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EL EQUILIBRIO COMPETITIVO

ADOLFO GARCÍA DE LA SIENRA

Instituto de FilosofíaFacultad de Economía

Universidad [email protected]

1. Equilibrio de las economías de intercambio puro

Las economías de intercambio puro se caracterizan por la existencia de unconjunto de consumidores, dotados con una canasta de bienes que pue-den intercambiar con el objeto de arribar a la elección de un menú deconsumo preferido, y un jugador ficticio que elige precios con el objetode maximizar el valor monetario del excedente de demanda. Este últimojugador ha sido llamado el participante del mercado1 pero aquí será llamadoel Regulador. La correspondencia de reacción de cualquier consumidores indiferente a las estrategias que adopten los demás consumidores: sólotoma en cuenta la estrategia del Regulador. A su vez, el Regulador reac-ciona ante cualquier asignación (perfil de menús de consumo) eligiendoel sistema de precios que maximiza el excedente de demanda provocadopor esa asignación. Como ningún consumidor toma en cuenta los menúsde consumo elegidos por los otros consumidores para elegir el propio,sino solamente el precio fijado por el Regulador, y ninguno de ellos pue-de con su propia elección por sí sola forzar la elección del Regulador, losconsumidores son llamados ‘tomadores de precios’. Así, una economía deintercambio puro constará de I = M + 1 jugadores, siendo 1; : : : ;M losconsumidores (M � 1) e I el Regulador. Podemos así proceder a definirla estructura correspondiente.

DEFINICIÓN 1 E es una economía de intercambio puro syss existen (, X1, . . . ,XM , P, u1, . . . uI , ω1, . . . , ωM tales que

1 “Market participant” en K.J. Arrow y G. Debreu, “Existence of an Equilibrium for a CompetitiveEconomy”, p. 79.

1

2 GARCÍA DE LA SIENRA

(0) E = h(;X1; : : : ;XM ;P;u1; : : : uI ;ω1; : : : ;ωMi;(1) h(;X1; : : : ;XM ;P;u1; : : : uI ; i es un juego en forma estratégica;

(2) si i 6= I , Xi es un subconjunto compacto y convexo del ortantesemipositivo L del espacio euclideano RL, tal que 0 2 Xi;

(3) si i 6= I , ωi es un elemento de Xi.

(4) P es el simplex unitario f(p1; : : : ; pL) 2 L j Pm

l=1 pl = 1g del espacioeuclideano RL;

(5) si i 6= I , ui(xi; x�i;p) = ui(xi; x0�i;p0) ;

(6) uI (x1; : : : ; xM ;p) = p �PM

i=1(xi � ωi) ;

(7) para todo i 6= I , ui es continua, cuasicóncava y monótona crecientecon respecto a xi.

Como las funciones de utilidad de los consumidores sólo dependen delas propias estrategias o acciones de esos agentes (Axioma D1(5)) , en ade-lante escribiremos ui(xi) omitiendo las demás variables. ωi es la dotación

inicial del agente i. ω = PM

i=1 ωi es la dotación total. Una asignación es unelemento (xi) = (x1; : : : ; xM ) de X = X1 � � � � � XM . El conjunto presupuestal

de i dado el sistema de precios p es

Bp;ω i= fxi 2 Xi jpxi � pωig:

La correspondencia de reacción del consumidor i es

ri(xi;p) = fx0i 2 Bp;ω ijui(x0i) = máxx00

i 2Bp;ωiui(xi

00)g:Esta correspondencia de reacción es llamada también la correspondencia de

demanda walrasiana; sus elementos son precisamente los vectores que elconsumidor i está dispuesto a demandar porque son los que maximizan sufunción de utilidad. La correspondencia de reacción del regulador I es

rI (xi;p) = fp0 2 P juI ((xi) ;p0) = máxp002PuI (xi;p00)g:La correspondencia de demanda agregada dado el sistema de precios p es'(p) = MX

i=1

ri((xi) ;p) :

TEORÍA DE JUEGOS 3

La correspondencia de demanda excedente es�(p) = '(p) r fωg:La demanda excedente es una familia de vectores cuyas entradas miden lacantidad de bienes disponibles no demandados o demandados en exceso:los valores negativos de las entradas de los vectores nos dicen cuántos bie-nes disponibles de cada tipo no están siendo demandados por los agentes;los positivos cuántos están siendo demandados en exceso (de modo que sedemandan más de los que hay en la dotación total ω) . Así, las entradas ne-gativas indican exceso de oferta y las positivas exceso de demanda. Cuandohay igualdad entre la oferta y la demanda, se tiene �(p) = f0g.

