UNIVERSIDAD CENTRAL DEL EUADOR
FACULTAD DE INGENIERA QUMICA
ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIN DE ONDA
NOMBRE:
TINTIN JHONNY
PROFESOR:
GUSTAVO LOPEZ
FECHA DE ENTREGA: 2014-01-24
Quito Ecuador
2013-2014
ECUACIN DE ONDA
Considere una cuerda de longitud L, como una cuerda de guitarra, tensada entre dos
puntos en el eje x, por ejemplo en x=0 y en x=L. Cuando la cuerda comienza a vibrar,
suponemos que el movimiento es en el plano xu de tal manera que cada punto sobre la
cuerda se mueve en una direccin perpendicular al eje x (direcciones transversales).
Como se muestra en la figura, al hacer que u(x,t) denote el desplazamiento vertical de
cualquier punto sobre la cuerda medida desde el eje x para t >0. Adems suponemos
que:
La cuerda es perfectamente
flexible
La cuerda es homognea, es decir
su masa por unidad de longitud p es
una constante
Los desplazamientos u son
pequeos en comparacin con la
longitud de la cuerda
La pendiente de la cuerda es pequea en todos los puntos
La tensin T acta tangente a la cuerda y su magnitud T es igual en todos los puntos
La tensin es grande comparada con la fuerza de gravedad
No acta otra fuerza externa sobre la cuerda
Ahora en la siguiente figura las tensiones
T1 y T2 son tangentes a los extremos de la
curva en el intervalo [x, x + x]. Para 1 y
2 pequeas la fuerza neta vertical que
acta sobre el elemento correspondiente
s de la cuerda es entonces
[ ( ) ( )]
Donde T=| | | | Ahora s x es la masa de la cuerda en [x, x + x], por lo
que de la segunda ley de Newton se obtiene
[ ( ) ( )]
o [ ( ) ( )]
Si el lmite se toma como x 0, la ltima ecuacin se convierte en (
)
Con
PROBLEMA CON VALORES DE FRONTERA
El desplazamiento vertical u(x,t) de la cuerda vibratoria de longitud L que se muestra en
las figuras anteriores se determina a partir de
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
| ( ) ( )
Solucin del PVF
Con la suposicin usual de que u(x,t) = X(x)T(t), la separacin de variables en (1)
conduce a:
( )
Por lo que
( )
Las condiciones de frontera (2) se traducen en X(0) = 0 y X(L)= 0. La ecuacin (4)
junto con estas condiciones de frontera es el problema regular de Sturm-Liouville
( ) ( ) ( )
De las tres posibilidades usuales para el parmetro, =0, = - < 0 y = > 0, solo la
ltima eleccin conduce a soluciones no triviales. Correspondiendo a = 2, > 0, la
solucin general de (4) es
X(0) = 0 y X(L) = 0 indican que C1= 0 y C2 sen L= 0. Nuevamente la ltima ecuacin
implica que L = n o =
. Los eigenvalores y las correspondientes eigenfunciones
de (6) son n=
y X(t) = C2 Sen
, n = 1,2,3,.
La solucin general de la ecuacin de segundo orden (5) es entonces
( )
Reescribiendo C2C3 como An y C2C4 como Bn, las soluciones que satisfacen tanto la
ecuacin de onda (1) como las condiciones de frontera (2) son
(
)
( )
( ) (
)
( )
Y haciendo t=0 en (8) y utilizando la condicin inicial u(x,0) = f(x) se obtiene
( ) ( )
Puesto que la ltima serie es un desarrollo en un semiintervalo de f en una serie de
senos, podemos escribir An= bn ;
( )
( )
Para determinar Bn, derivamos la ecuacin (8) respecto a t y despus hacemos t=0:
(
)
| ( ) (
)
Para esta ltima serie que es el desarrollo en un semiintervalo de senos de la velocidad
inicial g en el intervalo, el coeficiente total
debe estar dado por la forma bn en la
ecuacin:
( )
De lo que se obtiene
( )
( )
La solucin del problema con valores de frontera (1) a (3) consiste en la serie (8) con
coeficientes An y Bn definimos por (9) y (10), respectivamente
Observamos que cuando la cuerda se libera a partir del reposo, entonces g(x) =0 para
toda x en el intervalo [ ] y por tanto, Bn = 0
CUERDA PULSADA
Un caso especial del problema con valores de frontera en (1) a (3) es el modelo de la
cuerda pulsada. Podemos ver el movimiento de la cuerda al trazar la grfica de la
solucin o desplazamiento u(x,t) para valores crecientes del tiempo t y utilizar la
aplicacin de animacin de un SAC. En la figuras siguientes se presentan algunos
marcos de un video generado de esta manera; en la figura a) se presenta la forma
inicial de la cuerda. Se le pide que intente reproducir los resultados que se presentan en
la figura trazando una secuencia de las sumas parciales de (8)
Ondas Estacionarias
De la deduccin de la ecuacin de onda unidimensional, la constante a que se encuentra
en la solucin del problema con valores en la frontera en las ecuaciones (1), (2) y (3)
est dada por
, donde es la masa por unidad de longitud y T es la magnitud de la
tensin en la cuerda.
Cuando T es suficientemente grande, la cuerda vibrando produce un sonido musical.
Este sonido es el resultado de ondas estacionarias. La solucin (8) es una superposicin
de las soluciones producto llamada ondas estacionarias o modos normales:
( ) ( ) ( ) ( )
En vista de las ecuaciones (6) y (7) las soluciones producto (7) se puede escribir como
( ) (
)
Donde y n=
y
. Para n = 1,2,3,. Las ondas
estacionarias son esencialmente las grficas de (
) , con una amplitud que vara
con el tiempo dada por
(
)
Alternativamente, vemos de (11) que a un valor fijo de x cada funcin producto ( )
representa un movimiento armnico simple con amplitud | (
)|| y frecuencia
fn=
. En otras palabras, cada punto en una onda estacionaria vibra con amplitud
diferente pero con la misma frecuencia. Cuando n=1
( ) (
)
Se llama Primera onda estacionaria, primer modo normal o modo fundamental de
vibracin. En la siguiente figura se muestran las primeras tres ondas estacionarias o
modos normales. Las grficas punteadas representan las ondas estacionarias en
diferentes valores de tiempo. Los puntos en el intervalo (0,L), para el cual
(
) , corresponden a puntos en una onda estacionaria donde no hay
movimiento. Estos puntos se llaman nodos. Como ejemplo, en las figuras b y c vemos
que la segunda estacionaria tiene un nodo en
y la tercer onda estacionaria tiene dos
nodos en
y
. En general, el n-simo modo normal de vibracin tiene n-1 nodos.
La frecuencia
Del primer modo normal se llama frecuencia fundamental o primer armnico y est
directamente relacionado con la altura del sonido que produce un instrumento de
cuerda. Es evidente que entre mayor sea la tensin en la cuerda, ms alto ser el sonido
que produce. Las frecuencias fn de los modos normales, que son mltiplos enteros de la
frecuencia fundamental, se llaman sobretonos. El segundo armnico es el primer
sobretono y as sucesivamente