
•
(2)
H
h
NIVEL DE REFERENCIA
γ++=
γ++ 2
22
21
21
1p
g2v
hp
g2v
h
γ++=
γ++ atm
22atm pg2
vh
p0H
( )hHg2v2 −=
APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
FLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN
Continuidad: El caudal es el mismo en las secciones (1), (2) y (3)
Conservación de la energía: El Bernoulli es el mismo en las secciones (1), (2) y (3)
V1
V2V3
D1 D2 D3
p1 p2
p3
(1) (2) (3)
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APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLIFLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN
Continuidad:
Q1 = Q2 = Q3 = Q
V1
V2V3
D1 D2 D3
p1 p2
p3
(1) (2) (3)
33
22
11
AQ
v
AQ
v,AQ
v
=
==
Como D2 < D1 < D3 , se tiene que A2 < A1 < A3 , resultando que V2 > V1 > V3
APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLIFLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN
Conservación de la energía:
B1 = B2 = B3 = B
V1
V2V3
D1 D2 D3
p1 p2
p3
(1) (2) (3)
γ++=
γ++=
γ++=
323
33
222
22
121
11
pg2
vhB
pg2
vhB
pg2
vhB
Consideremos que la tubería es horizontal y que el nivel de referencia estáen el eje de la tubería. Esto significa que h1 = h2 = h3 = 0 y las ecuaciones de Bernoulli se reducen a:
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APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLIFLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN
V1
V2V3
D1 D2 D3
p1 p2
p3
(1) (2) (3)
γ+=
γ+=
γ+=
323
3
222
2
121
1
pg2
vB
pg2
vB
pg2
vB
Como B1 = B2 = B3 = B , tenemos que la presión en cada sección es igual a:
−γ=
−γ=
−γ=
g2v
Bp,g2
vBp,
g2v
Bp23
3
22
2
21
1
O sea, en las secciones de menor diámetro, el área es menor, la velocidad es mayor y la presión es menor.
APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLIFLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN
La presión es menor en las secciones de mayor velocidad
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APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
TUBO DE VENTURI
o VENTURÍMETRO:Venturi tuvo la idea de medir las presiones en la sección de mayor área y en la de menor área para determinar el caudal que escurre por la tubería.
GIOVANNI BATISTA VENTURI
(1746 – 1822)γ
−γ
=−
γ+=
γ+
=
2121
22
2221
21
21
ppg2
vg2
v
pg2
vpg2
v
BB
APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
VENTURÍMETRO:
Además
Reemplazando en la ecuación anterior:
22
11 A
Qv,
AQ
v ==
γ−
−=
γ
−γ
=
−
γ
−γ
=−
21
22
21
21
2122
21
22
212
2121
2
22
2
ppg2
AA
AAQ
ppg2
AAAA
Q
ppg2
A
Q
A
Q
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APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
VENTURÍMETRO:
En las aplicaciones prácticas se usa:
Donde C es una constante empírica que se calibra para cada venturímetro
γ−
= 21 ppCQ
APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
DIAFRAGMA o PLACA ORIFICIO:
El mismo principio que el usado en el venturímetro se utiliza en la placa orificio o diafragma.
(1) (2)
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APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
DIAFRAGMA o PLACA ORIFICIO:
Sea A el área de la tubería y A0 el de la placa orificio.
En la sección (2) el área del chorro es ccA0.
El problema es esencialmente el mismo que el del venturímetro, resultando, reemplazando A1 por A y A2 por ccA0 en la expresión final: (1) (2)
p1 p2
( ) γ−
−= 21
20c
2
0c ppg2
AcA
AAcQ
En aplicaciones prácticas se utiliza
Donde C’ se calibra experimentalmente.
γ−
= 21 pp´CQ
PUNTOS DE ESTANCAMIENTO
Los puntos de estancamiento son puntos del flujo en los que la velocidad es nula.
Ellos surgen para compatibilizar físicamente puntos en los que las líneas de corriente tienen radio de curvatura tendiendo a cero.
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PUNTOS DE ESTANCAMIENTO
LÍNEAS DE CORRIENTE
PUNTO DE ESTANCAMIENTO (PE)
(0) (PE)
Se cumple: B0 = BPE
PUNTOS DE ESTANCAMIENTO
(0) (PE)B0 = BPE
γ=
γ+ PE0
20 ppg2
v
PRESIÓN ESTÁTICA
PRESIÓN DINÁMICA
γ−
= 0PE0
ppg2v
Podemos conocer la velocidad:
11
PUNTOS DE ESTANCAMIENTO
(0) (PE)
Podemos conocer la velocidad:
⇓
γ−
= 0PE0
ppg2v
Instrumento para medir la velocidad de los fluidos: TUBO DE PITOT
TUBO DE PITOTInventado en 1732 por Henri de Pitot(1695 – 1771) para determinar el caudal del río Sena (Francia)
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TUBO DE PITOT
El punto (2) es un punto de estancamiento
TUBO DE PITOT
B1 = B2
Como el punto (2) es un punto de estancamiento
p1 y p2 las ligamos con las presión que hay dentro del tubo. En el tubo la situación es hidrostática:
Pero pA = pB = patm , de donde resulta que
v1
γ=
γ+ 21
21 ppg2
v
γ−
= 121
ppg2v
( )LHpp,Lpp B2A1 +γ+=γ+=
gH2vHpp 112 =⇒γ=−