Claramente, al maximizar su utilidad dada una asignación (xi) , el Regu-lador maximiza pz, donde z = x1 + � � � + xM � ω, lo cual implica asignarnúmeros más grandes a las entradas positivas, aumentando así los preciosde los bienes más demandados a costa de los precios de los menos deman-dados. Se ve, pues, que el Regulador lo único que hace es poner en vigorla ley de la oferta y la demanda. Como dice Debreu:

para reducir el exceso de demanda, el peso del sistema de precios se recargasobre aquellos bienes para los que el exceso de demanda es mayor.2

Así, al postular una asignación con exceso de demanda, la respuesta delRegulador obliga a los consumidores a retirar dicha postulación, pues lafijación de precios muy altos para los bienes demandados en exceso haceque los mismos consumos no sean factibles para al menos algunos de losagentes. Ante el precio postulado por el Regulador, los consumidores tie-nen que replantear su elección, restringiéndola a menús que estén dentrode sus respectivos conjuntos presupuestales y haciendo que el valor del ex-ceso de demanda bajo este nuevo precio sea efectivamente cero. Éste es elsentido de la famosa Ley de Walras.

TEOREMA 1 (Ley de Walras) . El valor del exceso de demanda es igual a cero bajo

cualquier sistema de precios; i.e. para todo p 2 P y z 2 �(p) , pz = 0.

Demostración: Como las funciones de utilidad son monótonas crecientes,cualquier agente preferirá los menús más generosos, lo cual lo lleva a gastar2 G. Debreu, “Market Equilibrium”, p. 113.


todo su presupuesto pωi. Así, sea z = x1+ � � �+xM�ω 2 �(p) , con xi 2 Bp;ω i.

Entonces pxi = pωi y, por ende, pz = 0. �

Sin embargo, la Ley de Walras no quiere decir que la oferta y la demandasean iguales. Pues puede suceder que algún bien gratuito sea deseable, encuyo caso se demandará de ese bien más de lo que hay disponible. Decimosque el bien l es deseable si pl = 0 implica que hay un exceso de demanda deese bien: zl(p) > 0. Es muy posible encontrar en la realidad bienes desea-bles. De hecho casi todos los bienes son deseables, pues poner sus preciosen cero conduciría seguramente a un exceso de demanda de los mismos.Lo que hace un precio positivo es precisamente reflejar la escasés del bienen cuestión (o la insaciedad de los consumidores) . La “tarea” del Regula-dor es precisamente la de fijar un precio que impida que los consumidoresdemanden más de lo que hay. El juego para I consiste en fijar un sistemade precios p que obligue a los mercados a despejarse. I tiene que hacereso con base en el conocimiento de las funciones de utilidad y dotacionesiniciales de los mercaderes. Pero la acción que conduce a I a postular eseprecio de equilibrio debe ser el resultado de que I maximice su funciónde utilidad, pues I es también un jugador.

La idea de un precio de equilibrio es precisamente la de un precio queiguala la oferta con la demanda del bien. Éste es el sentido del concepto deequilibrio walrasiano, cuya definición precisa es la siguiente.

DEFINICIÓN 2 Un equilibrio competitivo o walrasiano es un asignación de con-sumos y precios ( x1; : : : ; xM ; p) tal que

(1) para cada consumidor i: el menú xi maximiza la utilidad de i: xi 2ri(( xi) ; p) ,

(2) el sistema de precios p despeja los mercados, en el sentido de queiguala la oferta y la demanda: �( p) = f0g.

TEOREMA 2 Si todos los bienes son deseables, (( xi) ; p) es un equilibrio competitivo

de la economía de intercambio puro E syss (( xi) ; p) es un equilibrio de Nash de E.

Demostración: Es fácil ver que un equilibrio walrasiano es un equilibrio deNash, pues la condición (1) de la Definición 2 afirma que todos los con-sumidores maximizan su utilidad dada la acción p del Regulador, mientras

TEORÍA DE JUEGOS 5

que la condición (2) implica que también el Regulador I maximiza su uti-lidad:

p 2 rI (( xi) ; p) ;pues la utilidad máxima del Regulador cuando los mercados se despejanes exactamente igual a 0, ya que p � �PM

i=1 xi � ω

� = p � 0 = 0 para todop 2 P.

Por otra parte, si (( xi) ; p) es un equilibrio de Nash, es inmediato quelos menús ( xi) maximizan la utilidad de los consumidores. Además, sip 2 rI (( xi) ; p) y z = PM

i=1 xi � ω, entonces p maximiza uI (( xi) ;p) = pz

sujeto a p 2 P. Al ser esto así notamos, en primer lugar, que no es posi-ble que haya un exceso de oferta para todos los bienes (zl < 0 para todol) , pues en tal caso tendríamos pz < 0, contraviniendo la Ley de Walras.Más aun, ni siquiera es posible tener exceso de oferta para algún bien l,pues en ese caso el precio pl debería ser cero, ya que para maximizar uI

el Regulador tendría que asignar precios positivos a aquellos bienes l 0 conzl0 � 0. Por otra parte, tampoco puede haber exceso de demanda positivode algún bien. Pues, si lo hubiera, para maximizar uI el Regulador tendríaque asignar precios positivos sólo a los excedentes positivos (de hecho, sóloa los máximos excedentes positivos) . Pero esto haría pz > 0, contravinien-do nuevamente la Ley de Walras. Sólo queda zl = 0 para todo l, pero estosignifica z = 0. �

Por virtud del Teorema 2, es suficiente demostrar que una economía deintercambio puro tiene un equilibrio de Nash para demostrar que tieneun equilibrio competitivo.

