Ec. Dif. Exactas. Factores Integrantes1

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALEscuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Ecuaciones diferenciales|

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y EléctricaEcuaciones diferenciales

Unidad II Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

2.2.6.- Ecuación diferencial Exactas. Factores integrantes.

2.2.6.1.- Ecuación diferencial exacta

Una expresión diferencial de la forma

0),(),( dyyxNdxyxM 1

Es una ecuación diferencial exacta en una región R del plano xy , si corresponde a una

ecuación diferencial de primer orden de una función de dos variables Cyxf ),( , que sea una

función con primeras derivadas parciales continuas en una región R del plano xy , su diferencial

(que también se le llama diferencial total) es:

dCdyy

yxfdx

x

yxfyxdf

),(),(),( 2

0),(),(

dy

y

yxdfdx

x

yxf 3

De la ecuación 2 se puede observar que:

x

yxfyxM

),(),(

y

yxfyxN

),(),(


Ecuaciones diferenciales





Para comprobar que una ecuación diferencial es exacta se debe cumplir que:

yx

yxF

yx

yxF

y

yxM

),(1),(),( 2

yx

yxF

xy

yxF

x

yxN

),(1.

),(),( 2

Por lo tanto se concluye que:

x

N

y

M







Ejemplo 1.- Sea la ecuación Cyxyx 32

5 , que representa una familia de curvas Cyxf ),(

en el plano xy , se puede generar una ecuación diferencial de primer orden,

calculando la diferencial de ésta, de acuerdo con la ecuación 2.

)(55 3232

Cddyy

yxyxdx

x

yxyx

03552 2 dyyxdxyx

PASO 1.- Se comprueba si la ecuación diferencial es exacta, aplicando la siguiente ecuación.

x

N

y

M

235

52

yxN

yxM

x

yx

y

yx

23552 dx

dx

dy

dy 55

55






2.2.6.1.- Ecuación diferencial exacta 2.2.6.1.1.- Método de solución de una Ecuación Diferencial Exacta: Si se tiene una ecuación de la forma

0),(),( dyyxNdxyxM 1

1.- Se determina sí la ecuación es exacta.

x

yxN

y

yxM

),(),( 2

2.- Si la ecuación es exacta, existe una función, ),( yxf que satisface la ecuación; la cual se

calcula integrando cualquiera de las funciones:

),(),(

yxMx

yxf

o ),(

),(YxN

y

yxf

,

Esta integración introduce una función arbitraria de la otra variable; se escoge la integral más sencilla.

3.- Se puede determinar ),( yxf si integramos ),( yxM con respecto a x , manteniendo a y

constante, si ),( yxM tiene la estructura algebraica más simple:

)(),(),( ygdxyxMyxdf

)(),(),( ygdxyxMyxf 3

Donde la función arbitraria )(yg en la constante de integración.


4.- Se calcula )(yg , derivando parcialmente la ecuación 3 con respecto a y , manteniendo x

constante y se iguala a ),( yxN

),(),(

yxNy

yxf

),(

)(),(),(yxN

y

ygdxyxM

y

yxf

),()(),(

yxN

y

yg

y

dxyxM

4

5.- Se despeja )(yg , de la ecuación anterior (4)

y

dxyxMyxN

y

yg

),(),(

)(

dyy

dxyxMyxNygd

),(),()( 5

6.- Se integra la ecuación 5, para obtener )( yg

dyy

dxyxMyxNygd

),(),()( dy

y

dxyxMyxNyg

),(),()(

7.- Se sustituye )(yg , la ecuación 3

CygdxyxMyxf )(),(),(

Cdyy

dxyxMdyyxNdxyxMyxf

),(),(),(),(

8.- Siendo ),( yxf la solución de la ecuación diferencial exacta.

