PRINCIPIOS

Profesora Deriard-Matematica y su Enseanza- Didctica 7Regine Douady- Relacion enseanza aprendizaje- Dialctica Instrumento Objeto- Juego de Marcos

PRINCIPIOSIntroduccinNuestro proyecto es el siguiente:

Elaborar y testear hiptesis sobre la forma en que pueden adquirirse los conocimientos matemticos en situacin de clase durante todo el curso primario.

Sin embargo, estas hiptesis que plantearemos slo tienen sentido en su realizacin efectiva a travs de proyectos reales de enseanza. En consecuencia, no podremos testearlos sino indirectamente por medio de una enseanza efectiva.

Precisemos nuestro proyecto:

Construir y realizar una enseanza que ponga en marcha particularmente las hiptesis elaboradas y testear su impacto en la masa de alumnos, a travs del desarrollo efectivo del proceso. La eficacia del aprendizaje provocado, determinado en relacin a las expectativas standard ciertas, pero sobre todo de acuerdo con nuestras previsiones, representa para nosotros el ndice de un hecho didctico. Pensamos que hemos extrado parmetros pertinentes de la formacin escolar de conocimientos sobre la que ejercimos una accin. Su evidencia constituye para nosotros una validacin del conjunto de nuestra gestin.

1. A propsito de la formacin de los conocimientosPrecisemos el marco de nuestro trabajo.

Como hiptesis sobre la adquisicin de conocimientos, adoptamos la idea central de Piaget con respecto a la formacin de conocimientos, idea que por otra parte formula independientemente de la enseanza y del contexto social, segn la cual los conocimientos no proceden ni de la sola experiencia de los objetos ni de una programacin innata preformada del sujeto, sino de construcciones sucesivas con elaboraciones constantes de estructuras nuevas. Para Piaget, el equilibrio es el factor fundamental del desarrollo cognoscitivo. En efecto, dice, durante los perodos iniciales existe una razn sistemtica de desequilibrio, que es la asimetra de las afirmaciones y negaciones. De esto resulta que la equilibracin progresiva es un proceso indispensable para el desarrollo, cuyas manifestaciones se modifican... en el sentido de un mejor equilibrio en su estructura cualitativa como en su campo de aplicacin.

En otros trminos, el proceso general de formacin de los conocimientos sera el siguiente: En cada caso comenzara por el ejercicio de un esquema inicial de asimilacin cuya activacin estara tarde o temprano trabada por perturbaciones: las compensaciones obtenidas se traduciran en una nueva construccin cuyas regulaciones, que caracterizan sus fases, seran a la vez, compensadoras, teniendo en cuenta la perturbacin (implicando as la formacin al menos virtual de la negacin) y formadoras en relacin a la construccin, y esto hasta la constitucin de una nueva estructura equilibrada y el desarrollo posterior de procesos anlogos.

A nivel de aprendizaje, en la medida en que determinados errores aparecen como un factor de equilibrio (contradiccin por ejemplo), comprendemos que puedan tener un rol productivo. Esto se produce sobre todo en una situacin colectiva donde tenemos necesidad de validacin. En efecto, para explicar y desechar errores, debemos construir argumentos para convencer (reequilibracin). De este modo, consideramos que la enseanza debe examinar los primeros desequilibrios naturales del nio.

La enseanza tiene la obligacin de organizar tan eficazmente como sea posible, un juego de desequilibrios-reequilibrios al nivel de concepciones de los alumnos. Este juego puede evolucionar segn los momentos, de manera individual o colectiva.

Agreguemos a esto que entre los sucesores de Piaget, los seguidores de la escuela de Ginebra de Psicologa Social, han demostrado que la apropiacin colectiva de conocimientos puede preceder a la apropiacin individual. Intentaron explicar el fenmeno en el marco de la teora constructivista de Piaget. Explican, por ejemplo, la eficacia del conflicto socio-cognoscitivo mediante la integracin de centraciones opuestas en un nuevo esquema.

Utilizaremos tambin estas ideas, previendo en particular fases colectivas en determinados momentos de nuestra enseanza. Dado esto, Piaget y sus sucesores se sitan siempre fuera del contexto de enseanza. En particular, no dan condiciones sobre las situaciones de enseanza que permitan crear desequilibrios y comprometer el juego de las regulaciones. Una lectura literal de sus conclusiones dio lugar a una explotacin extensa, pero ineficaz, de los caracteres positivos y negativos de los objetos (cuadrado - no cuadrado; rojo-no rojo)...

As, todo el aporte de Piaget, por ms importante que sea, es insuficiente para que podamos construir directamente un aprendizaje en clase, cuyos resultados sean previsibles, por lo menos con una gran probabilidad y cuyas condiciones sean reproducibles. Piaget no toca el problema de la relacin entre la enseanza y el aprendizaje, relacin que es uno de los temas de estudio de la didctica de la disciplina enseada y en el caso de las matemticas, el de su didctica.