TEOREMA 3 Existe un equilibrio competitivo en toda economía de intercambio puro

en la que todos los bienes son deseables.

Demostración: Sea E una economía de intercambio puro y sea r :X � P !X � P la correspondencia definida mediante la condición

r((xi) ;p) = r1((xi) ;p) � � � � � rI ((xi) ;p) :Sólo hay que demostrar que r tiene un punto fijo, para lo cual necesitamosusar el teorema de Kakutani. Por ende, es suficiente establecer lo siguiente:


(1) X�P es un subconjunto no vacío y convexo del espacio euclideanoRIL;

(2) X � P es compacto;

(3) r es una correspondencia semicontinua superiormente (scs) ;

(4) r((xi) ;p) es convexo para todo ((xi) ;p) 2 X � P.

Procedo a demostrar cada una de estas aserciones.

(1) Observamos que X � P es un subconjunto no vacío y convexo del es-pacio euclideano RIL, pues tanto Xi como P son subconjuntos no vacíos yconvexos de RL.

(2) X � P es compacto en RIL porque tanto Xi como P son compactos enRL.

(3) Basta demostrar que ri es semicontinua superior (scs) para todo i 2 (.Sea (x0;p0) un punto cualquiera de S = X � P y sea (xk;pk) una secuenciaen S que converge a (x0;p0) , (yk

i ) una secuencia en Xi con límite y0i tal que

yki 2 ri(xk;pk) para i = 1; : : : ;M , y qk una secuencia en P con límite q0

tal que qk 2 rI (xk;pk) . Tenemos que mostrar que hay una vecindad Vi de(x0;p0) en la que ri es acotada, una vecindad VI en la que rI es acotada,que y0

i 2 ri(x0;p0) y que q0 2 rI (x0;p0) . Antes que nada obsérvese que ri esacotada en cualquier punto de S para todo i 2 ( porque el codominio deri es compacto. En segundo lugar, si yk

i 2 ri(xk;pk) entonces pkyki = pkxk

i yui(yk

i ) = ui(xki ) . Como ui es continua en la iésima variable,

ui(y0i ) = lım

k!1ui(yki ) = lım

k!1ui(xki ) = ui(x0

i ) :Análogamente si qk 2 rI (xk;pk) , tenemos qkzk = pkzk donde zk = PM

i=1 xki �

ω, de donde se sigue que

q0z0 = lımk!1qk � lım

k!1 zk= lımk!1qkzk= lımk!1pkzk= lımk!1pk � lım

k!1 zk= p0z0

TEORÍA DE JUEGOS 7

de donde se obtiene q0 2 rI (x0;p0) .

(4) Finalmente, r((xi) ;p) es convexo para todo ((xi) ;p) 2 S. En efecto,sean (xi) y (x0i) elementos arbitrarios de ri((xi) ;p) ( i 6= I ) y �; � númerosno negativos con �+ � = 1. Tenemos

p(�x0i + �x00i ) = �px0i + �px00i= �pxi + �pxi= pxi= pω;por lo que �x0i + �x00i 2 Bp;ω . Además, como ui es semicóncava en la iésimavariable,

ui(�x0i + �x00i ) � mín(ui(�x0i) ;ui(�x00i ))� ui(xi) :De manera que el menú �x0i + �x00i está en el conjunto presupuestal ysu utilidad no es menor a la del menú que maximiza la utilidad en eseconjunto. Esto implica que �x0i + �x00i 2 ri((xi) ;p) . Análogamente, sip0;p00 2 rI ((xi) ;p) , y z =PM

i=1 xi � ω, p0z = pz = p00z y

(�p0 + �p00)z = �p0z + �p00z (1)= �pz + �pz (2)= pz; (3)

de donde �p0 + �p00 2 rI ((xi) ;p) . Esto establece que ri((xi) ;p) es convexopara todo i 2 ( y ((xi) ;p) en X � P. Como el producto cartesiano deconjuntos convexos es convexo, se sigue que r((xi) ;p) es convexo paratodo ((xi) ;p) en X � P.

Las satisfacción de las condiciones (1)–(4) implica que hay un punto fijo(( xi) ; p) de la correspondencia r . Este punto fijo es un equilibrio de Nashdel juego E. Se concluye que (( xi) ; p) es un equilibrio competitivo. �

1.1. Ejemplo

Supóngase que hay dos agentes en una economía de intercambio puro,con dotaciones iniciales ω1 = (2; 1) y ω2 = (1; 4), respectivamente. Ambos


comparten el mismo espacio de consumo ω, el ortante no negativo de R2, yambos posen una función de utilidad de la forma Cobb-Douglas, de modoque el Problema del Consumidor para el agente i ( i = 1; 2) es

Maximizar(xi1;xi2)2Xix�

i1x1��i2

s.a. p1xi1 + p2xi2 � pωi

Calcúlense las funciones de demanda de los agentes, encuéntrense losprecios de equilibrio que despejan el mercado del bien 1, y demuéstrenseque los mismos precios también despejan el mercado del bien 2.

