Solución de la Ecuación de Laplace

5/9/2018 Solución de la Ecuación de Laplace - slidepdf.com

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Solución de la Ecuación de Laplaceen

Coordenadas Cilíndricas Si en alguna situación se presenta cierta simetría cilíndrica conviene tener la solución dela Ecuación de Laplace en términos de las coordenadas cilíndricas para ajustarla a lascondiciones de fronteras particulares del problema. La Ecuación de Laplace encoordenadas cilíndricas es:

( ) .0z

VV

r

1

r

Vr

r r

1z,,r V

2

2

2

2

2

2 =∂∂

+∂θ∂

+

∂∂

∂∂

=θ∇(111)

con V función de r, θ , z. Comenzaremos por obtener la solución general en donde sólose tiene dependencia radial, para luego tratar el caso en donde no se tiene dependenciaen la coordenada Z, y finalmente donde se tiene dependencia en las tres coordenadas.

Dependencia Radial.

Cuando sólo se tiene dependencia en la variable radial de las coordenadas cilíndricas, laEcuación de Laplace se reduce a:

.0dr

)r (dVr

dr

d =

(112) Para determinar la solución general de V(r), integramos, obteniendo:

.Adr

)r (dVr 0=

Dividiendo entre r e integrando de nuevo, tenemos que el potencial eléctrico es:

.Bln(r)A)r (V 00 += (113) Ejemplo 1. Determinar el potencial para cualquier distancia radial r entre dos cilindroscoaxiales de radios R 1 y R 2 (R 1 < R 2 ), que se encuentran a potenciales V 1 y V 2 ,respectivamente.

Solución 1. Las condiciones de frontera son: (a) En la superficie del cilindro de radio R 1 el potencial es:

.V)Rr (V 11 == (114) (b) En la superficie del cilindro de radio R 2 el potencial es:

.V)Rr (V 22 == (115)

Aplicando la condición de frontera indicada en (a), tenemos la relación:

;B)ln(RAV 0101 +=



y al considerar la condición señalada en el punto (b),

.B)ln(RAV 0202 +=

A partir de estas dos ecuaciones se tiene que las constantes son:

,)R/Rln(

VVA

12

120

−=

;)R/Rln(

)Rln(V)Rln(VB

12

12210

−=

por lo que el potencial se puede escribir como:

( ) .)R/Rln(

)Rln(V)Rln(V)r ln(VV)r (V12

122112 −+−=(116)

Dependencia Radial y Angular.

Cuando no se tiene dependencia en la coordenada Z, la Ecuación de Laplace toma laforma:

( ) .0V

r

1

r

Vr

r r

1,r V

2

2

2

2 =∂θ

∂+

∂∂

∂∂

=θ∇(117)

Considerando como solución mediante el método de separación de variables, con el potencial en la forma:

( ) ( ) ( ) ,f r f ,r V 21 θ=θ (118) al sustituir en la Ecuación de Laplace, y dividir entre ella, tenemos:

( )( )

( )

( ),n

d

f d

f r

1

dr

r df r

dr

d

r rf

1 2

2

22

22

1

1

=θ

θ

θ−=

siendo n2 una constante de separación. Con esto la ecuación separada para la variable

, es:

( )( ) ,0f n

d

f d 2

2

2

22

=θ+θ

θ

(119) con solución:

( ) ( ) ( ) ,nsenDncosCDeCef n-iin2 θ′+θ′=+=θ θθ

(120)

Mientras que la parte de la ecuación dependiente de la coordenada r queda como:



( )( ) .0r f n

dr

r df r

dr

dr 1

21 =−

(121)

Para n ≠ 0, si se propone como solución una función f 1(r) = r p, al sustituir en la ecuaciónse tiene una ecuación cuadrática para p, con soluciones:

;npy,np 21 −==

de tal manera que la solución general para la parte radial, con n ≠ 0, es:

( ) .r Br Ar f -nn

nn1 += (122)

Si n =0, la ecuación para la parte radial resulta:

( ),0

dr

r df r

dr

d 10 =

la cual, al integrar directamente, tiene como solución (ver ec. 113):

( ) ( ) .'Br ln'Ar f 0010 +=

Mientras que la ecuación correspondiente a la parte angular (ec. 119), para n = 0, es:

( ),0

d

f d

2

202

=θ

θ

con solución:

( ) .''B''Ar f 0020 +θ=

Por lo tanto, la solución general de la Ecuación de Laplace, independiente de lacoordenada Z, es:

( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( )[ ] .nsenDncosCr Br Ar lnDCr lnBA,r V1=n

nn-n

nn

n0000 ∑∞

θ+θ++θ+θ++=θ(123)

Ejemplo 2. Un cilindro de material dieléctrico, con permitividad eléctrica ε y radio R, secoloca en una región del espacio en donde se tiene originalmente un campo uniforme E0,

de manera que el eje del cilindro queda perpendicular a la dirección del campo.Determinar el campo eléctrico, tanto en el interior como en el exterior del cilindro.

Solución 2. En este caso debemos de proponer una solución para el interior:

( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( )[ ] ,nsenDncosCr Br Ar ln'D'Cr lnBA,r V1=n

nnn-

nn

n0000i ∑∞

θ′+θ′′+′+θ+θ+′+′=θ(124)

y otra para el exterior:

( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( )[ ] .nsenDncosCr Br Ar lnDCr lnBA,r V

1=n

nn-n

nn

n0000e ∑∞

θ+θ++θ+θ++=θ(125)



Las condiciones que deben de satisfacerse para determinar los valores de loscoeficientes son: (a) Al considerar al campo externo para cuando r tiende a ser muy grande,

prácticamente debe de ser igual al campo eléctrico uniforme original,

( ) ,ˆEr 00e iEE ==∞→

o en términos del potencial:

( ) ( ) ,Vcosr EVxEr V 0000e +θ−=+−=∞→ (126)

siendo V 0 una constante, que representa a un potencial de referencia.

(b) El potencial debe ser finito en el interior. (c) En la frontera entre los dos medios (en r = R), se debe de tener la continuidad en

las componentes interna y externa del campo eléctrico tangentes a la superficie,esto es:

( ) ( ) ;Rr ERr E etit === (127)

Esta condición se puede escribir en función de los potenciales considerando queel negativo de la componente angular θ del gradiente corresponde a la direccióntangente a la superficie, de tal forma que la condición 127 queda como:

;VV

R=r

e

R=r

i

∂θ

∂=

∂θ∂

(128) (d) En la frontera entre los dos medios (en r = R), también se debe tener continuidad

en las componentes del desplazamiento eléctrico normales a la superficie, estacondición escrita en términos de los campos eléctricos es:

( ) ( ) .Rr ERr E en0in =ε==ε (129)

Esta condición se puede escribir en función de los potenciales considerando queel negativo de la componente radial del gradiente corresponde a la direcciónnormal a la superficie, de tal forma que la condición 129 queda expresada como:

.r

V

r

V

R=r

e0

R=r

i

∂

∂ε=

∂

∂ε

(130)

De la condición 126 para el potencial en el exterior, tenemos:

( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( )[ ]

( ){ } , Vcosr Elim

nsenDncosCr Br Ar lnDCr lnBAlimr V

00r

1=n

nnn-

nn

n0000r e

+θ−=

θ+θ++θ+θ++=∞→

∞→

∞

∞→ ∑

de donde se tienen los valores para los coeficientes:



,0D

,0C

,0B

,VA

0

0

0

00

=

=

=

=

n,todapara 0DA

y2,npara 0CA

,ECA

nn

nn

011

=

≥=

−=

quedando la expresión para el potencial en el exterior como:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] .nsenDncosCr Bcosr EV,r V=1n

nnn-

n00e ∑∞

θ+θ+θ−=θ(131)

De la condición que el potencial eléctrico sea finito en el interior, cuando r tiende

a cero se tiene:

( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( )[ ]

,finitacantidad

nsenDncosCr Br Ar ln'D'Cr lnBAlim0r V1=n

nnn-

nn

n00000r i

=

θ′+θ′′+′+θ+θ+′+′=→ ∑∞

→

se tienen los valores de los coeficientes:

n,todapara 0DBCB

,0D'

,0B

nnnn

0

0

=′′=′′==′

con esto la expresión para el potencial eléctrico en el interior queda como:

( ) ( ) ( )[ ] .nsenDncosCr A'CA,r V1=n

nnn

n00i ∑∞

θ′+θ′′+θ+′=θ(132)

Al aplicar las condiciones de frontera de la superficie esférica, de la ecuación 128,

obtenemos:

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ,ncosDnsenCRAn'C

ncosDnsenCRnBRsenE

1=nnn

nn0

1=nnn

n-n0

∑

∑

∞

∞

θ′+θ′−′+=

θ+θ−+θ

de donde, al agrupar en términos de las funciones seno y coseno de n , que sonlinealmente independientes, se derivan las relaciones:

;1npara RDARDB

y,2npara RCARCB

,RCARCBRE

,0'C

nnn

n-nn

nnn

n-nn

111

110

0

≥′′=

≥′′=

′′−=−

=−

(133)

y de la ecuación 130, tenemos:



( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ,nsenDncosCRAn

nsenDncosCRnBcosE

=1n

nn1-n

n

=1nnn

1-n-n00

θ′+θ′′ε=

θ+θ−+θ−ε

∑

∑∞

∞

de donde se obtienen las relaciones:

.1npara RDARDB

y,2npara RCARCB

,CARCBE

1n-nn

1-n-nn0

1n-nn

1-n-nn0

112

11000

≥′′ε=ε−

≥′′ε=ε−

′′ε=ε−ε− −

(134)

A partir de las relaciones indicadas en 133 y 134 se obtienen los valores para lasconstantes:

.1npara 0DADB

y,2npara 0CACB

,2

ECA

,RECB

nnnn

nnnn

0

0011

0

02011

≥=′′=

≥=′′=

ε+εε

−=′′

ε+εε−ε

=

Con esto, las funciones de potencial eléctrico resultantes para el interior y el exterior son,respectivamente:

( ) ( ) ,cosr 2EA,r V0

000i θ

ε+εε−′=θ

(135)

( ) ( ) ( ) ;cosr REcosr EV,r V 1

0

02000e θ

ε+εε−ε

+θ−=θ −

(136)

de donde, al agrupar en términos de las funciones seno y coseno de nθ , que sonlinealmente independientes, se derivan las relaciones:

,ˆ2

E0

00i iE

ε+ε

ε=

(137)

( ) ( )[ ] .ˆsenˆcosr

REˆE

2

2

0

000e θθ+θ

ε+εε−ε

+= r iE

(138) Es decir que el campo eléctrico es uniforme en el interior, mientras que el campo en el exterior es el campo uniforme original más un campo asociado con la polarización del material. En la figura 9 se muestran las líneas de campo eléctrico y las líneasequipotenciales correspondientes.



X/R

Y/R

Figura 9. Líneas de campo y equipotenciales en el interior y exterior de un cilindro dieléctrico.

Dependencia en las Tres Coordenadas Cilíndricas. La Ecuación de Laplace en función de las coordenadas cilíndricas es:

( ) .0z

VV

r

1

r

Vr r r

1z,,r V 2

2

2

2

22 =∂∂+∂θ∂+ ∂∂∂∂=θ∇(139)

Considerando como solución mediante el método de separación de variables, con el potencial en la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ,zf f r f z,,r V 321 θ=θ (140) al sustituir en la Ecuación de Laplace tenemos:

( )

( )

( )

( )

( )

( ),

dz

zf d

zf

1

d

f d

f r

1

dr

r df r

dr

d

r rf

1 2

2

32

32

22

22

1

1

β−=−

=θ

θ

θ+

(141) siendo b2 una constante de separación. La parte de la ecuación que corresponde a lacoordenada Z:

( )( ) ,0zf

dz

zf d 3

2

2

32

=β−(142)

tiene como solución:

( ) .BeAezf z-z

3

ββ

+= (143)



Por otra parte, los términos de la ecuación correspondientes a las coordenadas r y θ , se pueden escribir como:

( )( )

( )( )

,nd

f d

f

1r

dr

r df r

dr

d

r f

r 2

2

22

2

221

1

=θ

θθ

−=β+

(144)

siendo n2 una segunda constante de separación. Con esto las ecuaciones separadas para cada variable son, para θ :

( )( ) ,0f n

d

f d 2

2

2

22

=θ+θ

θ

(145) con solución:

( ) ( ) ( ) ;nsenDncosCDeCef n-iin2 θ′+θ′=+=θ θθ

(146)

y para r, se tiene la ecuación:

( ) ( ) ( ) ,0r f nr dr

r df r

dr

dr 1

2221 =−β+

(147.a) conocida como la Ecuación de Bessel, que en ocasiones es escrita en la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) .0r f nr dr

r df r

dr

r f dr 1

2221

2

12

2 =−β++(147.b)

