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Ecuaciones Diferenciales Profr. Tomás N. Ocampo Paz

Temario: Unidad 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 1.1 Teoría preliminar 1.1.1 Definiciones 1.1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales 1.1.3 Problema de valor inicial 1.1.4 Teorema de existencia y unicidad 1.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables y reducibles a separables 1.3 Ecuaciones diferenciales exactas y factor integrante 1.4 Ecuaciones diferenciales lineales 1.5 Ecuación diferencial de Bernoulli 1.6 Aplicaciones

Unidad 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior 2.1 Teoría preliminar 2.1.1 Definiciones 2.1.2 Problema de valor inicial 2.1.3 Teorema de existencia y unicidad 2.1.4 Ecuaciones diferenciales homogéneas 2.1.4.1 Principio de superposición 2.1.5 Independencia lineal 2.1.6 Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas 2.1.6.1 Reducción de orden de una ecuación diferencial lineal de orden dos a una de primer orden 2.2 Solución de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas 2.3 Solución de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas 2.3.1 Método por coeficientes indeterminados 2.3.2 Método de variación de parámetros 2.4 Aplicaciones

Unidad 3 Transformada de Laplace 3.1 Teoría preliminar 3.1.1 Definición de la transformada de Laplace 3.1.2 Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace 3.1.3 Propiedad de linealidad de la transformada de Laplace

3.2 Transformada directa

3.2.1 Transformada de funciones básicas 3.2.2 Primer teorema de traslación 3.2.4 Transformada de funciones multiplicadas por tn 3.2.5 Transformada de derivadas

2

3.2.6 Transformada de funciones divididas por t

3.3 Transformada inversa

3.3.1 Transformada inversa por fórmulas

3.3.2 Métodos para hallar transformadas inversas

3.3.2.1 Por fracciones parciales

3.3.2.2 Por el desarrollo de Heaviside

3.3.3.3 Por el teorema de convolución

3.4 Transformada de integrales

3.5 Solución de ecuaciones por medio de la transformada de Laplace

3.6 Transformada de funciones especiales 3.6.1 Función definida por tramos 3.6.2 Función periódica

3.6.3 Función delta de Dirac

3.6.4 Función escalón unitario

3.7 Solución de ecuaciones diferenciales que contienen funciones especiales

Unidad 4 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 4.1 Teoría preliminar 4.1.1 Definiciones 4.2 Métodos de solución para sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 4.2.1 Método de los operadores 4.2.2 Utilizando transformada de Laplace 4.3 Aplicaciones

Unidad 5. Series de Fourier 5.1 Funciones y conjuntos ortogonales 5.2 Convergencia de una serie de Fourier 5.3 Coeficientes de Fourier 5.4 Serie de Fourier de funciones de intervalo completo 5.5 Serie de Fourier de funciones pares e impares 5.6 Serie de Fourier de funciones de medio intervalo 5.7 Forma compleja de la serie de Fourier

Bibliografía 1. Zill, Dennis & Cullen, Michael (2009). Ecuaciones Diferenciales. Séptima Edición Editorial Cengage Learning 2. Edwards, Henry & Penney, David (2009) Ecuaciones Diferenciales. Cuarta Edición Editorial Prentice Hall 3. Raiville, Earl, Bedient, Phillip & Bedient, Richard (1997). Ecuaciones Diferenciales. Octava Edición. Editorial Prentice Hall Hispanoamericana

3

“Las Matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”

Galileo Galilei (1564-1642)

Unidad 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Desde hace mucho tiempo, las matemáticas han ejercido una fascinación especial a la mente humana. Casi toda persona que se enfrenta a ella toma partido, a favor o en contra: a favor por lo sugerente de su eficacia y la hermosura de su constitución; en contra, por quizás sentirse ante una fuerza superior a sus propias fuerzas. Para las personas que piensan que las matemáticas no son para ellas, deben saber que el cerebro humano trabaja como una estructura matemática, pues obtiene conclusiones acerca de hechos o suposiciones lógicas, compara, infiere, acopia datos, proyecta, mide, la mayor parte de las veces, usando leyes lógicas, algebraicas, topológicas y otras que constituyen la base de esta formidable ciencia. 1.1 Teoría preliminar Las leyes del universo están escritas en el lenguaje de las matemáticas. El álgebra puede ser suficiente para resolver problemas estáticos, pero muchos fenómenos naturales, sociales o económicos importantes o interesantes involucran cambios descritos por ecuaciones diferenciales ya que relacionan cantidades que cambian.

