Universidad Nacional “Pedro Ruiz Gallo”FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

DRENAJE SUBTERRANEO

DOCENTE : Ing° CORONADO ZULOETA OMAR

ALUMNOS : Carrillo Bazán Karen.Díaz Peres Frank.Huacal Rosas Leandro.Salinas Rioja Antony.Villegas Rimarachin Ivan.

CICLO : 2015 – II Lambayeque, Octubre de 2015

El drenaje es la remoción de los excesos de agua, que existen en el suelo; mediante sistemas de drenaje se permite retirar las aguas que se acumulan en depresiones topográficas del terreno, causando inconvenientes ya sea a la agricultura o en áreas urbanizadas.

INTRODUCCIÓN

Para eliminar el agua encharcada de la superficie del terreno, se aplica el

drenaje superficial.

 

Para eliminar el agua en exceso de la zona radicular y las sales disueltas del suelo se utiliza el drenaje subterráneo, que permite el flujo de agua freática hacia los drenes.

Objetivo

El propósito del drenaje subterráneo es bajar la profundidad de la capa freática de modo que no haya interferencia negativa con la labranza del suelo y la producción agrícola. Además, el drenaje puede ser instrumental en el control de la salinidad del suelo.

El desarrollo de criterios de drenaje es necesario para establecer una meta para el diseño y manejo del sistema de drenaje en cuanto al mantenimiento óptimo del nivel freático.

Optimización

La optimización de la profundidad del freático se relaciona a los beneficios y los costos del sistema de drenaje. Cuando menos profundo el nivel permisible del freático, menor el costo de sistema a instalar para realizar esa profundidad. Sin embargo, la bajada del freático, que originalmente estaba demasiado superficial, implica efectos colaterales los cuales se deben tomar en cuenta también. Asimismo los costos de mitigación de los impactos ambientales deben incluirse.

GENERALIDADES

Agua freática

Las aguas Freáticas, son las aguas que encontramos cuando el suelo está saturado, y están por debajo

del nivel freático.

Las Aguas freáticas son aquellas que se acumulan bajo la tierra, almacenadas en los poros que existen en sedimentos como

la arena y la grava, y en las fisuras que se encuentran en rocas.

Importancia

Las aguas freáticas se han convertido en un elemento de enorme importancia para la provisión de agua para uso humano en las zonas urbanas y rurales, tanto en países desarrollados como en desarrollo. Innumerables ciudades obtienen su suministro para uso doméstico e industrial de acuíferos a través de pozos municipales y privados.

Uso de las aguas freáticas

Los agricultores que usan aguas freáticas para irrigar sus cultivos durante la época seca son cada vez más. Se están extrayendo cantidades de agua a ritmos insostenibles en muchas zonas, disminuyendo seriamente las reservas. Además, hay una evidencia creciente de que el agua freática está cada vez más contaminada. Los contaminantes más comunes son el nitrato, la sal, los compuestos orgánicos solubles y, en ciertas condiciones, algunos patógenos fecales.

Capa Freática  

Una capa freática es acumulación de agua subterránea que se encuentra a una profundidad relativamente pequeña bajo el nivel del suelo. De ellas se alimentan los pozos y las fuentes de agua, potable o no.

Una capa freática suele estar limitada por dos superficies. La inferior suele ser un estrato de terreno impermeable a una profundidad más o menos grande. Por encima hay una zona saturada, la capa freática en sí, cuyo límite superior puede ser un estrato impermeable o no. Este límite es el que se llama nivel frático. Si el terreno que está por encima de ese nivel es permeable, se tratará, normalmente de una zona insaturada.

Tipos de Capas

Se dice que una capa es libre cuando su nivel superior puede variar sin encontrarse constreñido por un sustrato superior de terreno impermeable. La perforación de un pozo sobre este tipo de capa no influirá sobre el nivel freático, que solo variará por otras causas.

En caso contrario se hablaría de una capa confinada. El agua estará a presión y si se perfora un pozo, el agua sube hasta su nivel de equilibrio, que será aquél en que la presión del acuífero iguale a la presión atmosférica. Si este equilibrio se produce por encima del nivel del terreno, se habla de un pozo artesanio.