Frente a ese problema y para responder, al menos en parte, G. Brousseau elabor una teora de las situaciones didcticas. Para l, en efecto, las concepciones de los alumnos, son el resultado de un intercambio permanente con las situaciones de problemas en las que son involucrados y en el curso de las cuales los conocimientos anteriores son movilizados para ser modificados, completados o rechazados. Da una clasificacin de las situaciones de clase pero no da condiciones sobre los problemas susceptibles de servir eficazmente como contenidos en estas situaciones. Dicho de otro modo, no estudia particularmente las relaciones entre contenidos y situaciones.

Frente al mismo problema de la formacin de los conocimientos, G. Vergnaud declara, luego de Piaget en una frmula esquemtica: la accin es fuente y criterio del saber. Aqu accin puede querer decir resolucin de problemas. Problema tomado en el sentido amplio de situacin problemtica ubicada en un campo conceptual apropiado. La consideracin de tal campo contribuye a dar sentido al problema y a los distintos conceptos en juego. Permite explicar en parte, las conductas de resolucin. Adems, insistimos, como G. Vergnaud y otros, sobre el rol del tiempo en la construccin de los conocimientos. A menudo son necesarios varios aos para construir un concepto. Finalmente todo otro orden de explicacin abordado en los trabajos de Y. Chevallard toma en cuenta las convenciones y hbitos en la construccin de los conocimientos.

En cuanto a nosotros, somos proclives, para lograr nuestro objetivo, a proponer realizaciones de aprendizaje en clase. Lo haremos, por una parte apoyndonos sobre la teora de las situaciones (Br.1), y por otra, formulando sobre el aprendizaje, hiptesis complementarias a las de Piaget, Vergnaud y otros.

En contraposicin vamos a precisar y sistematizar un juego de regulaciones cuyo objetivo es el aprendizaje de las matemticas del CP al CM2. Como se trata de situaciones de clase privilegiaremos lo que puede tener una realizacin efectivamente colectiva.

2. A propsito de la enseanzaLas caractersticas a considerar para delimitar la enseanza en tanto que objeto de estudio son de varios rdenes y no obstante imbricadas. Sealaremos tres.

Algunas estn implicadas en toda forma de enseanza. Son, por ejemplo, las relativas a la actitud a priori de los nios frente a la escuela, a la existencia de un mnimo de disciplina, de atencin, a la disponibilidad de una masa de conocimientos y hbitos en el momento de enfrentar un asunto nuevo, a una cierta administracin del tiempo escolar. Sin embargo, la determinacin de esos factores y la realizacin ms o menos satisfactoria de las condiciones planteadas, depende, entre otras cosas, de la forma de enseanza. Otro orden de caractersticas trata del aspecto social del aprendizaje, de las relaciones maestro-alumnos, alumnos-alumnos. Otras, que nos servirn para formular nuestras hiptesis, toman sentido en el seno de la enseanza que describimos. Previamente, precisemos el contexto en el que trabajamos. Hacemos constar lo siguiente: el nio llega a la escuela con un cierto conocimiento, con medios, hbitos gracias a los cuales va a tratar la informacin que recibir y tomar decisiones cuando tenga que elegir. Dispone de sistemas de representaciones y esquemas de accin. Todo ese bagaje que ciertamente difiere mucho en cada individuo, del que el docente puede intentar hacer abstraccin si lo desea, existe, sin embargo, y constituye una parte de la personalidad del nio. Los aportes exteriores a la escuela (T.V., amigos, familia, ...), continan producindose a todo lo largo de la escolaridad . Por otra parte, el objetivo del maestro es un objetivo de aprendizaje. Tiene la responsabilidad de conducir al conjunto de alumnos de su clase a disponer de modo eficaz de algunos conocimientos y habilidades. Desde este punto de vista, es responsable ante la Institucin, los alumnos, los padres. El objeto de la enseanza es determinado por la Institucin, no por el maestro. Este slo tiene la responsabilidad de los medios que utilizar para lograr su objetivo. Algunos de esos medios estn controlados por los consejos e instrucciones que recibe por va jerrquica. Otros sern conciliados en clase con los alumnos. Es en este contexto, que el alumno de escuela primaria debe construir los conceptos matemticos.

3. A propsito de las matemticas

a) Para un concepto matemtico, conviene distinguir su carcter instrumento y su carcter objeto. Por instrumento entendemos su funcionamiento cientfico en los diversos problemas que permite resolver. Un concepto toma sentido por su carcter instrumento. No obstante, ese carcter pone en juego las relaciones que mantiene con los otros conceptos implicados en el mismo problema. Es decir, desde una ptica instrumental, no se puede hablar de un concepto sino de una red de conceptos que gravitan eventualmente alrededor de un concepto principal (cf. campo conceptual G. Vergnaud 1). Tambin el aprendizaje deber considerar tal conjunto.

Diremos que un instrumento es un instrumento adaptado si interviene en un problema justificando el uso del concepto del cual procede, por eficacia o necesidad. Un instrumento puede ser adaptado a varios tipos de problema. Recprocamente, varios instrumentos pueden ser adaptados a un mismo problema. No obstante,cada uno tiene un cierto mbito de validez.

Los instrumentos pueden pertenecer a diferentes marcos: fsico, geomtrico, numrico, grfico y otros; teniendo cada marco sus objetivos, relaciones y formulaciones.