1.1.1. Resolución

Para determinar la función de demanda del agente 1, construimos el la-grangiano:

L(x11; x12; �) = x�11x

1��12 + � �p1ω11 + p2ω12 � p1x11 � p2x22

� :Las condiciones de primer orden son, entonces,�L�x11

= �x��111 x1��

12 � �p1 = 0 (4)�L�x12

= (1� �)x�11x

��12 � �p2 = 0 (5)�L�� = p1ω11 + p2ω12 � p1x11 � p2x22 = 0: (6)

Despejando � en (1) y (2), obtenemos� = �p�11 x��1

11 x1��12 (7)

y � = (1� �)p�12 x�

11x��12 (8)

TEORÍA DE JUEGOS 9

Así, �p�11 x��1

11 x1��12 = (1� �)p�1

2 x�11x

��12 : (9)

Para separar variables, multiplicamos ambos lados de (6) por x�12 y obte-

nemos�p�11 x��1

11 x12 = (1� �)p�12 x�

11: (10)

Multiplicando ahora ambos lados de (7) por x1��11 ,�p�1

1 x12 = (1� �)p�12 x11: (11)

Despejando x12, obtenemos

x12 = ��1(1� �)p1p�12 x11: (12)

Al sustituir la parte derecha de (9) por x12 en la tercera condición, obtene-mos:

p1ω11 + p2ω12 = p1x11 + p2��1(1� �)p1p�12 x11= p1x11 + ��1(1� �)p1x11= p1

�x11 + ��1(1� �)x11

�= p1

�1 + ��1(1� �)

�x11= p1��1x11:

Luego, x11 = � �ω11 + p�11 p2ω12

�y, sustituyendo x11 con x11 en la ecuación

(9), obtenemos

x12 = (1� �)�p1p

�12 ω11 + ω12

�Por lo tanto, la función de demanda walrasiana es'1(p1; p2;pω1) = � � �ω11 + p�1

1 p2ω21

�(1� �)

�p1p

�12 ω11 + ω21

�� (13)

La función de demanda del agente 2 es, análogamente,'2(p1; p2;pω2) = � � �ω12 + p�11 p2ω22

�(1� �)

�p1p

�12 ω12 + ω22

�� (14)


El mercado del primer bien se despeja syss� �ω11 + p�11 p2ω21

�+ � �ω12 + p�11 p2ω22

� = 3; (15)

lo cual implica que

p�11 p2 = 3(1� �)

5� : (16)

El precio p2 se puede expresar en función de p1, pues tenemos

p2 = 3(1� �)5� p1 (17)

Para que el sistema (p1; p2) esté en el simplex, se tiene que cumplir lasiguiente ecuación:

p1 + 3(1� �)5� p1 = 1: (18)

Despejando p1 obtenemos

p1 = 5�2�+ 3

(19)

Sustituyendo este valor de p1 en la ecuación 17, tenemos

p2 = 3(1� �)2� + 3

(20)

Podemos calcular ahora la riqueza de los jugadores en equilibrio. Tene-mos

w1 = pω1= 5�2� + 3

� 2 + 3(1� �)2�+ 3

� 1= 7� + 32� + 3

y

w2 = pω2= 5�2� + 3

� 1 + 3(1� �)2�+ 3

� 4= 12� 7�2�+ 3

TEORÍA DE JUEGOS 11

La demanda walrasiana con estas determinaciones queda así:'1( p;w1) = 2647�+ 35

7�+ 33

375 (21)

y '2( p;w2) = 2647�+ 35

7�+ 33

375 (22)

Es fácil ver que '1( p;w1) + '2( p;w2) = (3; 5) = ω.Así, el sistema��

7�+ 35

; 7�+ 33

� ;�12� 7�5

; ( 12� 7�3

� ;� 5�2�+ 3

; 3(1� �)2� + 3

��es un equilibrio competitivo.

2. El equilibrio competitivo en economías privadas con producción

En esta sección abordaremos el estudio del equilibrio de una economíacon producción, siguiendo básicamente la misma metodología que en lasección anterior.

Supondremos que hay M consumidores en la economía, denotados porel índice i y representados por los primeros M números enteros positivos.Supondremos también que hay N productores, denotados por el índice j yrepresentados por los enteros positivos M +1; : : : ;M +N . El “mercado” (elRegulador) será considerado asimismo como un agente, representado porel entero positivo M+N+1. Tanto los consumidores, como los productoresy el mercado, serán llamados agentes, de manera que hay en total M+N +1agentes en la economía. El conjunto de los consumidores será denotadopor }, el de los productores por 1, y el de todos los agentes por (.

Suponemos que hay L (tipos de) mercancías en la economía, denotadospor el índice l. Cada tipo de mercancía es un bien o un servicio (incluyen-do por lo tanto los gastos de trabajo), ubicado en un lugar y en un tiempodeterminados. Cada consumidor i tiene que escoger un menú o cesta de


consumo en un conjunto de posibles cestas Xi, el cual es naturalmente unsubconjunto del espacio RL de mercancías. Asimismo, cada productor j

debe escoger su proceso productivo en un conjunto Yj , el cual también esun subconjunto del espacio de mercancías RL. Si xi 2 Xi, las coordenadaspositivas de xi representan las cantidades de mercancías que el agente i

consumiría si adoptase la decisión de tomar xi como su menú de consu-mo; las coordenadas negativas representan el número de horas de trabajoque el agente i tendría que laborar en ciertos oficios si adoptara tal me-nú. Si yj 2 Yj , las coordenadas positivas de yj representan las cantidadesde productos o outputs netos que el productor j tendría que producir sidecidiera adoptar el plan de producción yj ; las coordenadas negativas re-presentan las cantidades de insumos o inputs netos, incluyendo el trabajo.