Carga Hidrostática

Aguas subterráneas detrás de la estructura

El talón de la estructura está hundido dentro de un suelo impermeable, de esta manera se toman precauciones con respecto el flujo del agua que pasa por debajo de la estructura. No existe ninguna actividad de agua por delante de la estructura, el agua se encuentra solo detrás misma. Puede llegar a ocurrir que el agua fluya libremente por el frente de la estructura por causa de la gravedad o a la profundidad del drenaje en uso. La parte trasera de la estructura se carga por la presión hidrostática:

Donde: γwUnidad de peso del agua

hwDiferencia del nivel del agua

Aguas subterráneas delante y detrás de la estructura

El talón de la estructura está hundido dentro de un suelo impermeable, de esta manera se toman precauciones con respecto el flujo del agua. Se carga agua delante y detrás de la estructura. El agua delante de la estructura es removida con la ayuda de los efectos de la gravedad o es capturada por bombeo. Ambos partes, delantera y trasera de la estructura, es cargada por la presión hidrostática debido a la diferencia del nivel del agua (h1 y h2)La dimensión hw representa la diferencia entre los niveles de agua delante y detrás de la estructura

Acción de la carga hidrostática

Estratos

Acuíferos

Se conoce como acuíferos a aquellas formaciones geológicas que, estando completamente saturadas, son capaces de almacenar y transmitir cantidades importantes de agua. Por lo tanto, los acuíferos se caracterizan por poseer una permeabilidad significativa así como por una extensión y espesor considerables

TIPOS DE ACUÍFEROS  a. Acuíferos libres b. Acuíferos confinados c. Acuíferos semiconfinados

LOS ACUÍFEROS LIBRES

son aquellos en los que el nivel superior de saturación se encuentra a presión atmosférica.

A la superficie piezométrica de un acuífero libre se le denomina superficie freática. Por esta razón, los acuíferos libres son también conocidos como “acuíferos freáticos”.

Por lo tanto, la superficie freática es una superficie “real” que delimita el acuífero libre (por debajo) de la zona vadosa (por encima).

Bloque diagrama tridimensional de un acuífero libre. El límite superior del acuífero viene dado por la posición del nivel freático. Por encima de éste, se sitúa la zona capilar que, aunque está totalmente saturada se caracteriza por contener agua a presión

menor que la atmosférica.

(o acuíferos cautivos) corresponden a formaciones geológicas permeables, completamente saturadas de agua, confinadas entre dos capas o estratos que

podemos asumir como impermeables, ya sean acuífugos o acuicludos.

LOS ACUÍFEROS CONFINADOS

Bombeo de agua en un pozo que capta un acuífero confinado. Cuando la perforación penetra en la formación confinada, el agua asciende rápidamente por el pozo hasta alcanzar el nivel piezométrico inicial. Tras el inicio del bombeo, el agua extraída proviene de la descompresión del agua intersticial y de la consolidación del acuífero.

Esquema ilustrativo del sistema hidrogeológico de un acuífero semiconfinado. Estas formaciones acuíferas

son similares a las confinadas, excepto en que las capas confinantes corresponden a acuitardos, en lugar

de acuicludos o acuífugos. Por lo tanto, a través de dichas capas confinantes se puede establecer una

filtración vertical muy lenta (o goteos).

LOS ACUÍFEROS SEMICONFINADOS

Corresponden a situaciones similares a las que presentan los acuíferos confinados pero

con la particularidad de que el estrato confinante corresponde a un acuitardo, en lugar de a

un acuífugo o acuicludo.

Por lo tanto, los acuíferos semiconfinados pueden

recibir una cierta recarga, también llamada goteo, a

través de la capa semipermeable que los

confina.

Por último, se habla de ACUÍFEROS COLGADOS, para hacer referencia a acumulaciones de agua subterránea de escasa continuidad lateral situadas por encima del nivel freático principal. Este tipo de acuíferos (conocidos vulgarmente como “bolsas de agua”) deberán corresponder, en sentido estricto, a alguno de los tres tipos de acuíferos citados anteriormente. Sin embargo, debido a sus pequeñas dimensiones es habitual clasificarlos por separado.

TIPOS DE DRENAJE SUBTERRÁNEO

Hay tres tipos de drenaje subterráneo:– Por zanjas cubiertas.– Tubulares sin revestimiento: drenes zapa o topo.– Tubulares revestidos: tuberías de drenaje.