Por objeto, entendemos el concepto matemtico, considerado como objeto cultural que tiene su lugar en una construccin ms amplia que es la del conocimiento inteligente en un momento dado, reconocido socialmente.

La actividad principal en matemticas, en el cuadro escolar, o en los centros de investigacin profesional (cf. apndice), consiste en resolver problemas, en plantear cuestiones. El investigador puede declarar resuelto un problema si puede justificar sus declaraciones segn un sistema de validacin propio de las matemticas. En este camino, crea conceptos que juegan el papel de instrumentos para resolver problemas. Cuando pasa a la comunidad cientfica, el concepto es descontextualizado para que pueda servir nuevamente. Se convierte as, en objeto de saber.

b) En relacin con el alumnoPara el alumno, el carcter instrumental puede ser implcito o explcito. Describamos al situacin ms precisamente. Un alumno es enfrentado a un problema que debe resolver. Esto forma parte de su pacto con el maestro. Sus propias concepciones le permiten poner en juego un procedimiento gracias a nociones y tcnicas que sabe utilizar, sobre las cuales puede hacer manifestaciones pero de las que no necesariamente conoce las condiciones de uso y sus lmites.

Admitamos que resuelva as, al menos parcialmente, su problema.

El observador exterior puede reconocer que las hiptesis matemticas que justifican las decisiones del alumno son satisfechas, sin que el alumno est en condiciones de formularlas. Esas nociones que el observador exterior reconoce, diremos que el alumno las hace funcionar implcitamente, o que pone en marcha instrumentos conceptuales implcitos o, simplemente, instrumentos implcitos.

Por el contrario, si el alumno puede formularlas y justificar su empleo diremos que usa instrumentos explcitos. Por otra parte, el dominio de validez de los instrumentos de que dispone el alumno evoluciona en el transcurso de la escolaridad.

Por fin, llamaremos prctica a todo uso adaptado, por los alumnos, de instrumentos explcitos o implcitos, sea que esos instrumentos hayan sido objeto de institucionalizacin o no.

4. A propsito de las relaciones entre matemticas, enseanza y aprendizajeRecordemos que, para nosotros, tener conocimientos en matemticas es ser capaz de provocar el funcionamiento como instrumentos explcitos adaptados en problemas que les dan el sentido - con o sin nfasis en la formulacin del problema. Estos conocimientos intervienen para resolver problemas o para plantear interrogantes respecto de ellos. Esto se produce en particular si las condiciones habituales de uso no son exactamente satisfechas en el problema planteado. En este caso, tener conocimientos, es tambin poder adaptarlos, hacer de todo para intentar responder igual al problema (cf. Cap. IV B 6 R4 1). Dicho de otro modo, adoptamos un punto de vista dinmico frente al conocimiento en matemtica. En estas condiciones, una enseanza es eficaz en la medida en que da lugar, en el alumno, a adquisiciones, en el sentido precedente, de conocimientos matemticos.

a) Objetos de saber - objetos de enseanzaY. Chevallard introdujo, el concepto de transposicin didctica (Ch.1) para informar sobre la transformacin necesaria operada sobre los conocimientos elegidos para ser enseados antes de que estos saberes puedan ser efectivamente enseados. Los matemticos aseguran la creacin matemtica segn una gnesis que depende esencial (pero no solamente) de los problemas a resolver. La escuela desarrolla una gnesis artificial diferente, habida cuenta de las coacciones a las que est sometida: por ejemplo, la presin del tiempo, la complejidad del campo cientfico y los problemas con el origen de la nocin descontextualizada elegida para ser enseada y la recontextualizacin artificial a la que se la conduce antes del despojo recuperado. Las convenciones sociales, los textos oficiales -programas, instrucciones, comentarios- los libros escolares ejercen una presin determinante sobre esta transformacin. Ahora bien, esos textos ampliamente marcados por una concepcin deductivista en el andar de la matemtica son poco propicios a una construccin de conocimientos eficaz para resolver los problemas (Bal. 1).

Para nosotros, un objeto de enseanza debe ser fiel al objeto de saber al cual corresponde. Para ello, debe tener las siguientes caractersticas:

-el concepto subyacente es un instrumento adaptado a los problemas elegidos para los alumnos. (Dicho de otro modo, las propiedades esenciales que los cientficos utilizan son mantenidas en los problemas del alumno).

-La diversidad de los aspectos que entran en juego en la significacin del concepto est convenientemente representada en el conjunto de los problemas retenidos.

b) Objetos reales - objetos de enseanza - Representaciones.

El comienzo de la enseanza de las matemticas corresponde a una modelizacin de lo real: el espacio ambiente y los objetos reales desplazables. El nio puede actuar sobre el mundo real y modificarlo. Puede no ser capaz de tener una visin global instantnea.

