e Funds 1

Puede suceder que al otorgar un prstamo, al acreedor por simple comodidad no le intereserecibir su dinero en partes, sino el total equivalente al finalizar el plazo. De igual manera, aldeudor puede serle difcil o imposible liquidarlo con un desembolso nico al final, por lo queentonces tendr la opcin de realizar pagos parciales en una cuenta que por esa caractersticase denomina fondo de amortizacin.

Es evidente que se constituyen fondos con otros propsitos, como por ejemplo para la repo-sicin de maquinaria y equipo que actualmente est en servicio, como prevencin para los gas-tos de jubilacin de un empleado, para la construccin y el mantenimiento de puentes y carre-teras, para comprar a futuro un automvil o cualquier otro bien, etctera. As, nos encontramoscon fondos de jubilacin, de ahorro, de investigacin, vacacionales, etctera, cuyo calificativoes acorde con el fin que se persigue al constituir el fondo.

Algunas ventajas de constituir un fondo para adquirir un bien:Al pagar de contado puede conseguirse un descuento considerable.Se elude el pago de altos intereses y cargos por comprar a crdito, aunque en la actua-lidad muchos comerciantes ofrecen sus artculos a crdito y supuestamente sin intere-ses, aunque lo ms importante es que el deudor se acostumbra y adquiere el hbito delahorro.La mayora de las personas liquida sus obligaciones ms fcilmente con abonos parcia-les que con un pago nico al hacer la compra.

364 Captulo 7: Constitucin de fondos

7.1 Conceptos generales y definiciones

Definicin 7.1

Fondo es la cantidad de dinero que se acumula con pagos peridicos devengando intereses pa-ra lograr un monto acumulado, previamente preestablecido generalmente.

Por supuesto que puede darse que el capital o depsito inicial al constituir el fondo, seamayor que los subsecuentes, y tambin es posible que haya varias disposiciones creando unflujo de caja con entradas y salidas de capital. Asimismo, es cierto que cuando el fondo espara amortizar un crdito, la tasa de inters es independiente de la tasa con la que se consiguiel mismo.

7.2 Fondo de renta fija

Como se dijo antes, en esta clase de fondos se utiliza la ecuacin para el monto de las anuali-dades anticipadas.

M = R(1 + i/p) Teorema 5.1( / )/

1 1+

i pi p

np

3657.2: Fondo de renta fija

solucin

Ejemplo 1

Monto acumulado en un fondo de ahorro

Para comprar un automvil al terminar sus estudios, dentro de 3 aos, un estudiante consti-tuye un fondo de ahorro con depsitos quincenales de $1,850 e intereses del 10.32% nomi-nal quincenal. Cunto dinero faltar si sabe que el precio actual del pretendido automviles de $135,000, mismo que se incrementar un 9% anual en promedio por efectos de la in-flacin y otros factores?

Para el monto acumulado en el fondo durante 3 aos, 72 rentas, se reemplazan en la ecua-cin 5.1.

R = 1,850, la renta quincenal.i = 0.1032 la tasa nominal quincenal.n = 3, el plazo en aos.p = 24, la frecuencia de conversin, adems:

i/p = 0.0043 y np = 72, el nmero de rentas, entonces:

M = 1,850(1 + 0.1032/24)

M1 = 1,850(1.0043)(84.18036233)o M = $156,403.33El precio del automvil con el incremento dado ser de:

P = 135,000(1 + 0.09)3o P = $174,828.92la diferencia P M es lo que faltar para comprarlo:

174,828.92 156,403.33 = $18,425.59

( . ).

1 0043 10 0043

72

Ejemplo 2

solucin

Cunto debe depositar cada trimestre el ingeniero Carlos Ignacio en un fondo de reposicinde maquinaria de construccin pesada para acumular US$950,000 en 2.75 aos? Supongaque se ganan intereses del 9.2% anual capitalizable por trimestres, y obtenga los intereses.

a) La incgnita es R, que se obtiene al sustituir en la ecuacin 5.1 los valores dados.

C x

7 8 9

4

5 6

1 2 3

0 .

F

C x

7 8 9

4

5 6

1 2 3

0 .

F


950,000 = R(1 + 0.092/4) C = R(1 + i/p)

950,000 = R(1.023)(12.35643243)de donde

R = 950,000/12.64063038o R = US $75,154.48

b) Los intereses son la diferencia entre el monto y las 11 rentasI = 950,000 11(75,154.48)

o I = US$123,300.72

( / )/

1 1+

i pi p

np( . ).

1 023 10 023

11

Ejercicios7.2

1. Explique qu son los fondos de renta fija y cmo se calculan sus elementos.2. De cunto son los 25 abonos semanales en un fondo que redita intereses a una tasa del

13.36% compuesto por semanas para acumular $32,000?3. Con cuntas rentas mensuales de US$405 se acumulan US$7,715.00 en un fondo que bo-

nifica intereses del 15% anual capitalizable por meses?

4. Cuntos depsitos quincenales de $1,665 se necesitan para acumular $63,000 en un fondoque genera intereses a una tasa del 11% efectivo?