Drenaje subterráneo por zanjas – Zanjas rellenas de piedras: Se abren zanjas a la profundidad adecuada y se rellenan parcialmente de piedras. Es normal completar el relleno de los 30 o 40 cm superficiales con tierra vegetal procedente, generalmente, de la excavación. – Zanjas de drenaje por fajinas: Las zanjas se rellenan con ramas o troncos de árboles o arbustos, en su parte inferior y después, se completa el relleno de la zanja con la propia tierra excavada. El principal inconveniente de este tipo de drenaje reside en la pudrición del material vegetal. – Zanjas con canalizaciones de piedras o ladrillos: En la parte inferior de la zanja se construye una canaleta cubierta de piedras planas (losas) o ladrillos. Después se rellena con la tierra extraída.

Diferentes tipos de drenaje subterráneo por zanjas

Drenaje-topo – Con el arado topo se forman en el suelo galerías tubulares que actúan como cauces de desagüe. – La eficacia de este método depende de que las galerías se conserven durante largo tiempo sin destruirse o cerrarse ===> suelo con un mínimo de arcillas y que la labor se haga con un contenido de humedad adecuado. – Las pendientes de las galerías serán superiores al 3 %o para garantizar la salida del agua e inferior al 3% para que no se produzca erosión que destruya las galerías. – La profundidad de los drenes-topo oscila entre 40 y 80 cm, generalmente, y la distancia varía entre 3 y 5 m, según niveles de los freáticos, volúmenes de agua a evacuar y textura de los suelos. – En suelos arcillosos, la vida útil de este sistema varía entre 5 y 10 años.

Galería de drenaje y arado - topo

Drenaje por tubos – Por la facilidad de la instalación y por los precios moderados de este sistema, se acude, cada vez más, a los drenes subterráneos tubulares.Los tubos más utilizados son de barro (arcilla), hormigón y plástico. – Se fabrican tubos de barro en diámetros de 50, 75, 100, 125 y 150 mm y longitud variable entre 30 cm y 1 m. – Los tubos se colocan alineados en la zanja sin ningún tipo de unión ya que el agua ha de penetrar en el dren por las juntas. En terrenos muy inestables, es fácil perder la alineación por lo que se recomienda utilizar en ellos los tubos más largos. – La utilización de tubos de hormigón es muy similar a la de los de barro variando solamente el material utilizado. Igual que en el caso de los tubos de barro, el agua penetra por las juntas.

Drenaje por tubos

– Cada vez se utilizan menos los tubos de barro y de hormigón que son sustituidos por tubos de plástico. De material plástico, los tubos de cloruro de polivinilo (PVC) son los de uso más frecuente y, de ellos, pueden destacarse los siguientes tipos: 

– Tubos de PVC (5-6 metros) rígidos y superficie lisa para ser utilizados como colectores de evacuación. – Tubos de PVC (5-6 metros) rígidos y superficie ranurada para ser utilizadas como drenes de captación y conducción de agua (arcaduces) hasta los colectores. – Tubos de PVC ondulados, de sección circular y abovedada y superficies perforadas para ser utilizados como arcaduces.

Tubo para drenaje de PVC, ondulado y sección circular

Tubo para drenaje de PVC, ondulado y sección abovedada.

 

CALCULO DEL DRENAJE SUBTERRANEO

SISTEMAS DE DRENAJE SUBTERRANEO

Un sistema de drenaje está constituido por tres componentes: - Un sistema de drenaje parcelario, que impide el encharcamiento del terreno y/o regula el nivel freático. Está constituido por drenes de parcela o laterales. - Una red principal de drenaje, que trasporta el agua fuera del área agrícola. Está constituido por drenes colectores y/o principales. - Una salida, que es el punto por lo que el agua drenada desagua fuera de la zona.

Las circunstancias locales determinan el sistema apropiado.

Cuando los drenes de parcela son tubos enterrados y todos ellos descargan a un dren colector abierto, se denomina sistema de drenaje singular.

Cuando los drenes de parcela y los drenes colectores son tubos enterrados, se denomina sistema de drenaje compuesto.

Los factores que influyen en la capa de agua freática son:

•La precipitación y otras fuentes de recarga.

•La evaporación y las descargas de otro origen.

•Las propiedades de los suelos.

•La profundidad y el espaciamiento de los drenes.

•La superficie de la sección transversal de los drenes.

•El nivel del agua en los drenes.