Un rol de las representaciones es el de dar cuenta de esta globalidad, reteniendo slo una parte bien elegida de la informacin, de modo de tener una disponibilidad permanente. Haciendo esto, se liga a los significados primitivos (objetos reales), los significantes (representaciones, relaciones ...). A las huellas escritas de esos significantes se unen nuevos significados de un nuevo espacio, el de las representaciones. No se consideran aqu las razones de la eleccin de los significados contenidos en la enseanza.

c) Pedagoga corriente

Esta pedagoga utiliza esencialmente y en orden invariable el mtodo aprendo, aplico. Se podra hablar de una mecnica objeto-instrumento y/o significante-significado. Se trata en efecto de una representacin de nociones matemticas que el alumno debe aprender, seguida de problemas o ejercicios de aplicacin fabricados para que el alumno pueda utilizar lo que aprendi sin transformacin. Adems, debe hacerlo segn reglas de juego que no siempre son explicitadas pero que sirven de referencia para evaluar su trabajo. A menudo el maestro muestra y el alumno slo tiene que hacer lo mismo. Se sabe que para la mayora de los alumnos, esta pedagoga no conduce a una construccin de conocimientos. Destaquemos que no hay bsqueda de juego de desequilibrios-reequilibraciones. Adems, los problemas raramente ponen en juego los caracteres esenciales de la nociones , es decir aquellos que justifican cientficamente su uso. En particular, los alumnos raramente son comprometidos en una dialctica de prueba correspondiente a un planteo abierto para ellos. Los partidarios del mtodo aprendo, aplico esperan, yendo de lo general a lo particular, dar a los alumnos elementos para varios usos y as conducirlos a un aprendizaje eficaz. Pero este mtodo corre el riesgo, llegado el caso, de ocultar la correspondencia significado-significante mencionada en b). En fin, los conceptos son generalmente presentados en un cierto marco y las aplicaciones requeridas no salen de all.

Esto hace difciles, por una parte, las interacciones de los diferentes marcos de intervencin del concepto y, por otra, la articulacin con otros conceptos.

d) Otra organizacin de la enseanza de las matemticas.

Para construir una enseanza diferente, restituyendo su sentido a los instrumentos que los alumnos utilizan, asegurando a los objetos correspondientes una presentacin institucional, debemos caracterizar otra organizacin de la enseanza.

En esta organizacin, el enseante tiene en cuenta oficialmente la construccin del saber de los alumnos por los alumnos mismos. Esta organizacin est fundada desde el punto de vista cognoscitivo, sobre tres puntos: la dialctica instrumento-objeto; la dialctica viejo-nuevo; el juego de marcos. Desde el punto de vista de los intercambios del alumno con el medio en el seno del cual evoluciona, la organizacin se apoya en las tres formas de dialctica (accin, formulacin, validacin) (G. Br. 1) y tambin sobre las intervenciones del enseante en momentos bien elegidos por l. Finalmente, desde el punto de vista del contrato didctico, la organizacin necesita una institucionalizacin de conocimientos y un medio para que el alumno controle por s su aprendizaje. Ms adelante describimos este funcionamiento, remarcando las dos palancas sobre las cuales decidimos actuar: el sentido (dialctica instrumento-objeto) y el juego de desequilibrios-reequilibraciones (juego de marcos), y describiendo para eso un cierto rol del enseante.

5. Dialctica instrumento-objetoEl funcionamiento de la dialctica instrumento-objeto (D.I.O.) est caracterizada por la organizacin esquemtica siguiente:

Dado un problema inicial:

Fase a) antiguo:

La primera etapa consiste en la puesta en marcha de un objeto conocido como instrumento explcito para iniciar un procedimiento de resolucin del problema o por lo menos de una parte del problema. Es decir, se moviliza lo antiguo para resolver parcialmente el problema.

Fase b) bsqueda:En la 2da. etapa, el alumno encuentra dificultades para resolver completamente su problema; ya sea porque su estrategia es muy costosa (en cantidad de operaciones, en riesgo de errores, en incertidumbre sobre el resultado ...) o porque esta estrategia no funciona ms. Se orienta al alumno para que busque otros medios mejor adaptados a su situacin. Reconocemos all el comienzo de una fase de accin. El alumno puede entonces poner en macha implcitamente instrumentos nuevos, por la extensin del campo de validez, o por su naturaleza misma. Esquemticamente hablaremos en esta etapa de nuevo implcito. Desde la ptica de los alumnos, las concepciones en juego (si es posible colectivamente) en ese momento, entrarn en conflicto o en resonancia con las antiguas. Los errores o contradicciones pueden convertirse en las posturas de procesos dialcticos de formulacin y validacin para resolver los conflictos y asegurar las integraciones necesarias. Pero puede ser tambin que convicciones contradictorias queden sin respuesta siendo fecundas (cf. II la bsqueda de un cuadrado de rea dada).

Fase c) explicitacin:En la etapa anterior algunos elementos tuvieron un rol importante, casi decisivo y son susceptibles de ser apropiados para ese momento del aprendizaje. Estn formulados en trminos de objetos o en trminos de prcticas; con su condicin de empleo circunstancial. Se trata de nuevo explcito susceptible de reempleo y familiarizacin.

Intervencin del maestro

Puede suceder que durante el transcurso de las fases b) o c), el maestro se de cuenta de que la situacin peligra con bloquearse si no interviene o que lo descubra demasiado tarde y tenga que desbloquearla. Segn su anlisis de la situacin didctica, debe tomar la decisin de intervenir o no, y si es necesario, tendr que elegir el momento y la forma de la intervencin respetando la libertad de accin de los alumnos (incertidumbre).