5. Un empresario consigue un crdito de $1,665, que pagar al final de 2 aos con intereses auna tasa del 12.6% nominal bimestral. Simultneamente constituye un fondo de amortiza-cin en un banco que le redita el 9% de inters capitalizable por meses. Obtenga la rentamensual y los intereses del fondo.

6. Con el propsito de contar con $18,000 para comprar muebles para su casa, el matemticoLpez crea un fondo de ahorro con abonos quincenales de $2,537. Cundo debe empezarsi gana intereses a una tasa del 8.2% compuesto por quincenas?

7. La seora Aguilar pone a disposicin de una casa de empeo un televisor, por el que le pres-tan $1,500, incluyendo los intereses de 6 meses de plazo, cunto deber depositar cadaquincena en un fondo que le genera intereses a una tasa del 11.04% compuesto por quince-nas durante los 6 meses?

8. Para los gastos de su graduacin dentro de 5 semestres, una estudiante de administracin deempresas crea un fondo con rentas mensuales de $650. Cunto acumular si empieza aho-ra y gana el 9.3% de inters nominal mensual?

3677.2: Fondo de renta fija

9. Para ampliar su negocio, el seor Gonzlez consigue un prstamo hipotecario de $114,000,que incluye los intereses, a plazo de un ao y medio. Al mismo tiempo, constituye un fondode ahorro con depsitos bimestrales que devengan intereses a una tasa del 22% convertiblebimestralmente, de cunto es cada uno?

10. La compaa Siderrgica del Norte crea un fondo de jubilacin con 15 rentas trimestrales de$50,000, ganando intereses a una tasa del 8.28% compuesto por trimestres. De qu montodispondr 5 aos despus de haber comenzado?

11. Para recuperar un pagar con valor nominal de $142,500, una mueblera crea un fondo con9 pagos quincenales previos al vencimiento, con intereses a una tasa del 9.08%. De cuntoes cada uno de los depsitos?

12. La concesionaria de una autopista crea un fondo con reservas bimestrales de 9.11 millonesde pesos cada una, ganando intereses a una tasa del 6.96% compuesto por bimestres. Encunto tiempo iniciar un nuevo proyecto si se estima que requerir de 150 millones de pesos?

13. Para instalar un laboratorio de computacin, la facultad de economa de la universidad cons-tituye un fondo con 8 rentas mensuales. De cunto es cada renta si necesitan US $120,000y la tasa de inters es del 21.48% capitalizable por meses?

14. Con una duracin de 22 meses, hoy se inician las obras de una lnea de tren ligero en la ciu-dad. Para comprar los carros se crea, tambin hoy, un fondo de reservas cuyos depsitosmensuales son de US$115,000 cada uno, a una tasa de inters del 11.28% nominal mensual.Cunto se acumula en los 22 meses?

15. Para construir su nuevo estadio de bisbol, el Club Social y Recreativo del Atlntico necesi-ta $10575,000 en 10 meses, contados a partir de ahora. Con tal fin, se constituye un fondocon depsitos mensuales desde ahora a una tasa de inters del 10.68% compuesto por me-ses. De cunto es la renta mensual?

16. Con depsitos bimestrales, una universidad crea un fondo de investigacin a una tasa de intersdel 18% nominal bimestral. De cunto tendr que ser cada depsito si requiere US$242,500dentro de un ao y medio y despus, de US$35,000 bimestrales por tiempo ilimitado?

17. La Compaa Papelera de Occidente pretende comprar dentro de 10 meses una guillotinaque ahora cuesta US$38,500. Con ese fin, crea un fondo con depsitos bimestrales que de-vengan una tasa del 9% de inters anual compuesto por bimestres. De cunto es cada unode los depsitos? Suponga que el precio aumenta con la inflacin del 0.9% mensual en pro-medio.

18. Para construir un centro vacacional, la compaa Desarrollos Tursticos de Quintana Rooconstituye un fondo con 15 rentas mensuales de 1.8 millones de pesos. Cunto acumula sidevenga una tasa de inters del 7.2% nominal mensual?

En los problemas del 19 al 32, seleccionar la opcin correcta, justificando la eleccin.19. Para pagar un crdito de $175,000 la compaa Refacciones y Servicios crea un fondo con

depsitos mensuales que devengan intereses del 9.36% nominal mensual. De cunto es cadarenta si en el prstamo se cargan intereses del 10.8% simple anual y el plazo es de 8 meses?

a) $22,640.68 b) $21,709.38 c) $20,923.42 d) $21,963.09 e) otro


20. Para ayudar a los nios con cncer, el Hospital Civil de la ciudad constituye un fondo con$50,000, seguido de depsitos bimestrales anticipados, con el propsito de acumular $230,000al final de tres aos contados desde el primer depsito. De cunto es cada renta si se generanintereses del 7.5% anual capitalizable por bimestres?

a) $5,329.36 b) $4,928.61 c) $3,796.20 d) $4,168.28 e) otro21. Cuntos depsitos quincenales de $3,250 deben hacerse en la primera parte del plazo pa-

ra acumular $185,000 en un fondo con plazo de 3 aos? Considere intereses del 10.2%anual capitalizable por quincenas y haga un ajuste a las rentas redondeando al entero mscercano.