TIPOS DE DRENES DE UN SISTEMA DE DRENAJE

Un sistema de drenaje, puede estar constituido por un sistema de drenes abiertos y/o sistema de drenes de tubería enterrada. Un sistema de drenes abiertos tiene la ventaja de que también pueden recibir la escorrentía superficial (drenaje superficial), pero tiene como principales inconvenientes la pérdida de terrenos para el cultivo, interferencia con los sistemas de riego, división del terreno en pequeñas parcelas que dificulta las labores agrícolas; así mismo el costo de mantenimiento. La principal limitación de un sistema de drenaje con tuberías es indudablemente el económico por los altos costos de instalación.

DRENAJE SUBTERRANEO SUPERFICIAL

DRENAJE SUBTERRANEO CON TUBERIAS

PROFUNDIDAD DE LA CAPA FREÁTICA PARA CADA CULTIVO

Desde un punto de vista técnico, la profundidad óptima de la capa freática es la que no ocasiona disminución en la producción de los cultivos. En muchos casos esta profundidad es antieconómica para la instalación de un sistema de drenaje y se prefiere que los rendimientos de los cultivos no alcancen el máximo a cambio de lograr un menor costo de las obras de drenaje. En este sentido, la profundidad óptima es la que origina una mayor relación beneficio/costo.

A continuación a nivel de referencia, se presenta la profundidad de las raíces de los cultivos más usuales:

Profundidad de las raíces (cm)

CultivoZona de

ramificación densa

Zona de ramificación moderada

Profundidad extrema

Trigo 30 30-90 120-150

Centeno 50 50-75 150-225

Avena 50 50-75 120-150

Cebada 70 70-100 140-150

Maíz 70 70-140 150-180

Sorgo 65

Lino 40 40-60 75

Algodón 70 120

Girasol 30 30-90 275

Remolacha azucarera 30 30-120 150-180

Caña de azúcar 70 Alfalfa 90 90-180 180-275Trébol 90 120-245

Zanahoria 90 150Cebolla 60 60-90 90-230

Col 60 60-90 90-230Coliflor 30-50 50-90 90-140Lechuga 20-30 30-120 230Tomate 60 60-90 120

Pimiento 30-45 45-90 120Melón 20-30 30-90 90-120Judías 30 30-75 90

Guisantes 30 30-75 90Rábanos 15 60

Espinacas 25 35-60 105Patatas 25-30 30-100 100Fresas 30 90

Melocotón 90 Manzano 100

Agrios 75 Vid 75

Olivo 100

MOVIMIENTO DEL AGUA HACIA LOS DRENES

Cuando el agua de riego y el agua de lluvia que se distribuye sobre el terreno se prolongan durante largos períodos, el agua en exceso puede acumularse en la superficie del suelo, trayendo como consecuencia el encharcamiento. Para eliminar el agua encharcada de la superficie del terreno, se aplica el drenaje superficial.

Parte del agua de riego o de lluvia que se infiltra en el suelo quedará almacenada en los poros y será utilizada por los cultivos y otra parte, se perderá por percolación profunda originando la elevación del nivel freático. Cuando el nivel freático alcanza la zona radicular, las plantas pueden sufrir daños debido al anegamiento. Para eliminar el agua en exceso de la zona radicular y las sales disueltas del suelo se utiliza el drenaje subterráneo, que permite el flujo de agua freática hacia los drenes.

En muchos proyectos de irrigación debido al anegamiento y salinización de los suelos, se obtiene rendimientos muy bajos de los cultivos, trayendo como consecuencia en muchos casos, el abandono de tierras por la pérdida de toda la producción. Según información consignada de la FAO, entre el 10 al 15 % de los 25 millones de has bajo riego en el mundo, están afectadas por el anegamiento y la salinización.

Según el Estudio del Perfil Ambiental del Perú, realizado por la ex Oficina Nacional de Evaluación de Recursos Naturales (ONERN), la costa peruana tiene 775,431 has de superficie cultivada, de las cuales alrededor de 306,701 has (40 %) se encuentran afectadas por problemas de salinidad, situación que generalmente es consecuencia del mal manejo de recursos hídricos e íntimamente relacionado con problemas de drenaje.