En las ciencias y en la ingeniería se desarrollan modelos matemáticos para comprender mejor los fenómenos físicos. Con frecuencia, estos modelos producen una ecuación que contiene derivadas de una función incógnita. Esta ecuación es una ecuación diferencial.

Siempre que un modelo matemático implique la razón de cambio de una variable con respecto de otra, es probable que dé origen a una ecuación diferencial. Las ecuaciones diferenciales surgen en una gran gama de áreas, no solo en ciencias físicas, sino también en campos tan diversos como la economía, la medicina, la psicología y la investigación de operaciones. 1.1.1 Definiciones (ecuación diferencial, orden, grado, linealidad) Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una o más derivadas de una variable dependiente con respecto a una o más variables independientes. Ejemplos

a) xyxdx

dy2 b) xyy 2

2

c) 03)( 233 dyxydxyx d) 02 yyy

e) xxeyy 323 f) xyy 2tan48

g) 022 yyxyx h) 22 632 xyyxyx

i) xexyy

u34

j)

x

u

t

u

17.0

2

2

Obsérvese que todas las ecuaciones anteriores contienen, al menos una derivada. Las ecuaciones diferenciales se clasifican considerando varios aspectos. Por el tipo de derivada que contiene una ecuación, es ordinaria o parcial; las ecuaciones de los incisos h y j son ecuaciones diferenciales parciales y las restantes son ordinarias. En el curso de Ecuaciones

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Diferenciales solo se estudian las ecuaciones diferenciales ordinarias. El orden de una ecuación diferencial lo determina la mayor derivada que hay en la ecuación; las ecuaciones de los incisos a, b, c y el inciso i son de primer orden. Las ecuaciones de los incisos d, e, g, h y j son de segundo orden y la ecuación del inciso f es de tercer orden. El grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que está elevada la derivada de mayor orden, siempre y cuando la ecuación diferencial esté dada en forma polinomial; la ecuación del inciso b es de segundo grado. Una ecuación diferencial es lineal si todos los términos que contienen a la variable dependiente y sus derivadas son de primer grado con respecto a ellas; solo las ecuaciones de los incisos b y c no son lineales. En el caso de la ecuación del

inciso c al reescribirse 03 233 dx

dyxyyx o 03)( 233 xy

dy

dxyx se aprecia que el

tercer término de la primera ecuación es de tercer grado con respecto a la variable dependiente y su derivada (se suman los exponentes en un producto) y también es de tercer grado el primer término de la segunda ecuación. 1.1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales La solución de una ecuación diferencial puede ser una función explícita o implícita, general o particular. La solución general de una ecuación diferencial ordinaria define una familia de curvas y la solución particular, una curva de dicha familia. Por ejemplo, la solución general

de la ecuación diferencial de primer orden xy

xy

dx

dy

2

22 es cxyx 22 La constante c

se llama parámetro. Esta solución general define al conjunto de circunferencias que pasan por el origen y su centro está en el eje x como se muestra en la siguiente figura

La solución particular xyx 222 se obtiene cuando 1x y 1y . Sólo hay una curva

de la familia que pasa por el punto con coordenadas )1,1( .

Una función es solución de una ecuación diferencial si satisface dicha ecuación.

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Ejemplo 1 Comprobar que la función explícita xx ececy 32

21

es la solución general

de la ecuación diferencial de segundo orden 065 yyy .

Ejemplo 2 Verificar que la función explícita )1ln( xx eey es una solución particular

de la ecuación diferencial 2

2

12

x

x

e

eyyy

.

Ejemplo 3 Comprobar que la función implícita )32(2 yxcyx es la solución general de

la ecuación diferencial de primer orden 0)3( 2 yxyyx

Ejemplo 4 Verificar que la función implícita xyexycx /3 )( es solución de la ecuación

diferencial 022 22 xydydxyxyx

Con estos ejemplos se puede notar que hay varias formas de comprobar que una función es solución de una ecuación diferencial, dependiendo el tipo de función. Estas compro-baciones requieren de un buen dominio de álgebra y cálculo diferencial.