Cdyy

dxyxMdyyxNdxyxM

),(),(),(

2.2.6.1.- Ecuación diferencial exacta Ejemplo 1.- Resuelva la siguiente ecuación:

0)1(2 2 x

dy

dxxy

2.2.6.1.- Ecuación diferencial exacta Ejemplo 1.- Solución:

1.- Se escribe la ecuación diferencial en la forma 0),(),( dyyxNdxyxM

0)1(2 2 dyxxydx 1

2.- Se determina sí la ecuación es exacta.

x

yxN

y

yxM

),(),(

xyyxM 2),( y

yxM

, x

y

xy2

2

1),( 2 xyxN x

yxN

),(

x

x

x2

12

Se demuestra que la ecuación es exacta

3.- Como la ecuación es exacta, Se determina ),( yxf ; integrando el término xyyxM 2),( , que

tiene una integral más sencilla, y se toma )( yg como constante de integración.

),(),(

yxMx

yxf

)(2),( ygxydxyxdf

Cygyxyxf )(),( 2 2


4.- Se calcula )(yg , derivando parcialmente la ecuación 2 con respecto a y ,

manteniendo a x constante y se iguala a ),( yxN :

),(),(

yxNy

yxf

1)()()( 2

22

x

y

yg

y

yx

y

ygyx

1)()( 222

x

y

ygx

y

yg

y

yx

11)( 22

xx

y

yg 1

)(

y

yg dyydg )(

dyydg )( yyg )(

3

5.- Se sustituye )(yg en la ecuación 2 y se despeja y , para obtener la solución

)(),( 2 ygyxyxf Cyyx )(2

12

x

Cy

2.2.6.1.- Ecuación diferencial exacta Ejemplo 2.- Resuelva la siguiente ecuación:

02cos2)cos( 22 dyyxyxxedxxyye yy

2.2.6.1.- Ecuación diferencial exacta Ejemplo 2.- Método de solución:

1.- Se escribe la ecuación diferencial en la forma 0),(),( dyyxNdxyxM

02cos2)cos( 22 dyyxyxxedxxyye yy

1 2.- Se determina sí la ecuación es exacta.

x

yxN

y

yxM

),(),(

xyyeM y cos2 yxyxxeN y 2cos2 2

y

xyye

y

M y

cos2

x

yxyxxe

x

N y

2cos2 2

xyxysenxye y cos2 2 xyyxsenxye y cos2 2

Se demuestra que la ecuación es exacta

3.- Como la ecuación es exacta, Se determina ),( yxf ; integrando el término

yxyxeyxN y 2cos2),( 2 , con respecto a y para considerar el otro caso, y se

toma )(xh como constante de integración.

),(),(

yxNy

yxf

yxyxey

yxf y 2cos2),( 2


Ejemplo 2.-

4.- Se calcula )(xh , derivando parcialmente la ecuación 2 con respecto a y , manteniendo a

x constante y se iguala a ),( yxM :

),(),(

yxNy

yxf

yyxyxeyxfy

2cos2),(2

)(2cos2),(2

xgdyyxydydyxeyxdfy

)(),(22

xgysenxyxeyxfy

2

Mx

yxf

),(

xyye

x

xgysenxyxe

x

yxf yy

cos)(),( 2

22

xyyex

xgxyye

x

yxf yycoscos

),( 22

xyyexyyex

xg yycoscos

)( 22

xyyexyye

x

xg yycoscos

)( 22

0)(

dx

xg, xxg 0)( 0)( xg 0)( xg

5.- Se sustituye )(xg , la ecuación 2 y se iguala a C para obtener la solución implícita

Cxgysenxyxeyxfy

)(),(22

Cysenxyxey

22

022

Cysenxyxey

Tarea: Num Problema Solución

1

Resuelva las siguientes ecuaciones:

0)2

( dyy

xydx Cyxy ln2

2 xy

xy

xey

ye

dx

dy

2

2 Cyex xy 22

3 (e2y

– yCosxy)dx + (2 xe2y

– xCos xy)dy = 0 xe2y

– Senxy + y2 + C = 0

4 )1(

cos2

2

xy

xsenxxy

dx

dy

; 2)0( y Cxxy 222 cos)1(

5 0)3()3( 3223 dyyyxdxxyx Cyyxx )6(4

1 4224


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