Fase d) institucionalizacin:

El maestro pasa, desde ese momento, a una etapa de institucionalizacin de lo que es nuevo y retiene con las convenciones en curso, eventualmente definiciones, teoremas y demostraciones. Esto nuevo que se retiene est destinado a funcionar, posteriormente como antiguo.

Fase e) Familiarizacin reinversinA continuacin damos a los alumnos diversos problemas destinados a provocar el funcionamiento como instrumentos explcitos de lo que ha sido institucionalizado, a desarrollar hbitos y destrezas, a integrar el saber social con el saber del alumno. Esos problemas simples o complejos slo ponen en juego lo conocido.

Fase f = a) complejidad de la tarea o nuevo problema:

Quedan por utilizar los nuevos conocimientos dentro de una situacin compleja que implica otros conceptos conocidos o buscados por el aprendizaje.

El nuevo objeto es susceptible de convertirse en antiguo para un nuevo ciclo de la dialctica instrumento-objeto.Observaciones

1) Esta descripcin del funcionamiento de la dialctica instrumento-objeto no implica que cada ciclo llegue necesariamente a una extensin del saber del alumno, socialmente reconocido. Para un mismo alumno y para un mismo objeto, pueden ser necesarios varios ciclos.2) Es posible que hbitos y prcticas familiares esperen muchos aos antes de que aparezcan objetos de saber (II variables - funciones). El proceso que acabamos de describir comprende varias fases basadas en un problema a resolver que comprende a todos los alumnos.

Sin embargo, si la colectividad clase resuelve el problema, todos no reaccionarn individualmente de la misma manera, frente al saber contenido en el problema, frente a conocimientos-instrumentos movilizados. En las situaciones de comunicacin, el saber se difunde diversamente segn los alumnos. Oficializar algunos conocimientos que slo han sido tiles, darles categora de objeto matemtico es una condicin de homogeneizacin de la clase y para cada uno una manera de jalonar su saber y por ende, de asegurar su progresin. Esta es la funcin principal de las situaciones de institucionalizacin. Otra funcin es la de integrar el saber social, los hbitos y las convenciones con el saber del alumno.

Adems, la estructuracin personal del saber es de vital importancia en matemtica para que exista efectivamente saber. Esta estructuracin ha estado muy comprometida en el proceso desarrollado. No obstante, para perfeccionarla, el alumno tiene necesidad de poner a prueba eventualmente en renovados ensayos, solo, los conocimientos que cree haber adquirido y determinar lo que sabe. sta es la funcin de los ejercicios.

En esa estructura que podemos llamar actividades - institucionalizacin - ejercicios, hemos demostrado toda la importancia del primer trmino. Sin los otros dos trminos, su incidencia en la apropiacin de conocimientos correra el peligro de ser insuficiente para el alumno.

Destaquemos que no es necesario que todas las nociones deseadas por el aprendizaje sean introducidas en una dialctica instrumento-objeto. Algunas pueden estar dadas directamente por el enseante o por la lectura de un manual. El docente debe definir una estrategia para la distribucin entre problemas y aporte directo para la organizacin de la materia que se va a ensear y definir una estrategia de adaptacin a las reacciones de la clase, para una determinada organizacin.

6. Juego de marcos

El juego de marcos traduce la intencin de explotar el hecho de que la mayora de los conceptos puede intervenir en distintos dominios, diversos marcos fsico, geomtrico, numrico, grfico u otros. Para cada uno de ellos se traduce un concepto en trminos de objetos y relaciones que podemos llamar los significados del concepto en el marco. Los significantes que tiene asociados pueden eventualmente simbolizar otros conceptos en el marco de los significados. Es el caso de representaciones grficas de funciones y de representaciones en el plano, de conjuntos de elementos materiales; algebraicos u otros, cuyas propiedades geomtricas, topolgicas o combinatorias podemos estudiar. Esto se obtiene de las correspondencias entre significados de un mismo concepto en marcos diferentes, por un lado, y entre significados de conceptos diferentes representados en el mismo marco por los mismos significantes, por otro. Pero, para los alumnos en tren de aprendizaje, los conceptos funcionan de manera parcial y diferente segn los marcos. Por consiguiente, las correspondencias estn incompletas.

Adems, ese estado heterogneo de los conocimientos vara segn el alumno. Para introducir y suscitar el funcionamiento de los conocimientos, elegimos problemas donde aquellos intervienen en dos marcos como mnimo. Privilegiamos los marcos en los que la imperfeccin de correspondencias crear desequilibrios que se trata de compensar. Es el caso, por ejemplo, si se verifican las dos condiciones siguientes:

-las significantes de un marco representan significados de conceptos distintos, teniendo cada uno sus propiedades. El estudio autnomo de uno de los sistemas de significados puede entonces conducir a resultados cuya traduccin en otro sistema, provee enunciados no previsibles o no evidentes. Es as como la intradisciplina puede accionar eficazmente.

-las adquisiciones de los alumnos son diferentes en cada uno de los marcos, para cada uno de los significados. Lo esfuerzos desplegados para la bsqueda de un equilibrio podrn traducirse en una superacin del objetivo fijado provocando un nuevo desequilibrio y as sucesivamente hasta la construccin de un modelo estable para todas las operaciones que quieran hacerse.

Intervencin del enseante

La gestin hecha por el maestro, en el momento de balances locales y ejercicios que se apoyan en las producciones de los alumnos durante sus bsquedas, los diferentes cambios de marcos realizados por los alumnos, los recuerdos y balances globales que el maestro organiza y anima son otros tantos medios de difusin de los conocimientos dentro de la clase. Esos momentos se sitan en el transcurso de la fase b), para prever o superar un bloqueo eventualmente local, o en el curso de las fases c) o e) (III juego del blanco, crnica).

7. Condiciones sobre los problemas susceptibles de comprometer una D.I.O. (Dialctica Instrumento-Objeto)Quedan por expresar algunas condiciones sobre los problemas para que ciertas relaciones del alumno con el problema estn aseguradas, y que la dialctica instrumento-objeto y el juego de marcos sean posibles.

Enunciamos las condiciones que hemos conservado

a) El enunciado tiene sentido en el campo de conocimientos del alumno.

b) El alumno debe poder considerar lo que puede ser una respuesta al problema. Esto es independiente de su capacidad para concebir una estrategia de respuesta o una validacin de una proposicin de respuesta.

c) Teniendo en cuenta sus conocimientos, el alumno puede emprender un procedimiento. Pero la respuesta no es evidente. Esto quiere decir que no puede suministrar una respuesta completa sin desarrollar una argumentacin que lo conduzca a preguntas que no sabe responder inmediatamente.

d) El problema es rico . Lo que significa que la red de los conceptos implicados es bastante importante, pero no demasiado para que el alumno pueda administrar su complejidad, si no solo, por lo menos en equipo o dentro de la colectividad clase.

e) El problema est abierto por la diversidad de preguntas que el alumno puede plantear o por la variedad de estrategias que puede poner en marcha y por la incertidumbre que se desprende con respecto al alumno.

Las condiciones c), d), e), eliminan un recorte del problema en preguntas demasiado pequeas.

f) El problema puede formularse en dos marcos diferentes, teniendo cada uno su lenguaje y su sintaxis y cuyos significados constituyentes forman parte, parcialmente, del campo de conocimientos del alumno.

g) El conocimiento buscado por el aprendizaje es el medio cientfico de responder eficazmente al problema. Es un instrumento adaptado.

8. Nuestras hiptesis

La organizacin que proponemos, por su carcter interactivo (instrumento-objeto, cambios de marcos ...), obliga al alumno a tratar una informacin a menudo abundante, que emana de varias fuentes y que se expresa indistintamente, con correspondencias (voluntariamente) parciales entre los diversos modos de expresin.

La situacin es por construccin, motivo de desequilibrio. La bsqueda para mejorar las correspondencias y la argumentacin desarrollada con este fin, son medios de reequilibracin.

Esto nos conduce a plantear las siguientes hiptesis:

a) Podemos construir efectivamente conocimientos haciendo jugar la dialctica instrumento-objeto en dos marcos, por lo menos, respetando sin embargo los umbrales de dos tipos:

-Existe una masa crtica heterognea de conocimientos antiguos y de hbitos, culturales y tcnicos (los pre requeridos) bajo forma de instrumentos explcitos en un campo conceptual dado que permita al alumno adentrarse en la resolucin de un problema relevante de ese campo y por consiguiente, comprometer la dialctica instrumento-objeto.

-Existe un umbral crtico de interrogacin debajo del cual la reflexin no se conecta (condiciones 1), 2) y 3). Relaciones alumno-problema).

b) La realizacin de las condiciones descriptas en a) supone otra hiptesis: para un determinado nmero de objetos matemticos podemos encontrar problemas que solicitan dos o tres marcos entre los cuales una dinmica es posible y susceptible de crear la dialctica instrumento-objeto. Tal vez esto sirva para relacionar la eficacia a la hiptesis a).

c) Hay una masa crtica de conocimientos a adquirir por el proceso descrito en a).

-gracias a lo cual es posible integrarlos con otros conocimientos adquiridos de otro modo, por ejemplo, por medio de la mecnica objeto-instrumento y que funcionarn eficazmente, debajo de lo cual el aprendo-aplico es ineficaz par la mayora de los alumnos.

d) Para realizar una enseanza que tome en cuenta las hiptesis anteriores, falta precisar la articulacin entre la dialctica instrumento-objeto y su gestin en el marco de la clase. Al maestro le cabe toda la responsabilidad. De all la necesidad de plantear otra hiptesis:

-Podemos formar maestros capaces de poner en marcha la dialctica instrumento-objeto.

De hecho, hay otras dificultades en lo que respecta al maestro y en la relacin ternaria maestro-alumno-saber.

9. Punto de vista del enseante incertidumbre del enseante y del alumno.

Casi todas las experiencias que se apoyan en las hiptesis formuladas precedentemente revelaron, en cuanto a los enseantes, un atractivo y un malestar para poner en marcha el tipo de enseanza que ambicionan. La inclinacin se explica por el hecho de que el maestro est convencido de la importancia de la actividad del alumno en la adquisicin de sus conocimientos.