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1.1.3 Problema de valor inicial Una ecuación diferencial sujeta a una condición inicial se llama problema de valor inicial.

Por ejemplo 0)( 222 dyyxyxdxy ; si 1)0( y . En este problema de valor inicial se

busca una solución de la ecuación que tenga el valor 1y cuando 0x . Generalmente la

variable independiente representa el tiempo y su valor es cero, a eso debe el nombre de valor inicial, pero podría ser otro valor. 1.1.4 Teorema de existencia y unicidad Existen ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden que no pueden resolverse fácilmente, por ello, es conveniente saber cuándo hay soluciones. Dado que una ecuación diferencial tiene muchas soluciones, habrá sólo una que satisfaga la condición inicial dada. El teorema de existencia y unicidad garantiza que hay una solución y es única, de una

ecuación diferencial escrita de la forma ),( yxfdx

dy si se cumple que las funciones

),( yxf y y

f

son continuas de ),( yx en y alrededor del punto ),( 00 yx . Por ejemplo, sea

el problema de valor inicial 0)( 222 dyyxyxdxy ; si 1)0( y .

Reescribiendo la ecuación diferencial, se tiene 22

2

yxyx

y

dx

dy

y se observa que

22

2

),(yxyx

yyxf

y

222 )(

)2(

yxyx

yxxy

y

f

son funciones continuas si 0x y

1y . Por lo tanto, la ecuación diferencial tiene solución y esa solución es única si

1)0( y .

1.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables y reducibles En este tema se estudiarán ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Matemáticamente, cuando se calcula la primera derivada de una función escrita en forma explícita o implícita se obtiene una ecuación diferencial. Si se trata de obtener, dada una ecuación diferencial, la función que la determinó, entonces hay que resolver dicha ecuación y de algún modo habrá que integrar para hallar la función. Claro que esto no resulta tan simple, porque la ecuación frecuentemente no tiene la derivada sin cambios en su presentación, para ello se tienen los siguientes casos.

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Ecuaciones diferenciales de variables separables Se dice que una ecuación diferencial de primer orden es separable o de variables separables si está escrita o puede escribirse en la forma 0)()( dyygdxxf . Si se integra, se obtiene

la solución general cdyygdxxf )()( donde la constante de integración c corres-

ponde al parámetro.

Ejemplos de ecuaciones separables son: 03 ydx

dyx , 0)2(422 dyxdxxyxy

dyyxyxdxxxy )1()( 2222 y 0cossecsentan 33 ydyxydxx .

Para resolver una ecuación de variables separables, es necesario separar variables, integrar y simplificar. La simplificación puede requerir eliminar fracciones y logaritmos al aplicar las inversas correspondientes. En los siguientes ejemplos se muestran tales simplifica-ciones.

Ejemplo 1 Hallar la solución general de la ecuación diferencial 03 ydx

dyx

Ejemplo 2 Resolver el problema de valor inicial 0)2(4)2( 2 dyxdxxyxy , si

1)0( y . El planteamiento de este problema, también puede enunciarse como “resolver la

ecuación diferencial 0)2(4)2( 2 dyxdxxyxy sujeta a la condición inicial 1)0( y ”

o “hallar la solución particular de la ecuación 0)2(4)2( 2 dyxdxxyxy cuando

1)0( y “

Ejemplo 3 Resolver la ecuación diferencial dyyxyxdxxxy )1()( 2222

Ejemplo 4 Resolver la ecuación diferencial 0cossecsentan 33 ydyxydxx

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Ecuaciones reducibles a separables Consideremos dos casos. Primer caso: Si una ecuación diferencial de primer orden contiene una expresión de la forma cbyax dónde a y 0b se reduce a separable por medio de la sustitución

cbyaxu . Por ejemplo, las ecuaciones )2cos( yxy , 3 yxdx

dy y

0)322()4( dyyxdxyx .

Ejemplo 1 Resolver la ecuación diferencial )3(sen xyy

Ejemplo 2 Resolver la ecuación diferencial 2 yxdx

dy

Ejemplo 3 Hallar la solución general de la ecuación 0)322()4( dyyxdxyx

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Segundo caso: Homogéneas Una función en dos variables ),( yxf es homogénea de grado n en sus argumentos si se

cumple la identidad ),(),( yxfttytxf n . Por ejemplo, la función xyyxyxf 22),(

es una función homogénea de segundo grado, porque ))(()()(),( 22 tytxtytxtytxf

)( 222 xyyxt ),(2 yxft .

Una ecuación diferencial de la forma ),( yxfdx

dy se llama homogénea si ),( yxf es una

función homogénea de grado cero en sus argumentos. La ecuación diferencial homogénea

se puede escribir de la forma

x

y

dx

dy . Al hacer el cambio de variable

x

yu , la

ecuación anterior se reduce a una ecuación de variables separables. Para resolver ecuaciones homogéneas, no es necesario escribirlas en la forma anterior, puede hacerse inmediatamente la sustitución uxy ó vyx . Algunas ecuaciones homogéneas son:

0)( xdydxyx , 0)( 22 dyyxxydx , yx

xy

dx

dy

2

2 y yxeydxxdyxdyy /22 )( .

Ejemplo 1 Resolver la ecuación diferencial homogénea 0)( xdydxyx

Ejemplo 2 Hallar la solución general de la ecuación homogénea 0)( 22 dyyxxydx

Ejemplo 3 Resolver la ecuación diferencial yx

xy

dx

dy

2

2

Ejemplo 4 Resolver la ecuación diferencial yxeydxxdyxdyy /2 )(

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1.3 Ecuaciones diferenciales exactas y factor integrante

Ecuaciones exactas

Si ),( yxfz y sus primeras derivadas parciales existen, entonces dyfdxfdz yx .

Por ejemplo, si 324 yxz entonces dyyxdxxydz 223 128 .

Una ecuación diferencial de la forma 0),(),( dyyxNdxyxM . . . . (1), es exacta si

dyyxNdxyxM ),(),( es el diferencial total de alguna función ),( yxfz . Por la

propiedad transitiva de la igualdad, se tiene dyyxNdxyxMdyfdxf yx ),(),( , por

lo que ),( yxMfx . . .(2) y ),( yxNf y .

La ecuación diferencial de la forma 0),(),( dyyxNdxyxM , es exacta si x

N

y

M

Demostración Si se obtiene la derivada parcial de (2) con respecto a y , entonces

][][)],([ yx fx

fy

yxMy

Al sustituir ),( yxN por su igual, se obtiene

)],([][)],([ yxNx

fx

yxMy

y

Por lo tanto una ecuación diferencial es exacta si x

N

y

M

.

Para resolver una ecuación exacta, es necesario hallar la función ),( yxf de la cual la

ecuación diferencial es su diferencial total. Un procedimiento para hallar dicha función es:

i) Buscar una función )(),(),( ygdxyxMyxf

ii) Al calcular y

yxf

),( e igualar con ),( yxN , se tiene

11

)(),(),(

),(ygdxyxM

yyxN

y

yxf

iii) Por ser una ecuación exacta, sólo debe quedar una función que depende de y , entonces

se integra con respecto a y para obtener )( yg . Por lo tanto, la solución general de la

ecuación es cyxf ),( .

Ejemplo 1 Verificar si la ecuación 0)2()sec2( 22 dyyxdxxxy es exacta y

resolverla si lo es

Ejemplo 2 Comprobar si la ecuación 0)cos2cos()sen2sen( dyxyedxxyye xx es

exacta y resolverla si lo es Ejemplo 3 Verificar que la ecuación 0)cos()]cos()(sen[ 2 dyxyxdxxyxyxy es exacta

y resolverla si lo es

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Factor integrante

Si la ecuación diferencial 0),(),( dyyxNdxyxM no es exacta, entonces x

N

y

M

Si tal ecuación no es exacta pero se cumple que ),(

),(),(

yxN

yxNyxM xy es una expresión que

depende sólo de x , entonces existe un factor

dx

N

NM yx

ex)( , llamado factor integrante,

que al multiplicar la ecuación la reduce a exacta. Demostración

Si multiplicamos la ecuación 0),(),( dyyxNdxyxM por )(x , tenemos

0),()(),()( dyyxNxdxyxMx

Si el factor )(x la reduce a exacta, debe cumplirse que

),()(),()( yxNxx

yxMxy

Al desarrollar, se obtiene

),()(),()(),()( yxNxyxNxyxMx xy

Al agrupar, se llega a

),()(),(),()( yxNxyxNyxMx xy

Es una ecuación separable, entonces

),(

),(),(

)(

)(

yxN

yxNyxM

x

x xy

E integrar, queda

dxyxN

yxNyxMx

xy

),(

),(),()](ln[

Al aplicar la inversa de logaritmo y omitiendo ),( yx , se obtiene el factor integrante

dx

N

NM yx

ex)( .

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De manera análoga, puede obtenerse el factor integrante dependiente de y que también

reduce la ecuación a exacta, dicho factor es

dy

M

MN xy

ey)( .

Ejemplo 1 Hallar el factor integrante para la ecuación 0cos)sen3( 43 ydyxdxyxx

que la reduce a exacta y obtener su solución

Ejemplo 2 Resolver la ecuación diferencial 0)34(2 2 dyxyxydx reduciéndola

primero a exacta Ejemplo 3 Obtener el factor integrante que reduce a exacta la ecuación diferencial

0cossen)2( ydyxydxx y hallar su solución general

14

1.4 Ecuaciones diferenciales lineales

Toda ecuación lineal de primer orden se escribe en la forma )1( )()( xQyxPdx

dy.

Si 0)( xQ , la ecuación es separable.

Toda ecuación lineal, escrita en la forma (1), puede reducirse a exacta multiplicándola por

el factor integrante dxxp

ex)(

)( .

Demostración

Se multiplica la ecuación (1) por dxxp

ex)(

)(

)()()( xQyxP

dx

dyx

Al ordenar en la forma 0),(),( dyyxNdxyxM , se tiene

0)()()()( dyxdxxQyxPx

Si la ecuación es exacta, debe cumplirse que

)()()()()( xy

xQxyxPxy

Al derivar, se obtiene

)()()( xxpx .

Queda una ecuación separable, así que

)()(

)(xp

x

x

.

La integración miembro a miembro, nos da

dxxpx )()](ln[ .

Finalmente, al aplicar la inversa del logaritmo natural, se halla el factor integrante

dxxp

ex)(

)( .

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Si se multiplica la ecuación (1) por el factor integrante obtenido, resulta

dxxpdxxpdxxp

exQyexPdx

dye

)()()()()(

El primer miembro de la ecuación es igual a la derivada con respecto a x del producto entre el factor integrante y la variable independiente y , por tal razón puede reemplazarse y

quedar

dxxpdxxpexQye

dx

d )()()(

Al integrar con respecto a x se elimina la derivada, entonces se tiene

cdxexQyedxxpdxxp )()(

)(

Si se despeja y

dxxpdxxpdxxp

cedxexQey)()()(

)(

Nos da la solución de la ecuación, siendo un procedimiento más conveniente que reducir la ecuación a exacta. Ejemplo 1 Resolver la ecuación diferencial lineal xyxy 4

Ejemplo 2 Hallar la solución de la ecuación 0)tansen2()cos1( dxxxydyx

Ejemplo 3 Resolver el problema de valor inicial ;0)22( dxeyxyxdy x si

0)1( y

16

1.5 Ecuación diferencial de Bernoulli

Es una ecuación de la forma (1) )()( nyxQyxPdx

dy con .1,0n Si 0n la

ecuación diferencial es lineal. Si 1n la ecuación es separable.

Una ecuación de Bernoulli se reduce a lineal por medio de la sustitución nyu 1

Demostración

Si multiplicamos la ecuación (1) por nyn )1( , se obtiene

)()1()()1()1( 1 xQnyxPndx

dyyn nn

Pero

dx

dyyny

dx

d nn )1(][ 1

Al sustituir en la ecuación anterior, se tiene

)()1()()1(][ 11 xQnyxpnydx

d nn

Esta presentación sugiere el cambio de variable nyu 1 que reduce la ecuación de

Bernoulli a una ecuación lineal.