Recordemos que la adición de dos conjuntos de vectores V;W (de lamisma dimensión), denotada por V + W , es la familia de todas las sumasde sus elementos, definida por la ecuación:

V + W = fv+ w j v 2 V y w 2 Wg:La resta V �W se define como la suma V + (�W) , donde�W = f�w jw 2 Wg:Se define inductivamente la adición

P��=1 V� de � conjuntos de vectores (dela misma dimensión), a saber: si � = 1, entonces

P��=1 V� es igual a V1; si� > 1 entoncesP��=1 V� es igual a

�P��1�=1 V��+ V�.De aquí en adelante, X denotará la suma

Pi2M

Xi y Y denotará la su-ma

Pj2N

Yj . Con estos elementos conceptuales podemos proceder ahora aintroducir nuestra primera definición.

DEFINICIÓN 3 E es una economía potencial de propiedad privada syss existenXi, ��i

, (ωi) , (�ij) , Yj, P, � tales que

(0) E = h(Xi;��i) i2M ; (ωi) i2M ; (�ij) ( i;j)2M�N ; (Yj) j2N ;P; �i

(1) Para todo i 2 M , Xi es un subconjunto cerrado y convexo de RL

que está inferiormente acotado; es decir, existe un vector vi tal quevi � xi para todo xi 2 Xi.


(2) Para todo i 2 M , (Xi;��i) es una estructura de preferencia tal que��i

es cuasiconvexa, continua, y carece de punto de saturación; esdecir, no hay un vector xi 2 Xi tal que xi

��ix0i para todo x0i 2 Xi.

(3) Para todo i 2 M , ωi 2 Xi y, para algún xi 2 Xi, xi < ωi.

(4) Para todo i 2 M y j 2 N , �ij es un número real no negativo; másaun, para cada j 2 N ,

Pi2M

�ij = 1.

(5) Para todo j 2 N , Yj es un subconjunto compacto y convexo de RL

que contiene al vector 0.

(6) Y \ L = f0g; es decir, no puede haber ningún output neto en laproducción agregada sin que haya al menos algún input neto detrabajo.

(7) Y \ (�Y ) = f0g; es decir, la producción es irreversible.

(8) P es el simplex unitario f(p1; : : : ; pL) 2 L j Pl

h=1 ph = 1g.(9) �, la función de decisión, es una función�:( � �Y

i2M

Xi

�� Yj2M

Yj

�� P ! �[i2M

Xi

� [ �[j2N

Yj

� [ P:Un estado de la economía es un (M+N+1)-tuplo ordenado ((xi) ; (yj) ;p)

de elementos de RL, el cual es una asignación posible de menús de consu-mo (xi) a los consumidores, de producciones (yj) a los productores y de unprecio p por el mercado. Esta posibilidad se debe entender en un sentidomuy abstracto, como una asignación imaginable pero quizá irrealizable.Dado un estado ((xi) ; (yj) ;p) , la demanda neta determinada por el mismoes la diferencia x�y, donde x =P

i2Mxi y y =P

j2Nyj . La demanda excedente

es z = x � y � ω, de modo que el conjunto de todas las demandas exce-dentes es Z = X � Y �fωg, donde ω =P

i2Mωi. Un equilibrio de mercado es

un estado de la economía cuya demanda excedente es igual o menor que0. Denotamos con M el conjunto de todos los equilibrios de mercado.

A diferencia de los estados, que permiten asignaciones realmente impo-sibles para los agentes, un estado realizable es uno que es realmente posible,en el sentido de que xi 2 Xi para todo i, yj 2 Yj para todo j, y x � y � ω.Es decir, xi es un consumo factible para el agente i, yj es una producción


factible para j, y ((xi) ; (yj) ;p) es un equilibrio de mercado. El conjunto detodos los estados realizables es denotado por A. Es fácil ver que

A = ��Yi2M

Xi

�� Yj2N

Yj

�� \ M:Decimos que un menú de consumo xi para el iésimo consumidor es

realizable si existe un estado realizable cuyo componente correspondientea ese consumidor es xi. El conjunto de todos los consumos realizables delagente i es llamado su conjunto de consumo realizable y es denotado por bXi.

LEMA 1 Sea h(Xi;��i) i2M ; (ωi) i2M ; (�ij) ( i;j)2M�N ; (Yj) j2N ;P; �i una economía po-

tencial de propiedad privada. Cada estructura de preferencia (Xi;��) (i 2 }) es

representable mediante una función de utilidad ui que es semicóncava y continua.

Demostración: Como Xi es convexo, se sigue que es también conexo. Ade-más, por el axioma (2), ��i

es semiconvexa y continua. Se desprende queexiste una función de utilidad continua y cuasicóncava para (Xi;��i

) . �

DEFINICIÓN 4 Se dice que el sistema de vectores

(x�1 ; : : : ; x�m; y�1 ; : : : ; y�n ;p�)es un equilibrio competitivo syss satisface las siguientes condiciones para todoi 2 } y j 2 1:

(1) x�i maximiza u�i (xi) sobrenxi 2 Xi jp�xi � p�ωi + máx

h0;X

j2N

�ijp�y�j io:

(2) y�j maximiza p�yj sobre el conjunto Yj .

(3) p� 2 P.

(4) z� � 0 y p�z� = 0.

La expresión máxh0;P

j2N�ijp

�y�j i es necesaria para garantizar que el

conjunton

xi 2 Xi jp�xi � p�wi + máxh0;P

j2N�ijp

�y�j io esté definido paratodos los estados posibles.


TEOREMA 4 Sea E = h(Xi;��i) i2M ; (wi) i2M ; (�ij) ( i;j)2M�N ; (Yj) j2N ;P; di una eco-

nomía, y sea E0 = h( bXi;��i) i2M ; (wi) i2M ; (�ij) ( i;j)2M�N ; (Yj) j2N ;P; di la economía

que resulta de sustituir los conjuntos Xi por los conjuntos de consumos realizablesbXi. Entonces (x�i ; : : : ; x�m; y�1 ; : : : ; y�n ;p�) es un equilibrio competitivo para E syss

(x�1 , . . . , x�m, y�1 , . . . , y�n , p�) es un equilibrio competitivo para E0.DEFINICIÓN 5 Sea

E = h(Xi;��i) i2M ; (wi) i2M ; (�ij) ( i;j)2M�N ; (Yj) j2N ;P; di

una economía potencial de propiedad privada. El sistema social potencial

asociado a E es la estructura

S = hX1; : : : ;Xm;Y1; : : : ;Yn;P; '1; : : : ; 'M+N+1; f1; : : : ; fM+N+1idefinida como sigue, donde S = X1 � � � � � Xm � Y1 � � � � � Yn � P:

(1) Para i 2 M y s = (x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn;p) 2 S,'i(s) = nxi 2 Xi jpxi � pωi + máxh0;X

j2N

�ijpyj

io:(2) Para j 2 N y s = (x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn;p) 2 S,'j(s) = Yj:(3) Para s 2 S, 'M+N+1(s) = P:(4) Para i 2 M y s = (x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn;p) 2 S,

fi(s) = ui(xi) :(5) Para j 2 N y s = (x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn;p) 2 S,

fj(s) = pyj:(6) Para s 2 S, fM+N+1(s) = pz:


Definimos la función de beneficios máximos �j :P ! R, como la funciónque asigna a cada p 2 P el máximo beneficio posible para el productor j

dado el sistema de precios p; i.e. �j = máxyj2Yjpyj:

DEFINICIÓN 6 Sea E una economía potencial de propiedad privada yS = hX1; : : : ;Xm;Y1; : : : ;Yn;P; '1; : : : ; 'M+N+1; f1; : : : ; fM+N+1i el sistema so-cial potencial asociado a ella. Para cada agente � 2 I de la economía poten-cial y estado s de la misma definimos su conjunto de acciones óptimas, ��(s) ,del siguiente modo:(1) Para i 2 } y s 2 S sea �i(s) el conjuntofxi 2 'i(s) jui(xi) = máxx0

i2'i ( s)ui(x0i)g:(2) Para j 2 1 y s = (x; y;p) 2 S, sea �j(s) el conjuntofyj 2 Yj jpyj = �j(p)g:(3) Para el mercado, dado s = (x; y;p) 2 S, sea �M+N+1(s) el conjuntofp0 2 P jp0z = máxq2Pqzg:

El conjunto global de acciones óptimas dado s 2 S es�(s) =Y�2(

��(s) :DEFINICIÓN 7 Una economía de propiedad privada es una economía poten-cial de propiedad privada tal que �( �; s) 2 ��(s) para todo ( �; s) 2 I � S.

LEMA 2 Para todo p 2 P, pωi > mínxi2bXipxi.

Demostración: Por el axioma 3, existen menús de consumo xi 2 Xi tales quexi < ωi. Dado que 0 2 Yj y Yj es convexo para todo j, podemos encontraryj 2 Yj tales que

Pi2}

xi + Pj2Nyj � ω. Esto implica que (( xi) ; ( yj)) es

factible y, por ende, xi 2 bXi. Claramente, pωi > pxi � mínxi2bXipxi. �

TEOREMA 5 Sea E una economía potencial de propiedad privada y S su sistema

social potencial asociado. Si E es en efecto una economía de propiedad privada,

entonces bS = hbX1; : : : ; bXm;Y1; : : : ;Yn;P; '�; f�i es un sistema social.


Demostración: Tenemos que probar quebS = hbX1; : : : ; bXm;Y1; : : : ;Yn;P; '�; f�ies un sistema social.

Por hipótesis, los conjuntos Yj y P son no vacíos, compactos y convexos.Para cualquier xi 2 bXi tenemos, por la definición de bXi, que para todo i0 6= i

y j 2 1 existen consumos xi y producciones yj tales que

vi � xi � y�Xi0 6=i

xi0 + ω:Puesto que xi0 � vi0 , se sigue que

vi � xi � y�Xi0 6=i

vi0 + ω:Ahora bien, como el conjunto de todos los vectores de la forma y �P

i0 6=ivi0 +ω es acotado, pues los conjuntos Yj son acotados, se sigue que bXi

es acotado para todo i 2 }. Es fácil ver que ωi 2 bXi, de modo que bXi 6= ∅;también es fácil ver que bXi es cerrado y convexo.

Para probar que '� es continua, mostraremos que es scs y sci. Como '�es constantemente igual a los conjuntos Yj y P para � 2 ( n}, es obvio quees continua en estos casos. Si � = i 2 } y s 2 bS, es fácil ver que el conjuntode todos los vectores que satisfacen la desigualdad

pxi � pωi + máxh0;X

j21

�ijpyj

ies acotado. Considérese ahora una secuencia ( sk) en bS que converge a s0,una secuencia (xki) en bXi que converge a xi, y supóngase que xki 2 'i(sk)para todo k. Esto significa que

pkxki � pkωi + máxh0;X

j21

�ijpkykj

ipara todo k. Así, en el límite,

p0xi � p0ωi + máxh0;X

j21

�ijp0y0j

i;


y por ende xi 2 'i(s0) .Considérese ahora una secuencia ( sk) en bS que converja a s0 y supóngase

que xi 2 'i(s0) . Sea rk = pkωi + máxh0;P

j2N�ijpkykj

i. Conforme (sk) ! s0,

(pk) ! p0 y (rk) ! r0. Como xi 2 'i(s0) , tenemos p0xi � r0.Si p0xi < r0, entonces pkxi < rk para todo k suficientemente grande.

Constrúyase la secuencia (xki) con elementos de arbitrarios de 'i(sk) (elcual es no vacío, pues al menos ωi 2 'i(sk) para todo k) , pero a partir deuna k lo suficientemente grande sea xki = xi para todo k.

Si p0xi = r0, tómese un x0i 2 bXi tal que p0x0i < pωi � r0. Para k suficiente-

mente grande, pkx0i < rk. Para � 2 (0; 1) suficientemente pequeña,

pk[�xi + (1� �)x0i ℄ � rk;de modo que �xi + (1� �)x0i 2 'i(sk) .

Sea�k = mín[1; (rk � pkx0i)=(pkxi � pkx

0i) ℄:

Entonces, para k suficientemente grande, �k > 0 y�kxi + (1� �k)x0i 2 'i(sk) :Además, como (�k) ! 1,

lımk!1[�kxi + (1� �k)x0i ℄ = xi:

Esto establece que 'i es sci para todo i 2 }.Finalmente, es fácil ver que las funciones f� ( � 2 () son continuas y cua-

sicóncavas. La ley fundamental de un sistema social se cumple por virtudde la definición de economía de propiedad privada. �

TEOREMA 6 Sea E una economía de propiedad privada y S su sistema social

asociado. Entonces s� = (x�i ; : : : ; x�m; y�1 ; : : : ; y�n ;p�) es un equilibrio competitivo

para E syss s� es un equilibrio del sistema social S.

TEOREMA 7 Si S es el sistema social asociado a una economía de propiedad pri-

vada, entonces existe un equilibrio de S.

COROLARIO 1 Existe un equilibrio competitivo para una economía de propiedad

privada.


3. Los Teoremas del Bienestar

DEFINICIÓN 8 Una asignación (x1; : : : ; xM ) es una especificación de un vec-tor de consumo xi 2 Xi para cada consumidor i 2 I . La asignación(x1; : : : ; xM ) es factible syss

MXi=1

xi � ω

DEFINICIÓN 9 Decimos que una asignación factible (x1; : : : ; xM ) domina ala asignación factible (x01; : : : ; x0M ) en el sentido de Pareto syss xi

��ix0i para

todo i y xi �i x0i para algún i. La asignación (x1; : : : ; xM ) es un óptimo de

Pareto si no existe ninguna otra asignación factible que la domine en elsentido de Pareto.

TEOREMA 8 (I TEOREMA DEL BIENESTAR) Si ( x1; : : : ; xM ; p) es un equilibrio

competitivo entonces

( x1; : : : ; xM )

es un óptimo de Pareto.

Demostración: Mostraremos que cualquier asignación (xi) que domine a

( x1; : : : ; xM )

no puede ser factible. En efecto, como el consumidor es insaciado, siempreconsume hasta el límite de sus recursos:

pxi = pωi = wi:Además,

xi �i xi implica pxi > pxi = wi;pues, de lo contrario, el consumidor hubiera podido comprar un consumoestrictamente preferido al que maximiza su utilidad. Por añadidura,

xi �i xi implica pxi � pxi = wi;


porque si no el consumidor hubiera podido comprar un menú que le brin-da tanta utilidad como xi a un precio más bajo. En resumen, tenemos

pxi � pxi = wi

para todo i 2 I , con

pxi > pxi = wi

para al menos un i. Por lo tanto,

MXi=1

pxi > MXi=1

pxi = pω;y (xi) no pude ser factible porque

PM

i=1 xi � ω implicaPM

i=1 pxi � pω. �

TEOREMA 9 (II TEOREMA DEL BIENESTAR) Supóngase que Xi es un cono con-

vexo que contiene el origen 0. Si ��ies monótona, estrictamente convexa y continua

para cada i entonces, para toda asignación óptima de Pareto ( xi) 2 �Mi=1Xi con xi

semipositivo para todo i, factible con respecto a una dotación inicial total positiva

ω, existe un vector de precios p tal que ( xi; p) es un equilibrio competitivo.

Demostración: Sea ( x1; : : : ; xM ) una asignación óptima de Pareto, donde losmenús xi ( i = 1; : : : ;M) son todos semipositivos, factible con respecto ala dotación inicial total ω positiva. Tómense como dotaciones iniciales ωi

precisamente las xi: sea ωi = xi para cada i. Sean

Vi = fxi 2 Xi j xi �i xig ; V = MXi=1

Vi; ω = MXi=1

xi:Los Vi —y por tanto V —son no vacíos porque para cualquier xi existe unmenú con coordenadas mayores que xi para cada i, debido a que Xi esun cono que contiene a 0 y la relación de preferencia es monótona. Ladotación ω no está en V porque si estuviera habría una asignación factibleque domina a ( xi) en el sentido de Pareto. V es convexo porque xi, x0i 2 Vi,para xi 6= x0i ; implica �xi + (1 � �)x0i 2 Vi, ya que ��i

es estrictamenteconvexa; pero, para cualesquiera elementos

PM

i=1 xi,PM

i=1 x0i de V ,� MXi=1

xi + (1� �)MX

i=1

x0i = MXi=1

�xi + (1� �)x0i 2 V:


Por el teorema del hiperplano separador,3 existe un vector p 2 RL, p 6=0, jjpjj <1 tal que px � pω para todo x 2 V .

Sostengo que p es un vector de equilibrio. Para demostrar esta aserciónbasta establecer que p es positivo y que

xi �i xi implica pxi > pxi

para todo i.En primer lugar, si xi

��ixi para cada i, entonces p

�PM

i=1 xi

� �p�PM

i=1 xi

�. Pues supóngase lo primero. Por monotonía ninguno de los

menús xi es 0, pues los xi son todos semipositivos. Sea � un número mayorque 1 y obsérvese que, nuevamente por monotonía, �xi �i xi para cada i,de modo que �xi 2 Vi y p

�PM

i=1 �xi

� � p�PM

i=1 xi

�. Se tiene que

p

MX

i=1

xi

! = lım�!1p

MX

i=1

�xi

! � p

MX

i=1

xi

! :Por lo tanto, si xi �i xi para algún i, entonces p

�xi +Pj 6=i

xj

� � pω, demodo que

p

xi +X

j 6=i

xj

! � pω = p

xi +X

j 6=i

xj

! ;de donde se deduce que pxi � pxi. Esto establece:

pxi � pxi para todo xi 2 Vi:Para mostrar que el vector p es de hecho semipositivo, para cualquier

l (1 � l � L) sea �l un número positivo mayor que 1 y nótese que xi +�lel � xi, donde el es el vector canónico en la dirección l. Por monotonía,xi + �lel �i xi, de manera que

pxi + �lpel = pxi + �l pl � pxi:Como �l > 0, esto prueba que pl � 0 para todo l. Sin embargo, comop 6= 0, se sigue que p � 0 y por ende que pω > 0. Incidentalmente, esto3 Takayama (1985), teorema 0.B.2, p. 44.


implica que hay al menos un i para el que pxi > 0, pues si tuviéramospxi � 0 para todo i sería p

PM

i=1 xi = pω � 0, contrariamente a lo queacabamos de ver.

Sea xi tal que pxi > 0, y sea x0i = xi, con 0 < < 1. Como 0 2 Xi,x0i 2 Xi y, además, px0i = pxi < pxi. Supóngase que hay un xi 2 Vi tal quepxi = pxi. Entonces, para cualquier � 2 [0; 1), p[�xi + (1� �)x0i℄ < pxi. Sinembargo, para un � lo suficientemente cerca de 1, �xi + (1 � �)x0i �i xi,por la continuidad de ��i

. Pero esto quiere decir que �xi + (1 � �)x0i 2 Vi.Tenemos así un elemento de Vi cuyo precio es menor que pxi, lo cual esimposible. Esto prueba que pxi > pxi siempre que xi �i xi. Por lo tanto,en particular, si �l es un número positivo para l arbitrario (1 � l � L) ,xi + �lel �i xi y

pxi + �l pl > pxi;lo cual prueba que pl > 0 para todo l. Se tiene, así que p > 0 y por endeque pxi > 0 para todo i. Se infiere que pxi > pxi siempre que xi �i xi paratodo i. Por lo tanto, ( xi; p) es un equilibrio competitivo. �

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