a) 45 de $3,329.63 b) 48 de $3,193.51 c) 46 de $3,255.03 d) 47 de $3,129.93 e) otra22. Cuntos depsitos mensuales de $5,750 deben hacerse para acumular $123,000 en un fon-

do que bonifica intereses del 9.33% anual capitalizable por meses? Haga un ajuste a la ren-ta redondeando al entero ms prximo.

a) 37 de $4,165.33 b) 35 de $4,212.20 c) 34 de $4,401.35 d) 33 de $4,523.45 e) otra23. Para ayudar a los enfermos de escasos recursos econmicos, el Centro Mdico del Norte crea

un fondo con un depsito inicial de $65,000 seguido de 13 bimestrales de $8,350, de cun-to dinero dispondr en el fondo 4 aos despus del depsito inicial si los intereses que se de-vengan son del 10.38% nominal bimestral?

a) $235,621.98 b) $214,412.57 c) $243,703.56 d) $229,385.09 e) otra24. Con $175,000, se constituye un fondo y luego se depositan en el mismo $15,000 cada tri-

mestre, haciendo el primero 3 meses despus de depositar los $175,000, cunto se tendren el fondo 4 aos despus de su creacin, considerando que desde el final del vigsimo messe realizan disposiciones mensuales de $13,250? Supngase adems que los intereses sondel 8.4% anual capitalizable por meses.

a) $92,925.42 b) $100,550.76 c) $115,203.58 d) $97,421.38 e) otra25. Cunto se genera por concepto de intereses en el problema 24?

a) $60,929.35 b) $65,923.81 c) $70,623.08 d) $71,550.76 e) otra26. De cunto debe ser el depsito inicial seguido de 35 depsitos mensuales de $9,300, con

intereses del 9.63% nominal mensual en el fondo que el Instituto de Investigacin Psicol-gica constituye para disponer de $17,000 trimestrales por tiempo ilimitado a partir de los 5aos?

a) $150,833.08 b) $140,036.61 c) $165,329.35 d) $158,735.03 e) otra27. Cunto dinero se devenga por concepto de intereses en el fondo del problema 26 durante

los 5 aos?

a) $158,329.95 b) $224,157.13 c) $121,783.94 d) $205,963.90 e) otra28. Cunto dinero se tiene en el fondo del problema 26, 4 aos despus de que se constituy?

a) $636,423.83 b) $595,428.71 c) $543,293.65 d) $624,875.41 e) otra

3697.3: Cuadro de constitucin de fondos

29. Para ampliar la carretera que comunica a dos importantes ciudades del occidente del pas, seconstituye un fondo con pagos bimestrales de 3.2 millones de pesos, cunto dinero se ten-dr en el fondo 2 aos despus del primer depsito suponiendo que se ganan intereses del 11.4%en el primer semestre y se incrementan en 1.2 puntos porcentuales por ao cada semestre?a) $40375,421.08 b) $44143,624.87 c) $42860,045.33 d) $43968,953.42 e) otra

30. Para jubilar a sus empleados, la Universidad constituye un fondo de jubilacin con un dep-sito inicial de un milln de pesos y $350,000 cada mes con intereses del 11.70% anual ca-pitalizable por meses. Cunto se tendr en el fondo 10 aos despus del primer depsito?a) $81964,031.36 b) $78760,245.94 c) $80925,723.61 d) $83760,819.32 e) otra

31. Cuntos depsitos mensuales de $1624,425 debern hacerse en un fondo, para renovar elsistema de transporte colectivo de la ciudad en un plazo de 6 aos, si se pretende un montoaproximado de 68 millones de pesos y se gana intereses del 9.6% nominal bimestral?a) 29 b) 35 c) 39 d) 36 e) otro

32. Cunto debe depositarse cada bimestre en un fondo educativo durante 6 aos para disponerde $175,000 cada cuatrimestre por tiempo ilimitado? Suponga que la primera disposicin serealiza 9 aos despus del primer depsito, que ese da se tenan $1750,623.85 en el fondo,que los intereses en el primer trienio son del 8.49% anual capitalizable por bimestres y cre-cen 0.9 puntos porcentuales por ao, cada 3 aos, durante los 9 del plazo.a) $42,601.33 b) $40,923.05 c) $35,675.42 d) $30,947.93 e) otra

7.3 Cuadro de constitucin de fondos

Como en la amortizacin de un crdito, en la constitucin de fondos es til hacer un cuadrodonde se refleja la manera en que crece el monto y varan los intereses cada vez que se hace undepsito.

En los ejemplos siguientes se explica el procedimiento para hacer tal cuadro, comenzando conel caso ms simple, cuando todos los depsitos y la frecuencia con que se realizan son iguales.

solucin

Ejemplo 1

Monto y cuadro en un fondo de ahorro

Para sus vacaciones dentro de 7 meses, un padre de familia crea un fondo de ahorro con de-psitos mensuales de $3,600. Halle el monto acumulado y haga el cuadro del fondo, consi-derando que la inversin redita el 8.28% de inters capitalizable por meses.

Recuerde que al no especificar lo contrario, los depsitos se realizan al comenzar cada pe-riodo y el monto se calcula con la ecuacin 5.1 con:


R = $3,600, la renta mensuali = 0.0828, la tasa de inters anual compuesta por mesesp = 12, la frecuencia de conversin y de pagos

np = 7, el nmero de rentas i/p = 0.0828/12 = 0.0069, la tasa por periodo, entonces

M = 3,600(1.0069)

M = 3,600(1.0069)(7.146577826) o M = $25,905.20El cuadro es el siguiente, que es til para comprobar los resultados y se inici anotando larenta mensual en todos los renglones de la segunda columna y en el primero de la tercera.

1 0069 10 0069

7.

.

( )

Note que:para hacer este cuadro:

Los intereses del primer periodo son el resultado de multiplicar el capital, es decir, la pri-mera renta, por la tasa de inters por periodo i/p

I1 = 3,600.00(0.0069)o I1 = 24.84

El monto al final de este primer periodo es la suma del capital ms los intereses

M1 = 3,600 + 24.84 o M1 = 3,624.84

Este monto se suma con la segunda renta, para obtener el segundo capital

C2 = 3,624.84 + 3,600 o C2 = 7,224.84

que se multiplica por la tasa de inters de un periodo, para obtener as los intereses delsegundo rengln

I2 = 7,224.84(0.0069) o I2 = 49.85

Periodo Renta Capital Intereses Monto

1 3,600.00 3,600.00 24.84 3,624.84

2 3,600.00 7,224.84 49.85 7,274.69

3 3,600.00 10,874.69 75.04 10,949.73

4 3,600.00 14,549.73 100.39 14,650.12

5 3,600.00 18,250.12 125.93 18,376.05

6 3,600.00 21,976.05 151.63 22,127.68

7 3,600.00 25,727.68 177.52 25,905.20


El monto al final del segundo periodo mensual es igual a la suma del capital ms estosintereses.

M2 = C2 + I2M2 = 7,224.84 + 49.85 = 7,274.69

Se contina con este proceso hasta la terminacin del cuadro, insistiendo en que el valor dela segunda columna es el capital al inicio del periodo, luego de hacer el depsito correspon-diente, mientras que en la ltima columna est el monto al final del mismo periodo incluyen-do los intereses.

solucin

Ejemplo 2

Renta bimestral y cuadro en un fondo de reservas

La Urbanizadora de Oriente, S. A., compra maquinaria con valor de 2.4 millones de pesosmediante un crdito bancario a una tasa de inters del 20% simple anual, que liquidar conun pago nico a los 2 aos. Simultneamente constituye un fondo con reservas bimestralesque ganan una tasa del 18% de inters nominal bimestral. De cunto es cada una? Haga elcuadro del fondo en sus primeros tres renglones y el ltimo.

El monto acumulado en el fondo debe ser igual al valor futuro del crdito, el cual se obtienecon la frmula del inters simple.

M = 2.4(1 + 2(0.20)) M = C (1 + ni)M = 3.36 millones de pesos

En la ecuacin 5.1 se reemplazan, adems:n = 2, el plazo en aosp = 6, el nmero de pagos por ao

np = 12, el total de pagosi = 0.18, la tasa anual

i/p = 0.18/6 = 0.03, la tasa por bimestreR es la incgnita; por lo tanto,

3.36 = R(1.03)

3.36 = R(1.03)(l4.19202957)3.36 = R(l4.61779046)

de donde R = 3.36/14.61779046

R = 0.2298569 millones o R = $229,856.90

1 03 10 03

12.

.

( )


Con esta renta en todos los renglones de la segunda columna, se comienza el cuadro del fon-do, cuyos primeros tres y ltimo renglones son:


1 $229,856.90 $229,856.90 $6,895.707 $236,752.6072 $229,856.90 $466,609.507 $13,998.285 $480,607.7923 $229,856.90 $710,464.692 $21,313.940 $731,778.633o

11

12 $229,856.90 $3262,135.922 $97,864.078 $3360,000.000

Para el ltimo rengln, note que la suma del capital C y los intereses debe ser igual al lti-mo monto; esto es:

C + 0.03C = 3360,000

de donde C(1 + 0.03) = 3360,000C = 3360,000/1.03 o C = $3262,135.922

y los intereses son:

I12 = 3262,135.922(0.03) = $97,864.078que se anotan en la cuarta columna.

Ejercicios7.3

1. Qu usos tiene un cuadro de constitucin de fondos?2. Haga el cuadro del fondo en los problemas 2 y 17 de la seccin 7.2 de ejercicios.3. Para jubilar a 3 de sus empleados, la administracin de la compaa Plsticos del Sureste,

S. A., crea un fondo en una institucin que le redita una tasa de inters del 13.5% efectivo.Halle la magnitud de los depsitos bimestrales, si pretende acumular $175,000 en 2 aos yhaga el cuadro correspondiente.

4. Cunto debe depositar cada trimestre en un fondo una constructora que pretende tener 1.5millones de pesos en 2.5 aos para reposicin de maquinaria, suponiendo que gana un inte-rs a una tasa del 17.6% anual compuesta por trimestres? Elabore el cuadro del fondo en susprimeros tres y ltimo renglones.


5. Un empresario sabe que necesitar $800,000, 1.5 aos despus de hoy. De cunto es cadadepsito mensual que deber hacer desde ahora en un fondo que le d a ganar el 21.6% con-vertible mensualmente? Haga el cuadro del fondo.

6. Cunto debe depositar cada quincena durante 8 meses en un fondo que le redita el 19.2%de inters compuesto por quincenas un estudiante para disponer de $25,000 en su gradua-cin al final de los 8 meses? Elabore el cuadro del fondo y obtenga el total de intereses.

7. Cuntos depsitos mensuales de $65,230 deber hacer una institucin educativa para lograrun monto de $1250,000 en un fondo de investigacin que redita el 17% de inters efecti-vo? Haga el cuadro del fondo en sus primeros tres renglones y el ltimo. Cunto dinero setendr en el fondo luego de hacer el decimoprimer depsito?

8. Elabore las primeras tres filas y la ltima del cuadro del fondo que se constituy con dep-sitos trimestrales de $27,500 durante 3 aos, devengando intereses a una tasa del 18.4%compuesto por trimestres.

9. La Embotelladora del Centro constituye un fondo de jubilacin con depsitos mensuales de$25,000 en una institucin que le bonifica el 9.54% nominal mensual, de cunto dineropuede disponer en el fondo 5 aos despus del primer pago? Haga un cuadro del fondo ensus primeras 3 filas y la ltima.

10. Para ampliar su planta de produccin, la Empacadora de Carnes Fras crea un fondo con re-servas mensuales de $65,000 e intereses del 8.76% anual capitalizable por meses. Haga elcuadro en sus tres primeros renglones y el ltimo suponiendo que son 20 mensualidades.

11. Cunto dinero se acumula en un fondo, 8 aos despus de que un grupo de futbolistasprofesionales crearon con US$475,000, seguidos de 40 depsitos mensuales de US$30,000cada uno con intereses del 7.2% anual capitalizable por meses? Elabore el cuadro en sus pri-meras filas y la ltima.

Seleccione la opcin correcta en los problemas del 12 al 26, justificando su eleccin.12. Al continuar el cuadro del fondo del problema 11, se observa que el monto, despus de 6 pa-

gos, incluyendo el de apertura es de:a) US $641,398.35 b) US $661,386.40 c) US $645,080.26 d) US $597,398.63 e) otra

13. Los intereses que se generan en el sexto periodo en el fondo del problema 11, segn el cua-dro, son:a) $4,625.33 b) $3,695.41 c) $3,847.40 d) $4,329.63 e) otra

14. De cunto es el monto que se acumula con 35 depsitos mensuales, incluyendo el primero,en el fondo que se inicia con el siguiente cuadro, considerando que no cambian la tasa de in-ters ni los depsitos.


1 72,000.00 72,000.00 577.80 72,577.80

2 9,500.00 82,077.80 658.67 82,736.47

3 9,500.00 92,236.47 740.20 92,976.67

a) $445,721.91 b) $456,901.32 c) $467,877.89 d) $501,791.01 e) otra


15. El 25 de marzo de 2005 se crea un fondo de restitucin de maquinaria obsoleta con $47,500, el8 de junio siguiente se depositan otros $61,350 y a partir del 15 de agosto, 7 bimestrales de$18,300 cada uno, cunto se tendr el 15 de enero de 2007 considerando intereses del 10.32%anual capitalizable por bimestres? Haga el cuadro del fondo y compruebe el resultado.

a) $338,429.18 b) $360,121.02 c) $315,961.36 d) $348,068.37 e) otra16. En el problema 15, cunto dinero se gan por concepto de intereses?

a) $35,206.47 b) $34,709.21 c) $36,168.91 d) $31,479.19 e) otra17. El primer depsito quincenal de un total de 36, en un fondo de ahorro, es por $4,500 y los

intereses que se generan en el primer periodo son de $26.0625, cul es el monto acumula-do? Elabore el cuadro en sus primeros renglones y el ltimo.

a) $180,590.50 b) $197,728.42 c) $185,961.42 d) $190,968.78 e) otro18. Cul es la tasa efectiva en el problema 17?

a) 15.7019% b) 16.4130% c) 15.0962% d) 14.8663% e) otra19. La Asociacin de Locutores constituye un fondo para servicios mdicos y hospitalarios, con

depsitos semestrales de $150,000 y $45,000 en los meses intermedios. De cunto dispon-dr al trmino de 5 aos si le pagan intereses del 10.5% anual capitalizable por meses? Ha-ga el cuadro en las primeras filas y la ltima.

a) $3750,429.05 b) $4820,923.21 c) $4977,563.88 d) $4536,098.83 e) otra20. Resuelva el problema 19 considerando que desde el vigsimo mes se realizan disposiciones

trimestrales anticipadas de $53,000.a) $3725,496.03 b) $4537,216.81 c) $4219,159.36 d) $4146,281.98 e) otra

21. Para pagar un crdito de $78,250 a final de un ao y medio, el seor Rojas constituye unfondo de amortizacin con depsitos quincenales de $2,726, cuntas quincenas antes debecomenzar si le bonifican intereses del 8.52% anual capitalizable por quincenas? Considereque los cargos en el crdito son del 14.5% efectivo. Comience el cuadro del fondo con 3filas.

a) 32 b) 33 c) 28 d) 35 e) otra22. Haga el cuadro del fondo, los primeros renglones y el ltimo, que se constituye con un de-

psito inicial y 25 mensuales de $13,720 devengando intereses del 9.93% anual capitaliza-ble por meses. Considere que se acumulan $450,000 al final de 2.5 aos y obtenga el dep-sito de apertura.

a) $40,628.35 b) $41,786.05 c) $42,735.07 d) $42,129.86 e) otra23. Cuntas aportaciones quincenales de $1,755 se necesitan para disponer al final de $56,000

aproximadamente en un fondo de jubilacin que bonifica intereses del 15.12% nominalquincenal? Haga el cuadro del fondo en sus primeras filas.

a) 26 b) 30 c) 28 d) 29 e) otra

Estos fondos son ms usuales cuando los ndices inflacionarios son considerablemente altos, yaque la variacin en las rentas se mantiene al ritmo de crecimiento o decrecimiento, del valor deldinero con el paso del tiempo.

De manera similar a las amortizaciones, las rentas varan aritmticamente, con una diferen-cia comn o varan geomtricamente, con una razn constante, aunque tambin es posible quevaren una por una o por grupos.

Variacin aritmtica

Para resolver esta clase de fondos, pueden emplearse las frmulas del teorema 6.3 para la amor-tizacin de un crdito, notando que el crdito C es un capital que est al comenzar los np pe-riodos del plazo, tal como se aprecia en la figura 7.1.

3757.4: Fondos de renta variable

24. La profesora Lorena consigue un prstamo y firma un documento con valor nominal de$38,650. Simultneamente crea un fondo de amortizacin con depsitos mensuales e intere-ses del 9% efectivo, de cunto es cada uno? Comience el cuadro correspondiente y supon-ga que el plazo es de un semestre.

a) $6,281.30 b) $7,326.35 c) $6,429.61 d) $7,058.73 e) otra25. La administracin de Cajas y Empaques del Sur constituye un fondo de amortizaciones con

reservas mensuales de $30,800, cunto le faltar para liberar un documento de $600,000 sile bonifican intereses del 8.46% nominal mensual? Escriba los primeros renglones y el lti-mo del cuadro del fondo, y suponga que el plazo es de 3 semestres.

a) $15,600.00 b) $6,942.95 c) $10,368.35 d) $8,960.00 e) otra26. Cunto gana por intereses la compaa del problema 25?

a) $40,629.36 b) $39,025.08 c) $38,657.05 d) $42,923.95 e) otra

7.4 Fondos de renta variable

R1 R2 R3 R8

M8

M1M2M3

Monto total

1 2 3 8

FIGURA 7.1

Si C se traslada hasta el final del periodo np con la frmula del inters compuesto, se obtendrel monto de una anualidad de rentas vencidas, por qu?, y si se lleva hasta el final del perio-do np + 1 se tendr el monto de np rentas anticipadas. Este monto es entonces:

M = C(1 + i/p)np + 1

Donde, segn el teorema 6.3, C est dado por C = TR1 + Vd

donde adems T = y V =

Con algunos pasos algebraicos, las leyes de exponentes principalmente, se comprueba quedicho monto estar dado por las ecuaciones del teorema siguiente:

1 1 12

+ [ ( / )]( / )( / )

np i p i pi p

np1 1 + ( / )/i p

i p

np


Teorema 7.1

El monto M del fondo constituido con np pagos anticipados que varan con una diferencia co-mn d est dado por

M = (1 + i/p)(A + B) donde

A = R1

adems:R1 es el primer depsito en el fondo, i es la tasa de inters anual capitalizable en p periodospor ao y n es el plazo en aos.

B di p np i p

i p

np

=

+( ) ( )( )( )

1 12

1 1+( )

i pi p

np

Note que:

Si las rentas son vencidas, este monto se anticipa un periodo dividindolo entre(1 + i/p), es decir, que siendo as el monto ser simplemente

M = A + B

La frmula para A en este teorema es semejante a la que se utiliza para hallar elvalor acumulado de las anualidades ordinarias como si R1 fuera la renta fija.Tambin es cierto que el trmino (np)(i/p) puede simplificarse como ni, pero por elcontexto en este libro es ms prctico no simplificarlo.

Ejemplo 1


solucin

Los valores a sustituir en las ecuaciones del teorema 7.1 son:

R1 = 2.5 millones, la primera rentan = 8/12, el plazo en aosp = 12, la frecuencia de conversin y de pagosd = 0.2 millones, la diferencia entre los pagos.

Adems; la tasa de inters anual es i = 0.129, la mensual es i/p = 0.01075 y el nmero de rentasnp = 8

Entonces

A = 2.5(8.307559256) o A = 20.76889814

B = 0.2(28.61016333) o B = 5.722032666Por lo tanto, el monto en el fondo es

M = (1.01075)(20.76889814 + 5.722032666)M = 26.77570832 o M = $26775,708.32

Sirva el ejemplo siguiente para comprobar este resultado y la funcionabilidad de las frmu-las del ltimo teorema.

B d i p np i pi p

np

(1

) ( )( )( )

12

B 0.2 (1.01075) (8) (0.01075)(0.01075)8

21

A R i pi p

np

1

( )1 1

A 2.5 (1.01075) 18

0 01075.