La solución de la Ecuación de Bessel tiene como solución general una combinaciónlineal de las funciones de Bessel, J n(br), y las funciones de Neumann, N n(br),

( ) ( ) ( )[ ] .r NFr JEr f n

nnnn1 ∑ β+β=(148)

Las funciones de Bessel se pueden expresar en forma de serie:

( )( )( )

,2

r

!sn!s

1r J

0=s

2s+ns

n ∑∞

+−

=(149.a)

o de manera integral:

( ) ( )( ) .drsenncos1

r J

0

n ∫ π

ϕϕ−ϕπ

=(149.b)

Las funciones de Bessel oscilan pero no son periódicas, mientras que su amplitud decrece como r -1/2 . La figura 10 muestra la gráfica de algunas de las funciones de Bessel.

Las funciones de Bessel con n negativo son dependientes de las funciones con n positivo, y satisfacen la relación de recurrencia:

( ) ( ) ( ) entero.ncon,r J1r J nn

n- −= (150)



Otra relación de recurrencia en términos de derivadas de las funciones es:

( )[ ]( ) .r Jr

dr

r Jr d 1+n

n-n-n

−=(151)

Figura 1. Gráfica de las funciones de Bessel: J 0 (r) a J 2 (r).

Cuando se trabaja con las funciones de Bessel para ajustar a las funciones a lascondiciones de frontera, supongamos en un radio R, los valores en los cuales lasfunciones son cero son importantes. En la tabla III se muestran algunos de los valores der para los cuales las funciones de Bessel J 0 (r) a J 5 (r) se anulan.

Las funciones de Bessel son ortogonales, y esto se expresa considerando a lasfunciones con un argumento de anp, la p-ésima raíz del la función n-ésima de Bessel,como, J n(anp r/R), de tal manera que:

( )[ ] .q=psiJ

2

R

,qpsi0

rdr R

r J

R

r J 2

np1+n

2nqn

R

0

npn

α

≠=

α

α∫ (152)

Númerode cero

J 0 (r) J 1(r) J 2 (r) J 3(r) J 4(r) J 5 (r)

1 2.4048 3.8317 5.1356 6.3802 7.5883 8.7715

2 5.5201 7.0156 8.4172 9.7610 11.0647 12.3386

3 8.6537 10.1735 11.6198 13.0152 14.2725 15.7002

4 11.7915 13.3237 14.7960 16.2235 17.6160 18.9801

5 14.9309 16.4706 17.9598 19.4094 20.8269 22.2178

Tabla I. Ceros de funciones de Bessel.

Por otra parte, las funciones de Neumann están definidas en términos de lasfunciones de Bessel, para n entero, como:

( )( )

( )( )

.n

r J1

n

r J1r N n-nn

n

∂

∂−−

∂∂

π=

(153.a) Sustituyendo a las funciones de Bessel en forma de serie (ecuación 149.a), se tiene a lasfunciones de Neumann



( ) ( )

( )( )

( ) ( )[ ]( )

,2

r

!s

!1snnsFsF

2

r

!ns!s

1

2

r lnr J2

1r N

0=s

1-n

0=s

n+2sn+2ss

nn

−−

−++

+−

−

π=

∑ ∑∞

(153.b)

siendo

( ) ,i

1

i+s

1sF

=1i

∑∞

−−γ −=

(154)

la función Digamma, con γ la constante de Euler-Macheroni, cuyo valor es de0.577215664901... . En la ecuación 153.b se pone de manifiesto la dependencialogarítmica de las funciones de Neumann, por lo que cualquier problema que tenga unacondición para que la solución sea finita en el origen hará que los términos de lasfunciones de Neumann en la solución 148 desaparezcan. La figura 11 muestra algunas

de las funciones de Neumann.

Figura 2. Gráfica de las funciones de Neumann N 0 (r) a N 2 (r).

La solución general de la Ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas esentonces:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] .r NFr JEnsenDncosCBeAez,,r Vn

nnnnnnz-z∑∑

β

ββ β+βθ′+θ′+=θ(155)

Ejemplo 3. Determinar el potencial eléctrico en el interior de un cilindro de radio R y longitud L, el cual tiene un potencial V 0 en la tapa superior, y cero en el resto de la

superficie. Solución 3. Las condiciones de frontera en este caso se refieren al potencial en lastapas y el la superficie lateral, dadas por: (a) En z = 0, el potencial eléctrico es:

( ) ,00,,r V =θ (156) (b) En z = L, el potencial eléctrico es:

( ) ,VL,,r V0=θ (157)

(c) En r = R, el potencial eléctrico es:



( ) ,0z,,RV =θ (158)

(d) Además, el potencial eléctrico debe de ser finito para cualquier punto en el

interior, lo que significa que los términos de las funciones de Neumann no deben

aparecer.

Al aplicar la condición de frontera 156 a la parte correspondiente a la variable Z de la solución tenemos que

,AB −= por lo que la dependencia en esta variable se puede rescribir como:

( ) ( ) .zAsenh2eeAzf z-z3 β=−= ββ

La condición para el potencial en la superficie cilíndrica, corresponde a unacondición para los valores del argumento, β R, tal que las funciones de Bessel seannulas, esto es que

,R

nmnm

α=β

siendo α nm la m-ésima raíz de la n-ésima función de Bessel. El aspecto de la solución dela Ecuación de Laplace hasta este punto es:

( ) ( ) ( )[ ] .nsenDncosCR

zsenh

R

r Jz,,r V

0=n 1=mnmnm

nmnmn∑∑

∞ ∞θ+θ

α

α=θ

(159)

La aplicación de la condición de frontera para z = L (ec. 157), conduce a laexpresión:

( ) ( ) ( )[ ] ,VnsenDncosCR

Lsenh

R

r JL,,r V 0

0=n 1=mnmnm

nmnmn =θ+θ

α

α=θ ∑∑

∞ ∞

(160) a partir de la cual se determinan los valores para los coeficientes C nm y Dnm, de lasiguiente manera. Multiplicando por

( ) pcos θ

e integrando en θ desde 0 hasta 2 π , dada la independencia lineal de las funciones

armónicas, solo queda el término del cos(n θ ) con n = p del lado izquierdo; mientras quedel lado derecho la integración es nula, por lo que los valores de los coeficientes de las

funciones cos(nθ ) son nulos, excepto para n = 0, los que no se tienen determinadosaún. De manera análoga, al multiplicar por

( ) psen θ

e integrar, resulta que todos los coeficientes de las funciones sen(nθ ) son nulos.Entonces, la forma de la solución, bajo la condición para z = L, es:

.VRLsenh

Rr JC 0

1=m

0m0m00m = α α∑∞

(161)



Multiplicando por

α

R

r rJ

0q0

e integrando en r desde 0 hasta R, dada la independencia lineal de las funciones deBessel (ec. 152), se tiene los valores de los coeficientes

( )[ ].dr

R

r rJ

R

LsenhJR

V2C

R

0

0m0

0m20m1

2

00m ∫

α

αα=

(162) Para evaluar la integral consideramos la relación de recurrencia 151 con n = -1,

( )

( )[ ].dr

r rJd

r rJ1-

0 −=

La función de Bessel con n = -1, se escribe en términos de la de n = 1 a partir de larelación de recurrencia 150,

( ) ( ) ,r Jr J 11- −=

de tal manera que la integral de la ecuación 162 resulta:

( )

( )[ ]

( )[ ]

( ) .JR

uuJR

dudu

uuJdR

duuuJR

dr R

r rJ

0m10m

2

01

2

0m

0

1

2

0m

0

0

2

0m

R

0

0m0

0m

0m

0m

α

α=

α=

α

=

α

=

α

α

α

α

∫

∫ ∫

Por lo tanto los coeficientes son:

( );

R

LsenhJ

V2C

0m0m10m

00m

ααα=

y el potencial eléctrico:

( )( )

.R

zsenh

R

r J

R

LsenhJ

V2z,,r V

1=m

0m0m0

0m0m10m

0∑∞

α

α

ααα

=θ

(163)



La solución no depende de la coordenada θ , como es de esperarse dada la simetríaalrededor del eje Z. La figura 12 muestra la gráfica de las líneas equipotenciales,considerando solo los primeros 5 ceros de la función de Bessel J 0 (r), con L = 2, y R = 1.

Figura 3. Gráfica de líneas equipotenciales en el cilindro.

Solución de la Ecuación de Laplace

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