Por otra parte, el maestro tiene un contrato con la institucin escolar, con los padres, con los alumnos. Este contrato lo compromete a asegurar y an a garantizar la progresin del saber de los alumnos y por lo mismo le impone presiones. Ms precisamente, el enseante tiene la tarea de guiar a los alumnos de su clase, en su conjunto (y no a un reducido nmero de ellos), de un estado supuesto de conocimientos, caracterizado por un grupo de conceptos y relaciones (entre conceptos), a otro estado de conocimientos caracterizado por otro grupo. El trabajo cognoscitivo del alumno consiste entonces en crear el nuevo grupo con la ayuda del maestro y tambin de sus propias adquisiciones (las que no son nicamente producciones de la escuela) y, circunstancialmente contra sus concepciones primitivas. La progresin del saber a mediano y largo plazo est establecida por la institucin (programas) y el maestro en su totalidad debe respetarla. Para eso debe prever y organizar la progresin a corto trmino entre dos marcos impuestos. Se tranquiliza si su progresin efectivamente realizada a corto plazo, respeta sus previsiones.

Pero el maestro puede garantizar que los alumnos, en su conjunto lo haya seguido en su progresin y haya alcanzado el objetivo propuesto?. Para que los alumnos puedan alcanzar su tarea de aprendizaje, el docente debe transmitirles el deseo de aprender y convencerlos de que, con su ayuda, ellos podrn lograrlo. No podemos olvidar que la percepcin que los alumnos tienen del maestro es para ste un elemento importante en sus elecciones didcticas. Establece un equilibrio entre las distintas presiones (de toda naturaleza) en las que est inmerso. Nuestras hiptesis conducen a un cambio de esta percepcin. Un desequilibrio y un malestar se desencadenan mientras llega el establecimiento de un nuevo equilibrio. Admitimos que el docente prev, en su progresin, una fase de accin. Para que la accin sea real, es necesario que el alumno tome iniciativas, haga elecciones entre posibilidades diversas, que pueda plantear preguntas anexas y relacionar jalones intermediarios pertinentes para su problema. Recordemos oportunamente que la accin es eficaz si el alumno tiene un control sobre los efectos producidos; esto le permite modificar las condiciones de produccin cuando los efectos no son los esperados. Para que el juego de la accin pueda desarrollarse de manera satisfactoria, la situacin debe dejar un margen de libertad al alumno, que le permita especialmente explotar lo contingente y hacer jugar sus comportamientos cognoscitivos propios. Es decir, la situacin debe implicar una parte de incertidumbre. De esta manera, se hace cargo de las diferencias posibles entre los alumnos. Admitimos que el docente tenga en cuenta los comportamientos y producciones de los alumnos en la organizacin y el contenido de sus secuencias de enseanza. En cuanto a la trayectoria cognoscitiva de cada alumno, el maestro, inevitablemente, asistir a una incertidumbre que tiene consecuencias:

-Primeramente es una duda sobre los contenidos que podr institucionalizar y sobre el momento de su institucionalizacin. En efecto, hay que prever otro ordenamiento del tiempo escolar, por ejemplo para una cuestin dada, una prolongacin del tiempo de trabajo del alumno a corto plazo. A largo plazo, podemos pensar que no es lo mismo. Ms an, podemos apostar a un conocimiento mejor construido, mejor estructurado y en consecuencia ms eficaz, ms gil y ms adaptable a los imprevistos. A mediano plazo (que preocupa al maestro) la trayectoria real global de la clase peligra con desviarse notablemente de la trayectoria prevista. El maestro puede aceptar una desviacin demasiado pronunciada, incompatible con sus dificultades.

-Es tambin una incertidumbre con respecto a la evaluacin de los alumnos, es decir, sobre el control de su aprendizaje. Es su responsabilidad de enseante la que est en juego.

Por todas estas razones, el malestar evidenciado no nos sorprende. Sealemos, sin embargo, que hemos encontrado enseantes completamente cmodos en lo que hace al control de esas situaciones de aprendizaje.

En resumen, para que el conjunto de alumnos de una clase alcance un objeto cognoscitivo fijado por el maestro, ste debe resolver una contradiccin:

-si a priori establece una manera de alcanzarlo, no tiene ninguna garanta de que los alumnos lo sigan;

-si sigue a los alumnos, corre el riesgo de perder el control del objetivo apuntado.

Esta contradiccin por parte del enseante estn en dualidad con la contradiccin del alumno. Este debe enfrentar lo desconocido con los medios conocidos que posee. Debe responder al pedido del maestro: aprender sus lecciones y resolver sus problemas. Pero tiene una duda: no est seguro de saber desempearse, an si aprendi bien sus lecciones. La construccin del conocimiento para el alumno, corresponde a la resolucin de una contradiccin; cmo relacionar lo nuevo con lo desconocido, cuando la mayora de los medios de accin no muestran lo conocido, y si lo hacen, cmo controlar lo nuevo que se ha producido.