Ejemplo 1 Resolver la ecuación de Bernoulli 263

ln2

yx

xy

xdx

dy

Ejemplo 2 Hallar la solución general de la ecuación 06)1(2 3 dxydxxyxdy

Ejemplo 3 Hallar la solución particular de la ecuación 0)()1( 232 yxxxydx

dyx ; si

1)0( y

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1.6 Aplicaciones Dos curvas son ortogonales en un punto si sus restas tangentes so perpendiculares en dicho punto. Si todas las curvas de una familia cortan ortogonalmente a todas las curvas de otra, entonces las familias de curvas son ortogonales entre sí. Cuando esto sucede, se dice que cada familia de curvas son las trayectorias ortogonales de la otra. Problema Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas determinada por la

función implícita xcyx 122 2

Las trayectorias ortogonales son de interés en la geometría de curvas planas y en algunos temas de matemáticas aplicadas. Por ejemplo, si una corriente eléctrica fluye por una lámina plana de material conductor, las curvas equipotenciales son las trayectorias ortogonales de las líneas de flujo.

El problema de valor inicial kMdt

dM , si 00 )( MtM donde k es una constante de

proporcionalidad, sirve como modelo para distintos fenómenos de crecimiento o decai-miento. Por ejemplo, el crecimiento de población bajo ciertas condiciones y la desintegración radiactiva. En el caso de la desintegración radiactiva, se ha determinado la vida media de algunas sustancias radiactivas, esto es, el tiempo en que tarda en desintegrarse la mitad de la cantidad inicial de la sustancia. El químico inglés William Libby inventó en 1950 un método que utiliza carbono radiactivo para calcular la edad aproximada de un fósil. El

modelo matemático es kAdt

dA .

Problema En la Zona Arqueológica de Teotenango, México, se encontraron restos

humanos conteniendo 85 % de 14C . La vida media del 14C es de aproximadamente 5700 años. Calcular la antigüedad de los restos Problema Cuando se produce determinado alimento, se estima en 0N el número de

organismos de cierto tipo en el alimento. Después de 25 días el número 0N aumenta a

010N . Sin embargo, el número 05N es considerado como el límite saludable. ¿A los

cuántos días de elaborado el alimento es su caducidad?

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La ley del enfriamiento de Newton afirma que la rapidez con que un objeto se enfría es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas entre el objeto y el medio que lo

rodea. El modelo matemático es )( TmTkdt

dT , donde T representa la temperatura y

Tm la temperatura ambiente. Problema Un cadáver se halla a las doce de la noche y se observa que tiene una tempera-tura de 82 °F. Una hora después su temperatura es de 76 °F. La temperatura de la habita-ción se mantuvo constante a 70 °F. Suponiendo que cuando estaba vivo su temperatura era de 98.6°F. Estimar la hora de su muerte En un problema de mezclas químicas, si una cantidad )(tx varía con el tiempo, como

algún contaminante en el agua. Si se agrega contaminante con agua y, al mismo tiempo se quita, entonces el modelo matemático es

dt

dxtasa de flujo de entrada de x - tasa de flujo de salida de x .

Problema Se tiene un tanque lleno con 100m3 de agua. El agua contiene cloro con una concentración de 6.0 g/m3. Se bombea agua al tanque con una concentración de 15.0 g/m3, a una tasa de 5m3/s. El agua fluye a otro tanque a una tasa de 5m3/s. Calcular en qué momento la concentración será de 4.0 g/m3

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Problemas Propuestos I Comprobar que la función dada es solución de la correspondiente ecuación diferencial

1. xxey 3 ; de 096 yyy

2. xx ececy 221 ; de 02 yyy

3. xexy 26 ; de xeyyy 122

4. xxy coslncos ; de xyy sec

5. xx eey 1ln , de 2)1(

12

xeyyy

6. cxyx 3cos3 2 ; de 2

3sen2

x

xy

xdx

dy

7. 23 cyx ; de xdyydx 23

8. 2)2( xcye x ; de 0)2()4( dyxdxxy

9. yxceyxy /3 )( ; de 2)2( yx

xy

dx

dy

II Resolver las ecuaciones separables

10. dxyxydy )1(2 2

11. 02sec)2(2sen 22 ydyeydxe xx

12. 0)( 22 xyxyxyy

13. 1)1( ye y

14. 14 2 yyxy ; Si 1)2( y

15. dyyxyxdxxxy )22()( 2222

III Resolver las ecuaciones reducibles a separables que contienen una expresión de la forma cbyax

16. )7(sen yxy

17. 4)( 2 yyx

18. 0)323()123( dyyxdxyx

20

IV Resolver las ecuaciones homogéneas utilizando el cambio de variable más conveniente

19. yx

yxy

20. 0)4()4( 3443 dyxyxdxyyx

21. 0)2( 332 dyxyydxx

22. 0)3(2 22 dyxyxydx

23. 0)2()2( 2323 dyyxydxxyx

24. 0])[/(cos2 xdyydxxyxdx

V Verificar si las ecuaciones son exactas y resolverlas si lo son

25. 0)()( 2332 dyyxydxxxy

26. 0)coscos()sensen( 11 dyyxyxdxxxyy

27. 0)sen()12cos2( 222 dyxxdxxyxxy

28. 0)cos()]cos()(sen[ 2 dyxyxdxxyxyxy

VI Hallar el factor integrante que reduce las ecuaciones a exactas y resolverlas

29. dyyxxdxyx )()1( 22

30. 0cos)sensen( ydydxyxx

31. 0)73()23( 223 dyxydxxyy

32. 0)23()1( dyyxxdxyxy

VII Resolver las ecuaciones lineales

33. 252 xydx

dyx

34. xxyy 2cos2cot2

35. xxyyx ln4

36. xxyy sensen ; si 1)0( y (También resolver por separación de variables)

37. 0])1(2[)1( 3 dxxydyx

38. 0)1()12( 2 dyxdxxy

39. 323 xyyx

40. 32 xxyy

21

41. xxxxydx

dyx sencoscossen

42. 36 yyx (también resolver separando variables)

VIII Resolver las ecuaciones de Bernoulli

43. 2323 yxyyx

44. 42 yxyyx

45. xyxxxdx

dyxy coscossensen2 2

46. 3/236 xyyyx

47. 1)2( 52 yyxxy

IX Resolver los siguientes problemas

48. Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de elipses definida por 222 3 cyx

49. Si la temperatura ambiente en una habitación es de 20 °C y un cuerpo se enfría en 20 minutos desde 100°C a 60 °C, ¿dentro de cuánto tiempo su temperatura descenderá hasta 40 °C? 50. Hallar una curva que pase por el punto )2,0( P , de manera que la pendiente de la

tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del punto, aumentada en tres unidades 51. Un depósito contiene 300 L de agua con una concentración de sal de 2.0 gr/L. Agua conteniendo una concentración de sal de 4.0 gr/L ingresa al depósito a una tasa de 2 L/seg. Una válvula abierta permite que salga el agua a la misma tasa a) Determinar la cantidad y la concentración de sal del depósito como una función del tiempo b) ¿Cuánto tiempo tomará que la concentración de sal aumente a 4.0 gr/L?

52. Después de hallar un fósil, un arqueólogo determina que la cantidad de 14C presente en el fósil es 25 % de su cantidad original. ¿Cuál es la edad del fósil?

22

Solución a los problemas propuestos Unidad 1 1-9 sí es solución

10. )1( 2 ycx

11. cye x 2cot)2( 2

12. cyyxyxy /ln

13. )1( yyx ece

14. 22 )1(2 yx

15. yyeycx 262 2

)1(1

16. cyxyxx )sec()tan(

17. cyx

y

2

arctan2

18. )111015ln(2)(5 yxcyx

19. cxxyy 22 2

20. cyxxy )( 33

21. )( 336 yxcy

22. 322 )( yyxc

23. cyyxx 4224 2

24. cxxyxyxx )/2(sen2ln4

25. cxyxy 22 764

26. cyyxx 323

27. cxyxyyx )ln(sencos

28. cyyyx )sen( 22

29. cxyx )cos(

30. cyxxy 222

31. cxxexeye xxx )cossen()1(2sen2

32. cyxxy )22(2

33. 2/12 cxxy

34. xcxy 2csc2sen4

35. cxxxxy 22 ln39

36. xey cos121

37. cxxy 52 )1()1(5

38. cxxxy 22 1ln1

39. 3/2cxxy

23

40. 2

12 xcexy

41. xcxxy csccot2

42. cyx )12(6

43. 3233 )7( ycxyx

44. 3353 35 cyyxx

45. cxxxy sensen2

46. 336 )(27 cxyx

47. cxxeyye yy 22

)22(2 42

48. 3cxy

49. 40 minutos

50. 3 xey

51. a) 150/60120)( tetx gr b) aproximadamente 104 segundos

150/

5

1

5

2)( tetc gr/L

52. Aproximadamente 11400años