SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA PLACE EN UN RECTÁNGULO

(completo)

Considérese la ecuación elíptica de La Place:

uxx + uyy = O

En un rectángulo O < x < I y O < x < I , con las condiciones de frontera

siguientes:

u(0 , y) = u(l , y) = O

u(x , 0) - /(je) y u(x , i] = g(x)

Esta ecuación se resolverá pur el procedimiento de separación de variables, o sea que se propone

una solución de ¡a forma:

u (x , y) = M(x)W(y)

Derivando con respecto a x:

du ,. ,— =N(y)M\x)ax

Volviendo a derivar:

Derivando respecto a y:

dU ,

Volviendo a derivar:

Sustituyendo en !a ecuación diferencia!:

tf(y)M"Cr) + M(x)Ar"'(y) = O

»" (y) _ n

Osea:

N"(y) =

Finalmente se obtiene la ecuación diferencial para W(y):

N"(y) - A N ( y ) = O

Para M(x) se tiene:

"

M"(x) + AM(x) = O

Solución de las ecuaciones:

Como la ecuación para N (y) es una ecuación lineal, se resolverá de la manera clásica, calculando

i3s raices uci poi¡nofmo característico:

r2 -- 1 = O cuyas raíces son rx = + VI y r2 = — VA

Así que la solución general es:

/v'íy) = aexpivA y j + úexp^ MA y)

Donde a y b son constantes por determinar.

En cuanto a la ecuación:

M"(x)+ ÁM(x) = O

Se reconoce inmediatamente que tiene ia forma de ia ecuación dei oscilador armónico cuya

solución es:

MOO = Acos(JIx) + B sent^Áx}

Las condiciones de frontera para xson :

u(0 , y) - u(í , y) = O

Entonces:

u(0 , y) = N(y)M(0) = O

Lo que implica que:

Af(0)= ylcos(O) + Bsen(O) = O

2.

(y y) + bk cosh(y y)

Sin embargo, afín de evaluar las condiciones de frontera conviene expresar las funciones Nfe(y)

como una suma de funciones seno. Empleando identidades para las funciones hiperbólicas es

posibles expresar tales funciones como:

Wfe (y) = ah senh (~ y) + bk senh (y (y - í)J

De esta forma, las soluciones para la ecuación de Laplace, uk(x , y), se escriben como:

uk(x , y) = [ak senh [~ yj + bk senh [y (y - Í)J] Jysen(y x)

La solución formal general para la ecuación de Laplace se obtiene como una superposición lineal

Las constantes ak y bkse determinan a partir de las condiciones de frontera :

u(x,0) - /(*) y u(x , 1) = g(x)

O sea:

--- wk el ¡2 fnk \ií(r,0) = V^= ^h^senh I -- í l /- sen \-r X) =

u(x,T) = Z?= iak senh [̂ í] sen (^ x) = 5W

A fin de determinar las constantes ak y bk se utiliza la ortonormalidad de las eigenfunciones de

M(x) o seaque (<pk(x) , <pj(x)) = O 517 ^ /cyesls i j = /c : así:

- T f] sen (T/o se" (T

f*sm (T *) 5en (T

Entonces, usando la ortonormalidad se tiene:

bk senh [- y 1] = fj(x)sen (y x) dx

Osea:

3

Como cos(O) = 1 , esto implica A = 0. Como sen (0) = O, entonces B ^ 0. La constante

8 se asimila a las constantes de N(k~), así que la solución tendrá la forma:

u(x , y) = /V(y)sen (VA x]

Considérese ahora la condición de frontera :

u(l , y) = JV(y)M(/) = JV(y) sen (VI í) = O

Lo que implica que sen (VA /) = O, condición que se cumple si:

VA l = nk , k = 1, 2 , . . .

Esta ecuación produce e¡ conjunto de eigenvaiores {/t¿}:

= j- senv '

Las eigenfunciones para M(x), ya normalizadas serán:

I i x)

Y en consecuencia, las eigenfunciones para N(y) serán:

(nk \ (nk \Nk (y) = ak exp — y + bk exp! — y 1

\ I / \ L /

Obsérvese que puesto que:

senft(x) = -—-^— y

2cosh(x) = ex + e~x

Sumando miembro a miembro:

2[senh (x} + cosh(x)] = 2ex

ex = coshO) + sen/i (z)

Y restando miembro a miembro:

2[cosh{» - senh(x)] = 2e~x

e~x = cosh(x) + sen/i(x)

Las funciones Nk(y) se pueden escribir corno:

De igual manera se obtiene que:

afc ~ u (nk í\sentí \-j- ¡J

Observaciones.

La función u(x , y) un desplazamiento de estado continuo o de equilibrio de una membrana

estirada, como la de un tambor, sujeta por medio de un marco rectangular que sigue un

movimiento de acuerdo a ias condiciones de frontera que se fijaron en este problema y que se

repitan aquí como recordatorio:

u(0,y) = u(/,.y) = O

u(x,0) =/(x) y u(x,í) = g(x)

Las condiciones impuestas en x = O y x = I fueron determinante para calcular el conjunto de

eigenvalores. Sin embargo parece que tales condiciones son un poco artificiales y particulares. Se

pueden estables condiciones de frontera diferentes de cero en esos puntos por medio de dos

conjuntos de condiciones de frontera. El primer conjunto seria como ei anterior:

u(0,y) - w(/,y) = 0

ií(*,0) = /(*) y u(x,t) = g(x)

Con el que se obtendría un conjunto de eigenvalores y una serie de Fourier igual a ios obtenidos

aquí.

Y otro conjunto de condiciones de frontera igual a! siguiente:

u(0,y) = /i(y) y u( / ,y) = m(y)

u(;c,0) = u(x ,F) = O

Con el que obtendría un conjunto de eigenvalores y una serie de Fourier diferente a la anterior,

pero con ia unión de ambos conjuntos de eigenvalores y !a suma de las dos series se obtendría una

solución a un problema que tuviera condiciones arbitrarias de frontera, aunque el problema

tendría como dominio de definición de la solución, un cuadrado de la forma : O < x < I y

O < y < í.

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