Generalmente pensamos que la enseanza debe resolver una contradiccin entre la necesidad de ubicarse en la continuidad de lo que saben los alumnos y la necesidad de hacer progresar el conocimiento (Hacer avanzar el tiempo del saber, dice Yves Chavallard) y por consiguiente introducir lo nuevo que puede estar en oposicin con lo antiguo. Los dos polos de esta contradiccin son, por una parte, la accin propia del alumno (tanto en un contexto familiar donde puede movilizar lo conocido, como en un contexto nuevo donde la accin es a priori imposible y donde no tiene habilidad) y por otra, el aporte exterior: el maestro es actor cuando hace su curso, corriendo el riesgo de que el alumno no pueda internalizarlo y no pueda revertirlo en un contexto donde desplegar su inteligencia. Desde el punto de vista mencionado, toda enseanza viene a privilegiar en el tiempo (lo que no quiere decir reducir a) uno de los polos (o los dos alternativamente), en detrimento del otro: por ejemplo, la pedagoga corriente privilegia al curso, la pedagoga activa a la accin; lo que proponemos es un sistema alternativo e interactivo.

Dicho esto, cualquiera sea el sistema elegido de enseanza, el enseante en posicin de control de uno de los polos, pierde el control del otro. Surge entonces una duda cuya magnitud depende de la eleccin:

-Para el maestro Qu curso debe hacer? Qu conocimientos han adquirido los alumnos? Qu situaciones controlan los alumnos con los conocimientos adquiridos?

-Para el alumno: Sabr resolver los problemas que se me plantearn?

Observemos que no hay ms vacilaciones si el alumno se encuentra en la fase de accin donde no est obligado a dar una respuesta final. Si bien es cierto que la progresin del saber del alumno no puede hacerse en forma continuada, el enseante est obligado a variar entre lo que el alumno conoce y desconoce. Esto nos conduce a formular una suerte de principio de duda.

Formulamos la hiptesis de que todo sistema de enseanza comporta una duda: para los alumnos si el polo curso est favorecido, para el maestro: si lo est el polo accin. Nuestras proposiciones de enseanza vienen a distribuir en el tiempo la duda entre el maestro y el alumno. En relacin a la pedagoga curso-ejercicio, provocan as un desplazamiento de la duda y por consiguiente del malestar del alumno (en cuanto a sus adquisiciones) hacia el maestro (en cuanto al desarrollo del tiempo del saber).

Este desplazamiento de la inseguridad es, desde nuestro ngulo, beneficioso para el alumno pero con algunas condiciones.

Para el alumno como para el maestro, la duda slo es aceptable si puede ser controlada. El maestro la controla gracias a las fases de institucionalizacin en cuyo transcurso fija el saber que todos deben tener en comn, en la clase. Controla los conocimientos y medios de accin de los alumnos por medio de ejercicios y problemas que les hace hacer. Adems la dialctica instrumento-objeto y los juegos de marcos, por la superabundancia de informacin y la necesidad de coherencia que provocan, dan al alumno medios de control y de modificacin de la situacin. Pero para insertarse la dialctica instrumento-objeto necesita que los alumnos dispongan de cierta libertad de accin, lo que autoriza el sistema. Los problemas y ejercicios representan para el alumno, la ocasin de familiarizarse con el saber institucionalizado, de controlar sus adquisiciones y as determinar su estructuracin personal. Tambin el alumno domina su inseguridad.

Este hecho de la inseguridad, tanto para el maestro como para el alumno, es un elemento importante en las relaciones enseanza-aprendizaje. Por eso la formacin de los maestros debera comprender tambin el estudio de esa gestin, especialmente de los medios para recuperar el control de la situacin didctica respetando la duda.

Resumiendo, todas nuestras iniciativas apuntan a crear desequilibrios, pero de modo tal que los alumnos puedan participar activamente en su propio reequilibrio dentro del plano cognoscitivo. Con tal motivo, actuamos sobre los contenidos (dialctica instrumento-objeto; juego de marcos), o sobre las relaciones sociales (situaciones de comunicacin, conflictos socio-cognoscitivos ...).

Debemos destacar que existen, sin duda, condiciones extra-cognoscitivas necesarias para que la reequilibracin sea posible para y por el alumno. Citemos, a ttulo de ejemplo, las condiciones relativas a las relaciones de fuerza entre los alumnos dentro de un grupo de trabajo (ya se trate de un pequeo equipo o de toda la clase), a las relaciones afectivas entre el maestro y los alumnos, al inters que manifiestan los padres por el trabajo de sus hijos, etc..

En un sentido que precisaremos, y que no se reduce a las performances.

(Variables de control de Guy Brousseau)

Es verdaderamente incompatible con este tipo de enseanza. En efecto, una enseanza slo es admisible para el maestro si le garantiza un porcentaje de xito en su clase. Esto lo conduce, en el mtodo aprendo-aplico, a no ejecutar grandes problemas o a seccionarlos en pequeas cuestiones.

En francs D.O.O.

Cualquiera sea el tipo, y sabemos que hay toda una panoplia.

Para categoras de problemas (Gl. 1).

Complejidad y apertura son nociones relativas al alumno. Un problema es rico y abierto para una clase si lo es para una cantidad considerable de alumnos de la clase. Por ejemplo el 80%.

Aclarado en 7.