FORMULAS DE DRENAJE Darcy y Dupuit en el siglo XIX, fueron los primeros en formular las ecuaciones básicas para el flujo subsuperficial de agua a través de medios porosos y aplicarla en pozos. Rothe a principios del siglo XX, aplicó estas ecuaciones a flujo subsuperficial hacia los drenes, deduciendo así la primera fórmula de drenaje. Hooghoudt, en los años treinta dio un estímulo real a un análisis racional del problema del drenaje, estudiándola en el contexto del sistema agua-suelo-planta

Las fórmulas de drenaje, se pueden agrupar en las dos clases siguientes:

Fórmulas de régimen permanente.

Fórmulas de régimen variable o transitorio.

Ecuaciones de drenaje para régimen permanente

En las ecuaciones de drenaje de régimen permanente, se supone que la capa freática se encuentra estabilizada: la cantidad de agua que la alimenta es igual a la eliminada por los drenes.

a). Formula de Donnan

Con la ecuación se puede describir el flujo de agua hacia zanjas verticales, basándose en las suposiciones de flujo horizontal unidimensional, es decir, líneas de corriente horizontales y paralelas:

𝑹=𝒒=𝟒𝑲 (𝑯𝟐−𝒉𝟐)

𝑳𝟐 ……………(𝟏)

Parámetros de la fórmula de Donnan

Dónde:q = descarga de los drenes por unidad de superficie (m/día) R = recarga por unidad de superficie (m/día).L = espaciamiento de drenes (m).K = conductividad hidráulica del suelo (m/día)H = distancia de la napa freática en el punto medio entre los drenes hasta la capa impermeable (m).h = distancia desde la superficie del agua en la zanja o el tubo de drenaje hasta la capa impermeable (m).

El flujo hacia los drenes es permanente. Esto quiere decir que la cantidad de agua que alimenta la napa freática en forma constante, es la misma que fluye hacia los drenes y sale por ellos sin variaciones en el tiempo.

El flujo solamente es horizontal. El suelo es homogéneo hasta la capa impermeable. Hay un sistema de drenes paralelos infinito en ambas direcciones. La recarga es homogéneamente distribuida.

a). Formula de Hooghoudt

La fórmula de Donnan, también fue deducida por Hooghoudt (1936), pudiéndose expresar la ecuación (1) como:

𝑹=𝒒=𝟒𝑲 (𝑯 +𝒉)(𝑯−𝒉)

𝑳𝟐 ………(𝟐)

Considerando que Δh=(H-h) y (H+h)=(2h+Δh), donde Δh es la altura en metros de la capa de agua sobre el nivel de los drenes en el punto medio de los drenes, es decir la carga hidráulica para el flujo subsuperficial hacia los drenes.

𝒒=𝟖𝑲 (𝒉+

∆𝒉𝟐

)∆𝒉

𝑳𝟐 ……………(𝟑)

Si h = 0, se obtiene:

𝒒=𝟒𝑲 ∆𝒉𝟐

𝑳𝟐 …………… (𝟓)

La ecuación (5) representa aparentemente el flujo horizontal por encima de los drenes y se le conoce como la ecuación de Rothe.

Considerando un suelo con dos estratos cuyo límite de contacto está al nivel de los drenes, luego la ecuación (5) puede expresarse:

𝒒=𝟖𝑲 𝟐𝒉∆𝒉+𝟒𝑲 𝟏∆𝒉

𝟐

𝑳𝟐 ……………(𝟕)

Donde:

K1 = Conductividad Hidráulica del estrato arriba del nivel de los drenes (m/día) K2 = Conductividad Hidráulica del estrato abajo del nivel de los drenes (m/día)

En este sentido, Hooghoudt (1940) desarrolló varias fórmulas. La más completa de ellas supone que el flujo no solamente es horizontal, sino que parcialmente hasta alrededor de los drenes hay flujo radial.

𝑳𝟐=𝟖𝑲 𝟐𝒅 (∆𝒉−𝒏 )+𝟒𝑲𝟏(∆𝒉

𝟐−𝒏𝟐)𝑹

……… ..(𝟖)

Dónde:L = espaciamiento de drenes (m).Δh = distancia vertical entre la horizontal que pasa a nivel del fondo de los drenes y la napa freática en el punto medio entre los drenes (m).n = distancia vertical entre el fondo del dren y la napa freática sobre el dren (m). d = espesor del "estrato equivalente" (m).R = cantidad de agua que hay que drenar (m/día).