Para construir y poner en servicio una nueva sucursal, la cadena de tiendas de autoservicioVipart constituye un fondo con 8 rentas mensuales que crecen $200,000 cada una, siendo laprimera por 2.5 millones de pesos, ganando intereses a una tasa del 12.9% anual capitaliza-ble por meses, cunto acumula?

C x

7 8 9

4

5 6

1 2 3

0 .

F


solucin

Ejemplo 2

Hacer el cuadro del fondo del ejemplo 1.

Las cantidades se han escrito en millones de pesos y la tabla se comienza anotando las ren-tas en la segunda columna.


1 2.5 2.50000000 0.026875000 2.526875000

2 2.7 5.22687500 0.056188906 5.283063906

3 2.9 8.183063906 0.87967937 8.271031843

4 3.1 11.37103184 0.122238592 11.49327043

4 3.3 14.79327943 0.159027657 14.95229809

6 3.5 18.45229809 0.198362205 18.65066029

7 3.7 22.35066029 0.240269598 22.59092989

8 3.9 26.49092989 0.284777496 26.77570739*

* La diferencia con el resultado anterior se debe al redondeo y es insignificante.

solucin

Ejemplo 3

Depsitos en un fondo de reposicin de maquinaria, determinacinde los intereses y elaboracin de un cuadro de fondo de amortizacin

La compaa Cermicas del Noreste prev la necesidad de renovar parte de su equipo de pro-duccin en un plazo de 1.5 aos, con un estimado de 1.75 millones de pesos para esas fechas.

a) Obtenga los primeros 3 y el ltimo de los 18 depsitos mensuales en un fondo, que redi-ta con intereses a una tasa del 19.2% compuesto por meses, considerando que crecencon una diferencia comn igual al 25% del primer pago.

b) Calcule tambin los intereses.c) Elabore el cuadro del fondo en sus primeros tres renglones y el ltimo.

a) Los valores para reemplazar en las ecuaciones del ltimo teorema son:M = 1.75 millones, p = 12, n = 1.5 aos, np = 18 e i/p = 0.192/12 = 0.016


La diferencia comn es el 25% de la primera renta, por eso d = 0.25 R1 de donde R1 = d/0.25 o R1 = 4d. Entonces,

A = 4d

A = 4d(20.67001131) o A = 82.68004524(d)

B = d B = d

B = d(166.8757071) y al sustituir queda1.75 = (1.016)[82.68004524(d) + 166.8757071(d)] 1.75 = (1.016)[(249.5557523(d)]1.75 = 253.5486443(d)

de donde d = 1.75/253.5486443

d = 0.006902029 millones o d = $6,902.03El primer depsito en el fondo es, por lo tanto,

R1= 4d = $27,608.11Para el segundo y los siguientes se suma sucesivamente la diferencia, en tanto que parael ltimo se suma 17 veces la misma diferencia.

R2 = 27,608.11 + 6,902.03 = $34,510.14R3 = 34,510.14 + 6,902.03 = $41,412.17 yo

R18 = 27,608.11 + 17(6,902.03) = $144,942.62b) Los intereses son la diferencia entre el monto acumulado y el capital que se invierte con

las 18 rentas. Este capital constituye una serie aritmtica; por lo tanto, la suma es:

Sn

= (18/2)(27,608.11 + 144,942.62), ya que Sn

= (n/2)(a1 + an)S

n= $1552,956.57

Entonces, los intereses son

I = 1750,000 1552,956.57 I = $197,043.43

c) Los primeros renglones del cuadro del fondo son los siguientes. Se inicia anotando lasprimeras rentas en la segunda columna y se contina como en el ejemplo 1 de la sec-cin 7.3.

1 12

+( ) i p np i pi p

np ( )( )( )

( . ) ( )( . )( . )

1 016 1 18 0 0160 016

18

2

( . ).

1 016 10 016

18


El ejemplo siguiente ilustra las dos posibilidades.


1 27,608.11 27,608.11 441.73 28,049.84

2 34,510.14 62,559.98 1000.96 63,560.94

3 41,412.17 104,973.11 1,679.57 106,652.68

o

18 144,962.62 1722,440.94 27,559.06 1750,000.00

Importante

Si se incrementa el primer depsito en el fondo, sin cambiar los otros valores, entonces ladiferencia se reduce y puede llegar a ser negativa: en ese caso, ms que incrementarse, lospagos se reduciran con el paso del tiempo. Esto significa que las ecuaciones del teorema7.1 son vlidas tambin para fondos con rentas decrecientes.Por supuesto que si la diferencia es negativa y grande, entonces los ltimos depsitos pue-den llegar a ser negativos, lo cual no tiene sentido prctico.

solucin

Ejemplo 4

Resuelva la primera parte del ejemplo 3 considerando que:a) La primera renta es de $100,000.b) La primera renta es de $200,000.

a) El valor de B no cambia porque no depende del primer pago, es decirB = (166.8757071)d

pero el de A esA = 0.100(20.67001131) A = 2.067001131

Entonces,1.75 = (1.016)(2.067001131 + 166.8757071(d))

de donde (1.75/1.016) 2.067001131 = 166.8757071(d)0.344560186 = 166.8757071(d)

d = 0.344560186/166.8757071d = 0.002064771 millones o d = $2,064.77

Variacin geomtrica

El teorema 6.4 establece que el capital C al inicio de np rentas que crecen geomtricamente es:

C =

y para trasladarlo hasta el final del periodo (np + 1) se multiplica por (1 + i/p)np + 1 tal como se hi-zo cuando la variacin es aritmtica, despus se multiplica por (1 + i/p)np dentro de los corchetes:

M = (1 + i/p)np + 1 M = C(1 + i/p)np

M = (1 + i/p) anp + 1 = anp(a)

Simplificando y reacomodando factores, lo que se deja como ejercicio, se obtiene la frmuladel siguiente:

Rf i p

fi p

i p i pnp

np np1 11

1 1

+

+

+( ) +( )

/ / / /

Rf i p

fi p

np1 1

11

+

+

/ /

Rf i p

fi p

np1 1

11

+

+

/

( )( / )


Significa que si los depsitos comienzan con R1 = $100,000, se reducen en$2,064.77 y el ltimo es

R18 = 100,000 17(2,064.77)R18 = $64,898.91

b) Si la primera renta fuera de $200,000A = 0.200(20.67001131) o A = 4.1340022621.75 = (1.016)[4.134002262 + 166.8757071(d)]

de donded = 2.411561317/166.8757071d = 0.014451243 o d = $14,451.24

En este caso, la ltima renta esR18 = 200,000 + 17(14,451.24) R18 = $45,671.08

Ms que un depsito, esto representa un retiro del fondo, ya que es negativo. Y esto notiene sentido prctico.

Teorema 7.2

El monto acumulado M en un fondo con depsitos anticipados que crecen geomtricamente es:

M = R1 [(1 + f)np (1 + i/p)np]donde R1 es el primer depsito, f es la tasa con la que

crecen los depsitos, es decir, es el gradiente geomtrico, n es el plazo en aos, p la frecuencia de con-versin y de pagos e i es la tasa de inters anual capitalizable en p periodos por ao.

1+

i pf i p

//

solucin

Ejemplo 5

Cunto se acumula en un fondo de ahorro con 10 aportaciones mensuales que crecen a unatasa del 3%, la primera es por $8,000 y la tasa de inters es del 10.8% anual compuesto pormeses? Haga el cuadro del fondo.

a) En la ecuacin del teorema ltimo se reemplazan:R1 = 8,000, el primer depsito.

f = 0.03, la tasa de crecimiento en los pagos.np = 10, el nmero de rentas.

i = 0.108, de donde i/p = 0.009 ya que p = 12.

Entonces, el monto es:

M = 8,000 [(1.03)10 (1.009)10]M = 8,000(48.04761904)(0.250182506)M = 96,165.38992 o M = $96,165.39

b) El cuadro es el siguiente que se inicia anotando las rentas en la segunda columna y secontina como en los anteriores de esta seccin.

1 0090 03 0 009

.

. .

Con el ejemplo siguiente se comprueba la validez de esta ecuacin.



1 8,000 8,000 72 8,072.00

2 8,240 16,312 146.81 16,458.81

3 8,487.20 24,946.01 224.51 25,170.52

4 8,741.82 33,912.34 305.51 34,217.55

5 9,004.07 43,221.62 388.99 43,610.62

6 9,274.19 52,884.81 475.96 53,360.77

7 9,552.42 62,913.19 566.22 63,479.41

8 9,838.99 73,318.40 659.87 73,978.27

9 10,134.16 84,112.42 577.01 84,869.44

10 10,438.19 95,307.62 857.77 96,165.39


solucin

Ejemplo 6

Renta variable geomtricamente en un fondo

Para el mantenimiento de un tramo de carretera de cuota que hoy se pone en servicio, la en-tidad gubernamental encargada constituye un fondo de reservas bimestrales que crecen 4%.De cunto debern ser las primeras 3 para acumular 90 millones de pesos en 3 aos y 4 me-ses, si se ganan intereses a una tasa del 15% compuesto por bimestres?

Los valores que se reemplazan en la ecuacin del teorema 7.2 son:

El monto M = 90 millones de pesos.La tasa de inters i = 0.15, compuesto por bimestres.La frecuencia de conversin y de pagos, p = 6.El plazo en aos es n = 20/6 o 20 bimestres.La razn con la que crecen los pagos es f = 0.04.Adems, i/p = 0.025, np = 20 y 1 + f = 1.04.

Entonces

90 = R1

de donde90 = R1(1.025)(36.8337802)R1 = 90/(1.025)(36.83337802) o R1 = 2.383813922 millones

Es decir que la primera reserva esR1 = $2383,813.92

La segunda es un 4% ms grande

R2 = 2383,813.92(1.04) o R2 = $2479,166.48y la tercera es:

R3 = 2479,166.48(1.04) o R3 = $2578,333,14

1 0250 04 0 025

1 04 1 02520 20.. .

. ( . )

( ) [ ]

Ejemplo 7

Plazo para un monto de renta variable geomtricamente

En cunto tiempo acumula $10,000 un empleado que constituye un fondo de ahorro con in-tereses a una tasa del 20.4% compuesto por quincenas, pagos quincenales que crecen un 2%y el primero es por $550?

C x

7 8 9

4

5 6

1 2 3

0 .

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