Los parámetros “n” y “d” se describen a continuación:El parámetro "n" tiene un significado diferente en el caso de drenaje con zanjas abiertas y en caso de drenaje con tubos.

En el caso de zanjas, “n” es el espesor de la lámina de agua que hay sobre el fondo de la zanja cuando se está drenando la descarga normativa equivalente a R. En este caso, tanto el tamaño como el distanciamiento entre las zanjas se diseñan con la misma descarga normativa. En el caso de drenaje por tubos, “n” es teóricamente la altura de carga necesaria para la resistencia que tiene que vencer el agua para entrar en los tubos. En general, para calcular el espaciamiento de drenes, se ha supuesto que "n" es cero.

Para tener en cuenta la resistencia extra causada por el flujo radial, Hooghoudt introdujo una reducción de la profundidad D0, en una profundidad equivalente más pequeña “d”, donde d< D0.

𝑳𝟐=𝟖𝑲 𝟐𝒅∆𝒉+𝟒𝑲𝟏∆𝒉

𝟐

𝑹………..(𝟗)

La ecuación (9) es la llamada formula de Hooghoudt, aunque incompleta, es la más conocida.

a). Formula de Ernst

La ecuación de Ernst, se utiliza en suelos con dos estratos y ofrece unas mejoras sobre las formulas anteriores, ya que el límite entre los dos estratos puede estar por encima o por debajo del nivel de los drenes.

Está basado directamente en la analogía entre las leyes de Darcy y Ohm.

De esta forma, la carga hidráulica total será:

𝒉=𝒉𝒗+𝒉𝒉+𝒉𝒓

Donde:hv = Resistencia al flujo vertical hh = Resistencia al flujo horizontal hr = Resistencia al flujo radial

Análogamente al flujo eléctrico (Ley de 0hm) se puede definir el flujo de agua subterránea como.

𝑞=h𝑤

q = descarga del dren por unidad de área (m/día) h = carga hidráulica total (m)w = resistencia (día)

Y remplazando los valores de resistencia se tendría:

𝒉=𝑹𝑫𝑽

𝑲𝑽+𝑹 𝑳𝟐

𝟖∑ (𝑲𝑫)𝒉+𝑹 𝑳

𝝅 𝑲𝒓𝐥𝐧

𝒂𝑫𝒓

𝒖

Ecuación general de Ernst.

Donde:

DV = espesor de la capa en la que tiene lugar el flujo vertical (m).KV = conductividad hidráulica de la capa en la que se considera flujo vertical (m/día) = transmisividad de las capas de suelo en las cuales se considera flujo horizontal (m2/día)Kr = conductividad hidráulica de la capa en la que se considera flujo radial (m/día)Dr = espesor de la capa en la que tiene lugar el flujo radial (m)a = factor geométrico para flujo radial que depende de las condiciones de flujo (adimensional) anexo Au = perímetro mojado del dren (m)

Caso 1: suelos homogéneos

Ecuación de Ernst para drenes entubados en suelos homogéneos.

Ecuación de Ernst para zanjas en suelos homogéneos.

Caso 2: suelos estratificados

Ecuación de Ernst para drenes entubados ubicados en el estrato inferior.

a. Drenes están ubicados en la capa inferior.

Ecuación de Ernst para zanjas ubicadas en el estrato inferior.

b. Drenes están ubicados en la capa superior.

Ecuación de Ernst para drenes entubados ubicados en el estrato superior.

Ecuación de Ernst para zanjas ubicadas en el estrato superior.

c. Drenes en el límite de los estratos.

En el caso contrario (K1 >> K2) se recomienda utilizar la ecuación de Hooghout para drenes en el límite de los estratos.

ECUACIÓN DE DRENAJE PARA RÉGIMEN VARIABLE

Las fórmulas de régimen variable consideran el movimiento de la capa freática, tanto para carga del acuífero como durante la descarga, en consecuencia existe una variación en el nivel de esta.

a) Fórmula de Glover Dumn

La primera fórmula que aquí se muestra fue obtenida por los estudios de Glover Dumn y presentada por Dumn en 1954:

𝑳2=𝝅2 𝑲𝑫𝝁

∗𝒕

𝐥𝐧 (1.27𝒉0

𝒉𝒕)

Entonces, la última fórmula de Glover se presenta entonces en la siguiente forma: